第1頁/共1頁2024北京初二（下）期末數學匯編四邊形章節綜合（京改版）（解答題）2一、解答題1．（2024北京房山初二下期末）如圖，在正方形中，點E在邊上（與點B，C不重合），連接過點E作的垂線，交于點M，延長到點F，使，連接．(1)依題意補全圖形；(2)用等式表示線段與的數量關系，并證明．2．（2024北京東城初二下期末）在平面直角坐標系中，對于線段和點Q，給出如下定義：若在直線上存在點P，使得四邊形為平行四邊形，則稱點Q為線段的“相隨點”．(1)已知，點，．①在點，，，中，線段的“相隨點”是；②若點Q為線段的“相隨點”，連接，，直接寫出的最小值及此時點Q的坐標；(2)已知點，點，正方形邊長為2，且以點為中心，各邊與坐標軸垂直或平行，若對于正方形上的任意一點，都存在線段上的兩點M，N，使得該點為線段的“相隨點”，請直接寫出t的取值范圍．3．（2024北京東城初二下期末）如圖，正方形中，點在延長線上，點是的中點，連接，在射線上方作，且．連接．(1)補全圖形；(2)用等式表示與的數量關系并證明；(3)連接，若正方形邊長為5，直接寫出線段的長．4．（2024北京東城初二下期末）已知：如圖，在中，．求作：以為對角線的矩形．作法：①以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點M，N；分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內部相交于點P，作射線與交于點D；②以點A為圓心，的長為半徑畫弧；再以點C為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧在的右側交于點E；③連接．四邊形為所求的矩形．(1)根據以上作法，使用直尺和圓規補全圖形(保留作圖痕跡)；(2)完成以下證明．證明：∵，∴四邊形為平行四邊形()．(填推理的依據)由作圖可知，平分，又∵，∴()．(填推理的依據)∴．∴平行四邊形是矩形()．(填推理的依據)5．（2024北京房山初二下期末）如圖，菱形的對角線交于點O，，，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求矩形的面積．6．（2024北京房山初二下期末）如圖，B，D是對角線EF上兩點，．求證：四邊形是平行四邊形．7．（2024北京豐臺初二下期末）如圖，在中，分別過點B，D作的垂線，垂足為E，F．求證：．8．（2024北京海淀初二下期末）如圖1，正方形的邊長為，對角線交于點O，點P從點A出發，沿線段運動，點P到達點B時停止運動．若點P運動的路程為x，的面積為y，探究y與x的函數關系．(1)x與y的兩組對應值如下表，則______________；x0…myn…n(2)當點P在線段上運動時，y關于x的函數解析式為．當點P在線段上運動時，y關于x的函數解析式為______________，此時，自變量的取值范圍是_______________；(3)①在圖2中畫出函數圖象；②若直線與此函數圖象只有一個公共點，則的取值范圍是_________________．9．（2024北京豐臺初二下期末）如圖，菱形的對角線交于點O，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長．10．（2024北京通州初二下期末）下面是小明設計的“在一個三角形中作內接菱形”的尺規作圖過程．已知：；求作：菱形（點E在上，點D在上，點F在上）；作法：①作的角平分線，交于點D；②作線段的垂直平分線，交于點E，交于點F；③連接、．所以四邊形為所求的菱形．根據小明設計的尺規作圖過程，(1)使用直尺和圓規，補全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明：證明：平分，．是線段的垂直平分線，，，，，．（_____________）（填推理的依據）四邊形為平行四邊形．（______________）（填推理的依據），四邊形為菱形．（_____________）（填推理的依據）11．（2024北京二中初二下期末）如圖，E、F是平行四邊形的對角線上的點，若，求證：．12．（2024北京東城初二下期末）在平面直角坐標系中，對于點和線段，如果點，，，按逆時針方向排列構成菱形，則稱線段是點的“菱線段”，點是點的“菱點”．例如，圖1中線段是點的“菱線段”．

(1)如圖，已知點的坐標是0,2．點，，，，其中點的“菱點”有__________；若線段是點的“菱線段”，且菱形的面積是2，求點的坐標；(2)記，若線段與線段都是點的“菱線段”，且線段與線段都經過點2,0，直接寫出的取值范圍．13．（2024北京朝陽初二下期末）如圖，在矩形中，相交于點O，E為的中點，連接并延長至點F，使，連接．求證：四邊形是菱形．14．（2024北京海淀初二下期末）如圖1，和是的對角線，．點為射線上的一點，連接．(1)當點在線段的延長線上，且時，①依題意補全圖1；②求證：；(2)如圖2，當點在線段上，且時，用等式表示線段，和的數量關系，并證明．15．（2024北京海淀初二下期末）如圖，在中，，點D，E分別是的中點．連接DE并延長至點F，使得.連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)連接．若，，求的長．16．（2024北京海淀初二下期末）已知：如圖1，．求作：．作法：①作的平分線；②以點為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點，作射線；③以點為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點，連接；∴四邊形為所求．(1)使用直尺和圓規，依作法在圖2中補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面證明．∵，∴________，∵是的平分線，∴，∴________，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形（___________）（填推理的依據）．17．（2024北京海淀初二下期末）如圖，在中，點為對角線上的兩個點，且，求證：．18．（2024北京燕山初二下期末）定義：對于給定的一次函數.把形如的函數稱為一次函數的衍生函數.(1)已知函數，若點在這個一次函數的衍生函數圖象上，則,(2)已知矩形的頂點坐標分別為，當函數的衍生函數的圖象與矩形有1個交點時.當函數)的衍生函數的圖象與矩形有兩個交點時，直接寫出k的取值范圍.(3)已知點，以為一條對角線作正方形，當正方形與一次函數的衍生函數圖象有兩個交點時，求t的取值范圍.19．（2024北京朝陽初二下期末）數學課上老師提出一個命題：如果四邊形和都是平行四邊形，則四邊形也是平行四邊形．下面是某同學根據自己畫出的圖形給出的證明過程．證明：因為是平行四邊形，所以．又因為也是平行四邊形，所以．所以．即．所以四邊形是平行四邊形．討論后大家發現這個證明過程存在問題(1)請說明該同學證明中出現的問題；(2)給出正確的證明．20．（2024北京昌平初二下期末）如圖，在平行四邊形中，DE平分交AB延長線于點E，過點E作，交的延長線于點F．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求菱形的面積．21．（2024北京昌平初二下期末）如圖，在平面直角坐標系中，正方形網格的每個小正方形邊長都是1個單位長度，小正方形的頂點叫做格點，點A，B都是格點．請按下列要求在的網格中完成畫圖，并回答問題．(1)在圖1中，點P是線段AB中點，請作出點C關于點P的對稱點D；(2)以點A，B為頂點的矩形中，存在頂點在函數y=2x的圖象上：①請在圖2中作出一個符合要求的矩形；②所有滿足要求的矩形對角線長分別為________．22．（2024北京燕山初二下期末）一次函數的圖象過點，與x軸交于點A，與y軸交于點B．(1)求k的值并在坐標系中畫出該一次函數的圖象；(2)已知點，若以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標．23．（2024北京昌平初二下期末）如圖，平行四邊形中，點E，F分別在的延長線上，且，連接．求證：．24．（2024北京昌平初二下期末）數學課上，發現結論“三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半”后，張明同學又提出一個新的問題：過三角形一邊中點，且平行于另一邊的直線，是否會過第三邊的中點呢？為研究此問題，同學們進行了作圖，并將問題進行如下轉述．已知：在中，點D是中點，過點D作，交于點E．求證：．以下是兩位同學給出的輔助線做法，請你選擇其中一種做法，補全圖形，完成證明．張明同學：作輔助線：延長到點F，使得，連接．李宏同學：作輔助線：過點E作，交于點F．25．（2024北京昌平初二下期末）在平面直角坐標系中，對于兩個點P，Q和圖形W，給出如下定義：若射線與圖形W的一個交點為M，射線與圖形W的一個交點為N，且滿足四邊形為平行四邊形，則稱點Q是點P關于圖形W的“平心點”．如圖1中，點Q是點P關于圖中線段的“平心點”．已知點：．(1)點，F中，是點C關于直線“平心點”的有________；(2)若點C關于線段的“平心點”J的橫坐標為a時，求a的取值范圍；(3)已知點，點P是線段上的動點（點P不與端點C，K重合），若直線l：上存在點P關于矩形的“平心點”，請直接寫出k的取值范圍．26．（2024北京昌平初二下期末）如圖，在正方形中，點E和F分別在和上，且關于對稱，連接，，過點F作，點G在的右側，且，連接交于H，連接．(1)請依題意補全圖形，求證：；(2)猜想的數量關系并證明．27．（2024北京十一中學初二下期末）如圖，BD平分，點A是射線BM上一點，過點A作交于點D，過A作，過點D作．(1)求證：四邊形是矩形；(2)在上取點C使得，連接、CD．求證：．28．（2024北京東城初二下期末）如圖，平行四邊形的對角線，BD相交于點O，E、F分別是、的中點．求證：．

29．（2024北京門頭溝初二下期末）如圖，在正方形中，E是邊上的一點（不與A，D重合），連接，點B關于直線的對稱點是點F，連接，，直線與直線交于點，連接與直線交于點Q．

(1)依題意補全圖形；(2)求的度數；(3)用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明．30．（2024北京大興初二下期末）如圖，在中，，垂足分別為E，F．求證：．

參考答案1．(1)見解析(2)，證明見解析【分析】本題主要考查了垂直的定義、正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，掌握正方形的性質成為解題的關鍵．（1）根據已知補全圖形即可；（2）如圖：過F作交延長線于N，即；再證明可得然后再說明，最后利用勾股定理即可證明結論．【詳解】（1）解：如圖：即為所求．（2）解：，證明如下：如圖：過F作交延長線于N，即，∴,∵正方形，∴，∴,，∴，∵,∴，∴∴∴,即,∴,∵，∴,即，則,∴．2．(1)①，；②；(2)或【分析】（1）①首先求出，然后根據平行四邊形的性質得到，，然后設，然后分別驗證求解即可；②首先判斷出點Q在直線上運動，連接，，作點O關于直線的對稱點，連接，，得到，當點，Q，B三點共線時，有最小值，即的長度，然后求出，最后利用勾股定理求解即可；（2）首先得出正方形左上角的頂點坐標為，右下角的頂點坐標為，設，然后分種情況討論，分別根據平行四邊形的性質求解即可．【詳解】（1）①∵點，．∴∵四邊形為平行四邊形∴，∵點P在直線上∴設∴若，且∴，∴∴符合題意，∴是線段的“相隨點”；∴若，且∴，∴∴，此時點P，Q和點A，B共線，圍不成平行四邊形，不符合題意；∴若，且∴，∴∴符合題意，∴是線段的“相隨點”；∴若，且∴，∴，，矛盾，不符合題意；綜上所述，線段的“相隨點”是，；②∵點Q為線段的“相隨點”，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴設，∴∴∴點Q在直線上運動如圖所示，連接，，作點O關于直線的對稱點，連接，∴∴∴當點，Q，B三點共線時，有最小值，即的長度∵點O和點關于直線對稱∴∵∴∴的最小值為；（2）∵正方形邊長為2，且以點為中心，各邊與坐標軸垂直或平行，∴正方形左上角的頂點坐標，右上角的頂點坐標，左下角的頂點坐標，右下角的頂點坐標，∵點，點，設設所在直線表達式為，∴，解得∴所在直線表達式為，若與等長，如圖所示，當正方形左上角的頂點為線段的“相隨點”時，∴，∴，解得當點F在上時，不存在線段上的兩點M，N，使得該點為線段的“相隨點”，∴點在上∴解得∴；若與等長，如圖所示，當正方形右下角的頂點為線段的“相隨點”時，∴，解得當點D在上時，不存在線段上的兩點M，N，使得該點為線段的“相隨點”，∴點在上∴解得∴；綜上所述，t的取值范圍或．【點睛】此題考查了一次函數與四邊形綜合題，新定義問題，平行四邊形的性質，正方形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確分析題目，掌握以上知識點．3．(1)見解析(2)，證明見解析(3)【分析】（1）根據題意補全圖形即可；（2）作交的延長線于，則，證明，得出，從而得到，進而得出，作交的延長線于，連接，則四邊形為正方形，再證明得出，證明出為等腰直角三角形，最后由等腰直角三角形的性質結合勾股定理即可得出答案；（3）由（2）可得：四邊形為正方形，，，由正方形的性質結合題意得出，，計算出，即可得解．【詳解】（1）解：補全圖形如圖所示：；（2）解：，證明如下：如圖，作交的延長線于，則，，∵四邊形為正方形，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，即，∴，∵點是的中點，∴，∴，即，作交的延長線于，連接，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，即，∴為等腰直角三角形，∴，∴；（3）解：如圖所示：，由（2）可得：四邊形為正方形，，，∵正方形邊長為5，，∴，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．4．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了矩形的判定，角平分線的尺規作圖，等腰三角形三線合一：（1）根據題意作圖即可；（2）根據矩形的判定定理和等腰三角形三線合一定理證明即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：∵，∴四邊形為平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)．由作圖可知，平分，又∵，∴(三線合一定理)．∴．∴平行四邊形是矩形(有一個角是直角的平行四邊形是矩形)．5．(1)證明見解析(2)矩形的面積是【分析】本題考查了菱形的性質、矩形的判定與性質和判定、勾股定理、平行四邊形的判定與性質等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．（1）先證四邊形為平行四邊形，再由菱形的性質得，即可得出結論；（2）由勾股定理和菱形的面積公式解答即可．【詳解】（1）∵菱形的對角線相交于點O，∴，，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形∵，∴四邊形是矩形；（2）∵，∴是等邊三角形．∴，四邊形是菱形，∴，∴∴，∴，∴矩形的面積是6．證明見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，主要利用了對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，作出輔助線證出是解題的關鍵．連接交于點，根據平行四邊形的對角線互相平分可得，，然后求出，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明．【詳解】證明：連接，交于點O，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．7．見解析【分析】本題主要考查平行四邊形的性質以及全等三角形的判定和性質，掌握證三角形全等，是解題的關鍵．首先根據平行四邊形的性質得到，，求出，然后證明出，即可得到．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴．8．(1)4(2)，(3)①圖見解析②或【分析】本題考查動點的函數圖象，一次函數與幾何的綜合應用，正確的求出函數解析式，是解題的關鍵：（1）根據題意，得到到點運動到點時，與點在點時，的面積相同，進行求解即可；（2）求出時的函數值，根據點在上運動時的函數為一次函數，且過兩點，待定系數法求出函數解析式，進而表示出的取值范圍即可；（3）描點法畫出函數圖象，數形結合求出的取值范圍即可．【詳解】（1）解：當時，點與點重合，隨著的增大，先減小，后增大，當點與點重合時，與點在點時，的面積相同，∵正方形，∴，，∴，∴當點與點重合時，，∴；故答案為：；（2）∵，∴當時，，當點在上運動時：，設當點P在線段上運動時，y關于x的函數解析式為，由題意，圖象經過點，∴，解得：，∴；故答案為：，；（3）①∵，∴當時，，當時，，∵經過點，∴畫圖如下：②如圖，當直線經過點時，則：，解得，當直線經過點時，則：，解得，當直線經過點0,4時，則：，∵直線與此函數圖象只有一個公共點，∴或．9．(1)見詳解(2)3【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，再由菱形的性質得，則，然后由矩形的判定即可得出結論；（2）由菱形的性質得，結合矩形的性質得，再由勾股定理得，即可求解．本題考查了菱形的性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識；熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，平行四邊形是矩形．（2）解：如圖，連接四邊形是菱形，，∵四邊形是矩形∴∴在中，由勾股定理得：．10．(1)見解析(2)內錯角相等，兩直線平行；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；有一組兩邊相等的平行四邊形是菱形【分析】本題考查了菱形的判定，尺規作圖等知識，解題的關鍵是：（1）根據題意直接作圖即可；（2）由作圖可得平分，是線段的垂直平分線，利用線段垂直平分線的性質，等邊對等角以及角平分線的定義可得，利用平行線的判定可得，，進而可得四邊形為平行四邊形，再根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得到結論．【詳解】（1）解：如圖，四邊形即為所求，（2）證明：平分，．是線段的垂直平分線，，，，．（內錯角相等，兩直線平行）四邊形為平行四邊形．（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形），四邊形為菱形．（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）故答案為：內錯角相等，兩直線平行；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．11．證明見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的性質和判定，先根據平行四邊形的性質得，，可得，結合，進而證明，最后根據“全等三角形的對應邊相等”得出答案．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴．∵，∴，∴．12．(1)①，；②或(2)【分析】（1）①根據菱形的性質可知，利用勾股定理逐一計算即可得到答案；②根據題意，點由兩種情況，作軸，根據菱形的性質和面積可知，，利用勾股定理求得的長度，當點在點的上方，得到，當點在點的上方，得到，即可得到點坐標；（2）過點2,0作的平行線，以、為圓心，長為半徑作，，當，分別與直線有兩個交點，且線段、線段經過點2,0時，滿足條件．根據菱形的性質、等腰三角形性質和三角形內角和可證明，當線段與線段完全重疊時，點只有一條“菱線段”符合題意，此時取得最小值，可根據計算得到；當線段與線段的點與點重疊時，此時t取得最大值，根據點、在2,0可得到，即可得到答案．【詳解】（1）解：①的坐標是0,2四邊形是菱形點，，，，，，點，點的“菱點”故答案為：，．②根據題意，點有兩種情況，四邊形是菱形，如圖所示，作軸交軸于，則

菱形的面積是2，即當點在點的正上方，當點在點的正下方，點的坐標為或．（2）如圖1，過點2,0作的平行線，以、為圓心，長為半徑作，，當，分別與直線有兩個交點，且線段、線段經過點2,0時，滿足條件．

圖1中，四邊形、是菱形，，，，，，，，，當線段與線段完全重疊時，點只有一條“菱線段”，此時取得最小值，如圖2所示，四邊形是菱形，，又，此時，解得：當線段與線段的點與點重疊時，點有兩條“菱線段”，此時取得最大值，如圖3所示，此時點、在2,0當時，滿足條件．故答案為：．【點睛】本題考查了理解“菱點”和“菱線段”的定義，菱形的性質，勾股定理，平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，正確理解“菱線段”的定義和熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．13．見解析【分析】本題主要考查了菱形的判定，矩形的性質，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形先證明四邊形是平行四邊形，再由矩形對角線相等且互相平分得到，由此即可證明四邊形是菱形．【詳解】證明：∵E為的中點，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是菱形．14．(1)①見解析；②見解析(2)，證明見解析．【分析】本題考查了平行四邊形的性質、三角形全等的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、三角形外角的定義及性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）①根據題意補全圖形即可；②由等邊對等角得出，由平行四邊形的性質得出，推出，證明，即可得證；（2）延長至點，使得，連接，由全等三角形的性質可得，由三角形外角的定義及性質得出，從而推出，即可得證．【詳解】（1）解：①依題意補全圖形

②證明：∵，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴∴．∵，∴∵，∴．在和中，，∴∴．（2）解：線段，和的數量關系為．證明：延長至點，使得，連接．由（1）②可得∴．∵，∴．∵，∴．∴．．15．(1)證明見解析；(2)．【分析】本題考查了菱形與平行四邊形的判定與性質、勾股定理等知識點，熟記相關內容是解題關鍵.（1）根據．，先求證四邊形是平行四邊形；結合即可求證；（2）過點F作交的延長線于點G．根據勾股定理分別求出即可求解．【詳解】（1）證明：∵點E是的中點，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．

∵在中，，點D是的中點，∴．

∴四邊形是菱形．（2）解：過點F作交的延長線于點G．∴．∵四邊形是菱形，，∴．∴．∴．在中，，∴．

∴．

∵．∴．在中，，∴．16．(1)見解析(2)；；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【分析】本題考查尺規作圖——作角平分線及平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題關鍵．（1）根據題意，補全圖形即可；（2）根據角平分線的定義及平行四邊形的判定定理即可得答案．【詳解】（1）解：補全圖形如圖所示：（2）∵，∴，∵是的平分線，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．17．證明見解析．【分析】本題考查了平行線的性質、三角形全等的判定與性質，由平行線的性質得出，．證明得出，即可得證，熟練掌握平行線的性質以及三角形全等的判定與性質是解此題的關鍵．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，．

∴．∵，∴.

在與中，，∴．

∴．18．(1)2,3(2)1，(3)或或【分析】（1）根據衍生函數的定義求解即可；（2）根據題意求出的衍生函數，畫出圖形即可求出答案；根據題意畫出圖形，當點D在衍生函數上時k取最小值，當點A在衍生函數上時k取最大值，求解即可；（3）分情況討論：當E在y軸正半軸上，當E在y軸負半軸上，分別畫出圖形，結合圖形求解即可【詳解】（1）由題意得：函數的衍生函數為∵點在這個一次函數的衍生函數圖象上，∴，；（2）由題意得：函數的衍生函數為，當函數的衍生函數的圖象與矩形有1個交點時如圖所示，此時過點，解得：；②由題意得：函數的衍生函數為當點D在衍生函數上時k取最小值，，解得：當點A在衍生函數上時k取最大值，，解得：當函數)的衍生函數的圖象與矩形有兩個交點時，k的取值范圍是；（3）一次函數的衍生函數為∵正方形，當E在y軸正半軸上∴與x軸正半軸的夾角為∴直線的表達式為聯立，解得：∴∴∴∴∴；∵正方形，當E在y軸負半軸上∴與x軸正半軸的夾角為∴直線的表達式為聯立，解得：∴∴∴∴；如圖，當時，正方形與一次函數的衍生函數圖象有三個交點∴綜上：t的取值范圍是或或【點睛】本題考查新定義函數，利用點與分段函數的關系求函數值，與矩形、正方形交點個數確定范圍，掌握新定義函數，利用點與分段函數的關系求函數值，與矩形、正方形交點個數確定范圍分類討論構造方程求解是解題關鍵．19．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定：（1）題中并沒有指明三點共線，三點共線，則無法證明；（2）由平行四邊形對邊相等且平行得到，，進而得到，由此即可證明四邊形是平行四邊形．【詳解】（1）解：∵題中并沒有指明三點共線，三點共線，∴由并不能得到；（2）證明：因為是平行四邊形，所以．又因為也是平行四邊形，所以．所以．所以四邊形是平行四邊形．20．(1)見解析(2)【分析】本題考查菱形的判定和性質、平行四邊形的性質、解直角三角形，三角函數等知識．解題的關鍵是解直角三角形．（1）首先證明四邊形是平行四邊形，再證，然后由菱形的判定即可得出結論；（2）過作，利用含30度角的直角三角形性質及及勾股定理和菱形的面積公式解答即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴平行四邊形是菱形；（2）如圖，過作，∴，∵四邊形是平行四邊形，∵，，∴，∴，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴．∴四邊形的面積為．21．(1)見解析(2)①見解析；②5或【分析】題目主要考查利用網格作圖及矩形的性質，網格與勾股定理，理解題意，利用網格作圖是解題關鍵．（1）根據矩形的性質及網格即可作圖；（2）①先作出直線y=2x，然后利用矩形的性質即可作圖；②根據①中圖及網格，求出矩形的對角線長即可．【詳解】（1）解：如圖所示：點D即為所求；（2）①如圖所示：矩形或矩形即為所求；②由①得矩形對角線的長度為，矩形對角線的長度，∴滿足要求的矩形對角線長分別為5或，故答案為：5或．22．(1)，圖象見解析；(2)點D的坐標是或或．【分析】此題考查了一次函數的圖象和性質、平行四邊形的性質，數形結合和分類討論是解題的關鍵．（1）將代入可求出k的值，由一次函數解析式可得出答案．（2）分三種情況：①為對角線時，②為對角線時，③為對角線時；由平行四邊形的性質可得出點D的坐標．【詳解】（1）解：將代入，得：，函數表達式：，令，，∴與y軸交于點；畫出函數的圖象如下：（2）解：在中，令，則有，解得：，∴，分三種情況：①為對角線時，點D的坐標為；②為對角線時，點D的坐標為，③為對角線時，點D的坐標為．綜上所述，點D的坐標是或或．23．見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關鍵．先證明四邊形是平行四邊形，從而得到，從而即可得出結論．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵點E，F分別在邊上，，∴，即，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．24．見詳解【分析】本題主要考查了平時四邊形的判定以及性質，全等三角形的判定以及性質，平行線的性質．張明同學：延長到點F，使得，連接．先證明，利用全等三角形的性質可得出，，進一步證明四邊形是平時四邊形，由平行四邊形的性質可得出，等量代換可得出．李宏同學：過點E作，交于點F．先證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得出，進一步證明，再證明，由全等三角形的性質即可得出答案．【詳解】張明同學：證明：延長到點F，使得，連接．∵點D是中點，∴，在和中，∴，∴，，∴，又∵，∴四邊形是平時四邊形，∴，∴．李宏同學：證明：過點E作，交于點F．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵點D是中點，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．25．(1)D、F；(2)(3)【分析】題目主要考查新定義，平行四邊形的判定和性質，一次函數的性質，坐標與圖形，理解題意，結合圖象求解是解題關鍵．（1）根據題意描出相應的點，然后利用一次函數確定函數解析式，確定交點，再由平行四邊形的判定和性質即可求解；（2）根據題意結合圖象，得出點的運動軌跡為點，即可求解；（3）“平心點”為平行四邊形對角線的交點，如圖所示，將各點描出，然后連線，得四邊形為矩形，根據題意，平移，使得平移后的線段落在矩形上，O點平移后的對應點為N，P點平移后的對應點為點M，平移線段，平移后的線段可能落在矩形左下角或右上角，然后分情況結合圖象求解即可．【詳解】（1）解：根據題意作圖如下：，O0,0，，直線AB所在直線為，設直線所在直線為，將點代入得：，∴，交直線于點，設直線CD所在直線為，，解得，∴直線CD所在直線為，交直線于點，∴兩個交點之間的距離為，∵AB所在直線平行于x軸，∴四邊形為平行四邊形，符合題意；同理點E不符合題意；點F符合題意；故答案為：D、F；（2）根據題意結合圖象，連接，則中點即，連接，則中點即，∴；（3）根據題意得：“平心點”為平行四邊形對角線的交點，如圖所示，將各點描出，然后連線，得四邊形為矩形，根據題意，平移，使得平移后的線段落在矩形上，O點平移后的對應點為N，P點平移后的對應點為點M，平移線段，平移后的線段可能落在矩形左下角或右上角，當落在左下角時，如圖所示：點P接近點K時，點M接近點A，點P接近點C時，由（2）得點M接近AB中點，所在直線即為直線l：