常熟高中數學競賽試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(4\pi\)D.\(6\pi\)2.若\(a\gtb\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2\gtb^2\)B.\(ac\gtbc\)C.\(a-c\gtb-c\)D.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)3.拋物線\(y=2x^2\)的焦點坐標是（）A.\((\frac{1}{2},0)\)B.\((0,\frac{1}{2})\)C.\((\frac{1}{8},0)\)D.\((0,\frac{1}{8})\)4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,-4)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)的值為（）A.-5B.5C.-11D.115.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5\)等于（）A.9B.10C.11D.126.若\(\log_2x=3\)，則\(x\)的值為（）A.6B.8C.16D.327.函數\(y=\sqrt{1-x}\)的定義域是（）A.\(x\leq1\)B.\(x\geq1\)C.\(x\lt1\)D.\(x\gt1\)8.直線\(2x+y-1=0\)的斜率為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)9.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)10.圓\(x^2+y^2-4x+6y=0\)的圓心坐標是（）A.\((2,-3)\)B.\((-2,3)\)C.\((2,3)\)D.\((-2,-3)\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.下列哪些是等比數列的性質（）A.\(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}(n\gt1)\)B.\(S_n\)為前\(n\)項和，則\(S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}\)成等比數列C.\(a_m=a_nq^{m-n}\)D.\(a_n+a_m=a_{p}+a_{q}(m+n=p+q)\)3.關于直線\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同時為\(0\)），下列說法正確的是（）A.當\(A=0\)時，直線平行于\(x\)軸B.當\(B=0\)時，直線平行于\(y\)軸C.直線的斜率為\(-\frac{A}{B}\)D.直線在\(y\)軸上的截距為\(-\frac{C}{B}\)（\(B\neq0\)）4.以下哪些是橢圓的標準方程形式（）A.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)B.\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)C.\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)D.\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)5.已知\(a,b\inR\)，則下列不等式恒成立的有（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a,b\geq0\)）C.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)）D.\(a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}\)6.下列三角函數值為正的是（）A.\(\sin120^{\circ}\)B.\(\cos225^{\circ}\)C.\(\tan300^{\circ}\)D.\(\sin(-\frac{\pi}{4})\)7.下列向量運算正確的是（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)B.\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)C.\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}\)D.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)8.對于函數\(y=f(x)\)，以下說法正確的是（）A.若\(f(a)=f(b)\)，則\(a=b\)B.函數圖象與\(y\)軸最多有一個交點C.定義域和值域一定是數集D.若\(f(x)\)在區間\((a,b)\)上單調遞增，則\(x_1\ltx_2\)時，\(f(x_1)\ltf(x_2)\)9.下列關于導數的說法正確的是（）A.函數\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處的導數\(f^\prime(x_0)\)表示函數在\(x=x_0\)處的切線斜率B.若\(f^\prime(x)\gt0\)在區間\((a,b)\)上恒成立，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調遞增C.導數為\(0\)的點一定是函數的極值點D.\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)10.已知圓的方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，則下列說法正確的是（）A.圓心坐標為\((a,b)\)B.半徑為\(r\)C.若點\(M(x_0,y_0)\)在圓上，則\((x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2\)D.若點\(M(x_0,y_0)\)在圓外，則\((x_0-a)^2+(y_0-b)^2\ltr^2\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函數\(y=x^3\)是奇函數。（）3.若\(a\gtb\)且\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)。（）4.直線\(y=x\)與圓\(x^2+y^2=1\)相切。（）5.等差數列的通項公式一定是關于\(n\)的一次函數。（）6.\(\log_aM+\log_aN=\log_a(MN)\)（\(a\gt0,a\neq1,M\gt0,N\gt0\)）。（）7.向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)與\(\overrightarrow{b}=(2,4)\)共線。（）8.函數\(y=\cos^2x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）9.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。（）10.若\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導，則\(f(x)\)在\(x=x_0\)處連續。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=3x^2-2x+1\)的最小值。答案：對于二次函數\(y=ax^2+bx+c\)（\(a=3\gt0\)），對稱軸為\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\times3}=\frac{1}{3}\)，把\(x=\frac{1}{3}\)代入函數得\(y=3\times(\frac{1}{3})^2-2\times\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}\)，所以最小值是\(\frac{2}{3}\)。2.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，求\(a_5\)和\(S_5\)。答案：\(a_n=a_1+(n-1)d\)，則\(a_5=1+(5-1)\times2=9\)；\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，\(S_5=\frac{5\times(1+9)}{2}=25\)。3.求直線\(2x-y+3=0\)與直線\(x+y-6=0\)的交點坐標。答案：聯立方程組\(\begin{cases}2x-y+3=0\\x+y-6=0\end{cases}\)，兩式相加消去\(y\)得\(3x-3=0\)，解得\(x=1\)，把\(x=1\)代入\(x+y-6=0\)得\(y=5\)，交點坐標為\((1,5)\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\alpha\)是第一象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。答案：因為\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\alpha\)是第一象限角，所以\(\cos\alpha=\sqrt{1-(\frac{4}{5})^2}=\frac{3}{5}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{4}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的單調性。答案：在\((0,+\infty)\)上任取\(x_1\ltx_2\)，則\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\)。因為\(x_1\ltx_2\)且\(x_1,x_2\in(0,+\infty)\)，所以\(x_2-x_1\gt0\)，\(x_1x_2\gt0\)，即\(f(x_1)-f(x_2)\gt0\)，\(f(x_1)\gtf(x_2)\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上單調遞減。2.已知直線\(l\)過點\((1,2)\)，討論直線\(l\)斜率的不同取值對直線位置的影響。答案：當斜率\(k=0\)時，直線\(l\)平行于\(x\)軸；當\(k\gt0\)時，直線\(l\)從左到右上升；當\(k\lt0\)時，直線\(l\)從左到右下降；當斜率不存在時，直線\(l\)平行于\(y\)軸。3.討論橢圓和雙曲線在標準方程、幾何性質上的異同點。答案：相同點：都有標準方程形式且都關于\(x\)軸、\(y\)軸對稱。不同點：標準方程中橢圓是“\(+\)”號，雙曲線是“\(-\)”號；橢圓\(a^2=b^2+c^2\)，雙曲線\(c^2=a^2+b^2\)；橢圓無漸近線，雙曲線有漸近線。4.如何利用導數求函數的極值？答案：先求函數\(f(x)\)的導數\(f^\prime(x)\)，令\(f^\prime(x)=0\)，求出其根\(x_0\)。再判斷\(x_0\)兩側\(f^\prime(x)\)的符號，若\(x\ltx_0\)時\(f^\prime(x)\gt0