廣西高中一模試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)2.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{3\}\)D.\(\{4\}\)3.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(-2\)B.\(-1\)C.\(1\)D.\(2\)4.\(\cos60^{\circ}\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(1\)5.若\(a\gtb\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2\gtb^2\)B.\(ac\gtbc\)C.\(a+c\gtb+c\)D.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)6.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是（）A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((-1,0)\)D.\((0,-1)\)7.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)等于（）A.\((4,6)\)B.\((-2,-2)\)C.\((2,2)\)D.\((3,5)\)8.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)9.函數\(f(x)=x^3\)的導數\(f^\prime(x)\)是（）A.\(3x^2\)B.\(2x\)C.\(x^2\)D.\(3x\)10.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是奇函數（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\cosx\)2.下列屬于基本不等式應用的是（）A.求函數\(y=x+\frac{1}{x}(x\gt0)\)的最小值B.比較\(a^2+b^2\)與\(2ab\)的大小C.求\(y=2x+3\)的最值D.證明\(a+b\geq2\sqrt{ab}(a,b\gt0)\)3.以下哪些是等比數列的性質（）A.\(a_{n}^2=a_{n-1}a_{n+1}(n\gt1)\)B.\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)C.\(a_m=a_nq^{m-n}\)D.\(a_{n+1}-a_n=d\)4.關于直線方程\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時為\(0\)），正確的是（）A.當\(A=0\)時，直線平行于\(x\)軸B.當\(B=0\)時，直線平行于\(y\)軸C.斜率\(k=-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）D.在\(y\)軸上截距為\(-\frac{C}{B}\)（\(B\neq0\)）5.下列函數中，在\((0,+\infty)\)上單調遞增的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)6.立體幾何中，以下說法正確的是（）A.垂直于同一條直線的兩條直線平行B.平行于同一個平面的兩條直線平行C.一條直線垂直于一個平面，則它垂直于平面內任意直線D.兩個平行平面與第三個平面相交，交線平行7.已知\(a\)、\(b\)、\(c\)為三角形三邊，下列條件能構成直角三角形的是（）A.\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)B.\(a=5\)，\(b=12\)，\(c=13\)C.\(a=7\)，\(b=24\)，\(c=25\)D.\(a=8\)，\(b=15\)，\(c=17\)8.對于橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，以下說法正確的是（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.焦點坐標為\((\pmc,0)\)9.以下屬于對數函數性質的是（）A.\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的定義域為\((0,+\infty)\)B.當\(a\gt1\)時，函數在\((0,+\infty)\)上單調遞增C.\(\log_a1=0\)D.\(\log_aa=1\)10.已知\(\alpha\)、\(\beta\)為銳角，\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\cos\beta=\frac{1}{4}\)，則以下正確的是（）A.\(\cos\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)B.\(\sin\beta=\frac{\sqrt{15}}{4}\)C.\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)D.\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)且\(c\gt0\)，則\(ac\gtbc\)。（）3.函數\(y=\cosx\)是奇函數。（）4.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）5.等差數列的前\(n\)項和公式是\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}\)。（）6.若\(a\)、\(b\)、\(c\)成等比數列，則\(b^2=ac\)。（）7.拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)的準線方程是\(x=-\frac{p}{2}\)。（）8.向量\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin\theta\)（\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)夾角）。（）9.函數\(y=2^x\)的反函數是\(y=\log_2x\)。（）10.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^2-2x+3\)的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸\(x=-\frac{b}{2a}\)，此函數\(a=1\)，\(b=-2\)，則對稱軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入函數得\(y=2\)，頂點坐標為\((1,2)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答案：分子分母同時除以\(\cos\alpha\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.求過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答案：由直線點斜式方程\(y-y_1=k(x-x_1)\)（\(k\)為斜率，\((x_1,y_1)\)為直線上一點），這里\(k=3\)，\((x_1,y_1)=(1,2)\)，則直線方程為\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-1=0\)。4.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求\(a_5\)的值。答案：先求公差\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，即\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)。\(a_5=a_1+4d=1+4\times2=9\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\sinx\)與\(y=\cosx\)在\([0,2\pi]\)上的單調性差異。答案：\(y=\sinx\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)遞增，\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)遞減，\([\frac{3\pi}{2},2\pi]\)遞增；\(y=\cosx\)在\([0,\pi]\)遞減，\([\pi,2\pi]\)遞增，二者單調性區間不同。2.探討基本不等式\(a+b\geq2\sqrt{ab}(a,b\gt0)\)在實際問題中的應用場景。答案：在求面積一定時矩形周長最小值、周長一定時矩形面積最大值等幾何問題，以及成本最低、利潤最大等經濟問題中常用，通過構建合適的\(a\)、\(b\)來求解最值。3.分析直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是利用圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小關系，\(d\gtr\)相離，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交；二是聯立直線與圓的方程，根據判別式判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。4.闡述在學習數列過程中，等差數列與等比數列通項公式推導方法的異同。答案：相同點是都運用歸納推理找規律。不同點在于，等差數列通項公式推導用累加法，通過相鄰兩項差為定值累加得出；等比數列通項公式推導用累乘