武漢大學高數b2期末考試試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(z=\ln(x+y)\)的定義域是（）A.\(x+y\geq0\)B.\(x+y>0\)C.\(x+y\neq0\)D.\(x+y\leq0\)2.極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.曲線\(y=x^2\)在點\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.設\(f(x)\)的一個原函數為\(F(x)\)，則\(\intf(x)dx\)等于（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)5.已知\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(y\)D.\(2x\)6.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.27.級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的B.發散的C.條件收斂的D.絕對收斂的8.設\(A\)、\(B\)為兩事件，且\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(AB)=0.1\)，則\(P(A\cupB)\)等于（）A.0.6B.0.7C.0.8D.0.99.函數\(y=e^{-x}\)的導數是（）A.\(e^{-x}\)B.\(-e^{-x}\)C.\(e^{x}\)D.\(-e^{x}\)10.已知\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續，且\(\int_{a}^f(x)dx=0\)，則（）A.\(f(x)\equiv0\)B.至少存在一點\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f(\xi)=0\)C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有零點D.\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒大于0二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，在其定義域內連續的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=e^x\)2.以下哪些是求導公式（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)3.關于定積分性質，正確的有（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.若\(f(x)\geqg(x)\)在\([a,b]\)上成立，則\(\int_{a}^f(x)dx\geq\int_{a}^g(x)dx\)4.二元函數\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微的必要條件有（）A.\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處連續B.\(f_x(x_0,y_0)\)存在C.\(f_y(x_0,y_0)\)存在D.\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處偏導數連續5.下列級數中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)6.求不定積分\(\intf(x)dx\)的方法有（）A.直接積分法B.換元積分法C.分部積分法D.比較積分法7.對于函數\(y=f(x)\)，以下說法正確的有（）A.\(f^\prime(x)>0\)時，函數單調遞增B.\(f^\prime(x)<0\)時，函數單調遞減C.\(f^{\prime\prime}(x)>0\)時，函數圖像下凸D.\(f^{\prime\prime}(x)<0\)時，函數圖像上凸8.已知\(A\)、\(B\)為事件，\(P(A)>0\)，\(P(B)>0\)，則（）A.\(P(AB)=P(A)P(B|A)\)B.\(P(AB)=P(B)P(A|B)\)C.若\(A\)、\(B\)相互獨立，則\(P(AB)=P(A)P(B)\)D.若\(A\)、\(B\)互斥，則\(P(AB)=0\)9.下列哪些是常見的向量運算（）A.加法B.減法C.數乘D.點積10.函數\(f(x)\)在閉區間\([a,b]\)上滿足羅爾定理的條件有（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續B.\(f(x)\)在\((a,b)\)內可導C.\(f(a)=f(b)\)D.\(f(x)\)在\((a,b)\)內有極值三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x=1\)處連續。（）2.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續。（）3.\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0\)。（）4.二元函數\(z=f(x,y)\)的兩個偏導數\(f_x(x,y)\)，\(f_y(x,y)\)都存在，則\(z=f(x,y)\)在該點可微。（）5.級數\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)。（）6.函數\(y=x^3\)的二階導數\(y^{\prime\prime}=6x\)。（）7.定積分的值只與被積函數和積分區間有關，與積分變量的符號無關。（）8.若事件\(A\)與\(B\)對立，則\(P(A)+P(B)=1\)。（）9.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與向量\(\vec=(2,4)\)平行。（）10.函數\(f(x)\)在區間\((a,b)\)內有唯一駐點，則該駐點一定是極值點。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^3-3x^2+5\)的單調區間。答：對\(y\)求導得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，此為單調遞增區間；令\(y^\prime<0\)，解得\(0<x<2\)，此為單調遞減區間。2.計算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答：根據定積分運算法則，\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=\int_{0}^{1}x^2dx+\int_{0}^{1}1dx\)。\(\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{3}\)，\(\int_{0}^{1}1dx=[x]_0^1=1\)，所以結果為\(\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\)。3.求函數\(z=x^2+y^2\)在點\((1,2)\)處的全微分。答：先求偏導數，\(z_x=2x\)，\(z_y=2y\)。在點\((1,2)\)處，\(z_x(1,2)=2\)，\(z_y(1,2)=4\)。全微分\(dz=z_xdx+z_ydy\)，所以在該點\(dz=2dx+4dy\)。4.簡述判斷級數\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂的比較判別法。答：若有兩個正項級數\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)和\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)，且\(0\leqa_n\leqb_n\)。當\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)收斂時，\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂；當\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)發散時，\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)發散。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的漸近線情況。答：垂直漸近線：令\(x^2-1=0\)，得\(x=\pm1\)，所以\(x=\pm1\)是垂直漸近線。水平漸近線：\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^2-1}=0\)，所以\(y=0\)是水平漸近線。不存在斜漸近線。2.討論多元函數可微、連續、偏導數存在之間的關系。答：可微能推出連續且偏導數存在；但連續推不出可微和偏導數存在，偏導數存在也推不出可微和連續。偏導數連續能推出可微，可微只能推出偏導數存在但推不出偏導數連續。3.討論定積分在幾何和物理中的應用。答：幾何上，可求平面圖形面積、旋轉體體積等。如由\(y=f(x)\)，\(x=a\)，\(x=b\)，\(y=0\)圍成圖形面積\(S=\int_{a}^|f(x)|dx\)。物理上，可求變速直線運動路程、變力做功等，利用定積分元素法將問題分割求解。4.討論如何判斷一個級數是絕對收斂還是條件收斂。答：先考慮級數\(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\)，若\(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\)收斂，則原級數\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)絕對收斂；若\(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\)發散，而\(\sum_{n=1}^{\infty}