大學(xué)數(shù)學(xué)試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=x^2$的導(dǎo)數(shù)是（）A.$2x$B.$x$C.$3x^2$D.$2$2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.$0$B.$1$C.不存在D.$\infty$3.若$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)是$x^2$，則$f(x)$為（）A.$2x$B.$x^3$C.$x$D.$2$4.向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,4)$，則$\vec{a}$與$\vec$（）A.垂直B.平行C.夾角為$60^{\circ}$D.夾角為$45^{\circ}$5.二元函數(shù)$z=x+y$在點(diǎn)$(1,2)$處對(duì)$x$的偏導(dǎo)數(shù)為（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$0$6.曲線$y=x^3$在點(diǎn)$(1,1)$處的切線方程是（）A.$y=3x-2$B.$y=2x-1$C.$y=x$D.$y=4x-3$7.不定積分$\intxdx=$（）A.$\frac{1}{2}x^2+C$B.$x^2+C$C.$\frac{1}{3}x^3+C$D.$2x+C$8.行列式$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}$的值為（）A.$-2$B.$2$C.$10$D.$-10$9.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式$a_n=n$，則其前$n$項(xiàng)和$S_n=$（）A.$\frac{n(n+1)}{2}$B.$n^2$C.$\frac{n(n-1)}{2}$D.$n(n+2)$10.函數(shù)$y=\lnx$的定義域是（）A.$(-\infty,+\infty)$B.$(0,+\infty)$C.$[0,+\infty)$D.$(-\infty,0)$多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\ln\frac{1-x}{1+x}$2.以下哪些是極限存在的條件（）A.左極限存在B.右極限存在C.左右極限相等D.函數(shù)在該點(diǎn)有定義3.下列積分運(yùn)算正確的有（）A.$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$B.$\int\cosxdx=\sinx+C$C.$\inte^xdx=e^x+C$D.$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$4.關(guān)于向量的運(yùn)算，正確的有（）A.$\vec{a}+\vec=\vec+\vec{a}$B.$(\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})$C.$\lambda(\vec{a}+\vec)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec$D.$\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{a}$5.二元函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$可微的充分條件有（）A.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)B.偏導(dǎo)數(shù)存在C.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)D.函數(shù)在該點(diǎn)有定義6.以下哪些是常見的曲線類型（）A.直線B.拋物線C.橢圓D.雙曲線7.下列哪些是無窮小量（）A.$\lim_{x\to0}x$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\sinx$D.$\lim_{x\to\infty}e^{-x}$8.行列式的性質(zhì)有（）A.交換兩行（列），行列式變號(hào)B.某一行（列）的公因子可以提到行列式外面C.若某一行（列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和D.把行列式某一行（列）的各元素乘以同一個(gè)數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上，行列式的值不變9.數(shù)列極限的性質(zhì)有（）A.唯一性B.有界性C.保號(hào)性D.四則運(yùn)算法則10.函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)的定義包含（）A.$f(x)$在點(diǎn)$x_0$有定義B.$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在C.$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$D.$f(x)$在點(diǎn)$x_0$可導(dǎo)判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=x^4$是偶函數(shù)。（）2.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，則$f(x)$在$x=a$處一定連續(xù)。（）3.不定積分$\intf^\prime(x)dx=f(x)$。（）4.向量$\vec{a}=(1,0)$與$\vec=(0,1)$垂直。（）5.二元函數(shù)$z=x^2+y^2$的駐點(diǎn)是$(0,0)$。（）6.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的。（）7.行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$。（）8.數(shù)列$\{n\}$是收斂數(shù)列。（）9.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積，則$f(x)$在$[a,b]$上一定連續(xù)。（）10.函數(shù)$y=\cosx$的周期是$2\pi$。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-3x^2+1$的極值。答案：先求導(dǎo)$y^\prime=3x^2-6x$，令$y^\prime=0$，得$x=0$或$x=2$。當(dāng)$x\lt0$時(shí)，$y^\prime\gt0$；$0\ltx\lt2$時(shí)，$y^\prime\lt0$；$x\gt2$時(shí)，$y^\prime\gt0$。所以極大值為$y(0)=1$，極小值為$y(2)=-3$。2.計(jì)算定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$。答案：根據(jù)定積分基本公式，$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$，所以$\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_{0}^{1}=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}$。3.求向量$\vec{a}=(2,3)$與$\vec=(-1,4)$的夾角余弦值。答案：先求$\vec{a}\cdot\vec=2\times(-1)+3\times4=10$，$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$|\vec|=\sqrt{(-1)^2+4^2}=\sqrt{17}$，夾角余弦值$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{10}{\sqrt{13\times17}}=\frac{10}{\sqrt{221}}$。4.求函數(shù)$z=\ln(x+y)$的偏導(dǎo)數(shù)。答案：對(duì)$x$求偏導(dǎo)，把$y$看成常數(shù)，$z_x=\frac{1}{x+y}$；對(duì)$y$求偏導(dǎo)，把$x$看成常數(shù)，$z_y=\frac{1}{x+y}$。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$的單調(diào)性與漸近線。答案：定義域?yàn)?x\neq1$。求導(dǎo)得$y^\prime=-\frac{1}{(x-1)^2}\lt0$，在$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$單調(diào)遞減。垂直漸近線為$x=1$，水平漸近線為$y=0$。2.討論極限$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$的求解方法及依據(jù)。答案：可利用等價(jià)無窮小，當(dāng)$x\to0$時(shí)，$\tanx\simx$，所以$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{x}=1$。依據(jù)是等價(jià)無窮小在極限運(yùn)算中的替換性質(zhì)，能簡化計(jì)算。3.討論多元函數(shù)與一元函數(shù)在導(dǎo)數(shù)和微分概念上的異同。答案：相同點(diǎn)是都反映函數(shù)變化率。不同點(diǎn)在于，一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)是對(duì)一個(gè)變量求導(dǎo)，微分形式簡單；多元函數(shù)有偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)多個(gè)變量分別求導(dǎo)，微分涉及多個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的組合，概念更復(fù)雜。4.討論數(shù)列極限與函數(shù)極限在定義和性質(zhì)上的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系是都描述自變量趨近某值時(shí)函數(shù)或數(shù)列的變化趨勢(shì)。區(qū)別在于數(shù)列自變量是正整數(shù)，函數(shù)自變量是實(shí)數(shù)；數(shù)列極限只有$n\to\infty$一種情況，函數(shù)極限有$x\tox_0$及$x\to\pm\infty$等多種情況。答案單項(xiàng)選擇題1.