秘密★啟用前2025屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試青桐鳴大聯(lián)考（高三）數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，i為虛數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的冪次規(guī)律化簡，再通過復(fù)數(shù)的運算法則求出，最后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出．【詳解】，即，即，所以．故選：C．2.已知全集，，，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】按照補集交集的定義求解即可.【詳解】因為，，所以．故選：．3.已知向量和向量，若，則實數(shù)（）．A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】因為，所以，即，所以．故選：D．4.已知隨機變量，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正態(tài)密度曲線的對稱性可求得的值.【詳解】因為，又，根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)可得，，故．故選：A．5.在的展開式中，含有項的系數(shù)為（）．A.15 B.6 C.20 D.2【答案】A【解析】【分析】求出二項展開式的通式，合理賦值即可.【詳解】因為的展開式的通項公式，，1，2，3，4，5，6，令，得，故含有項的系數(shù)為．故選：A．6.函數(shù)的大致圖象是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域判斷D，根據(jù)奇偶性判斷A，再由函數(shù)自變量時，函數(shù)值的變化趨勢判斷C.根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，判斷B.【詳解】函數(shù)的定義域為，排除選項D；，故函數(shù)奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除選項A；當(dāng)時，；當(dāng)時，，排除選項C；綜上所得，選項B符合題意．故選：B．7.已知正六棱柱的底面邊長為4，體積為，點N在正六邊形內(nèi)及其邊界上運動，若，則動點N的軌跡長度為（）．A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)棱柱體積公式列方程求高．已知的值，利用勾股定理求出，可知點軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧（在正六邊形內(nèi)的部分），再根據(jù)已知得，用弧長公式算出軌跡長度．【詳解】設(shè)此正六棱柱的高為h，則體積，得，又，在直角三角形中，可得，所以點N的軌跡為以為圓心，以2為半徑的圓弧（在正六邊形內(nèi)的部分），又因為，所以動點N的軌跡長度為．故選：C．8.已知函數(shù)，且不等式的解集為，，則的極大值為（）．A.0 B.36 C.72 D.108【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)不等式的解集，確定函數(shù)的零點，根據(jù)函數(shù)的零點寫出函數(shù)的解析式，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值.【詳解】因為不等式的解集為xx>m且則，故，又，故，，故，則，令，解得或，由可得或，由可得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極大值點，的極大值為．故選D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)分別為71，63，67，83，73，63，關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）．A.極差為20 B.眾數(shù)為63 C.方差為 D.中位數(shù)為71【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)極差，眾數(shù)，方差公式，中位數(shù)概念計算即可.【詳解】將該組數(shù)據(jù)從小到大排列：63，63，67，71，73，83，可得該組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；眾數(shù)為63，故B正確；平均數(shù)為，方差為，故C正確；因為中位數(shù)為，故D錯誤．故選：ABC．10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）．A.為函數(shù)的一個周期B.函數(shù)的值域為C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】對于A選項：把和代入算出與的值，比較二者是否相等來判斷對錯．對于B選項：令，先確定范圍是，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求值域．對于C選項：將換為代入，通過誘導(dǎo)公式化簡，看是否與相等來判斷．對于D選項：先對右移個單位得，進而得到右移后的，把代入，看是否為判斷對錯．【詳解】因為，所以．對于選項A，，，所以，故A錯誤；對于選項B，令，，，因為在上單調(diào)遞減，所以的值域為，故B正確；對于選項C，因為，故C正確；對于選項D，將的圖象向右平移個單位長度所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是，故的圖象向右平移個單位長度得到的函數(shù)為，因為，故D錯誤．故選：BC．11.小明參加某次測試，已知試題分單選題和多選題兩類．每道單選題選對得8分，選錯得0分；每道多選題全部選對得12分，部分選對的或有選錯的得0分．電腦題庫中每一組題都有12道，其中單選題有7道，多選題有5道．小明抽中一組題后，電腦會從12道題中隨機抽取10道讓小明作答．已知小明每道單選題選對的概率均為，每道多選題全部選對的概率均為，且每道試題回答是否正確互不影響，則下列說法正確的是（）．A.小明作答的試題中有且僅有4道多選題的概率為B.在小明作答的試題中至少有6道單選題的條件下，試題恰有7道單選題、3道多選題的概率為C.當(dāng)小明作答的試題中有且僅有5道多選題時，其多選題總得分的期望為18D.當(dāng)小明作答的試題中有且僅有道多選題時，其單選題總得分的期望為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，算從7道單選題里選6道、5道多選題里選4道的選法數(shù)量，再算從12道題里選10道的選法總數(shù)，前者除以后者得概率；對于B，“至少7道單選題”有7單3多和6單4多兩種情況，用7單3多的情況數(shù)除以這兩種情況數(shù)之和得概率；對于C，先確定多選題選對題目的平均數(shù)量，再乘每題分值12，得到總得分平均情況；對于D，確定單選題選對題目的平均數(shù)量，乘每題分值8，得到總得分平均情況.【詳解】對于選項A，可知從7道單選題、5道多選題中隨機抽取出6道單選題、4道多選題，其概率為，故A正確；對于選項B，所求概率為，B正確；對于選項C，設(shè)多選題全部選對的題數(shù)為，則，所以，故多選題總得分的期望為，故C錯誤；對于選項D，設(shè)單選題選對的題數(shù)為X，因為單選題的題數(shù)為，所以，所以，故單選題總得分的期望為，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則__________．【答案】##【解析】【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再代入自變量，即可求解.【詳解】因為，所以，所以．故答案為：13.已知雙曲線的左焦點為，離心率e為，圓與E在第一象限的交點為A，且，則__________．【答案】4【解析】【分析】由已知條件結(jié)合雙曲線的定義出，再由點A在圓上，可得，結(jié)合離心率，從而可求出.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，半焦距為c，因為圓與E在第一象限的交點為A，所以，由雙曲線的定義得，由，得，即，解得，(舍去)．故答案為：.14.已知函數(shù)，的定義域均為R，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，函數(shù)的最小值為，若函數(shù)有兩個零點s，t，則__________．【答案】10【解析】【分析】由的最小值為求出，又由為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，推出是以4為周期的周期函數(shù)，即得的對稱軸即可求解.【詳解】由函數(shù)的最小值為，得，解得，又，故，所以，對稱軸為．因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，可得；因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，可得，又，所以，即，所以，故函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，由，得函數(shù)關(guān)于對稱，所以函數(shù)關(guān)于對稱，故關(guān)于對稱，所以．故答案為：10.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，分別是角的對邊，且，，，．（1）求角C；（2）求的面積；（3）求向量在向量上的投影向量的模．【答案】（1）（2）（3）4【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角即可求解；（2）由余弦定理結(jié)合三角形面積公式即可求解；（3）由投影向量的計算公式即可求解.【小問1詳解】由正弦定理，得，因為，所以，所以，得，因為，所以．【小問2詳解】由余弦定理得，因為，，，代入整理得，解得（舍去），所以的面積．【小問3詳解】因為，，所以向量在向量上的投影向量的模為．16.如圖（1）所示的平面圖形中，，，，，，點P是以為直徑的半圓上任意一點（不與點C，D重合），以為折痕，將半圓所在平面折起，使平面平面，如圖（2）．（1）證明：平面；（2）求面積的最大值；（3）當(dāng)時，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）29（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，再利用線線平行的性質(zhì)得到另一條線的線面垂直，最后結(jié)合已知條件和線面垂直的判定定理得出最終結(jié)論．（2）首先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直關(guān)系，再利用勾股定理得出的值，最后通過基本不等式求出面積的最大值．（3）首先根據(jù)已知條件建立空間直角坐標系并求出相關(guān)點的坐標，求出平面的法向量；最后利用向量的夾角公式求出兩個平面法向量夾角的余弦值.【小問1詳解】（1）證明：∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面．∵，∴平面，∵平面，∴．∵點P在以為直徑的半圓上，∴，又，平面，，∴平面．【小問2詳解】由（1）得平面，∵平面，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴面積的最大值為29．【小問3詳解】在平面內(nèi)過點P作于點G，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，以G為坐標原點，以過點G與平行的直線為x軸，，所在的直線分別為y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，當(dāng)時，，則，可得，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，，即，令，則，，∴．由（1）得平面的一個法向量為，，∴平面與平面夾角的余弦值為．17.已知數(shù)列的前n項和滿足．（1）求的通項公式；（2）若，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列前項和與通項關(guān)系來求解數(shù)列的通項公式，最后需要檢驗時的情況是否滿足時的通項公式．（2）已知條件得到關(guān)于不等式，通過構(gòu)造數(shù)列，求出數(shù)列的最小值，進而確定的取值范圍．【小問1詳解】，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，不符合，所以．【小問2詳解】因為，，所以，．令，則，當(dāng)時，不妨設(shè)的第n項的值最小，只需令，解得，又，所以的最小值為，所以，即的取值范圍是．18.已知拋物線的準線為l，以為圓心，面積為的圓與y軸的負半軸交于點Q，動點P到直線l的距離為．（1）求動點P的軌跡的方程；（2）若直線l與y軸的交點為M，是否存在過點M且斜率存在的直線n交于A，B兩點，使？若存在，求出直線n的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在；【解析】【分析】（1）先根據(jù)圓的圓心和面積求出圓方程，令得到圓與軸交點，結(jié)合點位置確定坐標.再由拋物線準線，設(shè)點坐標，根據(jù)距離關(guān)系列出等式，整理得到的方程.（2）先設(shè)出直線方程和、兩點坐標，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)判別式確定范圍，求出與.用弦長公式求出，根據(jù)向量關(guān)系得到表達式.再由列方程，解出并驗證是否滿足判別式，從而確定直線方程.【小問1詳解】以為圓心，面積為的圓的方程為，令，得或，因為點Q在y軸的負半軸上，所以，易得拋物線的準線為，設(shè)，則，整理得的方程為．【小問2詳解】存在．依題意可知，設(shè)直線n的方程為，，，聯(lián)立，整理得，，故，，于是．因為A，M，B三點共線，所以，又因為，若，即，解得，滿足，故存在直線n，其方程為．19.已知，函數(shù)，．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：函數(shù)存在兩個零點；（3）當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）先求，再分類討論大于和小于時的正負即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）分和討論的單調(diào)性以及值域，再由得到的單調(diào)性，當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點存在定理分析；（3）先根據(jù)（2）中得到的的單調(diào)性畫出其大致圖象，再由（1）中的結(jié)論分類討論，求出值域，最后由恒成立，確定的取值范圍.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域為，又，當(dāng)時，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表所示：單調(diào)遞增單調(diào)遞減故當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間