北師大新版八年級上冊第1章勾股定理單元測試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.若一直角三角形兩邊長分別為12和5,則第三邊長為（）

A.13B.13或C.13或15D.15

2.下列各組線段中，能構成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.3,4,6C.5,12,13D.4,6,7

3.如果一個直角三角形的兩條直角邊分別為n2-1,2n（n>l）,那么它的斜邊長是（）

A.2nB.n+1C.n2-1D.n2+l

4.以下列各組數為邊的三角形中，是直角三角形的有（）

（1）3,4,5；（2）如,迎近；（3）32,42,52；（4）0.03,0.04,0.05.

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.等腰三角形的腰長為10,底長為12,則其底邊上的高為（）

A.13B.8C.25D.64

6.五根小木棒，其長度分別為7,15,20,24,25,現將它們擺成兩個直角三角形，如圖,

7.如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是（）

A.25B.12.5C.9D.8.5

8.三角形的三邊長為a,b,c,且滿足（a+b）2=c2+2ab,則這個三角形是（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形

9.△ABC是某市在拆除違章建筑后的一塊三角形空地.已知NC=90。，AC=30米，AB=50

米，如果要在這塊空地上種植草皮，按每平方米草皮a元計算，那么共需要資金（）

A.50a元B.600a元C.1200a元D.1500a元

10.如圖，ABLCD于B,△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17,BE=5,那

么AC的長為（）

二、填空題（每小題3分，24分）

11.如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至

少需要米.

12.在直角三角形ABC中，斜邊AB=2,貝AB2+AC2+BC2=

13.直角三角形的三邊長為連續偶數，則其周長為cm.

14.如圖，在AABC中，NC=90。，BC=3,AC=4.以斜邊AB為直徑作半圓，則這個半圓

的面積是__________.

15.如圖，在校園內有兩棵樹，相距12m,一棵樹高13m,另一棵樹高8m,一只小鳥從一

棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛m.

16.如圖，△ABC中，ZC=90°,AB垂直平分線交BC于D.若BC=8,AD=5,則AC等

于.

17.如圖，四邊形ABCD是正方形，AE垂直于BE,且AE=3,BE=4,陰影部分的面積是

18.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的

邊長為7cm,則正方形A,B,C,D的面積之和為cm2.

三、解答題（共46分）

19.如圖，所示，四邊形ABCD中，AB=4,BC=3,AD=13,CD=12,zB=90°,求該四邊

形的面積.

20.如圖，已知一等腰三角形的周長是16,底邊上的高是4.求這個三角形各邊的長.

DC

21.如圖所示的一塊地，ZADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求這塊地

的面積.

22.如圖，一架2.5米長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端C的

距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外移多少米？

23.如圖，某沿海開放城市A接到臺風警報，在該市正南方向100km的B處有一臺風中心,

沿BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=60km,那么臺風中

心經過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風中心30km的圓形區域內都將有受到臺風

的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內撤離才可脫離危險？

/C

D

R

北師大新版八年級上冊《第1章勾股定理》2015年單元

測試卷

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.若一直角三角形兩邊長分別為12和5,則第三邊長為()

A.13B.13或C.13或15D.15

【考點】勾股定理.

【分析】本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊

中的較長邊12既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即12

是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解.

【解答】解：當12是斜邊時，第三邊是,122-52=心論;

當12是直角邊時，第三邊是而二百=13.

故選B.

【點評】如果給的數據沒有明確，此類題一定要分情況求解.

2.下列各組線段中，能構成直角三角形的是()

A.2,3,4B.3,4,6C.5,12,13D.4,6,7

【考點】勾股定理的逆定理.

【專題】計算題.

【分析】判斷是否為直角三角形，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

【解答】解：A、22+32=13x42,故A選項構成不是直角三角形；

B、32+42=25^2,故B選項構成不是直角三角形；

C、52+122=169=132,故C選項構成是直角三角形；

D、42+62=52x72,故D選項構成不是直角三角形.

故選：C.

【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用.判斷三角形是否為直角三角形，己知三角形三

邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

3.如果一個直角三角形的兩條直角邊分別為1,2n(n>l),那么它的斜邊長是()

A.2nB.n+1C.n2-1D.n2+l

【考點】勾股定理.

【分析】根據勾股定理直接解答即可.

【解答】解：兩條直角邊與斜邊滿足勾股定理，則斜邊長是：

22=4222=nM

7(n-l)%(2n)Vn+2n+l=V(n+l)-

故選D.

【點評】本題主要考查了勾股定理，解決本題的關鍵是正確對(n2-1)2+(2n)2進行分解

因式.

4.以下列各組數為邊的三角形中，是直角三角形的有（）

（1）3,4,5；（2）遂，近；（3）32,42,52；（4）0.03,0.04,0.05.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】勾股定理的逆定理.

【分析】符合勾股定理的逆定理是直角三角形.

【解答】解:C1）???32+42=52,.?.是直角三角形,故⑴正確；

（2）.?,近2+a2產而2,不是直角三角形，故心）錯誤；

（3）322+422^52?，二不是直角三角形，故（3）錯誤；

（4）0.032+0.042=0.052,.?.是直角三角形，故（4）正確.

根據勾股定理的逆定理，只有（1）和（4）正確.

故選：B.

【點評】本題考查了直角三角形的判定：當三角形的三邊之間有a2+b2=c2時，則它是直角

三角形.

5.等腰三角形的腰長為10,底長為12,則其底邊上的高為（）

A.13B.8C.25D.64

【考點】勾股定理；等腰三角形的性質.

【專題】計算題.

【分析】先作底邊上的高，由等腰三角形的性質和勾股定理即可求出此高的長度.

【解答】解：作底邊上的高并設此高的長度為x,根據勾股定理得：62+X2=102,

解得：x=8.

故選B.

【點評】本題考點：等腰三角形底邊上高的性質和勾股定理，等腰三角形底邊上的高所在直

線為底邊的中垂線.然后根據勾股定理即可求出底邊上高的長度.

6.五根小木棒，其長度分別為7,15,20,24,25,現將它們擺成兩個直角三角形，如圖,

其中正確的是（）

9°B.25

【考點】勾股定理的逆定理.

【分析】欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長

邊的平方即可.

【解答】解：A、72+242=252,152+202*242,222+202#252,故A不正確；

B、72+242=252,152+202Q42,故B不正確；

c、72+242=252,152+202=252,故C正確；

D、72+202*252,242+152*252,故D不正確.

故選：C.

【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用.判斷三角形是否為直角三角形，己知三角形三

邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.勾股定理的逆定理：若三角形三邊滿足

a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.

7.如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是（）

A.25B.12.5C.9D.8.5

【考點】三角形的面積.

【專題】網格型.

【分析】根據求差法，讓大正方形面積減去周圍四個直角三角形的面積即可解答.

【解答】解：如圖：小方格都是邊長為1的正方形，

四邊形EFGH是正方形，S口EFGH=EF?FG=5X5=25

SAAED=/DE?AE=/X1X2=1，

=e

SADCH^CH?DH=-^x2x4=4,

SABCG=-^BG.GC=-^X2X3=3,

SAAFB=,FB?AF=,X3X3=45

四邊形

sABCDuSdEFGH-SAAED-SADCH-SABCG-SAAFB=25-1-4-3-4.5=12.5.

故選：B.

【點評】本題考查的是勾股定理的運用，根據圖形可以求出此大正方形的面積和三角形的面

積，再用大正方形的面積減去小正方形的面積即可，此題的解法很多，需同學們仔細解答.

8.三角形的三邊長為a,b,c,且滿足（a+b）2=c2+2ab,則這個三角形是（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形

【考點】勾股定理的逆定理.

【分析】對等式進行整理，再判斷其形狀.

【解答】解：化簡（a+b）2=c2+2ab,得，a2+b?=c2所以三角形是直角三角形，

故選：C.

【點評】本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定.

9.△ABC是某市在拆除違章建筑后的一塊三角形空地.己知NC=90。，AC=30米，AB=50

米，如果要在這塊空地上種植草皮，按每平方米草皮a元計算，那么共需要資金（）

A.50a元B.600a元C.1200a元D.1500a元

【考點】勾股定理的應用.

【分析】此題首先由己知△ABC中，ZC=90°,AC=30米，AB=50米，根據勾股定理求出

另一條直角邊BC,再求出面積，從而得出答案.

【解答】解：在△ABC中，ZC=90°,AC=30米，AB=50米，

=2

BC7AB-AC2=40米，

共需要資金為：,x40x30?a=600a元.

故選：B.

【點評】此題考查的知識點是勾股定理的應用，解題的關鍵是先由己知結合勾股定理求出另

一條直角邊，再求出面積即得答案.

10.如圖，ABLCD于B,△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17,BE=5,那

么AC的長為（）

A.12B.7C.5D.13

【考點】等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質；勾股定理.

【專題】探究型.

【分析】先根據ABCE等腰直角三角形得出BC的長，進而可得出BD的長，根據AABD

是等腰直角三角形可知AB=BD,在RtAABC中利用勾股定理即可求出AC的長.

【解答】解：：△BCE等腰直角三角形，BE=5,

BC=5,

CD=17,

DB=CD-BE=17-5=12,

???△ABD是等腰直角三角形，

AB=BD=12,

在RtAABC中，

AB=12,BC=5,

AC=VAB2+BC2=7122+52=13-

故選D.

【點評】本題考查的是等腰直角三角形的性質及勾股定理，熟知等腰三角形兩腰相等的性質

是解答此題的關鍵.

二、填空題(每小題3分，24分)

11.如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至

少需要2_米.

【考點】勾股定理的應用.

【專題】應用題.

【分析】當地毯鋪滿樓梯時其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據勾股定

理求得水平寬度，然后求得地毯的長度即可.

【解答】解：由勾股定理得：

樓梯的水平寬度=后二P=4,

.二地毯鋪滿樓梯是其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，

地毯的長度至少是3+4=7米.

故答案為7.

【點評】本題考查了勾股定理的知識，與實際生活相聯系，加深了學生學習數學的積極性.

12.在直角三角形ABC中，斜邊AB=2,則AB?+AC2+BC2=&

【考點】勾股定理.

【專題】計算題.

【分析】由三角形ABC為直角三角形，利用勾股定理根據斜邊AB的長，可得出AB的平

方及兩直角邊的平方和，然后將所求式子的后兩項結合，將各自的值代入即可求出值.

【解答】解：△ABC為直角三角形，AB為斜邊，

AC2+BC2=AB2,又AB=2,

AC2+BC2=AB2=4,

貝AB2+BC2+CA2=AB2+(BC2+CA2)=4+4=8.

故答案為：8

【點評】此題考查了勾股定理的運用，勾股定理為：直角三角形中，斜邊的平方等于兩直角

邊的平方和，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵.

13.直角三角形的三邊長為連續偶數，則其周長為24cm.

【考點】勾股定理.

【分析】設直角三角形的三邊邊長分別為2n-2,2n,2n+2,由勾股定理得：兩直角邊的平

方和等于斜邊的平方，據此列出關于n的方程，求出符合題意n的值，即求出了直角三角形

的三邊長，之后求出周長即可.

【解答】解：設直角三角形的三邊邊長分別為2n-2,2n,2n+2.由勾股定理得：

(2n-2)2+(2n)2=(2n+2)

解得：n]=4,n2=0(不合題意舍去)，

即：該直角三角形的三邊邊長分別為6cm,8cm,10cm.

所以，其周長為6+8+10=24cm.

【點評】本題主要考查了運用直角三角形的性質的能力，關鍵在于運用勾股定理得出三邊之

間的關系，根據題意求出三邊的邊長.周長=三邊之和，求出周長.

14.如圖，在AABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4.以斜邊AB為直徑作半圓，則這個半圓

【考點】勾股定理.

【分析】根據勾股定理求出斜邊，即可求出半圓的半徑，求出面積即可.

【解答】解：1,在AABC中，NC=90。，BC=3,AC=4,

?由勾股定理得：AB=5,

即半圓的半徑為,，

所以半圓的面積為\XHX(5)2=學兀，

228

故答案為：

【點評】本題考查了勾股定理的應用，解此題的關鍵是求出半圓的半徑，注意：直角三角形

的外接圓的半徑等于斜邊的一半，在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

15.如圖，在校園內有兩棵樹，相距12m,一棵樹高13m,另一棵樹高8m,一只小鳥從一

棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛11m.

【考點】勾股定理的應用.

【分析】根據"兩點之間線段最短"可知：小鳥沿著兩棵樹的頂端進行直線飛行，所行的路程

最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出.

【解答】解：兩棵樹高度相差為AE=13-8=5m,之間的距離為BD=CE=12m,即直角三角

形的兩直角邊，故斜邊長AC=Js2+122=13m,即小鳥至少要飛13m.

A

【點評】本題主要是將小鳥的飛行路線轉化為求直角三角形的斜邊，利用勾股定理解答即可.

16.如圖，△ABC中，NC=90。，AB垂直平分線交BC于D.若BC=8,AD=5,則AC等

于4.

【考點】線段垂直平分線的性質；勾股定理.

【分析】根據線段垂直平分線的性質可求得BD的長，從而求得CD的長，再根據勾股定理

即可求得AC的長.

【解答】解：AB垂直平分線交BC于D,AD=5,

BD=AD=5,

BC=8,

CD=BC-BD=3,

AC=A/AD2-CD2=4>

故答案是：4.

【點評】本題考查了線段垂直平分線定理以及勾股定理.求得AD=BD是解題的關鍵.

17.如圖，四邊形ABCD是正方形，AE垂直于BE,且AE=3,BE=4,陰影部分的面積是

【考點】勾股定理；正方形的性質.

【專題】計算題.

【分析】在直角三角形ABE中，由AE與BE的長，利用勾股定理求出AB的長，由正方形

面積減去直角三角形面積求出陰影部分面積即可.

【解答】解：?「AE_LBE,NAEB=90。,

在RtAABE中，AE=3,BE=4,

根據勾股定理得：AB=^32+42=5,

=2-

則S陰影=S正方形-SAABE5-^x3x4=25-6=19,

故答案為：19.

【點評】此題考查了勾股定理，以及正方形的性質，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵.

18.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的

邊長為7cm,則正方形A,B,C,D的面積之和為42cm2.

【考點】勾股定理.

【分析】根據正方形的面積公式，連續運用勾股定理，發現：四個小正方形的面積和等于最

大正方形的面積.

【解答】解：由圖形可知四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積，

故正方形A,B,C,D的面積之和=49cm2.

故答案為：49cm2.

【點評】熟練運用勾股定理進行面積的轉換.

三、解答題（共46分）

19.如圖，所示，四邊形ABCD中，AB=4,BC=3,AD=13,CD=12,ZB=90",求該四邊

形的面積.

B

【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理.

【分析】由AB=4,BC=3,ZB=90°可得AC=5.可求得SAABC；再由AC=5,AD=13,CD=12,

可得△ACD為直角三角形，進而求得SAACD,可求S四邊形ABCD=SAABC+SAACD.

【解答】解：在RtAABC中，AB=4,BC=3,則有AC=C^7^=5.

SAABC=^AB?BC=fx4x3=6.

在△ACD中，AC=5,AD=13,CD=12.

AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169.

AC2+CD2=AD2,AACD為直角三角形，

?SAACD=-^AC?CD=-ix5xl2=30.

S四邊形ABCD=SAABC+SAACD=6+30=36.

【點評】此題主要考查勾股定理和逆定理的應用，還涉及了三角形的面積計算.

20.如圖，已知一等腰三角形的周長是16,底邊上的高是4.求這個三角形各邊的長.

A

【考點】等腰三角形的性質；勾股定理.

【分析】由于等腰三角形中底邊上的高平分底邊，故周長的一半為AB與BD的和，可設出

未知數，利用勾股定理建立方程求解.

【解答】解：設BD=x,貝|AB=8-x

由勾股定理，可以得到AB2=BD2+AD2,也就是(8-X)2=X2+42,

x=3,

/.AB=AC=5,BC=6.

【點評】本題利用了等腰三角形的性質：底邊上的高平分底邊，及勾股定理求解.

21.如圖所示的一塊地，ZADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求這塊地

的面積.

【考點】勾股定理的應用；三角形的面積.

【專題】計算題.

【分析】連接AC,根據直角AACD可以求得斜邊AC的長度，根據AC,BC,AB可以判

定△ABC為直角三角形，要求這塊地的面積，求△ABC與△ACD的面積之差即可.

【解答】解：連接AC,

已知，在直角AACD中，CD=9m,AD=12m,

根據AD2+CD2=AC2,可以求得AC=15m,

在△ABC中，AB=39m,BC=36m,AC=15m,

存在AC2+CB2=AB2,

???AABC為直角三角形，

要求這塊地的面積，求^ABC和4ACD的面積之差即可,

S=SAABC-SAACD=^AC?BC--^CD?AD,

=—xl5x36--x9xl2,

22

=270-54,

=216m2,

答：這塊地的面積為216m2.

【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，考查了直角三角形面積的計算，本題中

正確的判定△ABC是直角三角形是解題的關鍵.

22.如圖，一架2.5米長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端C的

距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外移多少米？

【考點】勾