階段測試卷（四）數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時間120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求解不等式可得集合，根據對數函數的定義可得集合B，進而求解.【詳解】因為，所以，則，因為，所以，則，所以，故選：B2.已知集合，，若，則實數取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由指數函數的性質求出集合，再由交集的結果求解即可；【詳解】由，所以，因為，所以，即，故選：D.3.已知集合滿足，則不同的的個數為（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】列舉出滿足要求集合，得到答案.【詳解】由可得，，故不同的的個數為.故選：C4.已知命題，，命題，，則（）A.p和q都是真命題 B.和q都是真命題C.p和都是真命題 D.和都是真命題【答案】A【解析】【分析】分別判斷命題、的真假，即可得答案.【詳解】解：因為命題，，所以為真命題；命題當時，，故為真命題.故選：A.5.已知命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，求解即可．【詳解】，成立的否定為：，成立．命題，，則是，.故選：C.6.已知三個不等式：①；②；③，以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，則可以組成的真命題的個數有（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】D【解析】【分析】根據不等式的性質和指數函數的性質判斷即可.【詳解】若選擇①②為條件：則，又，則，故，則，故若①②則③，為真命題；若選擇①③為條件：，則，又，即，所以，即，故若①③則②，為真命題；若選擇②③為條件：，又，所以，則，故若②③則①，為真命題．故選：D.7.設b＞a＞0，c∈R，則下列不等式中不一定成立的是（）A. B. C. D.ac2＜bc2【答案】D【解析】【分析】根據不等式的開方和取倒的性質可判斷AB，作差可判斷C，當時可判斷D.【詳解】由b＞a＞0，可得，即，A正確；由b＞a＞0，可得，所以，B正確；由，所以，C正確；當時，ac2=bc2，所以D不正確.故選：D.【點睛】本題主要考查了不等式的性質，屬于基礎題.8.已知，且，則下列關系正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式得到、，進而求的范圍，注意等號成立條件.【詳解】由，即，又，所以，可得，當且僅當時等號成立，A對，B錯；由，即，所以，當且僅當時等號成立，C、D錯.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.當兩個集合有公共元素，且互不為對方的子集時，我們稱這兩個集合“相交”．對于集合，，若集合與“相交”，則等于（）A.4 B.2 C.1 D.0【答案】AC【解析】【分析】根據兩個集合“相交”的定義，利用元素與集合的關系求解即可.【詳解】由題意，集合與“相交”，當時，由，解得，此時方程的解為，，則，滿足集合與“相交”；當時，由，解得，此時方程的解為，，則，滿足集合與“相交”；綜上所述，或；故選：AC.10.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.存在，使得是真命題；C.若命題“，”為假命題，則實數n的取值范圍是D.已知集合，則滿足條件的集合B的個數為15【答案】AC【解析】【分析】利用含有一個量詞的命題的否定判定選項A正確；利用判別式判定選項B錯誤；利用等價命題及判別式判定選項C正確；現將條件轉化為，進而判定選項D錯誤.【詳解】對于A：命題“，”的否定是“，”，即選項A正確；對于B：因為，即方程無實數解，也無有理數解，即存在，使得是假命題，即選項B錯誤；對于C：若命題“，”為假命題，則若命題“，”為真命題，即無實數解，則，解得，即選項C正確；對于D：因為，所以，又因為，所以滿足條件的集合有無數個，即選項D錯誤.故選：AC.11.下列有關最值的結論中，正確的是（）A.已知，則函數的最大值為0B.已知，，則的最小值為8C.已知，，則的最大值為4D.已知，為實數，則的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式驗證各選項的最值即可.【詳解】對于A，，則，，當且僅當，即時取等號，A錯誤；對于B，由，，得，且，，，當且僅當，即時取等號，B正確；對于C，，由，得，解得，當且僅當時取等號，C正確；對于D，顯然要取到最大值，必有，此時，當且僅當，即時取等號，D正確.故選：BCD【點睛】方法點睛，本題各個選項均是求代數式最值，所以考慮利用基本不等式求最值.基本不等式中最核心的點在于構造出定值，對代數式進行合理整理化簡求得定值是本題的關鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若命題“，”是真命題，則實數a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由基本不等式求得的最小值，即可求解.【詳解】因為，所以，當且僅當，即時等號成立．又命題“，”是真命題，所以，即實數a的取值范圍為．故答案為：13.已知集合，，若，，則________.【答案】19【解析】【分析】由題意可得，所以5和6是方程的兩個根，代入解方程可求出，即可求出的值.【詳解】因為，，，，所以，所以5和6是方程的兩個根，所以，解得，，所以.故答案為：19.14.已知，若是的充分條件，則實數m的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】通過構造函數，利用的單調性解不等式，再由題意將是的充分條件轉化為包含關系，進而求得參數范圍.【詳解】設，則在單調遞增，又，所以，即，故.則.由題意是的充分條件，則，所以有，故實數m的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集為，集合，集合.（1）若，求，；（2）若，求實數的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式化簡集合，再利用并集、補集、交集的定義求解.（2）利用并集的結果，結合集合的包含關系列式求解即得.【小問1詳解】解不等式，得，則，或，當時，，所以，.【小問2詳解】由，得，而，當時，，解得，此時滿足，因此；當時，，解得，所以實數的取值范圍是.16.已知函數，設在上單調遞增，在上單調遞減；.（1）若成立，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據二次函數的性質得到，解得即可；（2）依題意可得真包含于，即可得到不等式組，解得即可.【小問1詳解】因為二次函數的對稱軸為，若成立，即在上單調遞增，在上單調遞減，所以，解得，即的取值范圍為；【小問2詳解】因為，，又是的充分不必要條件，所以真包含于，所以(等號不同時成立)，解得，經檢驗，當或時，，所以的取值范圍為．17.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋屋頂和外墻需要建造隔熱層，某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元.該建筑物每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：）滿足關系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為萬元，設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.（1）求的值及表達式；（2）隔熱層修建多厚時，總費用達到最小，并求最小值.【答案】（1），（2）隔熱層修建厘米時，總費用達到最小，最小值為68萬元【解析】【分析】（1）將建造費用和能源消耗費用相加可得出的解析式；（2）利用基本不等式得出的最小值及對應的x的值.【小問1詳解】依題意，當時，，即，解得，.【小問2詳解】.當且僅當，即時“”成立.答：隔熱層修建厘米時，總費用達到最小，最小值為68萬元.18.某企業計劃將某項新技術應用到某種電子儀器生產中去，為了研究市場反應，該企業計劃用一年時間進行試產、試銷.通過市場分析發現，生產此款電子儀器全年需投入固定成本280萬元，每生產（千個）電子儀器，需另投入成本萬元，且，假設每千個電子儀器售價定為800萬元，且全年內生產的電子儀器當年能全部銷售完.（1）求出全年的利潤（萬元）關于年產量x（千個）函數關系式（利潤=銷售額-成本）；（2）當全年產量為多少千個時，該企業所獲利潤最大?最大利潤是多少萬元?【答案】（1）（2）全年產量為100千個時，該企業所獲利潤最大，最大利潤是8970萬元【解析】【分析】（1）讀懂題意，根據已知條件求解.（2）分類討論，利用二次函數、基本不等式進行求解.【小問1詳解】當時，，當時，，所以【小問2詳解】若，則，當時，；若，則，當且僅當，即時，等號成立，此時．因為，所以當全年產量為100千個時，該企業所獲利潤最大，最大利潤是8970萬元．19.問題：正數，滿足，求的最小值，其中一種解法是：，當且僅當，且時，即且時取等號，學習上述解法并解決下列問題；（1）若正實數，滿足，求的最小值；（2）若正實數，，，滿足，且，試比較和的大小，并說明理由；（3）利用（2）的結論，求代數式的最小值，并求出使得取得最小值時的值.【答案】（1）9（2），理由見解析（3）當時，取得最小值【解析】【分析】（1）由題可知，進而利用基本不等式中1的妙用求解即可；（2）由，結合基本不等式求解判斷即可；（3）令，則