專題6圓中的重要模型之輔助線模型（八大類）

在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助

線，問題就會(huì)迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專

題通過分析探索歸納八類圓中常見的輔助線的作法。

模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）

【模型解讀】己知/8是。。的一條弦，連接CM,OB,則//=/B.

在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的己知條件。當(dāng)我們要解決有關(guān)角度、長度問題時(shí)，通常可以連接半徑

構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關(guān)定理，還可連接圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)

端點(diǎn)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長度的計(jì)算問題

例1.（2022?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）如圖，AB,CD是。0的弦，延長N2,CD相交于點(diǎn)P.己知4=30。，

ZAOC=800,則亜的度數(shù)是（）

【答案】C

【分析】如圖，連接08,OD,NC,^^ZOAC+ZOCA=1000,再求解NR4O+NPCO=50。，從而可

得N3Q4+NCOD=260。，再利用周角的含義可得/300=360。-80。-260。=20。，從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接08,OD,AC,

0ZAOC=80°,IZZOAC+ZOCA=100°,回/尸=30°,ElZPAO+ZPCO=50°,

BOA=OB,OC=OD,^ZOBA=ZOAB,ZOCD=ZODC,

國NOBA+ZODC=50°,國ZBOA+ZCOD=260°,

0ZBOD=3600-800-2600=200.回8d的度數(shù)20。.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角與弧的度數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握"圓

心角與弧的度數(shù)的關(guān)系"是解本題的關(guān)鍵.

例2.（2023?南召縣中考模擬）如圖，。。的直徑AB與弦CD的延長線交于點(diǎn)E,若DE=OB,NAOC=84。,

A.42°B.28°C.21°D.20°

【分析】利用。B=DE,O8=OD得至！］。O=DE,則NE=NDOE,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得/1=NDOE+NE,

所以/1=2/E,同理得到/厶。C=NC+NE=3/E,然后利用/E=1/49C進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解:連結(jié)。。，^0,'：OB=DE,OB=OD,：.DO=DE,：.ZE=ZDOE,

'：Z1=ZDOE+ZE,：.Z1=2ZE,而。C=。。，：.ZC=Z1,

：.ZC=2ZE,：.ZAOC=ZC+ZE=3ZE,AZE=^AOC=fx84°=28°.故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、

等弧等）.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

例3.（2023?江蘇沐陽初三月考）如圖，己知點(diǎn)C是。。的直徑AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作弦。E,使CO=CO.若

A￡）的度數(shù)為350,則BE的度數(shù)是

【答案】105°.

【分析】連接。D、0E,根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理求出/AOD=35。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形

內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

【解析】解：連接。。、0E,

YA￡）的度數(shù)為35。,.?.N400=35。,：CD=CO，：.ZODC=ZAOD=350,

?/OD=OE,二ZODC=ZE=35°,.'.ZDOE=180°-ZODC-ZE=180°-35°-35°^lW°,

?\ZAOE=ZDOE-ZAOD^IO^-SS^S0,.*.ZBOE=180°-ZAOE=180°-75°=105°,

??.BE的度數(shù)是105。.故答案為1050.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的

弦也相等.

例4.（2023年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，A/RC是。O的內(nèi)接三角形，AB=AC,ZBAC=1200,

。是BC邊上一點(diǎn)，連接AD并延長交。。于點(diǎn)E.若AD=2,DE=3,則。。的半徑為（）

【分析】連接。40CCE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/B=ZACS=30。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到

AC^OA,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】連接OA,OC,CE^\AB^AC,NBAC=120°,0ZB=ZACB=30°0ZAOC=60°,

回。4=。c,ElAA。E是等邊三角形,回AC=OA,

^ZAEC=ZACB=3Q°,ACAD=ZEAC,0^ACD^^AEC,/.——=——，^AC1=AD-AE,

ADAC

^AD=2,DE=3,;.AC=VA￡>xAE=J2x（2+3）=何，

.?.OA=AC=J市，即。。的半徑為Ji萬，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)度量是解題的關(guān)鍵.

模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長的問題）

【模型解讀】己知48是。。的一條弦，過點(diǎn)OE丄N3,貝UNEnBE,0F+4が=。*。

るZ

在圓中，求弦長、半徑或圓心到弦的距離時(shí)，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過

弦的端點(diǎn)的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系、弦的一半、弦心距和半

徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。

一般有弦中點(diǎn)、或證明弦相等或己知弦相等時(shí)，常作弦心距。

例1.（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖是一個(gè)圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD

是矩形.當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)/,。時(shí)，恰好與2c邊相切，則此餐盤的半徑等于cm.

【答案】10

【分析】連接。4,過點(diǎn)。作。E丄3C,交BC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)ド，則點(diǎn)E為餐盤與BC邊的切點(diǎn)，由

矩形的性質(zhì)得AD=BC=16,AD//BC,ABCD=AADC=90°,則四邊形CDFE是矩形，OE±AD,得

CD=EF=4,ZAFO=900,AF=￡>F=8,設(shè)餐盤的半徑為Xs7，則a4=。E=x，OF=x-4,然后由

勾股定理列出方程，解方程即可.

【詳解】由題意得：BC=16,CD=4,

如圖，連接。4,過點(diǎn)。作。E丄3C,交BC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)E，則NOEC=90。，

???餐盤與8c邊相切，.?.點(diǎn)E為切點(diǎn)，?.?四邊形ABCD是矩形，

.-.AD=BC=16,AD//BC,/BCD=ZADC=90。,???四邊形CDEE是矩形，OE^AD,

.?.CD=EF=4,ZAFO=90°,AF=DF=-AD=-xl6=8,

22

設(shè)餐盤的半徑為x,則04=OE=x,:.OF=OE-EF=x-4,

在RtVAFO中，由勾股定理得：AF2+OF2=0^,

即82+(X-4)J尤2,解得:x=10,???餐盤的半徑為10,故答案為:10.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

例2.(2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題)如圖，A/RC內(nèi)接于。。,圓的半徑為7,ZB4C=600,則弦BC

的長度為?

【答案】7厶

【分析】連接。氏。C,過點(diǎn)0作。D丄3C于點(diǎn)。，先根據(jù)圓周角定理可得4OC=2/BAC=120。，再根

據(jù)等腰三角形的三線合一可得/3。0=60。，BC=2BD,然后解直角三角形可得亜的長，由此即可得.

【詳解】解：如圖，連接。氏。C,過點(diǎn)。作。D丄BC于點(diǎn)。，

?■■ZB4C=60°,.'.ZBOC=2ZBAC=120°,

QOB=OC,OD±BC,.-.ZBOD=-ZBOC=60°,BC=2BD,

2

回圓的半徑為7,；.。3=7,二8。=。8-Sm60°=上6,

:.BC=2BD=］責(zé),故答案為：7&.

【點(diǎn)睛】本題考査了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三線合一，熟練掌握?qǐng)A周角定理和解直角

三角形的方法是解題關(guān)鍵.

例3.（2021?湖北中考真題）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》

中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1,筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心。為圓心的圓，如圖2,己知圓

心。在水面上方，且。。被水面截得的弦AB長為6米，。。半徑長為4米.若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，

則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（）

圖1圖2

A.1米B.（4-夕）米C.2米D.（4+77）米

【答案】B

【分析】連接。C交AB于D,根據(jù)圓的性質(zhì)和垂徑定理可知。C丄AB,AD=BD=3,根據(jù)勾股定理求得。D的

長，由CD=OC-0D即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，

連接。C交AB于D,貝I］。（：丄AB,AD=BD=^AB=3,

在Rt△。a。中，。A=4,AD=3,：.。d=ヾoバーAI"^-32=近,

/.CD=OC-0D=4-新，即點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（4-近）米，故選：B.

水面

【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關(guān)鍵.

例4.（2023?廣東廣州?九年級(jí)校考自主招生）如圖所示，圓。的直徑A3與弦MN相交于點(diǎn)P.己知圓的直

徑AB=4,NAPN=45。，則M尸+NP?的值是()

C.4A/3D.4

【答案】B

【分析】過點(diǎn)。作OC丄MN,于點(diǎn)C,連接QV,根據(jù)題意可得OC=PC,進(jìn)而根據(jù)垂徑定理，有NC=MC,

進(jìn)而將Mア+NP2轉(zhuǎn)化為20^2,即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)。作OC丄ACV,于點(diǎn)C,連接ON,則NC=MC,SZAPN=450SOC=PC,

SMP2+NP2=(NC-PC^+(NC+PC^2(NC2+PC2)-2(NC2+OC2)=2ON2

EIAB=4回。N=2I3MP2+NP2=2x2?=8故選：B.

【點(diǎn)睛】考查垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等，把式子MF+NP2進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵.

模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角(圓心角)

【模型解讀】如圖，己知/、B、p是ロ。上的點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接NC、8C,則ロス呢=丄ロス。瓦

2

例:1.(2023?四川巴中?統(tǒng)考中考真題)如圖，O。是AABC的外接圓，若NC=25。，則NBAO=()

【答案】D

【分析】連接。B,首先根據(jù)圓周角定理得到ZAO3=2NC=50。，然后利用半徑相等得到04=03,然后

利用等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求解即可.

^AB=AB-NC=25°,國ZAO3=2/C=50°,

SOA=OB,0ZBAO=ZABO=|x(180°-ZAOB)=65°.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考査了圓周角定理：圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于

這條弧所對(duì)的圓心角的一半，等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

例2.(2022?黑龍江哈爾濱?校考模擬預(yù)測)如圖，點(diǎn)P是。。上一點(diǎn)，若NAOB=70。，則NAPS的度數(shù)為

C.1350D.1600

【答案】B

【分析】取優(yōu)弧上一點(diǎn)&連接ACIC,由圓周角定理，得NACB=35。，運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求解.

【詳解】解：如圖，取優(yōu)弧上一點(diǎn)&連接ACIC,則N4鄧=ラ/4。3=35。，

0ZAPB=1800-ZACB=1450.故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形；由相關(guān)定理得角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023秋?重慶?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，一塊直角三角板的30。角的頂點(diǎn)p落在。。上，兩邊分別

交。O于A、3兩點(diǎn)，若。O的直徑為8,則弦A3長為（）

A.8B.4C.2拒D.2&

【答案】B

【分析】連接AO,BO,求出EIAC）B=2E]APB=60。，得到EIAOB為等邊三角形，即可求出AB長.

【詳解】連接AO,BO,0OA=OB,

國找B所對(duì)的圓周角是回APB,找B所對(duì)的圓心角是回AOB,0APB=3OO,

00AOB=20APB=6O°,03AOB為等邊三角形，0AB=AO,

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角和圓心角，根據(jù)題意作出輔助線，得到等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵.

例4.（2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題）如圖，AC,BC為。。的兩條弦，D,G分別為AC,BC的中點(diǎn)，。。的

半徑為2.若NC=45。，則DG的長為（）

3L

C.—D.~J2

【答案】D

【分析:1連接04。氏AB,圓周角定理得到NAOB=2/C=90。，勾股定理求出AB,三角形的中位線定理,

即可求出。G的長.

【詳解】解：連接。4,OB,AB,

〇〇〇的半徑為2.ZC=45°,SOA=OB=2,ZAOB=2ZC=90°,回AB=gV+。庁=2逝，

0。，G分別為AC,BC的中點(diǎn)，回DG為AABC的中位線，回。G=gAB=0.故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和三角形的中位線定理.熟練掌握相關(guān)定理，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵.

模型4、遇直徑作直徑所對(duì)的圓周角（構(gòu)造直角三角形）

【模型解讀】如圖，己知/8是口。的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，連接4C、BC,貝リロスC8=90。。

C

如圖，當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是解問題的重要思路，在證明有關(guān)問題中注意90。的圓

周角的構(gòu)造。

例1.（2023?遼寧營ロ?統(tǒng)考中考真題）如圖所示，4。是。。的直徑，弦BC交A。于點(diǎn)E,連接A5,AC,

若ZBAD=30°,則ZACB的度數(shù)是（）

C.70°D.60°

【答案】D

【分析】如圖所示，連接CD,先由同弧所對(duì)的圓周角相等得到N3CD=N54D=30。，再由直徑所對(duì)的圓周

角是直角得到—48=90。，貝リZACB=ZACD一NBCD=60°.

【詳解】解：如圖所示，連接CO,0ZBAD=3O°,^ZBCD=ZBAD=30°,

ElAD是。。的直徑，回/ACD=90。，SZACB=ZACD-ZBCD=60°,故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考査了同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，正確求出NACO,N3CD的

度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

例2.（2022?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，A3是國。的直徑，ZACD=ZCAB,AD=2,AC=4,則國。的

A.2GB.3五C.2石D.^5

【答案】D

【分析】連接C。并延長C。交回于點(diǎn)及連接/E,根據(jù)。/=。&可得a48=GL4CE,從而得至り/E=40=2,

然后根據(jù)勾股定理，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接C。并延長C。交國于點(diǎn)E,連接/E,^OA^OC,^ACE^CAB,

SZACD=ZCAB,^CD^CE,EAD=A￡-^AE=AD=2,

【點(diǎn)睛】本題主要考査了圓周角定理，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

例3.（2022?四川巴中?統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為O0的直徑，弦8交AB于點(diǎn)E,BC=BD，NCDB=300,

AC=25則。E=()

A.—B.代C.1D.2

2

【答案】C

【分析】連接3&根據(jù)垂徑定理的推論可得/8回CD,再由圓周角定理可得a4=?CD8=30。，根據(jù)銳角三角函

數(shù)可得/E=3,N8=4,即可求解.

【詳解】解：如圖，連接3g

EIAB為。。的直徑，BC=BD，^AB^CD,回aR4C=團(tuán)CD3=30°,AC=2^3,SAE=ACcosABAC=3,

AC

?AB為。。的直徑，^AB^-------------=4,?O/=2,WE=AE-OA=1.故選：C

cosDBAC

【點(diǎn)睛】本題主要考査了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，熟練掌握垂徑定理，圓周角定理，特殊

角銳角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

模型5、遇90。的圓周角連直徑

【模型解讀】如圖，己知圓周角ロB/C=90。，連接3C,則2C是口。的直徑。

遇到90。的圓周角時(shí)，常連接兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。

例1.（2022?遼寧營ロ?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)/,B,C,D在。。上，AC±BC,AC=4,ZADC=300,則

8c的長為（）

A.4gB.8C.4A/2D.4

【答案】A

【分析】連接AB,根據(jù)AC/3C可得AB為。。的直徑，又根據(jù)ムDC=3O。得到NABC=30。，故在直角三

角形中，利用特殊角的三角函數(shù)即可求出BC.

【詳解】解：連接AB,

QAC±BC,.\ZACD=900,.:45為。。的直徑，?.?/4￡)c=30。，../ASC=300,

BC=---=。=46

在RtAABC中,---—tanZ.ABC,tanZABC頁..故選：A.

BC

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，解三角形，解題的關(guān)鍵是掌握公式、定理。

例2.（2023?四川達(dá)州?統(tǒng)考二模）如圖，半徑為|?的。A經(jīng)過原點(diǎn)。和點(diǎn)C（0,l）,8是y軸左側(cè)。4優(yōu)弧上

C.受D.0

3

【答案】B

【分析】設(shè)。A與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為。，連接8,如圖，則NCDO=NCe。，根據(jù)圓周角定理和勾股定

理求出00=20，然后根據(jù)tan/CBO=tannCDO求解即可.

【詳解】解：設(shè)。A與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為。，連接8,如圖，則NCDO=NCH9,

?NCOD=90°,?C￡＞是。A的直徑，回。A的半徑為ラ，回CD=3,0C（O,1）,1aoe=1,

在直角三角形COD中，根據(jù)勾股定理可得：D0=げM=20，

13tanZCBO=tanZCOO=—=—^=—；故選：B.

OD2V24

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、三角函數(shù)和勾股定理等知識(shí)，屬于常考題型，正確添加輔助線、靈活應(yīng)

用轉(zhuǎn)化的思想是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，O。是矩形至8的外接圓，若A3=4,AD=3,則圖中陰影部分

的面積為?（結(jié)果保留萬）

【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角及勾股定理得到國＞=5,再根據(jù)圓的面積及矩形的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：連接3D,國四邊形ABC。是矩形，國3D是。。的直徑，

國AS=4,AD=3,國33=みが+A。2=5,回。。的半徑為ら,

25

同。O的面積為フル，矩形的面積為3x4=12,

4

國陰影部分的面積為325%-12；故答案為235萬-12；

44

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的面積，矩形的面積，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

模型6、遇切線連圓心和切點(diǎn)（構(gòu)造垂直）

【模型解讀】如圖，己知直線/B連與圓。相切于點(diǎn)C,連接。C,則。C丄/瓦

己知圓的切線時(shí)，常把切點(diǎn)與圓心連接起來，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的

有關(guān)性質(zhì)解題。

例1.（2022?黑龍江哈爾濱?校考模擬預(yù)測）如圖，如圖，必、PB分別切。。于點(diǎn)A、B,點(diǎn)C為優(yōu)弧相上

一點(diǎn)，若NACB=NAPB,則NACB的度數(shù)為（）

A.67.5°B.62°C.60°D.58°

【答案】C

【分析】要求/ACB的度數(shù)，只需根據(jù)圓周角定理構(gòu)造它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角，即連接。1，。3；再根

據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】

解：連接。AOB,回上4、p3分別切。。于點(diǎn)A、B,

SOArAP,OB±BP,^ZPAO=ZPBO=9G°,0ZAOB+ZAPS=180°,

0ZAOB=2ZACB,ZACB=AAPB,03ZACB=180°,0ZACB=6O°,故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，以及四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

例2.（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AC是。。的切線，8為切點(diǎn),連接04,。。.若ム=30。，AB=2a,

BC=3,則。C的長度是（）

A.3B.2AC.屈D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及正切的定義得到。3=2,再根據(jù)勾股定理得到。C=岳.

【詳解】解：連接。8,國AC是〇。的切線，3為切點(diǎn)，SOB±AC,

I3ZA=3O°,AB=2け，國在7?レ。物中，OB=AB?tan/A=2艮立=2,

3

EI3C=3,El在rな。3（7中，OC=dOB2+BC*=屈，故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例3.（2022春?湖北武漢?九年級(jí)統(tǒng)考自主招生）如圖，AB是圓。的直徑，3C是切線，3是切點(diǎn),弦AD"。C,

CO與54的延長線交于點(diǎn)E,BC=AB,則f=

【答案】B

【分析】連接。。，由AD〃OC及Q4=QD,即可得到/COB=NCOD,從而可證得△■c/△。。。，即

可證得直線CO是。O的切線，進(jìn)而根據(jù)AD，OC,可得ED=2a,設(shè)半徑為廠，E4=a,在Rt△￡■O￡＞中，

勾股定理求得。，即可求解.

【詳解】證明：如圖，連接。。，???OA=OD,???ZDAO=ZADO.

又?.?A。〃。。，???ADAO=NCOB,ZADO=ZDOC,二NCOB=NC。。.

'OB=OD

在八OBC與AODC中，＜NCOB=ZCOD,:.AOSC^AODC(SAS),/.ZCBO=ZCDO,

OC=OC

又???3C丄AB,??ZCBO=ZCDO=90°,二。。是。。的切線；^CD=CB,

設(shè)半徑為廠，E4=a,則CD=3C=AB=2r,

“EAEDEAAO1,

0AD//OC,回---=---,回---=---=—,則nED=2AE*=2a,

AODCEDDC2

在RtAE。。中，OD?+DE?=EO?,Sr2+(2aY=(r+a^,解得：r=—a,國色工三二上

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，切線長定理，平行線分線段成比例，勾股定理，熟練掌握切線的

性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵.

模型7、證明切線的輔助線(證垂直或直角)

【模型解讀】證明直線N2是□。的切線.

遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)：

（1）有點(diǎn)連圓心：當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)己知時(shí)，聯(lián)想圓的切線的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證

明該直徑與直線垂直。如圖，己知過圓上一點(diǎn)C的直線4S,連接。C,證明。CD4B,則直線4s是□0的

切線.

（2）無點(diǎn)作垂線：需證明的切線，條件中沒有告知與圓之間有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線

的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過點(diǎn)。作。（7ロ/5,證明。C等于口。的半徑，則直線N5

是□。的切線.

例:1.（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，A3為0。的直徑，如果圓上的點(diǎn)。恰使/ADC=ZB,

求證：直線CO與。。相切.

【答案】見詳解

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出/。D4+NADC=90。，則CD丄。D,再由切線的判定即可

得出結(jié)論.

【詳解】證明：如圖，連接。。，???04=。り，.?.ム=n。。4,

?.?AB為。。的直徑，:.ZADB=90°,/.ZA+ZB=90°,

?.?ZADC=NB,.-.ZODA+ZADC=90°,即NCDO=90°,..C。丄。。，

?.?。。是。。的半徑，???直線C。與。。相切.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握

圓周角定理和切線的判定是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023秋?福建福州?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，OA=OB=5,AB=8,00的直徑為6.求證：直

線A3是。0的切線.

【分析】過點(diǎn)。作OD丄于點(diǎn)。，根據(jù)三線合一和勾股定理求出。￡>的長，即可.

【詳解】解：過點(diǎn)。作00丄AB于點(diǎn)。，

0OA=OB=5,AS=8,0AD=BD=4,0OD=7AO2+ZM2=3>

國0。的直徑為6,回。。為。。的半徑，

y.OD±AB,El直線AB是。。的切線.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定.熟練掌握切線的判定方法，是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023年遼寧省盤錦市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AABC內(nèi)接于。。，AB為。。的直徑，延長AC到點(diǎn)G,

使得CG=CB,連接G3,過點(diǎn)C作C。〃63,交AB于點(diǎn)ド，交點(diǎn)。。于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。E〃AB.交GB

的延長線于點(diǎn)瓦

⑴求證：。e與。。相切.⑵若AC=4,BC=2,求BE的長.

【答案】⑴見詳解⑵二血

【分析】（1）連接。。，結(jié)合圓周角定理，根據(jù)CG=CB,可得NCGB=NCBG=45。,再根據(jù)平行的性質(zhì)

ZACD=ZCGB=450,即有48=2ZACD=90。，進(jìn)而可得/。。e=4。。=90。，問題隨之得證；

（2）過C點(diǎn)作CK丄AB于點(diǎn)K,先證明四邊形証。戸是平行四邊形，即有3E=。p，求出

1Ac2

AB=^AC2+BC2=2^5-即有。D=40=08=ス48=石，利用三角形函數(shù)有sm乙4兩=弁=下，同理

1423

cosZASC=-^=,即可得KC=BCxsinAABC=,KB=BCxcosAABC=,進(jìn)而有OK=OB—KB=^^r,

OFOP^5

-即可得。ド=』OK=9X」=且，在RtaoDド中，有

再證明△CKFSADOp，可得京一ェ-44

99^53

DF=，。D2+。ド2=二3，問題隨之得解.

【詳解】(1)連接。。，如圖,

國AB為。。的直徑，SZACB=90°,0ZGCB=90°,

^CG=CB,0ZCGS=ZCBG=45°,國Cハ〃GB,ElZACD=ZCGB=45°,

^ZAOD=2ZACD=90°,即。D丄AB,SDE//AB,ElZODE=ZAOD=90°,

園半徑OD1OE,?。E與。。相切;

(2)過C點(diǎn)作CK丄AB于點(diǎn)K,如圖,

^CD//GB,DE//AB,(3四邊形BEDF是平行四邊形，例BE=DF,

0AC=4,BC=2,回ん?=ノ4c2+屈2=2お‘SOD=AO=OB=^AB=^5,

AC21

EICK丄AB,國ZCKB=90°=ZAC3,國在Rt^ACB,sinZASC=—=-^,同理cosNA8C=j,

42

回在RGKCB中，CB=2,^KC=BCxsinZABC=-j=,KB=BCxcosZABC=-^

3

00K=OB-KB=忑,^CKYAB,ODLAB,國。ハ〃CK,

OFOP_5

OFOF5

^ACKF^^DOF,國FK一CK一4~4,國

FK+OFOK~9"

SOF=-OK=-x^==—,國在RtAOD尸中，PF=^OP~+OF1=-^,邑BE=DF=土逝.

99石333

【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，主要考查了圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊

形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)以及勾股定理等知識(shí)，掌握切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答

本題的關(guān)鍵.

例4.（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，AB為。O的直徑，過點(diǎn)。

作上丄3C,交BC的延長線于點(diǎn)F，交54的延長線于點(diǎn)E,連接BD.若NE4D+N班方=180。.

2

⑴求證：E戸為。。的切線.（2）若BE=10,sinZBDC=-,求。。的半徑.

【答案】⑴見解析（2）。0的半徑為4

【分析】（1）連接。。，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，得到/山不=/543，等角的余角相等，得到/DFF=厶瓦）,

等邊對(duì)等角，得至9ZDBF=ZABD=NODB,推出。。〃3p，得到NO￡>E=NP=90。，即可得證；

（2）連接AC,推出NE=/54C=N8DC,利用銳角三角函數(shù)求出砂的長，設(shè)。0的半徑為廠，證明

AODES^FE,列出比例式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）證明：連接。。，

13Z￡AD+ZBDF=180°,Z￡4D+ZBAD=180°,SZBDF=ZBAD,

回AB為。。的直徑，DF丄BC,EZADB=90°,ZBFD=90°,

ElZBDF+ADBF=ABAD+ZABD=90°,^ADBF=AABD,

^OB=OD,0ZDBF=ZABD=NODB,0OD〃BF,

SZODE=ZF=90°,即：ODLEF,

又。。為。O的半徑，回政為。。的切線；

(2)連接AC,貝リ：/BAC=/BDC,

13AB為。。的直徑，ElZACB=90°=ZF,^AC^EF,

國ZE=ZBAC=NBDC,在RtABFE中，BE=10,sinE=sinZBDC=-,

國BF=BE-sin￡=10x—=—,

33

設(shè)〇O的半徑為廠，則：〇^=OB=r,OE=BE-OB=10-r,

ElOD//BF,旦AODES^BFE,0-----=------,即：2010,

BFBE—

0r=4:?。O的半徑為4.

【點(diǎn)睛】本題考査圓與三角形的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和

性質(zhì).題目的綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵.

模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點(diǎn)（切點(diǎn)）

當(dāng)遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)，或連接內(nèi)心到各邊切點(diǎn)（或做垂線）。

利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是各角的平分線，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。

例1.（2022?湖北恩施?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtA/8C中，EIC=900,NC=4,8c=3,國。為RtA/3C的內(nèi)切

圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留萬）.

【答案】5--

4

【分析】利用切線長定理求得國。的半徑，根據(jù)S^S^ABC-（S扇彩EOF+S^DOF）-S正方形CDOE列式計(jì)算即

可求解.

【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)分別為。、E、F,連接。。、OE、OF,

EGO為Rt△48C的內(nèi)切圓，EL4E=N尸、BD=BF、CD=CE,OD^BC,OESAC,

EEC=90°,El四邊形CDOE為正方形，EIELE"。尸m3^0￡)=360。-90。=270。，

設(shè)國。的半徑為尤，貝リCD=CE=x,AE=4F=4-x,BD=BF=3-x,

?4-x+3-x=5,解得x=l,

2701

0S^S^ABC-（S?EOF^S?DOF}-SX^CDOE=x3x4-￡Tl_xlxl=5-.故答案為：5-キ.

236044

【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，扇形的面積公式，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023秋?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在AABC中，AB+AC=^BC,AD丄BC于D,oo為qBC

的內(nèi)切圓，設(shè)。。的半徑為R，AO的長為か，則g的值為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的特點(diǎn)作出圓心和三條半徑，分別表示出AASC的面積，利用面積相等即可解決

問題.

【詳解】解：如圖所示：。為"LBC中/ABC、ZACB,N54C的角平分線交點(diǎn)，過點(diǎn)。分別作垂線交A3、

AC、BC于點(diǎn)、E、G、F,

^^ABC=^^AOB+^^oc+$メ℃=/^?，R+/3C?R+54C，R=/R（A8+AC+3C）,

-.AB+AC^BC,.-.S^BC=^R^BC+BCy^R~BC,

ヽ11818.-.—=—=-ヽ

?.?AZ）的長為厶，；?S^ABC?レ，~~=—BC?h,.'.h——R,/?8氏8>故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓的相關(guān)性質(zhì)，本題掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，根據(jù)己知條件利用三角形

A3C面積相等推出關(guān)系式是解題關(guān)鍵.

例3.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題）如圖，AABC的內(nèi)切圓。/與3C,CA,AB分別相切于點(diǎn)。，E,尸,

若。1的半徑為，，ム=e,則（族+CE-BC）的值和/FDE的大小分別為（）

A.2，，90°-aB.0,90°-aC.2r,90°ーーD.0,90°ーー

22

【答案】D

【分析】如圖，連接/p，/e?利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問題即可.

【詳解】解：如圖，連接ZF,広.

B\BF=BD,CD=CE,IFLAB,/E丄AC,

^BF+CE-BC=BD+CD-BC=BC-BC=O,ZAFI=ZAEI=90°,

0ZE/F=18O°-a,0ZEDF=-ZEIF=90°--a.故選：D.

22

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性

質(zhì)，屬于中考常考題型.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，AC是。。的切線，3為切點(diǎn)，連接atOC.若ム=30。，45=26,

BC=3,則OC的長度是（）

C.ぶD.6

【答案】C

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及正切的定義得到。3=2,再根據(jù)勾股定理得到。C=が.

【詳解】解：連接03,國AC是〇。的切線，8為切點(diǎn)，0OB1AC,

0ZA=3O°,AB=2舊,回在Rレ。AB中，OB=A8?tan/A=26x走=2,

3

國3C=3,回在/?か。3中，OC=Jdな+8C2=屈，故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?黑龍江哈爾濱?校考模擬預(yù)測）如圖，如圖，抬、依分別切。。于點(diǎn)A、B,點(diǎn)C為優(yōu)弧"上

一點(diǎn)，若/ACB=NAPB,則NACS的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】要求/ACB的度數(shù)，只需根據(jù)圓周角定理構(gòu)造它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角，即連接04,。3；再根

據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：連接。A。8,國ル、p3分別切。。于點(diǎn)A、B,

國。A丄ム卩,。3丄BP,^APAO=APBO=9Q°,0ZAOB+ZAPS=180°,

[?]ZAOB=2ZACB,ZACB=ZAPS,回3NACB=180°,0ZACB=60°,故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，以及四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

3.（2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題）如圖，己知點(diǎn)AB、C在。。上，C為AB的中點(diǎn).若/54c=35。,

則/403等于（）

A.140°B.120°C.110°D.70°

【答案】A

【分析】連接。C,如圖所示，根據(jù)圓周角定理，找到各個(gè)角之間的關(guān)系即可得到答案.

【詳解】解：連接。C,如圖所示：

?.?點(diǎn)AB、C在。。上，C為A8的中點(diǎn)，.?.8C=AC，???/2。C=厶。c=3/4。2,

VABAC=35°,根據(jù)圓周角定理可知NBOC=2N54C=70。，:.ZAOB=2ZBOC=140°,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考査圓中求角度問題，涉及圓周角定理，找準(zhǔn)各個(gè)角之間的和差倍分關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

4.（2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題）如圖，在。。中，。A丄BC,ZADB=300,8C=26，則。C=（）

【答案】B

【分析】連接。8,由圓周角定理得/403=60。，由Q4丄8c得，NCOE=NBOE=600,CE=BE=6,

在RSOCE中，由OC=-計(jì)算即可得到答案.

sin60

【詳解】解：連接。B，如圖所示，

vZADB=30°,.-.ZAOB=2ZADB=2x30°=60°,

OALBC,:.ZCOE^ZBOE^60°,CE=BE==BC=Lx2^=拒,

22

在RGOCE中，ZCO￡=60°,CE=^>,"sin60°&，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考査了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理，垂

徑定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線.

5.（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，A3為0。的直徑，直線CO與。。相切于點(diǎn)C,連接AC,若

ZACD=50。，則/BAC的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】連接。C,先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得NO8=90。，從而可得/OC4=40。，再根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)即可得.

【詳解】解：如圖，連接OC,

?.?直線C￡＞與。。相切，..OC丄CD,.?.ZOCD=900,

?.?ZACD=50°,:.ZOCA=40°,■.■OA=OC,:.ZBAC=ZOCA=40°,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.（2023?廣東?一模）如圖，AS是。。的直徑，BC交。。于點(diǎn)。，OE丄AC于點(diǎn)E,下列說法不正確的

是（）

A.若DE=DO,則DE是。。的切線B.^AB=AC,則OE是。。的切線

C.若CD=DB,則DE是。。的切線D.若DE是。。的切線，則AB=AC

【答案】A

【分析】根據(jù)4B=A&連接AD,利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)可以得到點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，。。是

△ABC的中位線，OD//AC,然后由。E丄A&得到/。。E=90。，可以證明。E是。。的切線，可判斷8選項(xiàng)正

確；若。E是。。的切線，同上法倒推可證明AB=AC,可判斷。選項(xiàng)正確；

根據(jù)8=BD，AO=BO,得到。D是AABC的中位線，同上可以證明。E是。。的切線，可判斷C選項(xiàng)正確；

若DE=DO,沒有理由可證明。E是。。的切線.

【詳解】解；當(dāng)AB=AC時(shí)，如圖：連接AD,

?.?厶B是。。的直徑，.?.厶。丄8C,：.CD=BD,'：AO=BO,.?.。。是AABC的中位線，：.OD//AC,

?：DE±AC,；.。e丄。。，.\。E是。。的切線，所以B選項(xiàng)正確；

當(dāng)。E是。。的切線時(shí)，如圖：連接ムD,

?..。e是。。的切線，...。e丄。。，,：DE±AC,：.OD//AC,.?.。。是AABC的中位線，：.CD//BD,

?.?4B是。。的直徑，.?.厶。丄BC,.?.A。是線段BC的垂直平分線，.?.48=4&所以。選項(xiàng)正確；

當(dāng)8=8。時(shí)，又ム。=8。，.?.。。是AABC的中位線，：.OD//AC,

V