專題26概率統計（解答題壓軸題）

目錄

①概率與函數........................................................1

②概率與數列........................................................3

③概率綜合..........................................................6

④二項分布..........................................................8

⑤超幾何分布.......................................................11

⑥正態分布.........................................................13

⑦非線性回歸分析...................................................17

①概率與函數

1.（2023秋?江西新余?高三新余市第一中學校考開學考試）現如今國家大力提倡養老社會化、市場化，老

年公寓是其養老措施中的一種能夠滿足老年人的高質量、多樣化、專業化生活及療養需求.某老年公寓負責

人為了能給老年人提供更加良好的服務，現對所入住的120名老年人征集意見，該公寓老年人的入住房間

類型情況如下表所示：

雙人間三人間

入住房間的類型單人間

人數366024

⑴若按入住房間的類型采用分層抽樣的方法從這120名老年人中隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽

取4人進行詢問，記隨機抽取的4人中入住單人間的人數為九求自的分布列和數學期望.

⑵記雙人間與三人間為多人間，若在征集意見時要求把入住單人間的2人和入住多人間的機（機＞2且

〃[wN*）人組成一組，負責人從某組中任選2人進行詢問，若選出的2人入住房間類型相同，則該組標為I,

否則該組標為II.記詢問的某組被標為II的概率為P.

（i）試用含旭的代數式表示P；

(ii)若一共詢問了5組，用g(p)表示恰有3組被標為的概率，試求g(p)的最大值及此時機的值.

2.(2023春?廣東?高二校聯考期末)為落實立德樹人根本任務，堅持五育并舉全面推進素質教育，某學校

舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區，三個校區的隊員人數分別是

3,4,5.本次決賽的比賽賽制采取單循環方式，即每名隊員進行11場比賽(每場比賽都采取5局3勝制)，

最后根據積分選出最后的冠軍.積分規則如下：比賽中以3:0或3:1取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分;

而在比賽中以3:2取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設每局比賽張

三取勝的概率均為

(1)比賽結束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區的概率是多少？

(2)第10輪比賽中，記張三3:1取勝的概率為/(p),求出了(。)的最大值點P0.

3.(2023?全國?高三專題練習)某企業包裝產品時，要求把2件優等品和“(”22,且〃eN*)件一等品裝在

同一個箱子中，質檢員從某箱子中摸出兩件產品進行檢驗，若抽取到的兩件產品等級相同則該箱產品記為A,

否則該箱產品記為從

⑴試用含"的代數式表示某箱產品抽檢被記為B的概率P；

(2)設抽檢5箱產品恰有3箱被記為5的概率為了(0),求當”為何值時，/(P)取得最大值，并求出最大值.

4.（2023秋?貴州?高三凱里一中校聯考開學考試）為了豐富學生的課外活動，某中學舉辦羽毛球比賽，經

過三輪的篩選，最后剩下甲、乙兩人進行最終決賽，決賽采用五局三勝制，即當參賽甲、乙兩位中有一位

先贏得三局比賽時，則該選手獲勝，則比賽結束.每局比賽皆須分出勝負，且每局比賽的勝負不受之前比賽

結果影響.假設甲在每一局獲勝的概率均為。（。<P<1）.

⑴若比賽進行三局就結束的概率為/■（0,求/（。）的最小值；

（2）記（1）中，“P）取得最小值時，。的值為4,以P。作為。的值，用X表示甲、乙實際比賽的局數，求

X的分布列及數學期望E（X）.

②概率與數列

1.（2023?浙江?模擬預測）立德中學有甲、乙兩家餐廳，如果趙同學上一天去甲餐廳用午餐，那么下一天去

甲餐廳的概率為0.6,如果上一天去乙餐廳用午餐，那么下一天去甲餐廳的概率為0.8,已知趙同學第一天

去甲餐廳用午餐的概率為05

⑴求趙同學第二天去乙餐廳用午餐的概率；

⑵設趙同學第〃去甲餐廳用午餐的概率為月,，判斷4與心的大小，并求乙.

2.（2023春?山西運城?高二校聯考階段練習）設一個正三棱柱ABC-每條棱長都相等，一只螞蟻

從上底面ABC的某頂點出發，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行

的概率相等，且每次爬行都相互獨立.若螞蟻爬行”次后，仍然在上底面的概率為￡.

⑴求片之;

（2）求月的表達式.

3.（2023?全國?高三專題練習）某幾位大學生自主創業創辦了一個服務公司提供A、8兩種民生消費產品

（人們購買時每次只買其中一種）服務，他們經過統計分析發現：第一次購買產品的人購買A的概率為不、

113

購買3的概率為:，而前一次購買A產品的人下一次來購買A產品的概率為:、購買8產品的概率為前

344

一次購買B產品的人下一次來購買A產品的概率為1、購買B產品的概率也是如此往復.記某人第〃次

來購買A產品的概率為

（1）求尸2,并證明數列是等比數列；

（2）經過一段時間的經營每天來購買產品的人穩定在800人，假定這800人都已購買過很多次該兩款產品，

那么公司每天應至少準備A、B產品各多少份.（直接寫結論、不必說明理由）.

4.（2023?全國?高三專題練習）某景點上山共有999級臺階，寓意長長久久.甲上臺階時，可以一步上一個

臺階，也可以一步上兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為1每步上兩個臺階的概率為2:，為了簡便描

述問題，我們約定，甲從0級臺階開始向上走，一步走一個臺階記1分，一步走兩個臺階記2分，記甲登

上第"個臺階的概率為匕，其中weN*,且"V998.證明：數列｛匕「與｝是等比數列.

5.（2023?全國?高三專題練習）足球是一項大眾喜愛的運動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰將在2022年11月

21日打響，決賽定于12月18日晚進行，全程為期28天.某校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進行

傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如

此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者，第九次觸球者是甲的概率

記為P”,即q=L

⑴求乙（直接寫出結果即可）；

（2）證明：數列［匕為等比數列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小.

6.（2023秋?安徽合肥?高三合肥一中校聯考開學考試）為慶祝中國共產黨成立102周年，學校某班組織開

展了"學黨史，憶初心"黨史知識競賽活動，抽取四位同學，分成甲、乙兩組，每組兩人，進行對戰答題.規

則如下：每次每位同學給出6道題目，其中有一道是送分題（即每位同學至少答對1題）.若每次每組答對

的題數之和為3的倍數，原答題組的人再繼續答題；若答對的題數之和不是3的倍數，就由對方組接著答

題.假設每位同學每次答題之間相互獨立.求：

⑴若第一次由甲、乙組答題是等可能的，求第2次由乙組答題的概率；

⑵若第一次由甲組答題，記第〃次由甲組答題的概率為匕，求匕.

③概率綜合

1.(2023?河北滄州?校考三模)甲、乙、丙三人進行臺球比賽，比賽規則如下：先由兩人上場比賽，第三

人旁觀，一局結束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規則循環下去.若比賽中有人

累計獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結束，三人經過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.

根據以往經驗，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為乙、丙比賽乙勝概率為《，丙、甲比賽丙勝概率

為:，每局比賽相互獨立且每局比賽沒有平局.

⑴比賽完3局時，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；

(2)已知比賽進行5局后結束，求甲獲得最終勝利的概率.

2.(2023?全國?學軍中學校聯考模擬預測)雙淘汰賽制是一種競賽形式，比賽一般分兩個組進行，即勝者

組與負者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝者組，失敗者編入負者組繼續比賽.之后的每一輪，在負者組中

的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負者組，只有在負者組中再

次失敗后才會被淘汰出整個比賽.A、B、C、D四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場比賽為決

(1)假設四人實力旗鼓相當，即各比賽每人的勝率均為50%,求：

①隊伍A和D在決賽中過招的概率；

②D在一共輸了兩場比賽的情況下，成為亞軍的概率；

⑵若A的實力出類拔萃，即有A參加的比賽其勝率均為75%,其余三人實力旗鼓相當，求D進入決賽且先

前與對手已有過招的概率.

3.（2023?湖北咸寧?校考模擬預測）北京時間2021年11月7日凌晨1點，來自中國賽區的aG戰隊，捧

起了英雄聯盟sn全球總決賽的冠軍獎杯.據統計，僅在歷/沏,〃平臺,S11總決賽的直播就有3.5億人觀看.電

子競技作為正式體育競賽項目已經引起越來越多的年輕人關注.已知該項賽事的季后賽后半段有四支戰隊

參加，采取"雙敗淘汰賽制”，對陣表如圖，賽程如下:

第一輪：四支隊伍分別兩兩對陣（即比賽1和2）,兩支獲勝隊伍進入勝者組，兩支失敗隊伍落入敗者組.

第二輪：勝者組兩支隊伍對陣（即比賽3）,獲勝隊伍成為勝者組第一名，失敗隊伍落入敗者組；第一輪落

入敗者組兩支隊伍對陣（即比賽4）,失敗隊伍（已兩敗）被淘汰（獲得殿軍），獲勝隊伍留在敗者組.

第三輪：敗者組兩支隊伍對陣（即比賽5）,失敗隊伍被淘汰（獲得季軍）;獲勝隊伍成為敗者組第一名.

第四輪：敗者組第一名和勝者組第一名決賽（即比賽6）,爭奪冠軍.假設每場比賽雙方獲勝的概率均為

0.5,每場比賽之間相互獨立.問:

⑴若第一輪隊伍A和隊伍D對陣，則他們仍能在決賽中對陣的概率是多少？

（2）已知隊伍8在上述季后賽后半段所參加的所有比賽中，敗了兩場，求在該條件下隊伍B獲得亞軍的概率.

4.（2023秋?廣東佛山?高三統考開學考試）某電子公司新開發一款電子產品，該電子產品的一個系統G由

3個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率為且每個電子元件能否正常工作是相互獨立，若系

統G中有超過一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作，否則就需要維修.

（1）求系統需要維修的概率；

（2）為提高系統G正常工作的概率，在系統內增加兩個功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個新元件正

常工作的概率為且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作.問：。滿足什么條

件時可以提高整個系統G的正常工作概率？

5.（2023春?福建?高一福建師大附中校考期末）雙淘汰賽制是一種競賽形式，比賽一般分兩個組進行，即

勝者組與負者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝者組，失敗者編入負者組繼續比賽，之后的每一輪，在負

者組中的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負者組，只有在負者

組中再次失敗后才會被淘汰出整個比賽4、B、C、。四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場

比賽為決賽.

⑴假設四人實力旗鼓相當，即各比賽每人的勝率均為50%,求：

①A獲得季軍的概率；

②。在一共輸了兩場比賽的情況下，成為亞軍的概率；

（2）若4的實力出類拔萃，有4參加的比賽其勝率均為75%,其余三人實力旗鼓相當，求。進入決賽且先前

與對手已有過招的概率.

④二項分布

1.（2023秋?云南?高三校聯考階段練習）某公司有A,B,C,D,E五輛汽車，其中A車的車牌尾號為1,

3車的車牌尾號為2,C車的車牌尾號為5,。車的車牌尾號為9,E車的車牌尾號為8.已知在車輛限行日，

車輛禁止出車，在非車輛限行日，每輛車都有可能出車或不出車，且A,B,C三輛汽車在非車輛限行日出

車的概率均為J,D,E兩輛汽車在非車輛限行日出車的概率均為:，且五輛汽車是否出車相互獨立.該公

/3

司所在地區汽車限行規定如下:

汽車車牌尾號車輛限行日

1和6星期一

2和7星期二

3和8星期三

4和9星期四

0和5星期五

(1)求星期三該公司恰有兩輛車出車的概率；

⑵求星期一該公司出車數量的分布列和期望.

2.(2023秋?云南曲靖?高三曲靖一中校考階段練習)某中學高三年級為豐富學生課余生活，減輕學習壓力,

組建了籃球社團.為了了解學生喜歡籃球是否與性別有關，隨機抽取了該年級男、女同學各50名進行調查,

部分數據如表所示:

喜歡籃球不喜歡籃球合計

男生20

女生15

合計

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

(1)根據所給數據完成上表，依據。=0.005的獨立性檢驗，能否有99.5%的把握認為該校高三年級學生喜歡

籃球與性別有關？

⑵社團指導老師從喜歡籃球的學生中抽取了2名男生和1名女生示范罰分線處定點投籃.已知這兩名男生進

球的概率均為彳，這名女生進球的概率為每人投籃一次，假設各人進球相互獨立，求3人進球總次數X

的分布列和數學期望.

3.(2023秋?山西大同?高三校聯考階段練習)近日，某企業舉行"猜燈謎，鬧元宵”趣味競賽活動，每個員

工從8道謎語中一次性抽出4道作答.小張有6道謎語能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語能猜中的概率

均為。(0＜。＜1)，且猜中每道謎語與否互不影響.

⑴分別求小張，小王猜中謎語道數的分布列；

(2)若預測小張猜中謎語的道數多于小王猜中謎語的道數，求。的取值范圍.

4.(2023秋?重慶開州?高三重慶市開州中學校考階段練習)某學校為了提升學生學習數學的興趣，舉行了"趣

味數學"闖關比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對一道題積1分.已知小明同學能答對10

道題中的6道題.

(1)求小明同學在一輪比賽中所得積分X的分布列和期望；

(2)規定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關成功，若參賽者每輪闖關成功的概率穩定且每輪是否闖

關成功相互獨立，問：小明同學在5輪闖關比賽中，需幾次闖關成功才能使得對應概率取值最大?

5.（2023秋?安徽?高三安徽省馬鞍山市第二十二中學校聯考階段練習）統計學是通過收集數據和分析數據

來認識未知現象的一門科學.面對一個統計問題，首先要根據實際需求，通過適當的方法獲取數據，并選擇

適當的統計圖表對數據進行整理和描述，在此基礎上用各種統計方法對數據進行分析，從樣本數據中提取

需要的信息，推斷總體的情況，進而解決相應的實際問題.概率論是研究隨機現象數量規律的數學分支.概率

是對隨機事件發生可能性大小的度量，它已滲透到我們的日常生活中，成為一個常用詞匯.同學們在學完高

中統計和概率相關章節后，探討了以下兩個問題，請幫他們解決：

⑴從兩名男生（記為片和與）、兩名女生（記為G|和&）中任意抽取兩人，分別寫出有放回簡單隨機抽樣、

不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間，并分別計算在三種抽樣方式下抽到的兩人都是

男生的概率，結合計算結果分析三種抽樣；

⑵一個袋子中有100個除顏色外完全相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作

為樣本.用X表示樣本中黃球的個數，分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列和數學期望.結合計算

結果分析兩種摸球方式的特點.

⑤超幾何分布

1.（2023秋?高二課時練習）從一副去掉大小王牌的52張撲克牌中任取5張牌，用X表示其中黑桃的張數.

求X的分布、期望與方差.

2.(2023?陜西商洛?陜西省丹鳳中學校考模擬預測)某乒乓球隊訓練教官為了檢驗學員某項技能的水平，

隨機抽取100名學員進行測試，并根據該項技能的評價指標，按

[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

率

頻

距

組

so44

o4O

oS.Q

So28

S

o20

So16

OO8

O6065707580859095100評價指標

(1)求。的值，并估計該項技能的評價指標的中位數(精確到0.1);

(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標在[70,75)和[85,90)內的學員中隨機抽取12名，再從這12名學員中隨

機抽取5名學員，記抽取到學員的該項技能的評價指標在[70,75)內的學員人數為X,求X的分布列與數學

期望.

3.(2023?全國?高二專題練習)《中國制造2025》是經國務院總理李克強簽批，由國務院于2015年5月印

發的部署全面推進實施制造強國的戰略文件，是中國實施制造強國戰略第一個十年的行動綱領.制造業是

國民經濟的主體，是立國之本、興國之器、強國之基.發展制造業的基本方針為質量為先，堅持把質量作為

建設制造強國的生命線.某制造企業根據長期檢測結果，發現生產的產品質量與生產標準的質量差都服從正

態分布并把質量差在(〃-b,〃+b)內的產品為優等品，質量差在(〃+G〃+2b)內的產品為一等

品，其余范圍內的產品作為廢品處理，優等品與一等品統稱為正品.現分別從該企業生產的正品中隨機抽

取1000件，測得產品質量差的樣本數據統計如下：

(2)根據大量的產品檢測數據，檢查樣本數據的方差的近似值為100,用樣本平均數作為〃的近似值，用樣本

標準差s作為b的估計值，求該廠生產的產品為正品的概率.(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)

［參考數據：若隨機變量自服從正態分布貝hP(〃-+b卜0.6827,

P(//-2cr<^<//+2a)?0.9545,尸(〃一3crWjW〃+3a)?0.9973.

⑶假如企業包裝時要求把3件優等品和4件一等品裝在同一個箱子中，質檢員每次從箱子中摸出三件產品

進行檢驗，記摸出三件產品中優等品的件數為X,求X的分布列以及期望值.

4.(2023春?安徽宣城?高二統考期末)中國乒乓球隊號稱夢之隊，在過往的三屆奧運會上，中國代表團包

攬了全部12枚乒乓球金牌，在北京奧運會上，甚至在男女子單打項目上包攬了金銀銅三枚獎牌.為了推動世

界乒乓球運動的發展，增強比賽的觀賞性，2021年世界乒乓球錦標賽在乒乓球雙打比賽中允許來自不同協

會的運動員組隊參加，現有來自甲協會的運動員5名，其中種子選手3名；乙協會的運動員3名，其中種子

選手2名，從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽

(1)設A為事件"選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協會”，求事件A發生的概率;

⑵設X為選出的4人中種子選手的人數，求隨機變量X的分布列，并求E(X).

⑥正態分布

1.(2023?廣西柳州?統考模擬預測)新高考改革后廣西采用"3+1+2”高考模式，"3"指的是語文、數學、外語，

這三門科目是必選的；"1"指的是要在物理、歷史里選一門；"2"指考生要在生物學、化學、思想政治、地理4門

中選擇2門.

⑴若按照"3+1+2”模式選科，求甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數；

(2)某教育部門為了調查學生語數外三科成績，現從當地不同層次的學校中抽取高一學生5000名參加語數外

的網絡測試、滿分450分，假設該次網絡測試成績服從正態分布N（240,602）.

①估計5000名學生中成績介于120分到300分之間有多少人；

②某校對外宣傳“我校200人參與此次網絡測試，有10名同學獲得430分以上的高分"，請結合統計學知識

分析上述宣傳語的可信度.

附：P（〃—b4X4〃+b）a0.6827,-2<r<X<//+2（r）?0.9545,P（〃一X4〃+3cr卜0.9973.

2.（2023?江蘇揚州?統考模擬預測）隨著網絡技術的迅速發展，各種購物群成為網絡銷售的新渠道.在鳳

梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售鳳梨的數量情況如下：

鳳梨數量（盒）[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]

購物群數量（個）12m2032m

⑴求實數機的值，并用組中值估計這100個購物群銷售風梨總量的平均數（盒）；

⑵假設所有購物群銷售鳳梨的數量X服從正態分布其中〃為（1）中的平均數，4=12100.若

該鳳梨基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售風梨的數量在［266,596）（單位：盒）內的群為“一級群”,

銷售數量小于266盒的購物群為"二級群"，銷售數量大于等于596盒的購物群為“優質群”.該鳳梨基地對每

個"優質群”獎勵1000元，每個"一級群"獎勵200元，"二級群"不獎勵，則該風梨基地大約需要準備多少資

金？（群的個數按四舍五入取整數）

附：若X服從正態分布X~〃），貝U尸（〃一CT<X<〃+。0.683,尸（〃-2。<X<〃+2。）。0.954,

P（〃—3cr<X<〃+3b）a0.997.

3.（2023?廣東?校聯考模擬預測）某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關活動，并對每一關根據難度進

行賦分，競猜活動共五關，規定：上一關不通過則不進入下一關，本關第一次未通過有再挑戰一次的機會，

兩次均未通過，則闖關失敗，且各關能否通過相互獨立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關活動.

（1）若甲第一關通過的概率為:，第二關通過的概率為求甲可以進入第三關的概率；

J6

（2）已知該闖關活動累計得分服從正態分布，且滿分為450分，現要根據得分給共2500名參加者中得分前

400名發放獎勵.

①假設該闖關活動平均分數為171分,351分以上共有57人，己知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵，

請說明理由；

②丙得知他的分數為430分，而乙告訴丙："這次闖關活動平均分數為201分，351分以上共有57人"，請

結合統計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真偽.

附：若隨機變量貝I］尸（〃一crVXW〃+<T）B0.6827；P（//-2cr<X<//+2cr）?0.9545；

P（〃一3crVX<〃+3b）~0.9973.

4.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學校考模擬預測）2022年，隨著最低工資標準提高，商品價格上漲,

每個家庭的日常消費也隨著提高，某社會機構隨機調查了200個家庭的日常消費金額并進行了統計整理，

得到數據如下表：

消費金額（千元）[2,3)[34)[4,5)[5,6)[6,7)[7用

人數406040302010

以頻率估計概率，如果家庭消費金額可視為服從正態分布NJ。?），4分別為這200個家庭消費金額的

平均數元及方差52（同一區間的花費用區間的中點值替代）.

⑴求元和S2的值;

⑵試估計這200個家庭消費金額為［2.86,7.18］的概率（保留一位小數）；

⑶依據上面的統計結果，現要在10個家庭中隨機抽取4個家庭進行更細致的消費調查，記消費金額為

［2.86,7.18］的家庭個數為X,求X的分布列及期望.

參考數據：42.06"44；

若隨機變量4~N（〃b2）,則尸（〃一。<。4〃+。）=。.6827,P（〃一2bVJV〃+2b）=0.9545,

尸+=0.9973.

5.（2023?福建寧德?福建省寧德第一中學校考二模）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀

逐漸成為許多人的一種生活習慣，每年4月23日為世界讀書日.某研究機構為了解某地年輕人的閱讀情況，

通過隨機抽樣調查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統計，得到樣本的頻率分

布直方圖，如圖所示.

A頻率

［礪

0.045r..............—I

0.020.................—

0.010…L

嘴

u5060708090100分鐘

⑴根據頻率分布直方圖，估計這100位年輕人每天閱讀時間的平均數工(單位：分鐘)；(同一組數據用該

組數據區間的中點值表示)

(2)若年輕人每天閱讀時間X近似地服從正態分布N(〃,100),其中〃近似為樣本平均數最，求P(64<XW94)；

⑶為了進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組［50,60),

［60,70),［80,90)的年輕人中抽取10人，再從中任選3人進行調查，求抽到每天閱讀時間位于［80,90)的人

數4的分布列和數學期望.

附參考數據：若，則①尸(〃-6<XV〃+6)=0.6827；②尸(〃-25<X<〃+25)=0.9545；③

P(M—36<XW〃+35)=0.9973.

6.(2023?廣西?校聯考模擬預測)為深入學習黨的二十大精神，我校團委組織學生開展了“喜迎二十大，奮

進新征程"知識競賽活動，現從參加該活動的學生中隨機抽取了100名，統計出他們競賽成績分布如下：

成績(分)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數242240284

⑴求抽取的100名學生競賽成績的方差d(同一組中數據用該組區間的中點值為代表)；

⑵以頻率估計概率，發現我校參賽學生競賽成績X近似地服從正態分布其中〃近似為樣本平均

分無，接近似為樣本方差$2,若<X4〃+2b,參賽學生可獲得“參賽紀念證書？”；若X>〃+2b,

參賽學生可獲得“參賽先鋒證書”.

①若我校有3000名學生參加本次競賽活動，試估計獲得"參賽紀念證書”的學生人數(結果保留整數)；

②試判斷競賽成績為96分的學生能否獲得"參賽先鋒證書”.

附：若X~N(〃,cr2),則尸(〃一b<XV〃+b)土0.6827,P("—2b<XW〃+2b)20.9545,

尸(〃-3。<X4M+3b)B0.9973；抽取的這100名學生競賽成績的平均分元=75.

⑦非線性回歸分析

1.(2023?四川綿陽,統考二模)抗體藥物的研發是生物技術制藥領域的一個重要組成部分，抗體藥物的攝

入量與體內抗體數量的關系成為研究抗體藥物的一個重要方面.某研究團隊收集了10組抗體藥物的攝入量

與體內抗體數量的數據，并對這些數據作了初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統計量的值，抗體

藥物攝入量為無(單位：mg),體內抗體數量為y(單位：AU/mL).

10101010

Zz,

力,4

i=lZ=11=1i=\

29.2121634.4

九

12--

10-,

8-?

6-?

4-.

2

O2468101214161820222426x

(1)根據經驗，我們選擇>=。尤”作為體內抗體數量y關于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將y=cxd兩邊取對

數，得lny=lnc+dln無，可以看出Inx與Iny具有線性相關關系，試根據參考數據建立V關于x的回歸方程，

并預測抗體藥物攝入量為25mg時，體內抗體數量》的值；

(2)經技術改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經試驗統計得z服從正態分布N:(0.48,0.032),那這

種抗體藥物的有效率z超過0.54的概率約為多少？

附：①對于一組數據(%,%)?=1,2,L,10),其回歸直線片向+°的斜率和截距的最小二乘估計分別為

“_

Z%匕-

尸二二，a—v—/3u;

Z-nu

i=l

②若隨機變量Z?N(〃,cr2),則有尸(〃一b<Z<//+cr)?0.6826,P(/z-2cr<Z<〃+2b)?0.9544,

尸(〃一3bvZv〃+3b)b0.9974；

③取e22.7.

2.(2023?江蘇鎮江?江蘇省鎮江中學校考三模)經觀測，長江中某魚類的產卵數》與溫度x有關，現將收集

到的溫度占和產卵數》(=1,2,…,10)的10組觀測數據作了初步處理，得到如圖的散點圖及一些統計量表.

1010101010

儲Zx￡(西-寸

1=11=1i=lZ=1Z=1

36054.5136044384

10101010

2(—)2^(x;-x)(z,-z)

1=11=1i=\i=l

3588326430

[10

表中有=百0=In%,彳=6

iu,=i

九

350-.?

300-

250-

200-?

150-*

100-?

50-,

.???

I4111II1II?

°202224262830323436%

(1)根據散點圖判斷，y=a+bx,y=n+m石與y=*濟哪一個適宜作為，與x之間的回歸方程模型并求出J

關于x回歸方程；(給出判斷即可，不必說明理由)

(2)某興趣小組抽取兩批魚卵，已知第一批中共有6個魚卵，其中"死卵”有2個；第二批中共有8個魚卵，

其中"死卵”有3個.現隨機挑選一批，然后從該批次中隨機取出2個魚卵，求取出"死卵”個數的分布列及數

學期望.

附：對于一組數據(4,耳),(名,3)「??("”#")，其回歸直線丫=。+尸"的斜率和截距的最小二乘估計分別為

B=上―------------,a^v-(3u.

E(M/-M)2

i=\

3.（2023?四川瀘州?四川省瀘縣第四中學校考模擬預測）黨的二十大報告提出，從現在起，中國共產黨的

中心任務就是團結帶領全國各族人民全面建成社會主義現代化強國、實現第二個百年奮斗目標，以中國式

現代化全面推進中華民族偉大復興.高質量發展是全面建設社會主義現代化國家的首要任務.加快實現高水

平科技自立自強，才能為高質量發展注入強大動能.某科技公司積極響應，加大高科技研發投入，現對近十

年來高科技研發投入情況分析調研，其研發投入y（單位：億元）的統計圖如圖1所示，其中年份代碼后1,

現用兩種模型①y=6x+“，②y=c+da分別進行擬合，由此得到相應的回歸方程，并進行殘差分析,

得到圖2所示的殘差圖.結合數據，計算得到如下值：

10101010

yt余行)2-(%-刃a-元)

i=\i=lZ=1i=l

752.2582.54.512028.67

[10

表中4=Z%.

,=i

⑴根據殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由；

（2）根據（1）中所選模型，求出y關于1的回歸方程；根據所選模型，求該公司2028年高科技研發投入y

的預報值.（回歸系數精確到0.01）

附：對于一組數據（XQ,）其回歸直線y=°+標的斜率和截距的最小二乘估計分別為

八￡（乙-可（y-9）.

^=J5H；----；—，a=y-bx

i=l

4.（2023?貴州畢節?統考模擬預測）某新能源汽車公司對其產品研發投資額尤（單位：百萬元）與其月銷售

量y（單位：千輛）的數據進行統計，得到如下統計表和散點圖.

⑴通過分析散點圖的特征后，計劃用

y=ln（bx+a）作為月銷售量>關于產品研發投資額x的回歸分析模型，根據統計表和參考數據，求出y關于

x的回歸方程;

⑵公司決策層預測當投資額為11百萬元時，決定停止產品研發，轉為投資產品促銷.根據以往的經驗，當投

資11百萬元進行產品促銷后，月銷售量J的分布列為:

345

321

p3PPp+d

結合回歸方程和J的分布列，試問公司的決策是否合理.

人￡（西-尤）（y-y）Exiyi-nx-y

參考公式及參考數據：?=J————------^^=y-^c,ln7-1.95.

z=li=l

y0.691.611.792.082.20

e"（保留整數）25689

5.（2023?安徽六安?安徽省舒城中學校考模擬預測）放行準點率是衡量機場運行效率和服務質量的重要指

標之一.某機場自2012年起采取相關策略優化各個服務環節，運行效率不斷提升.以下是根據近10年年份數

X；與該機場飛往A地航班放行準點率為（z=l,2,L,10）（單位：百分比）的統計數據所作的散點圖及經過

初步處理后得到的一些統計量的值.

放行準點率/百分比

84-.

83-.

82-?

81-.,

80-,

79-,

78-?

77-?

76-

75-

74----J----1----1----1----1----1----1----1----1----1----

20122013201420152016201720182019202020212022年份數

10101010

XyTz%%之入

i=li=\Z=1Z=1

2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8

_1io

其中q=如（玉_2012）,F=

1Ui=\

⑴根據散點圖判斷，y=bx+a^y=cln（x-2012）+d哪一個適宜作為該機場飛往A地航班放行準點率y關

于年份數尤的經驗回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由），并根據表中數據建立經驗回歸方程，由

此預測2023年該機場飛往A地的航班放