全國數學1卷試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.已知\(i\)是虛數單位，若\(z=\frac{1+i}{1-i}\)，則\(\vertz\vert=\)（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(2\)3.函數\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)4.已知\(a=\log_20.2\)，\(b=2^{0.2}\)，\(c=0.2^{0.3}\)，則（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(a\ltc\ltb\)C.\(c\lta\ltb\)D.\(b\ltc\lta\)5.直線\(x+y+2=0\)分別與\(x\)軸，\(y\)軸交于\(A\)，\(B\)兩點，點\(P\)在圓\((x-2)^2+y^2=2\)上，則\(\triangleABP\)面積的取值范圍是（）A.\([2,6]\)B.\([4,8]\)C.\([\sqrt{2},3\sqrt{2}]\)D.\([2\sqrt{2},3\sqrt{2}]\)6.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,-2)\)，且\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，則\(m=\)（）A.-8B.-6C.6D.87.設\(F_1,F_2\)是橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點，過\(F_1\)的直線\(l\)交橢圓于\(A\)，\(B\)兩點，若\(\triangleABF_2\)的周長為\(16\)，橢圓的離心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，則橢圓\(C\)的方程為（）A.\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)B.\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)C.\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1\)D.\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}=1\)8.某圓柱的高為\(2\)，底面周長為\(16\pi\)，其三視圖如右圖。圓柱表面上的點\(M\)在正視圖上的對應點為\(A\)，圓柱表面上的點\(N\)在左視圖上的對應點為\(B\)，則在此圓柱側面上，從\(M\)到\(N\)的路徑中，最短路徑的長度為（）A.\(2\sqrt{17}\)B.\(2\sqrt{5}\)C.\(3\)D.\(2\)9.已知函數\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，則\(f(-1)=\)（）A.-1B.1C.3D.-310.若函數\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}ax^2+(a-1)x+1\)在區間\((1,4)\)內為減函數，在區間\((6,+\infty)\)內為增函數，則實數\(a\)的取值范圍是（）A.\([2,5]\)B.\([5,7]\)C.\([4,6]\)D.\([3,5]\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=e^x+e^{-x}\)2.關于等差數列\(\{a_n\}\)，下列說法正確的有（）A.若\(a_1\gt0\)，\(d\lt0\)，則數列\(\{a_n\}\)是遞減數列B.若\(a_1\lt0\)，\(S_n\)為其前\(n\)項和，且\(S_7=S_{17}\)，則\(S_{12}\)最大C.若\(a_3=4\)，\(a_7=8\)，則\(a_{10}=11\)D.若\(a_1=1\)，\(a_5=9\)，則\(S_5=25\)3.已知直線\(l:y=kx+b\)與圓\(C:x^2+y^2=1\)的位置關系可能是（）A.相離B.相切C.相交D.以上都有可能4.以下說法正確的是（）A.若\(a\gtb\gt0\)，則\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)B.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)C.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)D.若\(a\gtb\gt0\)，\(c\gt0\)，則\(\frac{b+c}{a+c}\gt\frac{b}{a}\)5.一個正方體的展開圖如圖所示，\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)為原正方體的頂點，則在原來的正方體中（）A.\(AB\parallelCD\)B.\(AB\)與\(CD\)相交C.\(AB\perpCD\)D.\(AB\)與\(CD\)所成的角為\(60^{\circ}\)6.已知函數\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0,0\lt\varphi\lt\pi)\)的圖象經過點\((\frac{\pi}{12},1)\)，且最小正周期為\(\pi\)，則（）A.\(\omega=2\)B.\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)C.\(f(x)\)的圖象關于直線\(x=\frac{\pi}{3}\)對稱D.\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{6}]\)上單調遞增7.設\(a\)，\(b\)，\(c\)為實數，且\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2\gtab\gtb^2\)B.\(ac^2\gtbc^2\)C.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)D.\(a-c\gtb-c\)8.已知雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的離心率為\(2\)，則（）A.雙曲線的漸近線方程為\(y=\pm\sqrt{3}x\)B.\(\frac{b^2}{a^2}=3\)C.雙曲線的漸近線與圓\((x-2)^2+y^2=1\)相切D.雙曲線的焦距是實軸長的\(2\)倍9.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則（）A.\(xy\)的最大值為\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為\(4\)C.\(x^2+y^2\)的最小值為\(\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)的最大值為\(\sqrt{2}\)10.已知函數\(f(x)\)滿足\(f(x+2)=f(x)\)，且當\(x\in[0,2]\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，則（）A.\(f(-1)=f(3)\)B.\(f(x)\)在\([2,4]\)上的解析式為\(f(x)=x^2-6x+8\)C.\(f(x)\)是偶函數D.\(f(x)\)在\([0,2]\)上有最小值\(-1\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）2.函數\(y=\sinx\)的圖象向左平移\(\frac{\pi}{2}\)個單位長度后得到\(y=\cosx\)的圖象。（）3.直線\(y=kx+1\)恒過定點\((0,1)\)。（）4.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)。（）5.等比數列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(q=2\)，則\(a_3=4\)。（）6.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(0\lte\lt1\)。（）7.函數\(y=x^3\)在\(R\)上是增函數。（）8.若直線\(l_1:y=k_1x+b_1\)與直線\(l_2:y=k_2x+b_2\)平行，則\(k_1=k_2\)且\(b_1\neqb_2\)。（）9.已知\(a\)，\(b\)為正實數，若\(a+b=1\)，則\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq4\)。（）10.函數\(y=\log_2(x^2-1)\)的定義域為\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求\(a_n\)的通項公式。-答案：設等差數列\(\{a_n\}\)的公差為\(d\)，則\(a_7-a_3=4d=13-5=8\)，解得\(d=2\)。又\(a_3=a_1+2d=5\)，即\(a_1+2×2=5\)，得\(a_1=1\)。所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。2.求函數\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的單調遞增區間。-答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{3}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)。解不等式得\(k\pi-\frac{5\pi}{12}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{12}\)，\(k\inZ\)。所以函數的單調遞增區間是\([k\pi-\frac{5\pi}{12},k\pi+\frac{\pi}{12}]\)，\(k\inZ\)。3.已知圓\(C\)的圓心為\((1,-2)\)，半徑為\(3\)，求圓\(C\)的標準方程。-答案：圓的標準方程為\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，其中\((a,b)\)為圓心坐標，\(r\)為半徑。已知圓心\((1,-2)\)，半徑\(r=3\)，所以圓\(C\)的標準方程是\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)。4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-3,4)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)。-答案：向量點積公式為\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1×(-3)+2×4=-3+8=5\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.在等比數列中，公比\(q\)對數列的單調性有怎樣的影響？-答案：當\(a_1\gt0\)，\(q\gt1\)或\(a_1\lt0\)，\(0\ltq\lt1\)時，數列單調遞增；當\(a_1\gt0\)，\(0\ltq\lt1\)或\(a_1\lt0\)，\(q\gt1\)時，數列單調遞減；當\(q=1\)時，數列為常數列；當\(q\lt0\)時，數列擺動，不具有單調性。2.討論直線與圓的位置關系的判斷方法及應用場景。