數(shù)學(xué)試題分值：150分時間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】首先求出進而得出，再根據(jù)虛部的概念即可得出答案.【詳解】由，得，得，所以，故的虛部為.故選：B2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式得到集合，，然后求交集即可.【詳解】，.故選：A.3.已知是定義域為的奇函數(shù)，且，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)和周期性可求得的值.【詳解】因為是定義域為的奇函數(shù)，且，則，故，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，所以，，，因此，.故選：D.4.已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為是上一點，且線段的中點在軸上，（為坐標(biāo)原點），則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得，結(jié)合橢圓的定義可得，求出得解.【詳解】由在軸上，得，而是線段的中點，是線段的中點，則，，，解得，由離心率為，得半焦距，，由，得，所以.故選：A5.展開式中的常數(shù)項為（）A.60 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分配律，結(jié)合二項式展開式的通項特征即可求解.【詳解】二項式的展開式的通項公式為，令，求得，令，求得，由于，故其展開式中的常數(shù)項為故選：C6.已知，，，則、、的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出、的大小，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，即可得出合適的選項.【詳解】令，則對任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，即，故，所以，，即，又因，即，因此，.故選：A.7.已知正三棱錐和正四面體，表面積之比，則體積之比是（）（其中，分別表示正三棱錐的表面積、體積，，分別表示正四面體的表面積，體積）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖設(shè)正三棱錐和正四面體底面邊長為，高分別為，由題可得，然后由可得，據(jù)此可得答案.【詳解】如圖設(shè)正三棱錐和正四面體底面邊長為，高分別為，如圖過O做平面ABC垂線，垂足D，則在線段OD上，則.注意到D為三角形ABC外心，則為三角形ABC外接圓半徑，則，則，則，再取AB中點為E，連接，則則，，因，則.則.故選：C8.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)零點的定義可得方程和共有5個解；結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)，作函數(shù)的圖象，觀察圖象求的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)恰有5個零點，所以方程有個根，所以有個根，所以方程和共有5個根；當(dāng)時，，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；因為，所以，，當(dāng)且時，，時，，當(dāng)時，，，故函數(shù)在上的圖象為對稱軸為，頂點為的拋物線的一段，根據(jù)以上信息，作函數(shù)的圖象如下：觀察圖象可得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2個交點，所以方程有兩個根，所以方程有3個異于方程的根，觀察圖象可得，所以的取值范圍為..故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為，已知，.則（）A. B.C.時，的最小值為 D.最小時，【答案】BC【解析】【分析】由等差數(shù)列求和公式與等差數(shù)列項的性質(zhì)，易判斷，即可判斷A，B兩項，計算化簡，結(jié)合，知使時，的最小值為11；分析可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故得最小時，有，排除D.【詳解】對于A，由，則，又，則，故A錯誤；對于B，由A已得，則，故B正確；對于C，由上分析，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，又，所以時，的最小值為，故C正確；對于D，當(dāng)最小時，，故D錯誤.故選：BC.10.在信道內(nèi)傳輸，，信號，信號的傳輸相互獨立，發(fā)送某一信號時，收到的信號字母不變的概率為，收到其他兩種字母的信號的概率均為．輸入五個相同的信號，，的概率均為．記事件分別表示“輸入”“輸入”“輸入”，事件表示“輸出”，事件表示“輸出”，事件表示“輸出”，則（）A.若輸入信號，則輸出的信號只有三個的概率為B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】由題意，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法，結(jié)合條件概率的定義，可得答案.【詳解】對于A，當(dāng)輸入時，收到的概率為，收到，的概率分別為，故收到信號字母變的概率為．又信號的傳輸相互獨立，從而當(dāng)輸入時，輸出的信號只有三個的概率為，故A錯誤．對于B，，故B錯誤．對于C，，故C正確．對于D，，，所以，故D正確．故選：CD．11.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線與交于兩點，過點與軸平行的直線與交于點，點為坐標(biāo)原點，點在上且，點為的中點，則（）A.的最小值為9 B.C.軸 D.以為直徑的圓過點【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合拋物線的定義、基本不等式、三點共線、垂直、圓等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】對于A，由題意得，設(shè)，，不妨假設(shè)，直線的方程為，與聯(lián)立、消去并整理，得，所以，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確，對于B，由點在直線上且軸，得，則，因為，所以，又，所以三點共線，則，故B錯誤，對于C，設(shè)，因為，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，也成立，所以，因為點為的中點，所以，所以軸，故C正確，對于D，因為，所以，所以，所以以為直徑的圓過點，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，，則_________.【答案】【解析】【分析】求出向量、的坐標(biāo)，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求出實數(shù)的值.【詳解】因為向量，，則，，因為，所以，解得.故答案為：.13.在中，，，的面積為，則______．【答案】【解析】【分析】由三角形面積公式及余弦定理即可求解.【詳解】由題意知，的面積為，解得．根據(jù)余弦定理可得，，即，則．故答案為：14.已知圓：，直線交圓于、兩點，點，則三角形面積的最大值為______.【答案】【解析】【分析】求出圓心到直線的距離為，和到直線的距離為，利用垂徑定理得到，表達出，換元后得到面積的最大值.【詳解】的圓心，半徑為3，易知，則到直線的距離為，解得，到直線的距離為，，故，令，由于，故，則，當(dāng)時，取得最大值，最大值為.故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）求的圖象在點處的切線方程；（2）若，求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【小問1詳解】因為，則，所以，，所以的圖象在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】因為，所以，由可得，由可得，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，因為，，，故.16.如圖，在五棱錐中，底面，，，，，點F，G分別為棱PA，PB的中點.（1）證明：平面平面PAB；（2）求平面PAB與平面PCD所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由題可得四點共面，然后通過證明平面可完成證明；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，可得平面PAB與平面PCD的法向量，據(jù)此可得答案.【小問1詳解】因，，，則，，又，平面，則，又由題可得，則，則四點共面，則要證平面平面PAB，即證平面平面PAB，注意到底面，平面，則，又，平面PAE，，則平面PAE，又平面PAE，則，又，則，又由底面，平面，可得，則三角形PEA為等腰直角三角形，又F為PA中點，則，又平面，，則平面，又平面PAB，則平面平面PAB；小問2詳解】又由底面，平面，可得則如圖建立以E為原點的空間直角坐標(biāo)系，則，，.設(shè)平面PAB法向量為，則，則可??；設(shè)平面PCD法向量為，則，則可取，則平面PAB與平面PCD所成角的余弦值為.17.水平相當(dāng)?shù)募?、乙、丙三人進行乒乓球擂臺賽，每輪比賽都采用3局2勝制（即先贏2局者勝），首輪由甲乙兩人開始，丙輪空；第二輪由首輪的勝者與丙之間進行，首輪的負(fù)者輪空，依照這樣的規(guī)則無限地繼續(xù)下去.（1）求甲在第三輪獲勝的條件下，第二輪也獲勝的概率；（2）求第輪比賽甲輪空的概率；（3）按照以上規(guī)則，求前六輪比賽中甲獲勝局?jǐn)?shù)的期望.【答案】（1）（2）（3）局【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率公式求解；（2）設(shè)事件“第輪甲輪空”，由全概率公式可得的遞推公式，利用構(gòu)造法得的通項公式；（3）設(shè)一輪比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)為，則，前六輪比賽中甲參與的輪次數(shù)為，則，分別求出和的期望，即可求解.【小問1詳解】甲第三輪獲勝的基本事件有：{第一、二、三輪甲全勝}，{第一輪甲輸，第三輪甲勝}，設(shè)“甲在第i輪獲勝”，則；【小問2詳解】設(shè)事件“第輪甲輪空”，則，，，；【小問3詳解】設(shè)一輪比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)為，則，，，，，前六輪比賽中甲參與的輪次數(shù)為，則，，，局勝的局?jǐn)?shù)為:（局）.18.已知O為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線的漸近線交于A，B兩點，與橢圓交于E，F(xiàn)兩點.當(dāng)時，.（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線l與C相切，證明：的面積為定值.【答案】（1）（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）設(shè)，由題得，直線與雙曲線的漸近線聯(lián)立方程組，求得，直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達定理求得，根據(jù)方程解出，得雙曲線的方程.（2）根據(jù)（1）中解得的兩點坐標(biāo)，表示出的面積，由直線與相切，聯(lián)立方程組消元后判別式為0，化簡后得定值.【小問1詳解】設(shè)，因為，所以，由，得，同理可得，所以，由，得，，所以，即，由，解得，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】雙曲線的漸近線方程為，由（1）得，，，所以，，，由，得，因為直線與雙曲線相切，所以，即，所以.19.對于給定的正整數(shù)，若對任意的正整數(shù)，數(shù)列均滿足，且，則稱數(shù)列是“數(shù)列”．（1）證明：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”．（2）已知數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“（3）數(shù)列”．①證明：數(shù)列是等比數(shù)列．②設(shè)數(shù)列的前項和為，若，，問：是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出所有的；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②存在，，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合“數(shù)列”的定義即可證明；（2）①根據(jù)題意，結(jié)合“數(shù)列”的定義，再由等比數(shù)列的定義即可證明；②假設(shè)存在，即可得到，然后分為奇數(shù)與為偶數(shù)分別討論，代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因為是等比數(shù)列，所以，所以，因此各項均為正數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”．【小問2詳解】①數(shù)列既是“（2）數(shù)列”，又是“（3）數(shù)列”，因此當(dāng)時，（ⅰ），當(dāng)時，（ⅱ），由（ⅰ）知，當(dāng)時，（ⅲ），（ⅳ），將（ⅲ）（ⅳ）代入（ⅱ），得，其中，所以是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，在（?。┲校。瑒t，所以，在（?。┲?，取，則，所以，所以數(shù)列