第17章勾股定理（單元測(cè)試-基礎(chǔ)卷）

【要點(diǎn)回顧】

【要點(diǎn)一】勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形兩直角邊a、Z?的平方和等于斜邊c的平方.（即：?2+ZJ2=C2）

2.勾股定理的應(yīng)用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：

（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；

（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；

（3）求作長(zhǎng)度為赤的線段.

【要點(diǎn)二】勾股定理的逆定理

1.原命題與逆命題

如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其

中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、C,滿足4+〃=02,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：

（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長(zhǎng)為C；

（2）驗(yàn)證與/+〃是否具有相等關(guān)系，若/+廿=02,則4ABC是以/C為直角的直角三角形，反

之，則不是直角三角形.

3.勾股數(shù)

滿足不定方程V+y2=z2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以X、y、Z

為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.

常見的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（。、b、c）是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以ahbt、cf為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三

角形.

觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：

1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；

2.較長(zhǎng)的直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊相差1.

3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為a、b、c,且a<b<c,那么存在片=b+c成立.

【要點(diǎn)三】勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；

聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.下列

各組數(shù)中，是"勾股數(shù)”的是（）

A.2,3,4B.4,5,6C.7,8,9D.6,8,10

2.消防云梯的長(zhǎng)度是13米，在一次執(zhí)行任務(wù)時(shí)，它只能停在離大樓5米遠(yuǎn)的地方（云梯底端離地面

高度忽略不計(jì)），則云梯可以達(dá)到建筑物的高度是（）

A.12米B.13米C.14米D.15米

3.公園有一塊長(zhǎng)方形草坪，芳芳同學(xué)發(fā)現(xiàn)有極少數(shù)人為了走捷徑，踐踏草坪走出了一條路A3,為了

倡導(dǎo)人們愛護(hù)花草，建議公園管理人員在A處立一個(gè)標(biāo)牌：“小草青青，腳下留情”.經(jīng)過測(cè)量得知：AC兩

處的距離為4m,8,C兩處的距離為3m,則踐踏草坪少走的距離是（）

A.3mB.4mC.5mD.2m

4.如圖：4x1網(wǎng)格中每個(gè)正方形邊長(zhǎng)為1,表示遙長(zhǎng)的線段是（）

O

A.OAB.OBC.OCD.OD

5.如圖，已知點(diǎn)4（6,0）,3（0,8）,點(diǎn)P在〉軸負(fù)半軸上，若將沿直線AP折疊，使點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

恰好落在無軸正半軸上的點(diǎn)B處，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（）

A.（0,-10）B.（0,-12）C.（0,-14）D.（0,-16）

6.已知成比例的四條線段的長(zhǎng)度分別為6cm,12cm,xcm,8cm，且AABC的三邊長(zhǎng)分別為xcm,3cm,

5cm,則44BC是（）

A.等邊三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.無法判定

7.如圖，點(diǎn)P在/AO3內(nèi)部，點(diǎn)片與點(diǎn)尸關(guān)于OA對(duì)稱，點(diǎn)鳥與點(diǎn)尸關(guān)于對(duì)稱.甲、乙兩位同學(xué)

各給出了自己的說法：甲：若4408=30。，則△耳。鳥是等邊三角形；乙：若6￡=夜8,則幺理=135。.對(duì)

于兩位同學(xué)的說法，下列判定正確的是（）

A.甲正確B.乙正確C.甲、乙都正確D.甲、乙都錯(cuò)誤

254

8.如圖，在AACD中，AC=3,CD=4,。￡，4）于點(diǎn)后，以A。為直徑的半圓的面積為丁，那

8

么CE的長(zhǎng)是（）

C.5D.2兀

9.四個(gè)全等的直角三角形按如圖1所示的方式擺放，形成兩個(gè)正方形，大正方形的面積為60cm，空

白區(qū)域所示的小正方形面積為48cm2.將圖1中的直角三角形分別沿著斜邊往里翻折，形成如圖2所示的更

小正方形，若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為名優(yōu)。＞加，則代數(shù)式（。-6）的值為（）

C.12D.18

10.如圖，一個(gè)無蓋的半圓柱形容器，它的高為6cm,底面半圓直徑AC為4cm,點(diǎn)A處有一只螞蟻沿

如圖所示路線爬行，它想吃到上底面圓心8處的食物，則爬行的最短路程是多少（兀取3）（）

A.6y/2B.8C.2病D.10

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.若6,8,10之間滿足的等量關(guān)系是6?+82=102,則邊長(zhǎng)為6,8,10的三角形是.

12.小亮家有一個(gè)高3m、寬2m的大門框（如圖），為了防止其變形，他在對(duì)角線（圖中虛線）的兩

端點(diǎn)間加固兩根木條，則其中一根木條的長(zhǎng)度為m.

13.若R/0ABe兩直角邊上的中線分別是AE和80,則人序+及M與人所的比值是.

14.如圖，A3為一段斜坡，已知斜坡的高AC=3m,水平長(zhǎng)度BC=2jT5m,現(xiàn)要在斜坡A3上鋪上

紅地毯，則至少需要紅地毯的長(zhǎng)度（即A3的長(zhǎng)度）為m.

15.如圖，在原點(diǎn)為。的數(shù)軸上，作一個(gè)兩直角邊長(zhǎng)分別是1和2,斜邊為。3的直角三角形，點(diǎn)A在

點(diǎn)。左邊的數(shù)軸上，且Q4=O3,則點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是

16.蕩秋千是中國(guó)古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運(yùn)動(dòng).小亮想利用所學(xué)的勾股定理的知識(shí)測(cè)算公園里

一架秋千的繩索AB的長(zhǎng)度.如圖.他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時(shí)，秋千踏板離地面的垂直高度3c=1m,將踏板往前

推送，使秋千繩索到達(dá)。的位置，測(cè)得推送的水平距離為6m,即DE=6m.此時(shí)秋千踏板離地面的垂直高

度￡>b=3m.那么，繩索的長(zhǎng)度為m.

17.如圖，在小正方形邊長(zhǎng)為1的方格中，以線段A8、BC、為邊的三角形的面積為

（2）若03=8,AB=10,點(diǎn)A在點(diǎn)。的北偏西50°方向，則點(diǎn)B在點(diǎn)O北偏東度的方向上.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）政府計(jì)劃將如圖所示的四邊形閑置地修建成市民休閑區(qū).已知NC=90。，AB=200m,

AD=150m,BC=70m,CD=240m.政府計(jì)劃投入240萬元進(jìn)行打造，預(yù)計(jì)每平方米的費(fèi)用為100元.通

過計(jì)算說明政府投入的費(fèi)用是否夠用.

20.（8分）如圖，點(diǎn)B在。C上，ZAOB=90°,OA=OB=^OC,AC=2A/10,求AB的長(zhǎng)為多少？

21.（10分）如圖，某校有一塊三角形空地A3C,ZACB=90°,為了更好的落實(shí)"雙減"政策，豐

富孩子們的課業(yè)生活，學(xué)校計(jì)劃將該三角形空地改造成多功能區(qū)域，現(xiàn)要求將三角形ACD區(qū)域設(shè)計(jì)成手工

制作區(qū)，其余部分設(shè)計(jì)成健身區(qū)，經(jīng)測(cè)量：CD=3O米，AD=40米，BC=120米，AB=13O米.

（1）求NADC的度數(shù)；

（2）求圖中健身區(qū)（陰影部分）的面積.

C

AB

22.（10分）如圖，在AABC中，ZC=90°,BC^a,AC=b,AB^c.延長(zhǎng)CB到點(diǎn)。，使瓦）=6；

過點(diǎn)。作8的垂線并在垂線上截取=連結(jié)BE和AE.求證:

（1）AB=BE,AB±BE.

（2）利用此圖的面積表示式證明

23.（10分）如圖，將等邊ADEF放在含有30。角的直角三角板ABC上（ZA=9O°,ZC=30°）,

使E尸落在線段AC上，DE與。尸分別交邊8c于點(diǎn)從G,其中FG=2.

（1）證明：GF=FC；

（2）求CG的長(zhǎng).

24.（12分）已知等邊AABC,點(diǎn)。、點(diǎn)B位于直線AC異側(cè)，ZADC=30°.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在8C的延長(zhǎng)線上時(shí)，①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；②下列用等式表示線段AD,BD,

。之間的數(shù)量關(guān)系：I.AD+CD=BD；II.AD2+CD2^BD2,其中正確的是（填"I"或"II"）；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。不在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接3。，判斷（1）②中線段A￡）,BD,CD之間的正

確的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立.若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，說明理由.

C

圖2

參考答案:

1.D

【分析】根據(jù)“勾股數(shù)”的定義，逐項(xiàng)判斷，即可求解.

解：A、22+32^42,不是"勾股數(shù)"，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、42+52^62,不是"勾股數(shù)"，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、72+82^92,不是"勾股數(shù)"，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、62+82=102,是“勾股數(shù)"，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D

【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義：若滿足片+62=02的三個(gè)正整數(shù),

稱為勾股數(shù).

2.A

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再利用勾股定理求解即可.

解：如圖，

回梯子的底端離建筑物5米，梯子長(zhǎng)為13米，

0AC=7132-52=12（米）?

答：云梯可以達(dá)到建筑物的高度是12米.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解

決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合

的思想的應(yīng)用.

3.D

【分析】本題考查了勾股定理.熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

由勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=5-根據(jù)AC+3C-AB,計(jì)算求解即可.

解：由題意知，AC=4m,BC=3m,

由勾股定理得，AB=yjAC2+BC2=5m>

回AC+BC—AB=2m,

團(tuán)則踐踏草坪少走的距離為2m,

故選：D.

4.B

【分析】利用勾股定理求出每條線段的長(zhǎng)，再進(jìn)行判斷即可.

解：由勾股定理得，。4="喬=應(yīng)

OB=df+聯(lián)=6，

OC=Vl2+32=A/10-

0￡>=在+42=岳,

???表示正應(yīng)為線段08.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查在網(wǎng)格中表示無理數(shù)的長(zhǎng)，掌握勾股定理求線段的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

5.B

【分析】根據(jù)勾股定理求得,設(shè)尸(0/),/<0,根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AB，=AB=10,P?==8T,

在Rt△尸OB'中，勾股定理即可求解.

解：團(tuán)點(diǎn)4(6,0),3(0,8),

回OA=6,OB=8,

0AB=VO*A2+OB2=10>

回將AFAB沿直線AP折疊，使點(diǎn)6的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在尤軸正半軸上的點(diǎn)處,

SAB'=AB=W

SOB'=OA+AB'=10+6=16,

設(shè)P(0j),r<0,

0PB'=PB=8—t

在Rt△尸O?中，OP=-t,

0(-r)2+162=(8-f)2

解得：t=-12,

回尸的坐標(biāo)為(O,T2)

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理與折疊問題，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】本題考查了成比例線段和勾股定理的逆定理，掌握成比例線段定理是解答此題的關(guān)鍵.根據(jù)

題意求出尤的值；然后再根據(jù)勾股定理的逆定理，確定三角形的形狀即可.

解：???四條線段成比例，

「?6:12=x:8

解得：x=4；

AABC的三邊長(zhǎng)分別為xcm,3cm,5cm,32+42=52,

「?AABC是直角三角形，

故選：C.

7.C

【分析】連接。尸，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)以及垂直平分線的判定和性質(zhì)可得。尸=04,OP=OP2,

ZPlOA=ZPOA,ZP2OB=ZPOB,推得。尸=O/]=O￡,ZP.OP,=2ZAOB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角

形內(nèi)角和定理可求得N"鳥=180。-乙4。氏若ZAOB=30。，求得/片。2=60。，根據(jù)等邊三角形的判定即

可證明甲同學(xué)的說法正確；若6呂=在8,根據(jù)勾股定理的逆定理可推得90。，即可證明乙同學(xué)

的說法正確.

解：連接。尸，如圖：

回點(diǎn)A與點(diǎn)尸關(guān)于Q4對(duì)稱，點(diǎn)八與點(diǎn)尸關(guān)于08對(duì)稱，

即OA是小的垂直平分線，是尸鳥的垂直平分線，

回O尸=。《，OP=OP2,ZP,OA=ZPOA,ZP2OB=ZPOB,

^\OP=OP[=OP2,

又團(tuán)ZAOB=NPQ4+ZPOB,

回

APXOP2=APXOA+ZAOB+AP2OB=2ZAOB,

在等腰三角形4。尸中，4PoJ80°一;尸邛=90。_；NPO[,

在等腰三角形尸中，組

60PO='Cl。7°、=90o_lzpOp2,

則/垃PR=NRPO+ZP2PO=180°--NROg=180°-ZAOB；

若ZAOB=30°,則N[。鳥=2ZAOB=60°,

又回。6=。巳，

回為等邊三角形，故甲同學(xué)的說法正確；

若他=0OP,

團(tuán)OP=OPi=OP2,

即他=描當(dāng)=技線，

則初,。月，。心滿足4鳥2=。尸+。牙,

回△《06為直角三角形，

回=90°,

則/RP鳥=180°-1NROB=180。-45。=135。，故乙同學(xué)的說法正確；

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，

等邊三角形的判定，勾股定理的逆定理，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.A

257r

【分析】根據(jù)以AZ）為直徑的半圓的面積為P，可求得AP=5,再由勾股定理的逆定理確定△ACD為

O

直角三角形，然后借助AACD的面積求解即可.

25萬

解：根據(jù)題意，以切為直徑的半圓的面積為丁，

O

e,[,.17257r.

則有彳%（zF-）=k，解hT得AD=5,

22o

又回AC=3,CD=4,

回AC?+CD?=32+42=25=AD2,

回△ACD為直角三角形，

團(tuán)CE_LAZ）,

SISAACD=^AC-CD=^AL>-CE,

gp|x3x4=1x5xCE,解得CE=2.4.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理、半圓的面積等知識(shí)，利用勾股定理的逆定理證明AACD為

直角三角形是解題關(guān)鍵.

9.B

【分析】本題考查勾股定理以及完全平方公式，注意觀察圖形：發(fā)現(xiàn)各個(gè)圖形的面積和a,b的關(guān)系是

解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理，結(jié)合圖形進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)：圖1中：大正方形的面

積為（。+勾2=60,小正方形的面積為6+〃=48,則四個(gè)直角三角形的面積和是大正方形的面積減去小正

方形的面積為2必=12.在圖2中，最中間的正方形面積為（a-Bp,也可以用圖1中的小正方形面積減去

四個(gè)直角三角形的面積，即48-2仍=36,即可求解.

解：根據(jù)題意，得4x^aZ?=60-48,

2

回2ab=12,

0（a-Z?）2=48-2。6=36,

Sa-b=6.

故選：B.

10.D

【分析】此題考查平面展開-最短路徑問題.要求螞蟻爬行的最短距離，需將半圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而

根據(jù)"兩點(diǎn)之間線段最短"通過勾股定理得出結(jié)果.

解：將圓柱的側(cè)面展開為矩形，

其中AC為半圓的弧長(zhǎng)［乃?d=6cm,CD為半徑的長(zhǎng)2cm,BD=6cm,

2

根據(jù)勾股定理可得AB=V62+82=10（cm）,

故爬行的最短路程為10cm.

故選：D

11.直角三角形

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理判斷即可.

解：因?yàn)?+8?=102,

所以邊長(zhǎng)為6,8,10的三角形是直角三角形.

故答案為：直角三角形.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理，理解勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵.

12.V13

【解析】略

13.5：4

【分析】由勾股定理可得AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2@,AC2+BC2=AB2,再將等式變形為：

AE2+BD2=AB2+CD2+CE2,結(jié)合三角形中線的性質(zhì)可得進(jìn)而可求解.

解：如圖，I3C=9O°,

A

由勾股定理可得：A￡2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②,AC2+BC2=AB2,

①+②得AE2+8r)2=Ac2+CE2+2C2+Cr)2=AB2+cz)2+cE2,

0AE,8。是0A8C的中線，

SCD=^AC,CE=《BC,

回82+加=(44C)2+(^BC)2」A￥,

224

SAE2+BD2=AB2+-AB2=-AB2,

44

即AEr+BD2與4#的比值是5：4.

故答案為：5：4.

【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理，三角形的中線，靈活運(yùn)用勾股定理解題是求解的關(guān)鍵.

14.7

【分析】根據(jù)勾股定理直接求解即可.

解：ElAC=3m,BC=25m,

團(tuán)在直角三角形ABC中，

AB=y/BC2+AC2=42回j+3?=7m,

故答案為：7.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，比較簡(jiǎn)單，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

15.-75

【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形斜邊的長(zhǎng)度，也就求出了Q4的長(zhǎng)，結(jié)合圖中點(diǎn)A的位置確

定點(diǎn)A表示的數(shù).

解：由題知，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得，

直角三角形的斜邊03=彳導(dǎo)=6,

貝ijOA=OB=5

回如圖，點(diǎn)A是以原點(diǎn)。為圓心遙為半徑作弧與數(shù)軸的交點(diǎn)，

回點(diǎn)A表示的數(shù)為-君.

故答案為：-亞.

【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)勾股定理確定斜邊的長(zhǎng)度，即確定。4的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵.

16.10

【分析】先根據(jù)題意得出EC=DR=3ni,AB=AD,在設(shè)AE=.xm,得至!]AB=(x+2)m,最后根據(jù)勾

股定理求解即可.

解：由題意可知：BC=Im,DE=6m,EC=DF=3m,AB=AD,

AE=xm,貝！jAB=AD=AE+￡B=AE+(EC_BC)=(x+2)m,

在RtA4￡D中，AE2AD2-DE2>

0x2=(X+2)2-62,

解得x=8,

0AB=8+2=10(m),

故答案為：10.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意并熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

17.y/lQ

【分析】結(jié)合圖形根據(jù)勾股定理求得線段A&BC、CD的長(zhǎng)度，從而得出8C2+3C2=AB2,推出以線

段A3、BC、C。為邊的三角形是以線段為斜邊的直角三角形，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的面積公式求解即

可.

解：在RtHABZ)中，AB=[Ab2+BEP=及+3。=岳，

同理，BC=M+22=5DC"”=26,

回(指)2+(20)2=(可)2,

即BC2+DC2=AB2,

回以線段AB、BC、為邊的三角形是以線段A8為斜邊的直角三角形，

回該直角三角形的面積為：!BCx￡)C=1x^x2A/2=Vw.

z2

故答案為：Vio.

【點(diǎn)撥】本題考查三角形的面積，解題的關(guān)鍵是由三角形三邊滿足/2+%2=四2得出該三角形是

個(gè)直角三角形，從而利用直角三角形的面積公式求解.

18.6A/340

【分析】(1)根據(jù)勾股定理直接求解即可得到答案；

(2)根據(jù)勾股定理的逆定理得到NAO3=90。，再由方向角定義，互余定義列式求解即可得到答案.

解：(1)在AAQB中，/AOB=90。，AB=12,OA=6,則由勾股定理可得

OB=VAB2-OA2=A/122-62=6百，

故答案為：6百；

(2)如圖所示：

在AAOB中，OA=6,OB=8,AB=10,貝UOA。+05?=AB?,

ZAOB=9G°,

:點(diǎn)A在點(diǎn)。的北偏西50°方向，

ZAOC=50°,

..ZBOC=90°-50°=40°,

.,.點(diǎn)8在點(diǎn)。北偏東40度的方向上，

故答案為：40.

【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理求線段長(zhǎng)、勾股定理的逆定理及方向角，熟記勾股定理、勾股定理的逆定

理及方向角定義是解決問題的關(guān)鍵.

19,夠用，理由見分析

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理的逆定理得到NA=90。，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

D

C

A、B

解：連接30.

ZC=90°,BC=70m,CD=240m,

BD=y/BC2+CD2=A/702+2402=250m-

0AD2+AB2=22500+40000=62500=BD2,

.?.△ABD是直角三角形，且ZA=90。.

回四邊形ABCD的面積為：

-x200xl50+-x240x70=23400(m2).

22v7

所以所需費(fèi)用為：23400x100=234(萬元).

234<240,

回投入的費(fèi)用夠用.

20.AB=2叵

【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

解：SZAOB=90°,AC=2A/10,OA=^OC,

EOA2+OC2=AC2,

即。42+(3。4『=40,

得1001=40,

即OA=2,

^OA=OB,

^AB=y/o^+OB2=V22+22=272.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.

21.(1)ZADC=90°；(2)2400平方米

【分析】本題考查勾股定理定理和逆定理，三角形的面積，掌握勾股定理和逆定理是解題的關(guān)鍵.

(1)先利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，然后再利用狗狗股定理的逆定理得到△ADC是直角三角形即可;

(2)利用三角形的面積解題即可.

解：（1）因?yàn)镹AC3=90。，3c=120米，AB=130米,

所以AC=JAB?-BC。=J130?一吃。？=50（米），

因?yàn)镃D=30米，AT>=40米，

所以AD?+CD2=AC2=2500-

所以△ADC是直角三角形，ZADC=90°.

（2）圖中陰影部分的面積=1ACX3C—LAOXO）=UX50X120-LX40X30=2400（平方米）.

2222

22.（1）見分析；（2）見分析

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.

（1）證明V3Z宏式VACB即可；

（2）梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積之和，即可得證.

解：（1）證明：^\DEYBD,

EZr）=ZC=90°,

回DE=BC=a,AC=BD=b,

國(guó)VBDEAACB,

團(tuán)A3=BE,/A