費馬點最值模型

費馬點定義

“費馬點”是指位于三角形內且到三角形三個頂點距離之和最短的點。

若給定△ABC的話，從這個三角形的費馬點P到三個頂點A、B、C的距離之和比從其它點算起的都要小。這

個特殊點對于每個給定的三角形都只有一個。

費馬點的結論及證明

【結論】1、費馬點到三角形三個頂點距離之和最短2、費馬點連接三頂點所成夾角皆為：120。

【證明】：如圖一，在AABC內任取一點P,連接PA、PB、PC

如圖二，將小APB繞點B旋轉60。得到△EQB,則△EQB=AAPB

連接PA,VZPBQ=60°,PB=PQ,

/.△QPB是等邊三角形，貝UPB=QP=BQ,Z1=Z2=6O°.

PA+PB+PC=EQ+QP+PC>ECO

如圖三,當且僅當E、Q、P、C四點共線時取等號，此時乙EQB=CPB=120。

AAPB=APC=BPC=120°,PA+PB+PC取到最小值EC.

.?.點P是4ABC的費馬點，且點P到三角形三個頂點的距離之和最小

真題精煉

1.1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A,B,C,求平

面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為

?費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處

從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角形的某個頂

點）

當小ABC的三個內角均小于120。時，

如圖1,將小APC繞，點C順時針旋轉60。得到△A'P'C,連接PP,

由PC=P'C,^PCP'=60°?可知△PCP'為①三角形,故PP'=PC,又P'A'=PA,故PA+PB+PC

=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知，當B,P,P,A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為A'B,此時的P

點為該三角形的“費馬點”，且有/APC=NBPC=NAPB=_____更；

已知當△ABC有一個內角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若/BACN120。，則該

三角形的“費馬點”為④___<點.

⑵如圖4,在△ABC中三個內角均小于120。,且AC=3,BC=4,/ACB=30。,已知點P為△ABC的“費馬點，，求P

A+PB+PC的值;

圖4

⑶如圖5,設村莊A,B,C的連線構成一個三角形，且已知.AC=4km,BC=2痘km,zACB=60。.現欲建一

中轉站P沿直線向A,B,C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A,B,C的鋪設成本分別為a元/km,a元/

km,V2a元/km,選取合適的P的位置,可以使總的鋪設成本最低為元.（結果用含a的式子表示）

2.如圖，在△ABC中,./-ACB=90",ZBXC=30°,AB=2.若點P是4ABC內一點，貝！I△A8CPA+PB+PC的最小

值為

B

3.兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD,如圖所示，若Na=30。,，則對角線BD上的動點P到A,

B,C三點距離之和的最小值是.

4.已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點.如果△48c是銳角（或直角）三角形，則其

費馬點P是三角形內一點，且滿足乙APB=乙BPC=^CPA=120°..例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點.

若.ABAC=47,BC=2V3?P^AABC的費馬點，貝UPA+PB+PC=若AB=2V3,BC=2,AC=4,P為AABC

的費馬點則PA+PB+PC=

5.請回答下列各題：

⑴問題背景：如圖1,將4ABC繞點A逆時針旋轉60。得到△ABC,DE與BC交于點P可推出結論：PA+PC

=PE.

⑵問題解決:如圖2,在△MNG中,MN=6,ZM=75°,MG=4a.點O是△MNG內一點，則點O到△MNG

三個頂點的距離和的最小值是.

M

NG

圖2

6.已知點P是△ABC內一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫△4BC的費馬點(Fermatpoint)

,已經證明:在三個內角均小于120。的AABC中，當乙4PB=AAPC=乙BPC=120。時,P就是△4BC的費馬點，

若點P是腰長為血的等腰直角三角形DEF的費馬點，則PD+PE+PF=_

7如圖1,在RtAABC中,/BAC=90。，AB=AC,點D是BC邊上一動點，連接AD,把AD繞點A逆時針旋轉90°,

得至I」AE,連接CE,DE.點F是DE的中點，連接CF

(1)求證:CF=^AD.

(2)如圖2所示,在點D運動過程中，當BD=2CD時，分別延長CF,BA,相交于點G,猜想AG與BC存在

的數量關系，并證明你猜想的結論.

(3)在點D運動的過程中，在線段AD上存在一點P,使PA+PB+PC的值最小，當PA+PB+PC的值取得最小值

時，AP的長為m,請直接用含m的式子表示CE的長.

8如圖,在菱形ABCD中,NB=60。,點PABC內一點，連接PA、PB、PC，若PA=6,PB=8,PC=10,則菱形ABC

D的面積等于.

9.我們以前遇到過這樣的問題：在等邊三角形ABC內有一點P，且24=2,PB=W,PC=1,求NBPC的度數.

思路是：將△BPC繞點B逆時針旋轉60。,，畫出旋轉后的圖形（如圖①）,連接PP',可得△PPB是等邊三角形,

而△PP'A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），由此得到乙BPC=4AP'B=150。，，運用類似的思想方法解

決以下問題：如圖②，RtAABCABC中，NBC4=90°,AC=BC=1,在Rt△48c內部有一點Q,連接QA,QB,

QC,則V2QA+QB+QC的最小值是

圖①圖②

10.如圖1,已知拋物y=-弋（久+3）（x-4百）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.

（1）寫出A、B、C三點的坐標.

⑵若點P為AOBC內一點求OP+BP+CP的最小值.

11.【閱讀材料】平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數學家皮埃爾彳惠費馬提出的一個著名的幾何問題：給

定不在一條直線上的三個點A、B、C,求平面上到這三個點的距離之和最短的點P的位置，費馬問題有多種不同

的解法，最簡單快捷的還是幾何解法.如圖1,我們可以將△BPC繞點B順時針旋轉60。得到△BDE，連接PD，可得

ABPD為等邊三角形，故PD=PB,由旋轉可得DE=PC,因PA+PB+PC=PA+PD+DE,由兩點之間線段最短可知，PA

+PB+PC的最小值與線段AE的長度相等.

【解決問題】如圖2,在直角三角形ABC內部有一動點P,ZABAC=90°,^ACB=30。，連接PA,PB,PC,

若AB=3,求PA+PB+PC的最小值

12在△4BC中,ABAC=90°,AB=AC,,以B為圓心,BC為半徑逆時針旋轉，得到BE,使4E||BC,交AC

于點F,過C作CCM1BE交AE于點G.

(1)若.AB=遍，求AE的長.

⑵點D是BC邊上一動點，在線段AD上存在一點P，使PA+PB+PC的值最小，此時AP的長為m,請直

接用含m的式子表示PA+PB+PC的最小值.

A

Pi

1如圖,AABC和AADE者B是等腰直角三角形/BAC=NDAE=90°,AB=AC=4,O為AC的中點，若點D在直線B

C上運動，連接0E,則在點D運動過程中，線段0E的最小值為（）

A.-B.-C.1D.V2

22

【答案】D

【解析】如圖，取AB的中點Q，連接DQ,

?.zBAC=zDAE=90°,

.,.zBAC-zDAC=zDAE-zDAC,

即NBAD=NCAE.

?.AB=AC=4,0為AC的中點

.-.AQ=AO.

在AAQD和AAOE中，

AQ=AO

{zQAD=ZOAE,<

AD=AE

."AQD當AOE(SAS),

.-.QD=OE.

??點D在直線BC上運動，

.?.當QD^BC時,QD最小.

???MBO是等腰直角三角形，

.-.zABC=45o.

-.QD±BC,

."QBD是等腰直角三角形,

■■-QD=^-QB.

1

QB=^AB=2,

.QD=<2,

二線段OE的最小值是V2

故選D.

【標注】【知識點】瓜豆原理（軌跡與最值）：軌跡為直線

2.1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A,B,C,求平面

上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱

為"費馬點"或"托里拆利點"，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

⑴下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從"直角"和"等邊"中選擇填空，

②處從“兩點之間線段最短"和"三角形兩邊之和大于第三邊"中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角形

的某個頂點）

當AABC的三個內角均小于120°時，

如圖1,將3PC繞，點。順時針旋轉60。得到AA'P'C,連接PP1,

圖I圖2圖3

由PC=P'C,NPCP'=60°,可知-PCP'為①三角形，故PP'=PC,又P'A'=PA,故PA+PB+PC=PA*PB

+PP'>A'B,

由②可知，當B,P,P',A在同一條直線上時,PA+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為A'B,此時的P點為該

三角形的"費馬點"，且有NAPC=NBPC=NAPB=③;

已知當SBC有一個內角大于或等于120。時，"費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若NBAC2120。,則

該三角形的"費馬點"為④一點.

⑵如圖4,在AABC中，三個內角均小于120。,且AC=3,BC=4/ACB=30°,已知點為AABC的"費馬點"，求PA

+PB+PC的值；

⑶如圖5,設村莊A,B,O的連線構成一個三角形，且已知AC=4km,BC=243km,ZACB=60。.現欲建一

中轉站P沿直線向A,B,C三個村莊鋪設電纜,已知由中轉站P到村莊A,B,C的鋪設成本分別為a元/km,a

元/km,V2a元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為元.（結果用含a的式子表示）

【答案】（1）①等邊;②兩點之間線段最短;③120。;④A.

（2）5

（3）2V13GI

【解析】Q）解:〔?PC=P'C,ZPCP'=6O°,

."PCP為等邊三角形；

PP'=PC,NP’PC=NPPC=60",

又P'A'=PA,故PA+PB+PC=PA+PB+PP>AB,

根據兩點之間線段最短，當B,P,P',A在同一條直線上時，

PA+PB+PC取最小值，最小值為A'B,此時的P點為該三角形的"費馬點”

.?.zBPC+zP'PC=180o,zA,P,C+zPP,C=180o,

.?.zBPC=120o,zA'P'C=120o,

又“APC學A'P'C,

ZAPC=NAP,C=120°,

NAPB=360°-NAPC-NBPC=120°

ZAPC=NBPC=NAPB=120°;

NBAC>120°,

.■.BC>AC,BC>AB,

.-.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AO,

，三個頂點中，頂點A到另外兩個頂點的距離和最小.

又?.已知當△ABC有一個內角大于或等于120。時,"費馬點"為該三角形的某個頂點.

，該三角形的"費馬點”為點A,

綜上,正確答案為：①等邊；②兩點之間線段最短；③120。；@A.

⑵將AAPC繞，點C順時針旋轉60。得到AA'P'C,連接PP',具體如下圖所示：

由(1)可知當B,P,P',A在同一條直線上時,PA+PB+PC取最小值，最小值為A'B,-.zACP=zA'CP',

???NACP+NBCP=NA'CP'+NBCP=ZACB=30",

X-.zPCP'=60°

NBCA'=^ACP+NBCP+ZPCP'=90",

根據旋轉的性質：.AC=A(=3,

，由勾股定理得：AB=JBC2+AC2=V42+32=5,

.■.PA+PB+PC最小值為5,

(3)1,總的鋪設成本^PA-a+PB-a+PC-V2a=a(PA+PB+&PC)

，當PA+PB+&PC最小時，總的鋪設成本最低，

將AAPO繞，點C順時針旋轉90。得到AAPC,連接PP',A'B

根據旋轉的性質：P'C=PC,NPCP'=NACA'=90°PA'=PA,A'C=AC=4km

PP,=V2PC,

PA+PB+五PC=PZ'+PB+PP；當B,P,P',A在同一條直線上時,

P/+PB+PP'取最小值，即PH+PB+/PC取最小值為A'B,

過點A，作A，H，BC,垂足為Hz

???ZACB=60°,為C/'=90°,

??.NA,CH=30。，

>i/

：.AH=-AC=2km,

2

???HC=y/AC2-AH2=V42-22=2V3(fcm),

BH=BC+CH=2V3+2舊=4V3(fcm),

A,B=7AH2+BH?=J(4A/3)2+22=2g(km)

PA+PB+&PC的最小值為2713km

總的鋪設成本=PA-a+PB-a+PC-42a=a(PA+PB+V2PC)=2舊研元)

因此正確答案為：

【標注】【知識點】旋轉模型

3.如圖，在AABC中,NACB=90°/BAC=30°,AB=2.若點P是AABC內一點，則PA+PB+PC的最小值為

【答案】V7

【解析】以點A為旋轉中心，順時針旋轉AAPB至!>APB,旋轉角是60。,連接BB\PP',如圖所示,

貝UNPAP'=60°,AP=AP',PB=P'B',

."APP'是等邊三角形，

AP=PP：

PA+PB+PC=PP'+PB+PC,

???PP'+P'B'+PC>CB：

：.PP'+PB+PC的最小值就是CB'的值,

，AP=PC,

..PA+PC+PB=2PA+PB,

.NDCE=30°,DE=3cm,

，BC=CD=2DE=6cm,

CE=yJCD2-DE2=3V3cm.

BE=(6+3Vcm

BD=<BE2+DE2=(3V6+3?cm,

?nc3V6+3V2

??BO=----2----cm

tan^ABD=tanNCBD=—BE=2-V3,

AO=BO-tan^ABD=3^~3^cm,

2

過點A作AMJ_AP,且使"1\/^=30。,連接BM,

如圖所示：

..MP=2AP,

要使2AP+PB的值為最小，則需滿足PB+PM為最小，根據三角不等關系可得:

PB+PM>BM.

所以當B、P、M三點共線時,PB+PM取最小，

即為BM的長，如圖所示：

...OM=WA0=9五：屜cm,

■■BM=BO+OM=6V2cm,

.?2AP+PB的最小值為6/cm,即AP+PC+PB的最小值為6夜cm.

故答案為6V2cm.

【標注】【知識點】線段和的最小值

4.即PA+PB+PC的最小值就是CB'的值，

?.NBAC=30°,NBAB'=60°,AB=2,

.■.^CAB'=^,AB'=2,AC=AB^=2^=43,

故答案為：V7

【標注】【知識點】利用三邊關系解決的最短問題

5.兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD,如圖所示，若za=30°,則對角線BD上的動點P至!JA,B,

【解析】???紙條的對邊平行，即ADIIBC,ABIIDC,

.?四邊形ABCD是平行四邊形，

■:兩張紙條的寬度都為3cm,

=ABx3=BCx3,

四邊形ABCD

「?AB=BC,

.?四邊形ABCD是菱形，

過點D作DELBC于點E,連接AC,交BD于點。

如圖所示：

..BO=DO=1BD,AO=OC,AC±BD,

6.已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點，如果AABC是銳角（或直角）三角形，則其

費馬點P是三角形內一點,且滿足NAPB=NBPC=NCPA=120。.例如:等邊三角形的費馬點是其三條高的交點若AB=

AC=V7,BC=2W,P為AABC的費馬點則PA+PB+PC=;gAB=2V3,BC=2,AC=4,

P為AABC的費馬點，則PA+PB+PC=.

【答案】5;2V7

【解析】如圖，過A作ADLBC,垂足為D.

過B,C分另U作NDBP=NDCP=30°廁PB=PC.P為3BC的費馬點，

???AB=AC=布,BC=2V3,

BD=DC=\BC=V3,

PDV3

,?.PD=1,

,?.PB=2PD=2,

???AD=<AB2-BD2=J(V7)2-(V3)2=2,

.?.PA=AD-PD=1,

.".PA+PB+PC=5.

如圖：

???AB=243,BC=2,AC=4,

AB2+BC2=16,AC2=16,

AB2+BC2=AO2,

.△ABC是直角三角形，且NABC=90°,

BC_1

AC-2’

..NBAC=30°.

將AAPC繞點A逆時針旋轉60。狷到AAPC,連接PP1,

由旋轉的性質可得rAPC%APC,

，AP'=AP,PC=P'C',AC=AC'/CAC'=NPAP'=60°,

."APP'是等邊三角形，

.?PP'=PA,

PA+PB+PC=BP+PP'+PC'.

四點共線時,PA+PB+PC的值最小，最小值為BC'的長，即P為AABC的費馬點。

???NBAC=30。,""'=60",

ZBAC=9O°,

BC'=JAB2+AC^=VAB2+AC2=J（2V3）2+42=2V7.

故答案為：5,2V7

7請回答下列各題：

（1）問題背景:如圖L將SBC繞點A逆時針旋轉60。得至SADE,DE與BC交于點P可推出結論:PA+PC=PE.

圖1

⑵問題解決:如圖2,在AMNG中,MN=6/M=75）MG=46點O是^MNG內一點，則點O至IkMNG三個

頂點的距離和的最小值是.

【答案】（1）證明見解析.

（2）2V29

【解析】（1）如圖L在BC上截取BG=PD,

BGC

D

圖1

在AABG和AADP中，

AB=AD

{/B=ND,

BG=PD

.“ABG學ADP(SAS),

，AG=AP,BG=DP,

，GC=PE.

:NGAP=NBAD=60°,

「.△AGP是等邊三角形，

.■.AP=GP,

.?.PA+PC=GP+PC=GC=PE,

;.PA+PC=PE.

(2)如圖2:以MG為邊作等邊三角形AMGD,以OM為邊作等邊AOME,連接ND,作DF^NM,交NM的延長線

于F.

???AMGD和AOME是等邊三角形，

.QE=OM=ME/DMG=NOME=60°,MG=MD,

.'.zGMO=zDME,

在AGMO和9ME中，

OM=ME

{ZGMO=NDME,,

MG=MD

.-.△GMO^DME(SAS),

，OG=DE,

..NO+GO+MO=DE+OE+NO,

二當D、E、0、M四點共線時,N0+G0+M0值最小，

???NNMG=75。，

NGMD=60°,

ANNMD=135°,

NDMF=45。，

???MG=4Vx

.-.MF=DF=4,

.-.NF=MN+MF=6+4=10,

ND=7NF2+DF2=V102+42=2V29,

..MO+NO+GO最小值為2V29

故答案為：2V29

【標注】【知識點】旋轉性質綜合應用

8.已知點P是AABC內一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫AABC的費馬點(Fermatpoint)

，已經證明:在三個內角均小于120。的MBC中，當NAPB=NAPC=NBPC=120°時,P就是MBC的費馬點，若點P是腰

長為夜的等腰直三角形DEF的費馬點，則PD+PE+PF=.

【答案】V3+1

【解析】如圖:

等腰RbDEF中，DE=DF=V2,

過點D作DMLEF于點M,過E、F分別作NMEP=NMFP=30。.

就可以得到滿足條件的點P了.

根據特殊直角三角形求出PE=PF=^,PM=1,DM=^.

.".PD+PE+PF=PM-DM+2PE=V3+1.

【標注】【知識點】費馬點

9.如圖1,在RtMBC中/BAC=9(r,AB=AC,點D是BC邊上一動點，連接AD把AD綠點A逆時針旋轉90。得

到AE,連接CE,DE點F是DE的中點，連接OF.

(1)求證:CF=yAD.

⑵如圖2所示,在點D運動過程中，當BD=2CD時，分別延長CF,BA,相交于點G,鸚鵡AG與BC存在

的數量關系，并證明你猜想的結論.

⑶在點D運動的過程中，在線段AD上存在一點P,使PA+PB+PC的值最小，當PA+PB+PC的值取得最小

值時，AP的長為m,請直接用含m的式子表示CE的氏

【答案】(1)證明見解析.

(2)案=3隹證明見解析.

3+V3

(3)CE=-----m.

2

【解析】(1)；NBAC=NDAE=90。,

..NBAD=NCAE,

在AABD和AACE中,

AB=AC

{^BAD=ZCAE,

AD=AE

."ABD當ACE,

..NABD=NACE,

?.AB=AC/BAC=90°,

..NABD=NACB=45°,

..NECD=NACB+NACE=90。,

.；F是DE的中點,

1

??.CF=：DE,

「AD=AE/DAE=90。，

」.DE二V2AD,

CFAD.

2

(2)=3應，理由如下:

如答圖1所示，連接AF、DG,DG交AC于點M.

由(1)知，AF=CF=DF=lDE,

NFAC=ZFCA,

.NGAC=90°,

.-.zFAG=zFGA,AF=GF,

??GF=DF=CF,

NFGD=NFDG/FDC=NFCD,

.?.zFDG+zFDC=90°,

ANGDC=90。，

?.NB=45°/ACD=45°,

.-.BD=GD,CD=MD,zAMG=45°,

?.zCAG=90°,

MG=42AG,

BD=2CD,

.BD=DG=2CD=2MG,

：.BC=3MG=3魚叫即筆=3V2.

⑶

如答圖2所示，當AD，BC時,

存在點P在AD上，使得PA+PB+PC的值最小（費馬定理）.

且NAPB=NAPC=NBPC=120°

AP=m,BP=CP,

.?.zBPD=zCPD=60°,

設AD=x^(]PD=x-m,BD=x=AE,

，四邊形ADCE為正方形則CE=AD=BD=x,

又由(1)可知CF=^-AD,

當四邊形ADCE為正方形且F為DE中點時，

則有CF=強

.■在&BPD中,BD=V3PDBP：x=V3(x—m),

.?.x=-3-+-V-3-m,

2

貝(jCE=萼爪.

【標注】【知識點】全等三角形的對應邊與角

10.如圖，在菱形ABCD中,NB=60°,點P是AABC內一點，連接PA、PB、PC,若PA=6,PB=8,PC=10,則菱形AB

CD的面積等于

【答案】50V3+72

【解析】將3PC繞點B逆時針旋轉60、得到ABP'A,

.BP=BP',NPBP'=60°,

.?.△BPP'為正三角形，

?.?PP，=8,PA=6,PA'=PC=1O,

."APP'是以NAPP為直角的直角三角形.

S&ABP+S^BPC

，

—S^ABP+SXABP

—s,+s,

LBPP^APP

x824-ix6x8

42

=16V3+24,

同理旋轉ABAP和△APC如圖，

得S四邊形BPOP"

=—X1O2+-X6X8

42

=25V3+24,

SwXAPCP"

2

--4X62+-X6X8

=9V3+24,

S、“=16V3+24+25V3+24+9V3+24

翊ABCD

=50V3+72.

11我們以前遇到過這樣的問題：在等邊三角形ABC內有一點P,且PA=2,PB=V3/C=l,求NBPC的度數.

思路是：將ABPC繞點B逆時針旋轉60°,畫出旋轉后的圖形（如圖①）,連接PP',可得WPB是等邊三角形，而A

PP'A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），由此得到NBPC=NAP'B=150°,運用類似的思想方法解決以下問

題:如圖②,RfABC中/BCA=90°,AC=BC=L在RtMBC內部有一點Q,連接QA,QB,QO,則V2QA+QB+QC的最

小值是

【答案】V5

【解析】將AAQB繞點A順時針旋轉90。得到3MN,連接MQ,CN,過點N作NH±CA延長線于點H,

.AQ=AM,AB=AN,QB=MN,NQAM=NBAN=90°,

.MQ=&AQ,

?.AC=BC=l,zACB=90°,

???AB=V2XC=V2,NCAB=45°

.-.AN=V2,zCAN=zCAB+zBAN=135°,

.-.zNAH=45°,

-.NH±AH,

.?.zAHN=90°,.-.zHAN=zHNA=45°,

???AH=NH,AN=迎AH=VX

..AH=NH=L，CH=AC+AH=2,

在RbCHN中,.NCHN=90°,

CN=VCW2+NH2=V5,

V2/QA+QB+QC=QM+MN+QC>CN,

，當且僅當C,Q,M,N四點共線時,

&QA+QB+QC取得最小值，最小值為V5

故答案為：V5

12如圖1,已知拋物y=一9（久+3）。-4舊）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.

⑴寫出A、B、C三點的坐標.

⑵若點P為AOBC內一點求OP+BP+CP的最小值.

【答案】Q)A(-3,0),B(4V3,0),C(0,4).

(2)4V7

【解析】(1)主y=-+3)(x-48)=0,

得：=-3,g=4百，

X=Q時,y=一梟3x(-4V3)=4,

.-.A(-3,0),B(4V3,0),C(0,4).

(2)將△BOP逆時針旋轉60°,至△BPO,

則OP=O'P',BO=BO',BP=BP',zPBP'=zOBO,=60o,

."OBO'為正三角形,APBP'為正三角形，

.BP=PP',

OP+BP+CP=OP'+PP'+CP>OC,

?■-0B=4H『O'BO為正三角形，

易知O1(2V3,-6).

:.CfC=J(o-2可+(4+6)2=4A/7

.QP+BP+CP的最小值為4V7

13【閱讀材料】平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數學家皮埃爾彳惠?費馬提出的一個著名的幾何問題：給

定不在一條直線上的三個點A、B、C,求平面上到這三個點的距離之和最短的點P的位置，費馬問題有多種不同

的解法，最簡單快捷的還是幾何解法.如圖1,我們可以將ABPC繞點B順時針旋轉60。得到ABDE,連接PD,可得

△BPD為等邊三角形，故PD=PB,由旋轉可得DE=PC,S

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由兩點之間線段最短可知,PA+PB+PC的最小值與線段AE的長度相等.

【解決問題】如圖2,在直角三角形ABC內部有一動點P,NBAC=9(T,NACB=30。，連接PA,PB,PC若AB=3,

求PA+PB+PC的最小值.B

%?

圖1圖2

【答案】3V7

【解析】解:將MBP繞點B順時針旋轉60。得到AEBF,連接PF,CE,作EH^CA交CA的延長線于點H,

在RbABC中/ACB=