第4章《三角形》綜合測試卷

-.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.用若干根等長的小木棍搭建等邊三角形（三邊相等的三角形），搭建1個等邊三角形最少

需要3根小木棍，搭建2個等邊三角形最少需要5根小木棍，搭建4個等邊三角形最少需要

小木棍的根數是（）

A.12B.10C.9D.6

2.如圖，已知P是SBC內任一點，AB=12,BC=10,AC=6,WlPA+PB+PC的值一定

A.14B.15C.16D.28

3.已知△ABC的三條高的比是3：4：5，且三條邊的長均為整數，則△4BC的邊長可能是（）

A.10B.12C.14D.16

4.如圖，這是雨傘在開合過程中某時刻的截面圖,傘骨ZB=2C,D,￡分別是,2C的中

點、，DM,EM是連接彈簧〃和傘骨的支架，且DM=EM,在彈簧例向上滑動的過程中,若

加4。=30°,則=()

A.60°B.50°C.40°D.30°

5.如圖，已知長方形ABC。的邊長ZB=10cm,BC=8cm,點E在邊ZB上，AE=4cm,如果

點P從點B出發在線段BC上以2cm/s的速度向點C向運動，同時，點Q在線段CD上從點C以2cm/s

的速度向點。運動.則能夠使^BPE與ACQP全等的時間為（）

A.IsB.2sC.3sD.4s

6.如圖，△ABC的面積為18cm2,4。平分NBZC,CD14。于點。，連接BD，則的面積

為（）

A.7cm2B.8cm2C.9cm2D.10cm2

7.如圖，在正方形網格中，網格線的交點稱為格點，點4,6,。，。，￡,尸，G都在格點上,

圖中不與AaBC全等的三角形是（）

A.△AGEB.△GADC.△EFGD.△DFG

8.如圖，在A/IGC中，4。是n片的外角平分線，尸是力。上異于力的任意一點，設PB=m,

尸/氏c,/Oh,則（行"）與（ZHC）的大小關系是（）

A.m+n>b^cB.m+n<隊cC.m+n=b^cD.無法確定

9.如圖，在RtAZBC中，zBAC=90°,CD是△ABC的角平分線，AE1CD于點E,連接BE,

ZB=6,AC=8,BC=10,則4ABE的面積是（）

A.-B.2C.-D.-

555

10.在△ABC中,BD、BE分別是高和角平分線，點F在巴4的延長線上,FH1BE交BD于點G,

交BC于點H，下列結論:①NDBE=NEFH,，②2NBEF=^BAF+NC；@2^￡FH=NBAC-N；

④NBGH=z4BF+NT；其中正確的是（）

B

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.已知一個等腰三角形其中一邊長為4,另一邊長為8,則它的周長為.

12.在AaBC中=35°/1。是8。邊上的高=75°8。,CO分別平分4BC和4CB,

則/BOC=°.

13.如圖，/ABC=60。，ZB=2,動點尸從點B出發,以每秒1個單位長度的速度沿射線BC

運動，設點尸的運動時間為f秒（t〉0）,當AABP為銳角三角形時，/的取值范圍是.

14.如圖ABACP1f分別為AC/IB上的點BD與CE交于點。連接。4要三△2CE,

還須添加一個條件,如添加2。=4E,可運用SAS，證得△ABD=^ACE.請寫出添加的其它

一個條件，仍能證得△ABD=AACE：.（說明：原圖不再添加點和線，要求寫出所

有可能）

15.如圖，在△ZBC中MB>",初是中線，若血4c=2.BAD,CF14。于點F、則既

值是

16.將兩個大小不同的等腰直角三角板按如圖1所示的方式擺放，將這兩個三角板抽象成如

圖2所示的△2BC和△ZED，其中NBZC==90。，點B,C,E依次在同一條直線上，連

接CD.若BC=8,CE=4,則4DCE的面積是.

三.解答題（共8小題，滿分72分）

17.（6分）如圖，線段ZB=CD,與CD相交于點。，且4=60：CE是由平移所得，試確

定2C+BD與的大小關系，并說明理由.

B

DE

18.(6分)如圖，把△2BC沿EF折疊,使點A落在點。處，

(1)若。后||AC,試判斷21與22的數量關系，并說明理由；

(2)若NB+/=130°,求21+/2的度數.

19.(8分)如圖，在△ABC中，BE是角平分線，點。在邊48上(不與點4,6重合)，連接CD

交BE于點O.

(1)若CD是中線，BC=5,4C=3,則△BCD與△2CD的周長差為

(2)若CD1AB,^ABC=60°,求/BOC的度數.

20（8分）如圖在△ABC中,AB=AC，點。，E分別是BC上兩點，連接2。/E,S.AD=AE.求

證：BD=CE.

針對這道題目，三位同學進行了如下討論：

小明：“可以通過證明三AaCE得至IJ.”

小華：“可以通過證明AZBE三△47。得至！］.”

小聰：“我覺得可以通過等腰三角形三線合一定理添加適當的輔助線證明.”

請你結合上述討論，選擇恰當的方法完成證明.

21.(10分)如圖1,AB^CD,要求用尺規在CD上取一點“，使得44平分NBZC,下面是兩位

同學的做法.

小明：如圖2,以點4為圓心，適當長度為半徑畫弧交AC,于點E,F,再分別以E,F為圓

心，大于的長度為半徑畫弧交于點G,連接并延長4G交CD于點”.

小紅：你的作圖是正確的，我的做法和你不一樣，如圖3,以C為圓心為半徑畫弧，與CD的

交點就是點”.

(1)請證明小明的做法是正確的；

(2)小紅的做法正確嗎，請說明理由.

22.(10分)如圖1，在△ABC中，。為BC上一點，且=60：4CB和44。的平分線CF、

4E交于點M,CF與交于點G.

圖1圖2

(1)求Z1MC的度數；

(2)連接BM,交2。于點”，若NBME=60°,如圖2.求證：△AHM=△BCM.

23.(12分)課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,△2BC中,是BC邊上

的中線，若=8,AD=5,求邊AC的取值范圍.小琪同學在組內經過合作交流,得到了如

下的解決方法：延長4。至點E,使DE=AD,連接BE,請根據小琪的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到AEDB三AADC，依據是^.

A.SSSB.SASC.AAS

(2)由“三角形的三邊關系”可求得邊AC的取值范圍是.

解后反思：題目中出現“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已

知條件和所求證的結論集中到同一個三角形之中.

【感悟方法】

(3)如圖2,4。是△ABC的中線，BE交4C于點￡,交4。于點F,AC=BF.試說明\AE=EF.

24.(12分)某校七年級學生到野外活動，為測量一池塘兩端4,6的距離，甲、乙、丙三位

同學分別設計出如圖所示的三種方案.

甲：如圖①，先在平地取一個可直接到達/,6的點C,再連接ZC,并分別延長2C至。，

BC至E,使DC=AC,EC=BC,最后測出DE的長即為4,B的距離.

乙：如圖②，先過點6作的垂線BF，再在BF上取兩點，使，接著過點。作BD的

垂線DE,交2C的延長線于點￡,則測出DE的長即為4,6的距離.

丙：如圖③，過點8作BD1AB,再由點。觀測，在的延長線上取一點C,使,這

時只要測出BC的長即為4,6的距離.

(1)請你分別補全乙、丙兩位同學所設計的方案中空缺的部分.

乙：；丙：

(2)請你選擇其中一種方案進行說明理由.

參考答案

一.選擇題

1.D

【分析】要先根據題意，畫出圖形，通過對圖形觀察，思考，得出需要小木棍的根數，然后圖

形對比，選出最少需要小木棍的根數.

【詳解】圖1沒有共用部分，要6根小木棍，

圖2有共用部分，可以減少小木棍根數，

仿照圖2得到圖3,要7根小木棍，

△AZVAZ

圖1⑹艮）圖2（5根）圖3（7根）

同法搭建的圖4,要9根小木棍，

如按圖5擺放，外圍大的等邊三角形，可以得到5個等邊三角形,要9根小木棍,

如按圖6擺成三棱錐（西面體）就可以得到4個等邊三角形，

..搭建4個等邊三角形最少需要小木棍6根.

AAZ；心

圖4（9根）圖5（9根）圖6⑹艮）

故選：D

2.A

【分析】在三個三角形中分別利用三邊關系列出三個不等式,相加后根據不等式的性質即可得

到正確的結論.

【詳解】解：如圖所示，在AABP中，AP+BP>AB,

同理：BP+PC>BC,AP+PC>AC,

以上三式左右兩邊分別相加得到：

2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC,

即PA+PB+PC>j(AB+BC+AC),

/.PA+PB+PC>|x(12+10+6)=14,

艮PA+PB+PC>14

故選A.

3.B

【分析】此題考查了三角形面積的求解方法.解題的關鍵是由三角形的面積的求解方法與三條

高的比是3：4：5,求得三條邊的比，設三邊為ZB,BC,AC三條對應的高為的，a2,，根

據42BC的面積的求解方法即可求得SMBC=|ZBai=^BCa2=^ACa3,由△ABC的三條高的

比是3：4：5，易得4B:BC:4C=20:15:12，又由三條邊的長均為整數，觀察4個選項，即可

求得答案.

【詳解】解：設三邊為ZB,BC,AC三條對應的高為的，a2,，

可得：SAABC-5aBxa[=]BCxa.2—x,

已知的:a2：=3：4:5,

可得=20:15:12,

???三邊均為整數.

又???4個答案分別是10,12,14,16.

??.△4BC的邊長可能是12.

故選：B.

4.A

【分析】本題考查全等三角形的判定，由線段中點定義得到4。=2E，又MD=ME,AM=AM,

因此△ZDM三△ZEM(SSS),得到/WAD=^MAE,即可得出結論.

【詳解】證明：:D,￡分別是ZB,AC的中點，

11

：.AD=-AB,AE=-AC,

22

：AB—AC,

：.AD—AE,

：MDME,AMAM,

/.△ADM=△ZEM(SSS),

：.^MAD=^MAE=30：,

；.NDAE=2^MAD=60°.

故選：A.

5.A

【分析】本題考查的知識點是一元一次方程、全等三角形的性質，解題關鍵是熟練掌握全等三

角形的性質.設能夠使^BPE與△CQP全等的時間為ts,則BP=2久cm,CP=BC—BP=

(8-2%)cm,CQ=2xcm，分兩種情況分別討論即可得解：①△BPE=△CQP；@ABPE=△CPQ.

【詳解】解：vAB=10cm,AE=4cm,

??.BE=AB-AE=6cm,

設能夠使^BPE與ACQP全等的時間為ts,

則BP=2xcm,CP—BC—BP=(8—2%)cm,CQ-2xcm,

分兩種情況考慮：

?△BPE=△CQP時，

CP=BE,

即8-2%=6,

解得久—1,

此時BP=CQ=2cm,

1s時能夠使^BPE與△CQP全等；

BPE=△CPQ,

CQ=BE,

即2%=6,

解得尤=3,

此時BP—6cm,CP—8—2x—2,

即BPjCP,與4BPE=△CPQ矛盾(舍去)；

綜上，能夠使△BPE與△CQP全等的時間為1s.

故選：A.

6.C

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

延長CD交于點E，證明△ZDE三△ZDC(ASA),得出DE=DC,S^ADE=S^ADC,即可推出結

果.

【詳解】解：如圖，延長CD交于點E,

A

???CD1AD,

：.^ADE=^ADC=90°,

又；40平分,

^EAD-^CAD,

又???ADAD,

ADE=△ZDC(ASA),

,1?DE=DC,S^ADE=^LADC，

S&BDE-S^BCD，

S^ADE+S^BDE—S“DC+S^BDC，

SMDE+S^BDE—^AABD-]S&ABC=9cm2.

故選：C.

7.C

【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有:

SAS,AAS,ASA,SSS,HL,熟練掌握知識點是解題的關鍵.

根據網格特點，利用全等三角形的判定去判斷即可.

【詳解】解：如圖：

由網格可知△CM2三△EM4(SAS),

=N2,

由網格可知△CBM,△ENG均是等腰直角三角形，

二.N3=N4=45°,

'.'AB=AG=3,

：.^ABC三△AGE(ASA),故A可以證明全等,不符合題意；

如圖：

同理可得NG=A：AB,AB=AG,^DAG=^CBA,

DAG=△CBZ(ASA),故B可以證明全等，不符合題意；

如圖：

同理可得NB=NF,AB=DF,^CAB=^GDF,

CAB=△GDF(ASA),故D可以證明全等，不符合題意；

如圖：

由上可得"GF=/FGT+/EGT=90°,而△ABC是鈍角三角形，

故△4BC與△FEG不可能全等,故C符合題意，

故選：C.

8.A

【詳解】延長用I至￡點，使得AE=AC,連結ED、EP,

平分

:.zEAD=zCAD,

:AC=AE,AP=AP,

：4AP*APE〈SAS),

:.PC=PE=n,

在中，PB+PE>AB+AE=AB+AC,即m+n>b^c,

故選：A.

9.C

【分析】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的證明與性質，三角形中線的性質.延長2E

交BC于點F，作AM1BC與點、M，利用角平分線的定義可證△4EC=△FEC(ASA)，可推出2E=

EF,FC=AC=8，再根據三角形面積可求得力M，從而得到S-BF，最后利用三角形中線的性

質可知S-BE=^SAABF，即可求得答案■

【詳解】解：延長4E交BC于點F,作AM1BC與點M,如圖所示，

BFMC-：AECD,CD是△ABC的角平分線，

^AEC=NFEC=90°,^ACE=NFCE,

在和△?￡1(7中，

^AEC=NFEC

EC=EC

^ACE=NFCE

AEC=△FEC(ASA),

AE=EF,FC=AC,

???NBAC=90°,ZB=6,AC=8,BC=10,

??.BF=BC-FC=BC-AC=10-8=2,

11

-S^BC^-AB-AC^-BC-AM,

..ABAC6X824

??.A4M=---------=—=—

BC105

1

-1xc2x—24=—24

S^ABF~2BF，力”=255

vAE=EF,

故選：c.

10.A

【分析】本題考查角平分線的定義，三角形內角和定理，三角形高線的定義，三角形外角的性

質.掌握三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角之和是解題關鍵.由同角的余角相等得出

zDBE=NEFH,故①正確；根據角平分線的定義得出“BC=zEBA=,再根據三角

形外角的性質得出NBZF=^ABC+N/EBC=NBEF-N，從而即可求出2/BEF=^BAF+

NC,故②正確；由三角形內角和定理可得出Z1BC=180-^BAC,結合角平分線的定

義可得出，BC=90。—+/B2C),又可知NCBD=90°-NC,結合“BD=NBD-

NEBC和NDBE=NEFH,即可求出=NBAC-N,故③正確；由題意易求得/FEB=

NABE+4,根據同角的余角相等得出NFGD=/FEB,由對頂角相等得出—GO=NBGH,從

而可求出NBG”=NABE+4,故④錯誤.

【詳解】解:刀。是高線,

:zDBE+NDEB=90°.

：FH1BE,

:.NEFH+NDEB=90°,

:./DBE=NEFH，故①正確；

是角平分線,

1

.'EBC=NEBA=久ABC.

2

■:NBAF=^ABC+NC,

:.^BAF=2/EBC+NC,

:.^BAF=2NEBC+NC

；NBEF=NEBC+NC,即/BC=NBEF-NC,

：.^BAF=2(NBEF-㈤+4,即NB”=2/BEF-N,

：2/BEF=^BAF+”,故②正確；

：^ABC=180°-^C-^BAC,

:.NEBC=jNABC=j(180-NBAC)=90D-|(^C+NB2C).

：BD1AC,

:.NCBD=90°—4，

:.NEBD=NBD-NEBC=(904)-[90-NB4C)]=j^BAC-4).

；NDBE=NEFH,

：2/EFH=zBAC-NC,故③正確；

:/FEB=NEBC+NC,^ABE=NEBC,

,/FEB=^ABE+NC.

:BD1FC,FH1BE,

"NFGD=NFEB.

,.NFGD=NBGH,

:.NBGH=NFEB,

:zBGH=NABE+NC,故④錯誤.

綜上可知正確的是①②③.

故選A.

二.填空題

11.20

【分析】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系，已知長度為4和8兩邊，沒有明

確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論，能夠分類討論是解題的關鍵.

【詳解】解：①當4為底時，其它兩邊都為8,

4、8、8可以構成三角形，

故周長為20;

②當4為腰時，

其它兩邊為4和8,

???4+4=8,

???不能構成三角形，故舍去，

故答案為：20.

12.110或125

【分析】分兩種情形：當高4。在△2BC內部時，由+的度數，再由角平分線的性質

得出NOBC+^CB的度數,由三角形內角和定理即可得出結論,當高在△ABC外部時，同法

可得可求.

【詳解】解：當高4。在AaBC內部時，如圖所示：

■:4BC和Z1CB的平分線交于0點，

A)BC+^OCB=1+^4CB)=；1x110。=55。,

NBOC=1800-JOBC+0CB)=180。-55°=125°；

當高在△ABC外部時，如圖所示：

DCB...^ABC=35°,^ACB=180^ACD=18075105°,

nABC+^ACB=35°+105°=140°,

???/4BC和z4CB的平分線交于0點，

A)BC+NOCB=jSBC+^ACB)=|x140°=70°,

NBOC=1800-JOBC+N)CB)=180。-70°=110°；

故答案為:110或125.

13.1<t<4

【分析】本題考查了直角三角形的性質、三角形內角和定理，分兩種情況：當4PB=90時，

當NBZP=90用寸，根據三角形內角和定理并結合直角三角形的性質求解即可.

【詳解】解：當Z1PB=90時，如圖：

：^ABC=60°,

:.NBAP=180^APB-^ABP=30

1

：.BP=-AB=1；

2

當-BZP=90用寸，如圖：

A

：^ABC=60°,

:zBPA=180nBAP-zABP=30°,

：.BP=2AB=4；

?.動點尸從點6出發，以每秒1個單位長度的速度沿射線BC運動，設點尸的運動時間為/秒

(t>0),ZkABP為銳角三角形時，

/.I<t<4,

故答案為：1<t<4.

14.NABD=^ACE,^AEC=/ADB,OB=OC,BE=CD,^BAO=^CAO,NBEC=NDB,

NOBC=^OCB

【分析】本題考查全等三角形的性質和判斷,掌握判斷定理是解題關鍵；要△ZB。=AACE,

已知一組對應邊相等和一個公共角，再添加一個條件可以是角相等，NABD=z4CE或Z1EC=

zADB、^BAO=NCAO，依據是ASA或AAS,也可以是間接條件，得出2。=AE,如BE=DC,

能間接證出△4BD和△4CE再有一組角相等或一組邊相等即可

【詳解】解：添加NIB。=^ACE，依據是ASA,

添加4EC=^ADB，依據是AAS,

添加NBZ。=^CAO,可先得出△ZB。=△T4CO(SAS),從而得出ZIBD=^ACE,然后依據ASA

可證△ABD=△ACE；

添加NBEC=NJDB可得/AEC=NADB,則依據AAS證明△ABD=△ACE；

添力口NOBC=RCB可得=^ACE,則依據ASA可證△ZB。三XACE；

添加OB=OC，先證△ZB。三△ZCO(SSS)，從而得出24BD=^ACE，進而得出△ABD三AACE,

依據是ASA,

添加BE=CD,可得出4。=AE,進而△ABD=△ACE，依據SAS,

故答案為2ABD=^ACE,^AEC=MB,0B=OCBE=CD/BAO=^CAO/BEC=NCDB,

NOBC=NOCB.

15.-

2

【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質，作出合理的輔助線構建全等三角形是解題的關

鍵試點B作BH14。于〃延長ZM至￡使ZE=AC連接CE利用AAS證明△BHD=△CFD,

△EFC=^AHB,根據全等三角形的性質及線段的和差求解即可.

【詳解】解：過點6作14。于〃，延長D4至E,使ZE=AC,連接CE,

???NDAC=NE+^ACE,NDAC=2/BAD,

???^BAD=NE,

???a。是中線，

BD=CD,

在^BHD^\ACFD中，

"=NFD=90°

|/BDH=NCDF'

IBD=CD

BHD=△CF￡)(AAS),

BH=CF,DH=FD,

在和中，

fNE=^BAD

|NEFC=NH=9。°'

ICF=BH

EFC=△2”B(AAS),

EFAH,

：.AE=FH=DH+FD=2FD,

AC=2FD,

DF1

??,就=/

故答案為.

2

16.24

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質等知識，根據SAS證明

AACD=AABE,由全等三角形的性質得出NIC。=NB,CD=BE,則可得出答案.

【詳解】解：???△ABC、△ZDE是等腰直角三角形，

:./B=^ACB=45°,AB=AC,AD=AE,^BAC=^EAD=90°,

???/BAC=^EAD=90°,

zBAC+^CAE=^EAD+^CAE,即NBZE=^CAD,

在AZBE和△ac。中，

(AB=AC

<zBAE=^CAD,

IAD=AE

ACD=△ABE(SAS),

^ACD=NB=45°,CD=BE,

NBCD=/ACB+^ACD=90°,

???BC=8,CE=4,

BE=12,

CD=12,

11

SADCE=戶?DC=ax4x12=24,

故答案為：24.

三.解答題

17.解：由平移的性質知，與CE平行且相等,AC=BE,

：AB=CD,

：.CE—CD,

當B、D、￡不共線時，

:AB^CE,

:.NDCE==60°,

/.△CE。是等邊三角形，

：.DE=AB,

根據三角形的三邊關系知BE+BD=AC+BD>DE=AB,

即AC+BD>AB.

當D、B、￡共線時，AC+BD=ZB,

綜上，ZC+BDNZB.

18.(1)解：21=/2,理由如下：

?.2。是由翻折得到，

:./D=,

:DE||AC,

=^A,2Z=ND,

=N2.

(2)解：+"=180°,NB+/C=130°,

：.^A=50°,

：DE||AC,

=N2=4=50°,

+N2=50°+50°=100°.

19.(1)解：；CD是A/BC的中線，

AD=BD,

???BC=5,ZC=3,

BCD與△47。的周長差

=(BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)

=BC-AC

=5-3

=2,

故答案為：2；

(2)解：???C。，ZB,

NBDC=90°,

???^5是^ABC的角平分線，^ABC=60°,

11

^ABE--/ABC=-x60°=30°,

22'

???/BOC=NBDC+^ABE=900+30°=120，

20.小明的方法證明：

\'AB=AC,

:.NB=H,

：AD=AE,

：.^ADE=NAED,

:.NADB=^AEC,

/.△ABD三△ZCE(AAS),

：.BD=CE;

小華的方法證明：

：AB=AC,

:.NB=NC,

：AD=AE,

:./AED=NADE,

即44EB=MC,

/.△ABE三△ABD(AAS),

：.BD=CE;

小聰的方法證明：

如圖，過點a作a”iBC于H,

：AB^AC,AD^AE,

：.BH=CH,DH=EH,

：.BH-DHCH-EH,

即B。=CE.

21.(1)證明：如圖2中,連接EG,FG,

由作圖可知ZE=ZF,EG=FG,

在AZGE和AaGF中，

(AE=AF

lEG=FG,

14G=AG

/.△AGE三△ZGF(SSS),

"NEAG=^EAF,

./“平分”/。；

(2)解：正確，理由如下：

如圖3中,連接2”,

由作圖可知ca=CH,

：.^CAH=^AHC,

：AB^CD,

：.^BAH=^AHC,

：.^CAH=/BAH,

平分NBZC.

22.(1)解：???ZE,CF分別是^CAD和^ACB的平分線，

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