第十三章立體幾何初步（知識(shí)歸納+題型突破）

示要求

1.理解棱柱的定義，知道棱柱的結(jié)構(gòu)特征，并能識(shí)別和作圖.

2.理解棱錐、棱臺(tái)的定義，知道棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，并能識(shí)別和作圖.

3.理解圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義，知道這四種幾何體的結(jié)構(gòu)特征，能夠識(shí)別和區(qū)分這些幾何體.

4.會(huì)根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的幾何體特征進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算.

5.會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖.

6.會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)常見(jiàn)的柱、錐、臺(tái)以及簡(jiǎn)單組合體的直觀圖.

7.會(huì)根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算.

8.了解平面的概念，會(huì)用圖形與字母表示平面.

9.能用符號(hào)語(yǔ)言描述空間中的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.

1。.能用圖形、文字、符號(hào)三種語(yǔ)言描述三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論，理解三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論的作用.

H.了解空間兩條直線間的位置關(guān)系，理解異面直線的定義.

12.理解并掌握基本事實(shí)4和“等角”定理，并能解決有關(guān)問(wèn)題.

13.會(huì)用兩條異面直線所成角的定義，找出或作出異面直線所成的角，會(huì)在三角形中求簡(jiǎn)單的異面直線所成

的角.

14.理解直線與平面平行的定義,會(huì)用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述直線與平面平行的判定定理，

會(huì)用直線與平面平行的判定定理證明一些空間線面位置關(guān)系.

15.理解并能證明直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確定理的條件，能利用直線與平面平行的性質(zhì)定理解決有

關(guān)的平行問(wèn)題.

16.理解并掌握直線與平面垂直的定義，明確定義中“任意”兩字的重要性.

17.掌握直線與平面垂直的判定定理，并能解決有關(guān)線面垂直的問(wèn)題.

18.了解直線和平面所成的角的含義，并會(huì)求直線與平面所成的角.

19.理解點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離的概念.

20.理解直線和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言描述定理，能應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定

理解決有關(guān)的垂直問(wèn)題.

21.了解兩個(gè)平面的位置關(guān)系.

22.理解平面與平面平行的定義,會(huì)用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確描述平面與平面平行的判定定理，

會(huì)用平面與平面平行的判定定理證明空間面面位置關(guān)系.

23.理解并能證明平面與平面平行的性質(zhì)定理，能利用平面與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問(wèn)題.

24.T解兩個(gè)平行平面間的距離.

25.理解二面角的有關(guān)概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的二面角的大小.

26.理解兩平面垂直的定義，掌握兩平面垂直的判定定理.

27.理解平面和平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言描述定理，能應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理

解決有關(guān)的垂直問(wèn)題.

28.了解直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積的求法，并理解它

們之間的關(guān)系.

29.了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積的求法，并理解它們之間的關(guān)系.

30.能利用柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式求體積，理解柱體、錐體、臺(tái)體的體積之間的關(guān)系.

31.掌握球的表面積和體積公式，會(huì)計(jì)算球的表面積和體積.

32.會(huì)利用分割、補(bǔ)形求組合體的表面積和體積.

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

結(jié)構(gòu)特征及分類(lèi)圖形及記法

結(jié)構(gòu)特(1)兩個(gè)底面是全等的多邊形,且對(duì)應(yīng)邊互相E'D'

征平彳工⑵側(cè)面都是平行四邊形

側(cè)面i::)底面

側(cè)棱/；一一口/

棱E

柱按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱

分類(lèi)A頂點(diǎn)

柱……記作棱柱

ABCDEF-

ABCDEF

結(jié)構(gòu)特(1)底面是多邊形N頂點(diǎn)

征側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形

(2)側(cè))棱/側(cè)面

棱

錐按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱

分類(lèi)

錐……4B

記作

棱錐S-ABCD

用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截朵

結(jié)構(gòu)特面和底面之間的部分稱(chēng)之為棱臺(tái)4或普片上底面

征(1)上下底面互相平行，且是相似圖形側(cè)面/窈*側(cè)棱

棱臺(tái)(2)各側(cè)棱延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)

入(\/今底面

由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)頂點(diǎn)

分類(lèi)

分別為三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……記作棱臺(tái)

ABCD?A'B'C'D

2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的關(guān)系

在運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)下，棱柱、整整棱臺(tái)之間的關(guān)系可以用下圖表示出來(lái)(以三棱柱、三棱錐、三棱臺(tái)為例).

FvH上底面變小JR上底面縮小為一個(gè)點(diǎn)/k

［一一一」工底面擴(kuò)高(一一一一)頂點(diǎn)拓展為與下底/\

7/與下底面全等7/面平行，相似但不

全等的面

三樓柱三棱臺(tái)三棱錐

3.多面體

由若干個(gè)平面多邊形圍成的空間圖形叫作多面體.

4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球

分類(lèi)定義圖形及表示表示

%軸

將矩形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一母一

圓柱/一側(cè)面圓柱00'

周，形成的空間圖形叫作圓柱線

4匕gL底面

將直角三角形繞著它的一直角邊所在的直4

圓錐圓錐so

線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓錐

將直角梯形繞著它垂直于底邊的腰所在的

圓臺(tái)A圓臺(tái)00'

直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空間圖形叫作圓臺(tái)

生圓繞著它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形

球成的曲面叫作球面，球面圍成的空間圖形球。

叫作球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球0k：

5.旋轉(zhuǎn)體

一般地，一條平面曲線繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的

空間圖形稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體.圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球都是特殊的旋轉(zhuǎn)體.

母線/

圓錐面

6.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

(1)建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于。點(diǎn).畫(huà)直觀圖時(shí)把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的V軸與V

軸，兩軸交于點(diǎn)。'，并使/尤W=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面.

(2)平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于反軸或國(guó)的線段.

(3)長(zhǎng)度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原

來(lái)的一半.

7.空間幾何體直觀圖的畫(huà)法

(1)與平面圖形的直觀圖畫(huà)法相比多了一個(gè)z軸，直觀圖中與之對(duì)應(yīng)的是，軸.

(2)直觀圖中平面voy表示水平平面，平面歹0勿和V。勿表示豎直平面.

(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長(zhǎng)度都不變.

(4)成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.

8.平面

(1)平面的概念

平面是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的幾何概念.平面通常用平行四邊形來(lái)表示,當(dāng)平面水平放置的時(shí)候，一般

用水平放置颯正方域的直觀圖作為平面的直觀圖.

(2)平面的表示法

平ffi通常用希臘字母a,p,y,…表示，也可以用平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母表示；如圖的平面可

表示為平面a、平面ABCD、平面AC或平面BD.

DC

9.幾何里的平面的特點(diǎn)

⑴平面和點(diǎn)、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進(jìn)行度量.

(2)平面無(wú)厚薄、無(wú)大小，是無(wú)限延展的.

10.點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系

位置關(guān)系符號(hào)表示

點(diǎn)P在直線AB上P^AB

點(diǎn)C不在直線AB上C^AB

點(diǎn)M在平面AC內(nèi)A/e平面AC

點(diǎn)4不在平面AC內(nèi)40平面AC

直線AB與直線BC交于點(diǎn)BABHBC=B

直線AB在平面AC內(nèi)A8u平面AC

直線AAi不在平面AC內(nèi)44雙平面AC

◎微思考)

11.平面的基本事實(shí)

基本事實(shí)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言作用

過(guò)不在一條直線①確定平面的依

基本

上的三個(gè)點(diǎn)，直平面ABC據(jù)

事實(shí)1

且只有一個(gè)平面Z./②判定點(diǎn)線共面

如果一條直線上

①確定直線在平

的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)

基本面內(nèi)的依據(jù)

平面內(nèi)，那么這

事實(shí)2②判定點(diǎn)在平面

條直線在這個(gè)壬/

內(nèi)

面由

如果兩個(gè)不重合

①判定兩平面相

的平面有一個(gè)公

基本pea且pep今a交的依據(jù)

共點(diǎn)，那么它們

事實(shí)3np=/,且pe/②判定點(diǎn)在直線

有且只有一條過(guò)

上

該點(diǎn)的公共直線

基本事實(shí)1：確定平面的依據(jù)；

基本事實(shí)2：判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；

基本事實(shí)3：判定兩個(gè)平面相交的依據(jù).

12.基本事實(shí)的推論

推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

圖形語(yǔ)言表述：如圖所示.

推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.

圖形語(yǔ)言表述：如圖所示.

推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.

圖形語(yǔ)言表述：如圖所示.

13.空間直線的位置關(guān)系

(1)異面直線

定義：把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線.

(2)空間兩條直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)

平行直線在同一平面也沒(méi)有

異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒(méi)有

14.平行直線

(1)基本事實(shí)4

文字表述：平行于同一條直線的兩條直線平行.這一性質(zhì)叫作空間平行線的傳遞性.

a//b]

符號(hào)表示：r0aHc.

b//c\------

(2)"等角"定理

如果空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.

15.異面直線所成的角

(1)定理：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.

(2)異面直線所成的角

定義：。與6是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O,作直線"〃a,b'//b,我們把直線〃和，所成的銳角(或

直角)叫作異面直線6所成的角(或夾角).

范圍：設(shè)。為異面直線a與方所成的角，則0。＜。?90。.特別地，當(dāng)。=鱉時(shí)，。與。互相垂直，記作

b.

異面直線所成角的范圍是0。＜6?忘90。，所以垂直有兩種情況：異面垂直和相交垂直.

16.直線與平面平行的判定定理

文字語(yǔ)言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平

面平行

符號(hào)語(yǔ)言bua,且「〃/?=〃〃a

-------a

圖形語(yǔ)言/a--b/

17.直線與平面平行的性質(zhì)定理

一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直

文字語(yǔ)言

線與交線乎彳工

符號(hào)語(yǔ)言a//a,qu￡,aCB=b0a//b

t---X

圖形語(yǔ)言

/b/

(1)線面平行的性質(zhì)定理成立的條件有三個(gè)

①直線a與平面a平行，即a〃a；

②平面a,尸相交于一條直線，即aC4=6；

③直線a在平面「內(nèi)，即。點(diǎn).

以上三個(gè)條件缺一不可.

⑵定理的作用

①線面平行今線線平行；

②畫(huà)一條直線與已知直線平行.

(3)定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行，即通過(guò)直線與平面平行可得到直線與直線平行,

這給出了一種作平行線的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

18.直線與平面垂直

定義如果直線a與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱(chēng)直線a與平面a垂直

記法

有關(guān)直線a叫作平面a的垂線,平面a叫作直線a的垂面,垂線和平面的交點(diǎn)稱(chēng)

概念為垂足

A

a

圖示及

畫(huà)法/B/

畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直

(1)直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形.

(2)注意定義中“任意一條直線”與“所有直線”等同但不可說(shuō)成“無(wú)數(shù)條直線

19.直線與平面垂直的判定定理

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平

文字語(yǔ)言

面垂直

圖形語(yǔ)言Z

符號(hào)語(yǔ)言

a_Lmf〃_L〃,mua,nua,mC\n=A=>a-La

20.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線里在

q_La|

符號(hào)語(yǔ)言f=>a//b

b-La\

ab

圖形語(yǔ)言

①線面垂直今線線平行

作用

②作平行線

21.從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離，叫作這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.一條直線和一

個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫作這條直線和這個(gè)平面的距離.

22.直線與平面所成的角

(1)定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫作這個(gè)平面的斜線，斜線與平面的

交點(diǎn)叫作斜足,斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段.

如圖所示，過(guò)平面外一點(diǎn)P向平面a引斜線和垂線，那么過(guò)斜足。和垂足尸1的直線就是斜線在平面內(nèi)的

射影.平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳魚(yú)，叫作這條直線與這個(gè)平面所成的角.

(2)規(guī)定：如果一條直線垂直于平面，那么稱(chēng)它們所成的角是直角；如果一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，

那么稱(chēng)它們所成的角是0°角.

(3)范圍：直線與平面所成角。的范圍是0。忘。忘90。.

23.兩個(gè)平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交

公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)有一條公共直線

符號(hào)表示a//13aC\/3=l

圖形表示口

A__/4y”

24.兩個(gè)平面平行的判定定理

文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行

符號(hào)語(yǔ)言qua,b^a?_aAb=Ab//_^=>a//P

Zasy

圖形語(yǔ)言

A/

(1)平面與平面平行的判定定理中的平行于一個(gè)平面內(nèi)的“兩條相交直線”是必不可少的.

(2)面面平行的判定定理充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行.

25.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線乎衽

符號(hào)語(yǔ)言a//P，aC\y=a,.=?=>〃〃b

圖形語(yǔ)言

26.公垂線、公垂線段

與兩個(gè)平行平面都垂直的直線，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線,它夾在這兩個(gè)平行平面間的線段，叫作這

兩個(gè)平行平面的公垂線段;我們把公垂線段的長(zhǎng)度叫作兩個(gè)平行平面間的至離.

27.二面角

(1)定義：一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的西仝生生面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面

角的棱，每個(gè)半平面叫作二面角的面.

⑵圖形和記法

圖形：

記作：二面角a-AB-13.

28.二面角的平面角

(1)定義：一般地，以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成

的角叫作二面角的平面角.

⑵圖形、符號(hào)及范圍

圖形：

I

符號(hào)：OA±l,08_L/n/A0B是二面角a-//的平面角.

范圍：0OWNAOBW180。.平面角是直色的二面角叫作直二面角.

29.平面與平面垂直

(1)定義：一般地，如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角,那么就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)平面與平面垂直的判定定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂1邛

線，那么這兩個(gè)平面垂直7

Zlua

30.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,

文字語(yǔ)言

那么這條直線與另一個(gè)平面垂直

aC0=l

符號(hào)語(yǔ)言

aua

a.Ll>

圖形語(yǔ)言□

①面面垂直n線面垂直

作用

②作面的垂線

31.直棱柱、正棱錐和正棱臺(tái)的側(cè)面積

(1)有關(guān)概念：

側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱.特別地，底面為正多邊形的直棱柱叫作正棱柱.直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)就是

直棱柱的高.

如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心,那么稱(chēng)這樣的棱錐為正棱錐.正棱

錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，側(cè)面均為全等的等腰三角形.

正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫作正棱臺(tái).正棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等,側(cè)面均為

全等的等腰梯形.

(2)公式：S直棱柱惻=改(。為直棱柱的底面周長(zhǎng)，川為直棱柱的高)

S正棱鏈惻=3c〃(c為正棱錐的底面周長(zhǎng)，〃為斜高)

S正棱臺(tái)惻=；(c+c')h'(c,d分別為正棱臺(tái)的上下底面周長(zhǎng)，〃為斜高)

32.直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積之間的關(guān)系

S正檢m?（=5（c+c'）/i'

1(:，=0>[5正/卷傅=三-<：/?，

z

圓柱側(cè)=c/=2TTr4<^c=c|s圓臺(tái)側(cè)=/(c+c')，'=ir(r+r')1

1。'=0)15圓錐側(cè)=/以="〃)

35.體積公式

(1)柱體：柱體的底面面積為S,高為h,則丫=題.

(2)錐體：錐體的底面面積為S,高為h,則V=^_Sh.

(3)臺(tái)體：臺(tái)體的上、下底面面積分別為s、s,高為h,則(S'+、度+s)〃.

36.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系

1,__S'=01

V^#=Sh——?V行休=1(S'+小取+S)h——?Sh.

37.球的表面積和體積公式

4

設(shè)球的半徑為R,則球的表面積S=4TTR2；球的體積17=壬這.

對(duì)球的體積和表面律的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

⑴從公式看，球的表面積和體積的大小，只與球的半徑相關(guān)，給定R都有唯一確定的S和V與之對(duì)應(yīng)，故

表面積和體積是關(guān)于R的函數(shù).

(2)由于球的表面不能展開(kāi)成平面，所以球的表面積公式的推導(dǎo)與前面所學(xué)的多面體與旋轉(zhuǎn)體的表面積公式

的推導(dǎo)方法是不一樣的.

(3)球的表面積恰好是球的大圓(過(guò)球心的平面截球面所得的圓)面積的4倍.

重要題型

題型一棱柱的結(jié)構(gòu)特征

【例1】(1)下列命題中正確的是()

A.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫棱柱的底面

C.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形

D.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形

(2)下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法：

①所有的面都是平行四邊形；

②每一個(gè)面都不會(huì)是三角形；

③兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；

④被平面截成的兩部分可以都是棱柱.

其中正確的序號(hào)是.

思維升華

棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析技巧

⑴扣定義：判定一個(gè)幾何體是否是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義.①看“面”，即觀察這個(gè)多面體是否有兩個(gè)

互相平行的面，其余各面都是平行四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊是否平行.

(2)舉反例：通過(guò)舉反例，如與常見(jiàn)幾何體或?qū)嵨锬Ｐ汀D片等不吻合，給予排除.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖所示的三棱柱A8C-4B1G，其中E,F,G,H是三棱柱對(duì)應(yīng)邊上的中點(diǎn)，過(guò)此四點(diǎn)作截面EFG”,

把三棱柱分成兩部分，各部分形成的幾何體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號(hào)表示；如果不是，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

題型二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

【例2】下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法：

①用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái);

②棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；

③棱錐的側(cè)面只能是三角形；

④由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；

⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.

其中正確的序號(hào)是.

思維升華

判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法

（1）舉反例法

結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說(shuō)法不正確.

（2）直接法

棱錐棱臺(tái)

定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面

看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在三棱臺(tái)48C-ABC中，截去三棱錐4-ABC,則剩余部分是（）

A.三棱錐B.四棱錐

C.三棱柱D.三棱臺(tái)

2.（多選）下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形

B.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐

C.四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面

D.棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)相等

題型三旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

【例3】（多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.圓柱的底面是圓面

B.經(jīng)過(guò)圓柱任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形面

C.圓臺(tái)的任意兩條母線的延長(zhǎng)線可能相交，也可能不相交

D.夾在圓柱的兩個(gè)截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體

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(1)判斷簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法

①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；

②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.

(2)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用

①簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量;

②在軸截面中解決簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體問(wèn)題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想.

鞏固訓(xùn)練

1.給出以下說(shuō)法：

①球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心所連線段的長(zhǎng)；

②球的直徑是球面上任意兩點(diǎn)間所連線段的長(zhǎng)；

③用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面可以是一個(gè)正方形；

④過(guò)圓柱軸的平面截圓柱所得截面形狀是矩形.

其中正確的序號(hào)是.

題型四簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

【例4】如圖所示的幾何體是由下面哪一個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的()

ABCD

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不規(guī)則平面圖形旋轉(zhuǎn)形成幾何體的結(jié)構(gòu)特征的分析策略

(1)分割：首先要對(duì)原平面圖形適當(dāng)分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圓(半圓或四分之一圓)等基本

圖形.

(2)定形：然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的形成過(guò)程進(jìn)行分析.

鞏固訓(xùn)練

1.若將如圖所示的平面圖形旋轉(zhuǎn)一周，試說(shuō)出它形成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

2.已知是直角梯形ABC。中與底邊垂直的腰，如圖所示，分別以AB,BC,CD,D4所在的直線為軸旋

轉(zhuǎn)，試說(shuō)明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

AD

BC

題型五旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算問(wèn)題

【例5】如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐S。底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1：16,

截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm,求圓臺(tái)。。的母線長(zhǎng).

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解決旋轉(zhuǎn)體中計(jì)算問(wèn)題的解法

用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)（與底面全等或相似），同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)

體中的軸截面（經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的截面）的幾何性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，列出相關(guān)幾何變量的方程（組）

而解得.

［注意］在研究與截面有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意截面與物體的相對(duì)位置的變化.由于相對(duì)位置的改變，截面

的形狀也會(huì)隨之發(fā)生變化.

鞏固訓(xùn)練

1.已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是1cm,2cm,截得圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為12cm,則圓臺(tái)的母

線長(zhǎng)為.

2.某地球儀上北緯30。緯線圈的長(zhǎng)度為12兀cm,如圖所示，則該地球儀的半徑是cm.

題型六畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖

【例6】畫(huà)水平放置的直角梯形（如圖所示）的直觀圖.

0B

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畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖的關(guān)鍵及注意事項(xiàng)

(1)在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的

頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或邊與坐標(biāo)軸平行，以便于畫(huà)圖.

(2)畫(huà)圖時(shí)要注意原圖和直觀圖中線段的長(zhǎng)度關(guān)系是否發(fā)生變化.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖所示，在△ABC中，BC=8cm,8c邊上的高AZ)=6cm,試用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出其直觀圖.

題型七畫(huà)簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖

【例7】已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為2,下底面邊長(zhǎng)為6,高為4,用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出此正四棱臺(tái)的

直觀圖.

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畫(huà)空間圖形的直觀圖的原則

(1)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間圖形的直觀圖時(shí)，圖形中平行于無(wú)軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應(yīng)分別畫(huà)成平

行于v軸、y軸、y軸的線段.

⑵平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度保持不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的g.

鞏固訓(xùn)練

1.已知一棱柱的底面是邊長(zhǎng)為3cm的正方形，各側(cè)面都是矩形，且側(cè)棱長(zhǎng)為4cm,試用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出

此棱柱的直觀圖.

題型八直觀圖的還原與計(jì)算

【例8】如圖所示，梯形481C1O1是一平面圖形48C。的直觀圖.若人以=§

Ci￡)i=2,4Z)i=OZ)i=l.試畫(huà)出原四邊形，并求原圖形的面積.

A/O'

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(1)直觀圖的還原技巧

由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與v軸、y軸平行的直線或線段，且平行于v軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不變，

平行于y'軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長(zhǎng)的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即可.

(2)直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系

若一個(gè)平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S,則有￡=牛S或S=2，5S.利用這一公式可由原圖

形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積.

鞏固訓(xùn)練

1.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,那么△ABC的直觀圖9。的面積為()

A.坐cz2B.坐a2

C.幸a2D.a2

o受1O

題型九圖形、文字、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化

【例9】(1)用符號(hào)語(yǔ)言表示下面的語(yǔ)句，并畫(huà)出圖形.

平面ABD與平面BDC交于BD,平面ABC與平面ADC交于AC.

(2)將下面用符號(hào)語(yǔ)言表示的關(guān)系用文字語(yǔ)言予以敘述，并用圖形語(yǔ)言予以表示.

aC\0=l,A^l,ABca,ACu§.

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三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法

(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)

系如何，試著用文字語(yǔ)言敘述，再用符號(hào)語(yǔ)言表示.

(2)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫(huà)相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別.

鞏固訓(xùn)練

1.根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系.

(1)點(diǎn)尸與直線AB-,

⑵點(diǎn)C與直線AB；

⑶點(diǎn)M與平面AC；

(4)點(diǎn)Ai與平面AC；

(5)直線AB與直線BC；

(6)直線AB與平面AC；

(7)平面AiB與平面AC.

題型十點(diǎn)、線共面問(wèn)題

【例10］證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi).

【解析】已知：如圖所示，Zinh—A,12cl3=B,hnh—C.

求證：直線/i，b，b在同■一"平面內(nèi).

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證明點(diǎn)、線共面的常用方法

(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).

(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面a,再證明其余元素確定平面夕，最后證明平面a,2重合.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，已知a〃6〃c,ir\a=A,IC\b=B,/Cc=C.求證：直線a,b,c,/共面.

題型十一三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問(wèn)題

【例11］如圖所示，在正方體ABCD-ABiGDi中，E,尸分別為AB,A4i的中點(diǎn).求證：CE,DiF,DA

三線交于一點(diǎn).

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(1)證明三點(diǎn)共線的方法

1?￥亮篆由礪不［去后-加麗夏三￡面瓦

方法-這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3可知，

:這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上

:選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另

方法二

:，一點(diǎn)也在此直線上

(2)證明三線共點(diǎn)的步驟

步驟-一麗一明南泰魚(yú)反英法直爰于二酒

，說(shuō)明這個(gè)點(diǎn)在另兩個(gè)平面上，并且這兩個(gè)

步驟二

，平面相交

步驟三(得到交線也過(guò)此點(diǎn)，從而得到三線共點(diǎn)

鞏固訓(xùn)練

1.如圖所示，在正方體A8CZXA1B1GO1中，E,F分別為4B,AAi上的點(diǎn)且。FACE=M.求證：點(diǎn)D,

A,〃三點(diǎn)共線.

2.如圖，已知平面a,p,且aC￡=/,設(shè)在梯形A8CD中，AD//BC,且ABua,COuR求證：AB,CD,

/共點(diǎn).

A

a

B

D

3.如圖，在四邊形ABC。中，已知AB〃CD直線AB,BC,AD,￡>C分別與平面a相交于點(diǎn)E,G,H,

廳求證：E,F,G,X四點(diǎn)必定共線.

題型十二空間兩直線位置關(guān)系的判定

【例12］如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AiBiGOi中，判斷下列直線的位置關(guān)系:

(1)直線A.B與直線0C的位置關(guān)系是

(2)直線AiB與直線BiC的位置關(guān)系是

⑶直線DQ與直線DiC的位置關(guān)系是

(4)直線AB與直線BiC的位置關(guān)系是

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(1)判定兩條直線平行或相交的方法

判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用基本事實(shí)4判斷.

(2)判定兩條直線是異面直線的方法

①定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；

②重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線.用符號(hào)

語(yǔ)言可表示為A0a,BGa,lua,與/是異面直線(如圖).

鞏固訓(xùn)練

1.三棱錐A-BCD的6條棱所在直線成異面直線的有()

A.3對(duì)B.4對(duì)

C.5對(duì)D.6對(duì)

2.若直線。〃6,bP\c=A,則。與c的位置關(guān)系是()

A.異面B.相交

C.平行D.異面或相交

題型十三平行公理和等角定理的應(yīng)用

【例13］如圖，已知E,尸分別是正方體A3CD-A山CQ1的棱A4i,CG的中點(diǎn)，求證：四邊形EBEDi

是菱形.

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(1)證明兩直線平行的常用方法

①利用平面幾何的結(jié)論，如平行四邊形的對(duì)邊，三角形的中位線與底邊；

②定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)；

③利用基本事實(shí)4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.

⑵證明兩角相等的方法

①利用等角定理；

②利用三角形全等或相似.

［注意］在應(yīng)用等角定理時(shí)，應(yīng)注意說(shuō)明這兩個(gè)角同為銳角、直角或鈍角.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，已知在棱長(zhǎng)為。的正方體ABCDAiBCiOi中，M,N分別是棱CD,AD的中點(diǎn).

求證：(1)四邊形MN4G是梯形;

題型十四異面直線所成的角

【例14］如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心.

求：(1)BE與CG所成的角;

(2*0與8。所成的角.

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求異面直線所成角的步驟

(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角一一用平移法，若題設(shè)中有中點(diǎn)，常考慮中位線；若異面直線依附于某幾何

體，且對(duì)異面直線平移有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線.

(2)求----轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過(guò)解三角形，求出所找的角.

(3)結(jié)論——設(shè)由⑵所求得的角的大小為。.若0。＜。忘90。，則。為所求；若90。＜。＜180。,則180。一。為所

求.

［提醒］求異面直線所成的角，通常把異面直線平移到同一個(gè)三角形中去，通過(guò)解三角形求得，但要注意

異面直線所成的角。的范圍是0。＜。忘90。.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，在正方體ABCZXEFG”中，。為側(cè)面AOHE的中心，尸是平面E/GH的中心，求。尸和CD所

成的角.

2.如圖，在正方體ABCZXEFGH中，若M,N分別是BECG的中點(diǎn)，且AG和8N所成的角為39.2。,

求AM和BN所成的角.

3.如圖所示，在三棱錐A-8CZ)中，AB=CD,ABLCD,E,F分別為BC,A。的中點(diǎn)，求EF與AB所成

的角.

題型十五直線與平面平行的判定

【例15］如圖，在正方體A8CD-A出Cid中，E,F,G分別是8C,CCi,BS的中點(diǎn)，求證：EP〃平面

ADiG.

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應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟

在平面內(nèi)找到或作出一條與已知直線平

行的直線

上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵,其常用方法有:

(1)空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；

(2)三角形中位線法；

(3)平行四邊形法；

(4)成比例線段法.

［提醒］線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)

(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外

(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線.

鞏固訓(xùn)練

1.如圖，下列正三棱柱ABC-A1B1G中,若N,P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則不能得出48〃平面MNP

的是()

2.已知有公共邊的兩個(gè)全等的矩形48CQ和A8EF不同在一個(gè)平面內(nèi)，P,。分別是對(duì)角線AE,BD

上的點(diǎn)，且AP=。。.求證：尸。〃平面CBE

題型十六線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

【例16］如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G

和AP作平面，交平面于GH,求證：AP//GH.

思維升華

利用；拓比7最事篇)-二家看或第行于二不屈畝…：

線面

平行演三，1年互5%豆泰加瓦亙馬豆不節(jié)百藕

的性

質(zhì)定［交的平面;

理解:荔竟妾或：

題的

步驟伍兔星春通蓊卷；

鞏固訓(xùn)練

如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABC。為菱形，ZBAD=60°,。為A￡)的中點(diǎn)，點(diǎn)M在側(cè)棱PC上且

「加=出心若山〃平面加。8,試確定實(shí)數(shù)二的值.

題型十七直線與平面垂直的定義

【例17】⑴直線/_!_平面a,直線"zua,貝!］/與機(jī)不可能()

A.平行B.相交

C.異面D.垂直

(2)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)，則能保證該直線與平面垂直，選擇合適的序號(hào)填空()

①三角形的兩邊

②梯形的兩邊

③圓的兩條直徑

④正六邊形的兩條邊

A.①③B.②

C.②④D.①②④

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對(duì)線面垂直定義的理解

(1)直線和平面垂直的定義是描述性定義，對(duì)直線的任意性要注意理解.實(shí)際上，“任何一條”與“所有”

表達(dá)相同的含義.當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，該直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線.由此可知，如果一條直

線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直.

(2)由定義可得線面垂直今線線垂直，即若aJ_a,bca,則

鞏固訓(xùn)練

1.設(shè)/，機(jī)是兩條不同的直線，a是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()

A.若mua,則ZJ_a

B.若/J_a,I//m,則

C.若I//a,mca,則I//m

D.若/〃a,m//a,則/〃他

2.下列命題中，正確的序號(hào)是.

①若直線/與平面a內(nèi)的一條直線垂直，則

②若直線/不垂直于平面a,則a內(nèi)沒(méi)有與/垂直的直線；

③若直線/不垂直于平面a,則a內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與/垂直；

④若平面a內(nèi)有一條直線與直線/不垂直，則直線/與平面a不垂直.

題型十八直線與平面垂直的判定

【例18］如