第16章二次根式（單元測試-基礎卷）

【要點回顧】

【知識點一】二次根式的相關概念和性質

1.二次根式

形如4a{a>0）的式子叫做二次根式，

2.二次根式的性質

（1）石20（a之0）（2）（點）2=a320）；（3）=\a|=<^之?.

\>[-以（a<0）

3.最簡二次根式

（1）被開方數是整數或整式；

（2）被開方數中不含能開方的因數或因式.

滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

4.同類二次根式

幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數相同，這幾個二次根式就叫同類二次

根式.

【知識點二】二次根式的運算

1.乘除法

（1）乘除法法則:

類型法則逆用法則

積的算術平方根化簡公式：

二次根式的乘法4ax-Jb=4ab{a>0,i>>0)

4ab=\Jax網（a>0,Z?>0）

商的算術平方根化簡公式：

魯島川b>0)

二次根式的除法8親a?0,b>0）

2加.減法

將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數相加減，被開方數和根指

數不變，即合并同類二次根式.

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（2024上?四川眉山,九年級統考期末）若式子注與在實數范圍內有意義，則x的取

值范圍是（）

A.x>-3B.x<3C.x>3D.x>-3

2.（2023上?江蘇蘇州?八年級蘇州市平江中學校校聯考期中）下列二次根式是最簡二

次根式的是（）

A.5/2B.J15C.D.Jo.7

3.（2023下?四川廣安?八年級校考期中）設&="，^3=b,用含。，6的式子表示而，

則下列表示正確的是（）

A.ab2B.labC.abD.a2b

4.（2023下?湖北咸寧?八年級校考階段練習）下列二次根式能與后合并的是（）

A.V12B.瓜C.724D.730

5.（2023上?廣東茂名?八年級統考期中）已知J12.34=3.512,J123.4=11.108,則

71234=()

A.35.12B.351.2C.111.08D.1110.8

6.（2024上?四川遂寧?九年級統考期末）下列運算正確的是（）

A.應+石=君B.272x73=6A/2C.次十&=2D.3A/2-A/2=3

7.（2024上?重慶沙坪壩?九年級統考期末）估計有x（岔+q）的值應在（）

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

8.（2022下?四川綿陽?八年級四川省綿陽南山中學雙語學校校考階段練習）某直角三

角形的面積為5君，其中一條直角邊長為加，則其中另一直角邊長為（）

A.2石B.5A/2C.5A/5D.2A/10

9.（2011上,安徽蕪湖?九年級統考期中）把％口根號外的因式移入根號內的結果是（）

Va

A.yj—aB.->J—aC.y/aD.-y/a

10.（2024上?四川樂山?九年級統考期末）已知a=，3+若,6=,3-石，則（）

A.72B.&C.75D.2加

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.（2020下?福建南平?七年級統考期中）已知同是正整數，則實數n的最小值是.

12.（2024上?河南洛陽?九年級統考期末）寫一個實數x,使（G+1）無運算的結果為有

理數，x可以是（寫出一個即可）.

13.（2022下?黑龍江哈爾濱?七年級統考期末）計算石（指+5）=.

14.（2023下?云南楚雄?八年級統考期中）方程&x=l的解為.

15.（2020上?江西景德鎮?七年級景德鎮一中校考期中）化簡J14-86=

16.（2023下?上海嘉定,七年級校考階段練習）比較大小：-2瓜-3A/2.

17.（2024上?江西南昌?八年級南昌市育新學校校聯考期末）已知y=+應--3，

貝/__________

6二7七，則力2+/+7的值為—

18.（2019下?八年級課時練習）已知”=7=

三'解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）（2023下?浙江杭州?八年級統考期末）計算：斤圓圓的做法是

A/52+122=^/F+^/12?=5+12=17.

圓圓的解答正確嗎？如果不正確，請寫出正確的解答過程.

20.（8分）（2024上?福建三明?八年級統考期末）計算

⑴厲-岳+厄;(2)(有+2@(石-2⑹.

21.（10分）（2024上?陜西咸陽?八年級統考期末）當〃=3+20,6=3-2&,求

代數式3必的值.

22.(10分)(2022上?福建寧德?八年級校考期中)根據學習"數與式”積累的經驗,

探究下面二次根式的運算規律.

(1)將題目中的橫線處補充完整；

(2)若〃為正整數，用含〃的代數式表示上述運算規律，并加以證明;

(3)計算：J2021+—^—xV4046

V2023

23.(10分)(2024上?江西南昌?八年級南昌市育新學校校聯考期末)規定用符號[司

表示一個實數的整數部分，例如[9]=3,[1.23]=1,并且規定一個實數減

去它的整數部分表示這個實數的小數部分，按此規定解答問題：

(1)[VM]=_,而的小數部分為二

(2)若a,b分別是(2君-20)x&的整數部分和小數部分，求0,6的值.

(3)求:=_(直接寫出結果)

b一

24.（12分）（2023上?山東荷澤?八年級校考階段練習）小明在解決問題：已知。=5出,

求2/-8〃+1的值，他是這樣分析與解答的:

_1_2-73萬

回a-2=—yfi-

團(a—2)2=3,BPa2-4a+4=3.

回°?_4。=_],回2a~—8a+1=2(。一一4。)+1=2x(—1)+1=_1.

請你根據小明的分析過程，解決如下問題:

⑴計算：高

+++，，+；

(2)計算：727I73W2V473'A/2024+V2023

若"金2，求2a2—8。+1的值.

(3)

參考答案:

1.A

【分析】本題考查二次函根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的相關知識是解題的關鍵.根據二次根式

的被開方數是非負數，即可求解.

【詳解】解：若式子向^在實數范圍內有意義，

貝!I無+3>0

x的取值范圍是：^>-3.

故選：A.

2.B

【分析】本題考查最簡二次根式的判斷，根據："被開方數不含分母，不含能開方開的盡的因數或因式的二

次根式是最簡二次根式”，進行判斷即可.

【詳解】解：A、不是二次根式，不符合題意；

B、是最簡二次根式，符合題意；

C、被開方數含有分母，不是最簡二次根式，不符合題意；

D、后=后,被開方數含有分母’不是最簡二次根式’不符合題意；

故選B.

3.C

【分析】根據二次根式的乘法得到四、石=面，又由血及6=b即可得到答案.

【詳解】解：^^2x^/3=y/69V2=a?A/3=b,

0=ab，

故選：C.

【點撥】此題考查了二次根式的乘法，得到收義道=痣是解題的關鍵.

4.C

【分析】本題考查了同類二次根式，幾個二次根式化成最簡二次根式后被開方數相同，這幾個二次根式叫

同類二次根式，同類二次根式可以進行合并，將選項依次化簡即可確定.

【詳解】解：A,712=273,不能與布合并；

B,樞=2版,不能與否合并；

C,724=2^,能與布合并；

D,國不能與"合并；

故選c.

5.A

【分析】本題主要考查算術平方根的知識，根據&i§Z=J12.34xl00計算得出結論即可.

【詳解】解：EIJ12.34=3.512,

EIJ1234=112.34x100=3.512x10=35.12,

故選：A.

6.C

【分析】本題考查二次根式計算.根據題意逐一對選項進行計算即可得到本題答案.

【詳解】解：回&+g已是最簡不可計算，故A選項不正確；

02A/2X>/3=2A/6,故B選項不正確；

團次+收=2,故C選項正確；

回3后-忘=2正，故D選項不正確，

故選：C

7.C

【分析】本題考查的是無理數的估算，二次根式的乘法運算，熟記運算法則以及估算方法是解本題的關鍵.先

計算二次根式的乘法再估算即可.

【詳解】解：6、(&+&)=3,

03<V1?<4,

06<3+715<7,

073x(73+75)的值應在6和7之間，

故選C

8.B

【分析】利用三角形的面積公式列式計算即可.

【詳解】解：由題意得，其中另一直角邊長為：2x5百十9=*=2=5近，

V10V2

故選:B.

【點撥】此題考查二次根式的除法，掌握三角形的面積公式是解決問題的關鍵.

9.C

【分析】利用二次根式的性質直接化簡得出即可.

【詳解】解：由題意可知：aX),

@Ja?x—=.

故選：C.

【點撥】此題主要考查了復合二次根式的化簡，正確確定二次根式的符號是解題關鍵.

10.A

【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，將。、b的值代入式子少中，轉化成完全平方的形式化簡根號,

再進行開方即可求得答案.

【詳解】解：???〃=[3+百,b=b有

ci—b—^3+A/5—^3—y/s

—鄧3+同_2?3+⑹[3—灼+(53—可

=3+75-2x2+3-75

=6—4

=2

a—b=±5/2

a>b

.,.a—b=\/2

故答案選A

1

11.——

18

【分析】根據二次根式的性質進行分析求值.

【詳解】解：團呵是正整數，且最小的正整數是1,

團當〃=■，此時[18n=1,

18

的最小值為上，

18

故答案為：—.

lo

【點撥】本題考查的是二次根式的定義和二次根式的化簡，屬于常考題型，熟練掌握二次根式的基本知識

是解題的關鍵.

12.(73-1)(答案不唯一).

【分析】本題考查了二次根式的計算，熟練掌握二次根式的運算法則是關鍵.根據平方差公式計算即可.

【詳解】解：?.?（百+1）（G-1）=3-1=2.

可以是（6-1）（答案不唯一）.

故答案為：（班-1）（答案不唯一）.

13.5+5A/5/5A/5+5

【分析】利用二次根式的乘法運算法則即可求解.

【詳解】解：原式=布乂#+#x5=5+5垂

故答案為：5+575

【點撥】本題考查二次根式的乘法運算.掌握二次根式運算法則是關鍵.

14.x=----

2

【分析】化系數為1,即可求解.

【詳解】解：回缶=1，

Ex=—.

2

故答案為：x=^--

2

【點撥】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關鍵.

15.2A/2-A/6

【分析】將原式化為《峋2+附-2x屈乂般,再利用二次根式的性質化簡即可.

【詳解】解：714-873

=6+8-2><#><際

=J（@+（2,限遮

=J（"一2可

=20-通

故答案為：2虎-癡.

【點撥】本題考查了二次根式的性質與化簡，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

16.<

【分析】根據二次根式的性質即可求解.

【詳解】解：0-2A/6=-V24,-3A/2=-V18,

回扃〉如，

0-V24<-A/18,

故答案為：<.

【點撥】此題主要考查二次根式的大小比較，解題的關鍵是熟知二次根式的性質.

1

17.-

4

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，積的乘方，幕的乘方逆用法則，熟記二次根式被開方數為非

負數并熟練掌握積的乘方，幕的乘方逆用法則是解題的關鍵.

根據二次根式有意義的條件求出X,進而得出外根據積的乘方，幕的乘方逆用法則將無2儂/變形為

（孫產2,代入X,y求解即可.

【詳解】解：

解得：J[x>'2

團％=2,

0y=0+0——=——,

22

將x=2,y=_：代入,

故答案為:

18.5.

【分析】將。與6分母有理化后，代入原式計算即可得到結果.

【詳解】加=石匕=石+2b=y/5+2=y^~2,回原式=,9+4石+9-4有+7=后=5.

故答案為5.

【點撥】本題考查了分母有理化，熟練掌握平方差公式是解答本題的關鍵.

19.不正確，過程見解析

【分析】利用二次根式的性質進行化簡求值，即可得到答案.

【詳解】解：不正確，解題過程如下：

^52+122=^/25+144=^/i69=13-

【點撥】本題考查了二次根式的性質，熟練掌握二次根式的性質是解題關鍵.注意如果被開方數是代數式

和的形式，不能直接拆分.

20.(1)0

⑵-7

【分析】本題考查了二次根式的混合運算.

(1)先進行化簡，再進行二次根式的加減即可求解；

(2)利用平方差公式進行計算即可求解.

【詳解】(1)解：V27-V75+V12=3A/3-5^+2A/3=0；

(2)解：(若+2g)(君-26)=(新『-(26『=5-12=-7.

21.31

【分析】本題考查了求代數式的值，由已知條件可得。-6=4亞，ab=l,將代數式化為(a-》)?-然后

代入運算即可求解；掌握整體代換法求代數式的值是解題的關鍵.

【詳解】解：?.?4+3+2應，b=3-2日

:.a-b

=3+20-3+20

=4\/2)

"=(3+20)(3-2衣

原式=(a——cib

=(4A/2)2-1

25

22.(1)

(3)2022近

【分析】（1）根據所給的等式的形式進行求解即可;

1

（2）分析所給的等式不難得第"個等式為:n-\-------對等式左邊進行整理即可得證;

n+2V及+2

（3）利用（2）中的規律進行求解即可.

證明：左邊=(〃+1).―--=右邊,

yn+2

故等式成立;

72x2023

=2022應.

【點撥】本題主要考查二次根式的混合運算，數字的變化規律，解答的關鍵是由所給的等式總結出存在的

規律.

23.(1)3,V14-3

(2)a=2,b=2A/10—6

(3)710+3

【分析】本題考查了二次根式的混合運算和無理數的估算，正確進行無理數的大小的估算是解題的關鍵.

（1）估算出無理數的范圍，從而得到無理數的整數部分和小數部分；

（2）根據二次根式的混合運算化簡，估算出無理數的范圍，得到無理數的整數部分和小數部分.

（3）根據（2）將0、6的值代入求解即可.

【詳解】(1)09<14<16,

03<A/14<4.

回[呵=3,

0A/14的小數部分為-3，

故答案為：3,V14-3;

(2)(2A/5-2A/2)XA/2=(720-78)x72=740-716=2A/10-4,

EI6<-\/40<7,

02<2>/10-4<3,

0a=2,6=2廂-4-2=29-6.

(