二次善破中面欷的素值冏強（力丈題建，

壓軸題密押

通用的解題思路：

二次函數中的面積最值問題通常有以下3種解題方法：

1）當所求圖形的面積沒有辦法直接求出時，通常采用分割或補全圖形的方法表示所求圖形的面積，如下:

一般步驟為:①設出要求的點的坐標；

②通過割補將要求的圖形轉化成通過條件可以表示的圖形面積和或差；

③列出關系式求解；

④檢驗是否每個坐標都符合題意.

2）用鉛垂定理巧求斜三角形面積的計算公式:三角形面積等于水平寬和鉛錘高乘積的一半.

3）利用平行線間的距離處處相等,根據同底等高，將所求圖形的面積轉移到另一個圖形中，如圖所示:

直線“〃直線n

SAABC=S^ABD=S/^ABE

ABE

一般步驟為:①設出直線解析式,兩條平行直線k值相等;

②通過已知點的坐標，求出直線解析式;

③求出題意中要求點的坐標；

④檢驗是否每個坐標都符合題意.

壓軸題預測

題型01三角形面積最值問題

Ml曰（2024?寧夏銀川?一模）如圖，二次函數g=—/+62的圖象與。軸的正半軸交于點4經過點A的直線

與該函數圖象交于點B（l,5）,與沙軸交于點C.

備用圖

（1）求直線的函數表達式及點C的坐標；

（2）點P是二次函數圖象上的一個動點，且在直線AB上方，過點P作直線PE，c軸于點E,與直線交

于點D,設點P的橫坐標為機.

①當=時，求利的值；

②設的面積為S,求S關于小的函數表達式，并求出S的最大值.

題目區（2024?新疆克孜勒蘇?二模）如圖,拋物線9=d+bx+c（b,c是常數）的頂點為。，與c軸交于A,B

兩點，A（2,0）,AB=6,點P為線段AB上的動點，過P作PQ〃B。交AC于點Q.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時P點坐標.

題目叵〕（23—24九年級下?湖北武漢?開學考試）如圖，拋物線y=ax^-4ax+3a交c軸于兩點（點A在

點B的左側），交沙軸正半軸于點CQB=OC,點、P在拋物線上.

MS

（1）求拋物線的解析式；

（2）若tanZACP=2,求點P的橫坐標.

（3）平面上有兩點—+2,-m-5）,求的面積的最小值.

「題目區（23—24九年級下.遼寧沈陽.階段練習）△ABC中，/氏4。=90°,AB=2,47=4,點P從點。出

發,沿射線C4方向運動，速度為每秒1個單位長度，同時點Q以相同的速度從點B出發,沿射線方向

運動.設運動時間為力（力W2且力#4）秒，△APQ的面積為S.

圖①備用圖

⑴當0VcV2時，如圖①，求S與2的函數關系式；

（2）當2V±V4時，如圖②，求S的最大值；

⑶若在運動過程中，存在兩個時刻X1,x2,對應的點P和點Q分別記為丹，B和Q,，對應的△ARQi和

△ABQ2的面積分別記為Si和$2,且當CP[=P￡時，S尸$2,請求出X1的值.

題目回（2023.山東聊城?二模）如圖，拋物線y=x2+bx+c與c軸交于45兩點（點A在點B的左側）,點A

的坐標為（-1,0）,與y軸交于點。（0,—3）,直線CD-.y=2/—3與力軸交于點D.動點河在拋物線上運動，

過點用■作軸，垂足為點P,交直線CD于點N.

（1）求拋物線的表達式；

（2）當點P在線段OO上時，的面積是否存在最大值,若存在,請求出最大值;若不存在,請說明理由；

（3）點"■在運動過程中，能否使以C,N,河為頂點的三角形是以2W為腰的等腰直角三角形？若存在，請直

接寫出點河的坐標.

MS

，題目回（2024.浙江寧波.模擬預測）如圖，一次函數夕=卒2+V3的圖象與坐標軸交于點4拋物線y=

O

（1）求二次函數的表達式；

（2）若點P為拋物線上一動點,在直線AB上方是否存在點P使△P4B的面積最大？若存在,請求出AF4B

面積的最大值及點P的坐標，請說明理由.

題目1（2024?甘肅隴南?一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線夕=—c—3與，軸交于點4與"軸

交于點。，過A,。兩點的拋物線y=ax2+bx+c與re軸交于另一點,拋物線對稱軸為直線I.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點用■為直線AC下方拋物線上一點,當4MAC的面積最大時，求點的坐標；

（3）點P是拋物線上一點,過點P作Z的垂線，垂足為。,E是，上一點.要使得以P,D,E為頂點的三角形

與此“全等,請直接寫出點P的坐標.

題目回（2024?江蘇鹽城?模擬預測）已知拋物線y=x2+bx-3與c軸交于A,B（點A在點B的左側），與“軸

交于點。，且OB=OC.

（1）求拋物線的解析式和點A的坐標；

（2）如圖1,點P為直線BC下方拋物線上一點，求△PBC的最大面積;

MS

（3）如圖2,M、N是拋物線上異于B,。的兩個動點，若直線BN與直線CM的交點始終在直線y=2c-9

上，求證:直線7W必經過一個定點，并求該定點坐標.

:題目回（2024.四川廣元.二模）如圖,在平面直角坐標系中，拋物線m=—/+法+。與2軸交于點B,A（-3,

0），與V軸交于點。（0,3）.

（1）求直線AC和拋物線的解析式.

（2）若點M是拋物線對稱軸上的一點，是否存在點使得以Al,4C三點為頂點的三角形是以AC為

底的等腰三角形？若存在，請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

（3）若點P是第二象限內拋物線上的一個動點，求△P4C面積的最大值.

題目叵（2024?安徽安慶?一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與c軸交于點4（1,0）、5（3,0）兩點，與y軸交于

（1）求此拋物線對應的函數表達式；

（2）點E為直線BC上的任意一點，過點E作2軸的垂線與此拋物線交于點F.

①若點E在第一象限，連接求△CFB面積的最大值；

②此拋物線對稱軸與直線BC交于點。，連接OF,若ADEF為直角三角形，請直接寫出E點坐標.

題目1T］（2024?安徽合肥?一模）如圖，直線y=cc—3與工軸交于點B,與g軸交于點C,拋物線y—x2+bx+c

經過B、。兩點，拋物線與，軸負半軸交于點A.

（1）求拋物線的函數表達式;

MS

（2）直接寫出當④-3>x'+bx+c時，c的取值范圍；

（3）點P是位于直線BC下方拋物線上的一個動點,過點P作PE，BC于點瓦連接OE.求ABOE面積的

最大值及此時點P的坐標.

：穎目應（2024.天津西青.一模）己知拋物線y=———43-12a（aV0）與立軸交于A,B兩點（點A在點B左

邊），與V軸交于點C.

（1）若點。（4,12）在拋物線上.

①求拋物線的解析式及點力的坐標；

②連接AD,若點P是直線AD上方的拋物線上一點，連接P4,PD,當AFAD面積最大時,求點P的坐標

及△PAD面積的最大值；

（2）已知點Q的坐標為（-2a,-8a），連接QC,將線段QC繞點Q順時針旋轉90°,點。的對應點河恰好落在

拋物線上,求拋物線的解析式.

題目叵（2024?山東臨沂?二模）如圖,拋物線y=ax2+^-x+c與，軸交于點A和點3（4,0）,與y軸交于點

。（0,2）,連接BC,點。在拋物線上.

（2）小明探究點D位置時發現:如圖1,點。在第一象限內的拋物線上，連接BD,CD,4BCD面積存在最大

值,請幫助小明求出△BCD面積的最大值；

（3）小明進一步探究點D位置時發現:如圖2,點。在拋物線上移動，連接CD,存在ADCB=ZABC,請幫助

小明求出。時點。的坐標.

［題目?（2024.廣東深圳.二模）如圖,在平面直角坐標系中，二次函數沙=一/+法+。的圖象與軸交于人，B

點、，與y軸交于點67（0,3）,點B的坐標為（3,0）,點P是拋物線上一個動點.

（1）求二次函數解析式；

（2）若P點在第一象限運動，當P運動到什么位置時，△BPC的面積最大？請求出點P的坐標和△BPC面

積的最大值；

（3）連接并把人P。。沿8翻折，那么是否存在點P,使四邊形POP'。為菱形;若不存在,請說明

理由.

題目叵（2024.湖北.模擬預測）如圖,拋物線y=（x—l）2+k與x軸相交于A,B兩點（點A在點B的左側），

與y軸相交于點C（0,-3）.設P點在拋物線上運動,橫坐標為m.

MS

（1）求此拋物線的解析式；

（2）當P點位于第四象限時，求△BCP面積的最大值，并求出此時P點坐標；

（3）設此拋物線在點。與點P之間部分（含點。和點P）最高點與最低點的縱坐標之差為h.

①求八關于m的函數解析式，并寫出自變量m的取值范圍；

②根據白的不同取值，試探索點P的個數情況.

題目叵（22-23九年級下?重慶?階段練習）拋物線"=叱+就+5經過點4（1,0）和點5（5,0）.該拋物線

與直線沙=］工+5相交于。、。兩點，點P是拋物線上的動點且位于c軸下方，直線PMIIy軸，分別與，

軸和直線CD交于點M、N.

（1）求該拋物線所對應的函數解析式；

（2）連接如圖1,在點P運動過程中，AFCD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；

若不存在，說明理由；

（3）連接PB,過點。作CQLPM,垂足為點Q,如圖2,是否存在點P,使得△CNQ與APEM相似？若

存在，求出滿足條件的點P的坐標;若不存在，說明理由.

17］（2024?江蘇宿遷?一模）如圖1,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y—aa?+bc+3與c軸分別相交于

兩點，與y軸相交于點C,已知點A的坐標為（―1,0）,點B的坐標為（3,0）.

MS

（1）求出這條拋物線的函數表達式；

（2）如圖2,點。是第一象限內該拋物線上一動點,過點D作直線〃/沙軸，直線Z與4ABD的外接圓相交于

點E.

①僅用無刻度直尺找出圖2中4ABD外接圓的圓心P.

②連接BC、CE,BC與直線DE的交點記為Q,如圖3,設△CQE的面積為S,在點。運動的過程中，S是否

存在最大值？如果存在,請求出S的最大值;如果不存在,請說明理由.

【題目回（2024.新疆烏魯木齊.一模）如圖，在△ABC中，=40_LBC于點。，BC=10cm,AD=

8cm，點P從點B出發,在線段上以每秒3cm的速度向點。勻速運動，與此同時,垂直于AD的直線小

從底邊5。出發，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、當點P到達點

點P與直線m同時停止運動，設運動時間為力秒（力＞0）.

（X）AH—,EF=（用含t的式子表示）.

（2）在整個運動過程中,所形成的LPEF的面積存在最大值,當LPEF的面積最大時，求線段BP的長；

（3）是否存在某一時刻力，使△PEF為直角三角形？若存在，請求出此時刻力的值;若不存在,請說明理由.

:題目T西（2024.重慶.模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c過點（3,-4）,交c軸于點

備用圖

（1）求拋物線的表達式;

MS

（2）連接為線段AB上一動點，過點M作MD〃BC交直線AC于點。，連接求△MDC面

積的最大值及此時“點的坐標；

（3）在（2）中△MDC面積取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移四個單位長度，P是平移

后的拋物線上一動點，連接CP,當NPCM與△03。的一個內角相等時,請直接寫出所有符合條件的點P的

坐標.

〔題目瓦（2024?湖南衡陽?一模）如圖，已知拋物線g=ad+?+c經過A（l,0）,B（-3,0）,C（0,3）三點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D為第二象限內拋物線上一動點,求△BCD面積的最大值；

（3）設點P為拋物線的對稱軸上的一個動點,求使△BFC為直角三角形的點P的坐標.

題目叵（2024?甘肅天水?一模）如圖，在平面直角坐標系中,開口向下的拋物線與c軸交于46兩點，。是拋

物線的頂點.O為坐標原點.AB兩點的橫坐標分別是方程4z—12=0的兩根，且cos/OAB=拳.

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）作AC,AD,AC交拋物線于點C,求點。的坐標及直線AC的函數解析式；

（3）在（2）的條件下,在立軸上方的拋物線上是否存在一點P,使AAPC的面積最大？如果存在,請求出點P

的坐標和△APC的最大面積;如果不存在,請說明理由.

題目區（2024.山東聊城.一模）在平面直角坐標系中,拋物線y=a^+bx—3與2軸交于點A（-l,0）和點

B（3,0）,與v軸交于點。.

（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；

（2）若點P為第四象限內拋物線上一點,當△PBC面積最大時，求點P的坐標；

（3）若點P為拋物線上一點,點Q是線段上一點（點Q不與兩端點重合）,是否存在以P、Q、。為頂點的

三角形是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由.

題目^3^（2024.吉林長春.一模）如圖,在平面直角坐標系中，直線y=x+2分別交/軸、夕軸于A、B兩點，過

點。（2,2）作a;軸垂線，垂足為。，連接BC.現有動點P、Q同時從A點出發，分別沿4B、AD向終點8和

終點。運動，若點P的運動速度為每秒V2個單位長度,點Q的運動速度為每秒2個單位長度.設運動的時

間為t秒.

MS

（1）求力、B兩點的坐標；

⑵當CQ〃AB時，力=；

（3）設△CPQ的面積為“寫出"與t的函數關系式，并求△CPQ面積的最大值;

（4）當△CPQ為軸對稱圖形時，直接寫出t的值.

［題目［24］（2023?湖南婁底?中考真題）如圖,拋物線y=a^+bx+c過點A（T，。）、點鳳5,0），交y軸于點C.

（2）點P（g,%）（0<x0<5）是拋物線上的動點

①當出取何值時，APB。的面積最大？并求出△PBC面積的最大值；

②過點P作PEL,軸，交BC于點E,再過點P作PF〃2軸，交拋物線于點F,連接EF,問：是否存在點P,

使APEF為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

題目區（2024?河南安陽?模擬預測）如圖,在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=

—a?+x—1的形狀相同，且與2軸交于點（―1,0）和（4,0）.直線《=版+2分別與2軸、沙軸交于點4B,

與沙=西2+法+。丁點（點。在點。的左側）.

（2）點P是直線y=kx+2上方拋物線上的任意一點，當％=2時，求/XPCD面積的最大值；

（3）若拋物線y=ax2+bx+c與線段AB有公共點,結合函數圖象請直接寫出k的取值范圍.

題目回］（2024.湖南長沙.一模）如圖，拋物線y=x2-bx+c與力軸交于4（—1,0）,B（m,0）兩點，與沙軸交于

點（7（0,-3）,頂點為。，直線BD交y軸于點E.

—

（1）求拋物線的解析式.

（2）設點P為線段BD上一點（點P不與B,。兩點重合），過點P作2軸的垂線與拋物線交于點F,連接

DF,BF,求面積的最大值.

（3）連接CD,在線段BD上是否存在點Q,使得4BDC=NQCE?若存在，求出點Q的坐標;若不存在，請說

明理由.

［題目回（2024.江西萍鄉.一模）如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與2軸交于力、3兩點，與夕軸交于點。，拋

物線的對稱軸交，軸于點。.已知4（3,0）,。（0,3）,連接力

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點P,使得以A、O、P為頂點的三角形與△03。相似,求出點P的坐標；

（3）若點河是拋物線上的一個動點，且位于第一象限內，連接設△ACM的面積為S,試求S的最

大值.

題目叵（2024?四川廣元?二模）如圖1,拋物線？=姐2+取+。與2；軸交于4_8兩點,且點_8的坐標為

（5,0）,與9軸交于點C,該拋物線的頂點坐標為（3,-4）.

（1）求拋物線和直線BC的解析式.

（2）在拋物線上是否存在點使得△BCM是以BC為底邊的等腰三角形？若存在，求出所有點M的坐標；

若不存在,請說明理由.

MS

(3)如圖2,以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為。5上的一個動點，連接47,求△ACP面積的最大值.

：>目叵(2023?山東青島?中考真題)如圖，在菱形ABCD中，對角線力。，BD相交于點。，4B=10cm,BD

=4V5cm.動點P從點入出發，沿AB方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，動點Q從點A出發，沿AD方向

勻速運動,速度為2cm/s.以AP,AQ為鄰邊的平行四邊形APMQ的邊PM■與AC交于點E.設運動時間

為t(s)(0<±W5),解答下列問題：

(2)連接BE.設APSB的面積為S(cm2),求S與t的函數關系式和S的最大值；

(3)是否存在某一時刻3使點B在/PEC的平分線上？若存在，求出力的值;若不存在,請說明理由.

題目應(2023?湖南懷化?中考真題)如圖一所示,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx-8與re軸交于A(

—4,0)、5(2,0)兩點，與"軸交于點C.

(1)求拋物線的函數表達式及頂點坐標；

(2)點P為第三象限內拋物線上一點，作直線AC,連接P4、PC,求人匕4。面積的最大值及此時點P的坐

標；

(3)設直線k-.y=kx+k-^-交拋物線于點河、N,求證:無論k為何值，平行于c軸的直線bn=—空上總

存在一點E,使得/MEN為直角.

:題目叵(2024?海南省直轄縣級單位?一模)如圖，已知拋物線y=ax2+2x+c(aA0),與多軸交于點A(-l,0)

和點B(3,0),與y軸交于點C,E為拋物線的頂點.

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）如圖1,點P是第一象限內拋物線上一動點，連接PC、PB、BC,設氤P的橫坐標為t.

①當t為何值時，APB。的面積最大？并求出最大面積；

②當t為何值時，APB。是直角三角形？

⑶如圖2,過E作EF，c軸于尸，若河（館,0）是，軸上一動點，N是線段EF上一點，若AMNC=90°,請直

接寫出實數力的取值范圍.

題目叵（2024.四川成都.一模）如圖，直線夕=—%—4分別交①軸，夕軸于4。兩點，點3在，軸正半軸上.

拋物線沙=5"+歷;+c過A,B,C三點、.

5

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點B作BDHAC交g軸于點。，交拋物線于點F.若點P為直線AC下方拋物線上的一動點，連接

PD交AC于點、E,連接EB，求S^EB的最大值及最大值時點P的坐標；

（3）如圖2,將原拋物線進行平移,使其頂點為原點,進而得到新拋物線,直線y=-2c與新拋物線交于O,G

兩點,點H是線段OG的中點,過H作直線RQ（不與OG重合）與新拋物線交于A,Q兩點，點A在點Q左

側.直線GR與直線OQ交于點T,點T是否在某條定直線上？若是，請求出該定直線的解析式，若不是，請

說明理由.

【題目也（2024.江蘇蘇州.一模）如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2-8ax+10a—1（a＜0）與a;軸的

交點分別為力⑶,0），B（，2,0），其中（0＜電＜，3且48=4,與沙軸的交點為。，直線CD〃2軸，在立軸上

有一動點E（t,0）,過點E作直線，，工軸，與拋物線、直線CD的交點分別為P、Q.

??

⑴求拋物線的解析式；

（2）當0Vt48時，求△4PC面積的最大值；

⑶當t>2時,是否存在點P,使以C、P、Q為頂點的三角形與△03。相似？若存在，求出此時t的值;若不

存在,請說明理由.

題型02四邊形面積最值問題

［題目口（2024.安徽阜陽.一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與多軸交于A（—1,0）,5（3，0）兩點，與y軸交于

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點P,使APAC的周長最小，求APAC的周長的最小值及此時點P的坐標；

（3）若河為拋物線在第一象限內的一動點，求出四邊形OCMB的面積的最大值及此時點”的坐標.

題目區（2024.山東臨沂.一模）如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=-^-x2+bx+c與2軸交于點4-2,0）

和點B,與y軸交于點。（0,4），點P是直線上方的拋物線上一點（點P不與點B,。重合），過點P作PD

〃《軸交直線于點。.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）求線段PO長的最大值；

（3）連接CP,BP,請直接寫出四邊形ABPC的面積最大值為

【題目區（2024?山西運城?一模）綜合與探究

MS

如圖，拋物線9=遍+碗—3(a#0)與①軸交于A(-L,O)、B兩點，與9軸交于點。，點。(―2申在拋物線

上，點P是拋物線在第四象限內的一個動點,過點P作PQ//y軸交直線于點Q,連接P4、PB、QA,設

點P的橫坐標為

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)求四邊形PAQB面積的最大值及此時點P的坐標;

(3)若點河是拋物線上任意一點,是否存在點使得NMAB=2乙4CO,若存在,請直接寫出所有符合條件

的點河的坐標，若不存在,請說明理由.

題目可(2024.安徽合肥.一模)在平面直角坐標系中，點。是坐標原點.拋物線y=<2-+63；-3(<1/0)與2：軸

交于兩點，直線Z："=%2+2與拋物線交于人，。兩點，且人(一1,0),5(3,0).

⑴求a,b,%的值；

(2)點加■是線段OB上的動點，點N在c軸上，MN=2,且點N在〃■的左邊.過點“作MP±x軸,交拋物

線于點P.過點N作2軸的垂線,交拋物線于點Q,交直線I于點R.

①當以P,Q,凡M為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點”的坐標.

②記以P,Q,R,Af為頂點的四邊形面積為S,求S的最大值.

題目互)(2024?安徽蚌埠?一模)如圖1,已知直線y=—c+5與坐標軸相交于4B,點C坐標是(―1,0),拋物

線經過三點.點P是拋物線上的一點，過點P作9軸的平行線,與直線AB交于點。，與立軸相交

于點F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當點P在第一象限時，連接CP交OA于點E,連接EF,如圖2所示；

①求AE+OF的值；

②設四邊形AEFB的面積為S,則點P在運動過程中是否存在面積S的最大值，若存在,請求出此時點P的

坐標；若不存在,請說明理由.

題目引(2024.安徽馬鞍山.一模)如圖，過原點的二次函數v=a:z：2+ba;的圖象與立軸正半軸交于點經過點

A的直線與該函數交于B(l,-3),與y軸交于點0(0,-4).??

（1）分別求此二次函數與直線AB的解析式.

（2）點P是第四象限內二次函數圖象上的一個動點，過點P作直線軸于點E,與直線AB交于點O,

設點P的橫坐標為九

①當=。時，求t的值；

②當點P在直線AB下方時，連接OP,過點口作BQLc軸于點Q,BQ與OP交于點F,連接。F,求四邊

形FQED面積的最大值.

建目⑦（2024.山東濟南.一模）如圖,直線y=-y?+3交v軸于點A,交c軸于點C,拋物線y=-^-x2+bx+

c經過點A,點C,且交多軸于另一點B.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AC上方的拋物線上有一點河，求四邊形ABCM面積的最大值及此時點M的坐標；

（3）將線段。入繞多軸上的動點F（m,0）順時針旋轉90°得到線段OA，若線段OA與拋物線只有一個公共

點，請結合函數圖象，求7n的取值范圍.

［題目叵）（2024?四川廣元?二模）如圖，二次函數片Z+bc+c的圖象與c軸交于原點。和點4（4,0）,經過

點A的直線與該函數圖象交于另一點5（1,3）,與y軸交于點C.

（1）求直線的函數解析式及點。的坐標.

（2）點P是拋物線上位于直線AB上方的一個動點,過點P作直線PE±x軸于點E,與直線AB交于點D,

過點B作軸于點F,連接。P,與BF交于點G,連接。G.求四邊形GDEF面積的最大值.

（3）拋物線上是否存在這樣的點Q,使得4BOQ=45°?若存在，請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

9

［題目回（2024.廣東珠海?一模）如圖,拋物線y=—/+3a;+4和直線沙=2+1交于A（-l,0）,B（3,4）點，點B

在直線c=3上，直線2=3與力軸交于點C.

（1）求的度數.

（2）點P從點A出發，以每秒V2個單位長度的速度沿線段AB向點B運動，點Q從點。出發，以每秒2個單

位長度的速度沿線段CA向點A運動，點P,Q同時出發,當其中一點到達終點時,另一個點也隨之停止運

動,設運動時間為七秒（t>0）.以PQ為邊作矩形PQNM，使點N在直線①=3上.

①當t為何值時，矩形PQ/W的面積最小？并求出最小面積；

②直接寫出當t為何值時，恰好有矩形PQNM■的頂點落在拋物線上.

［題目［w］（2024.安徽宿州.二模）如圖1,拋物線沙=瀛+碗-3（a,6是常數且a>0）與多軸交于點4（—1,0）

和點B（點B在點人的右側），點。是拋物線的頂點，CD是拋物線的對稱軸且交/軸于點。（1,0）.

⑴求a,b的值；

（2）點P是拋物線上一點且位于點A和點。之間.

（i）如圖2,連接AP,DP,求四邊形ABDP面積的最大值；

（近）如圖3,連接AP并延長交CD延長線于點Q,連接BP交CD于點、E,求CE+CQ的值.

題目叵（2024?安徽?二模）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx-4交2軸于點4（—1,0）,

B（4,0）,交g軸于點C,點河在該拋物線上，橫坐標為小，將該拋物線兩點之間（包括“，。兩點）的部

分記為圖象W.

MS

（1）求拋物線的解析式；

（2）圖象W的最大值與最小值的差為4時，求小的值；

（3）如圖2,若點“位于下方，過點A作AEII交拋物線于點E,點D為直線AE上一動點,連接CM,

求四邊形CDBM■面積的最大值及此時點河的坐標.

題目叵1（2024.四川廣安.二榭如圖，拋物線沙=—/+、+c交，軸于江（一4,0）,3兩點，交y軸于點。（0,4）.

（1）求拋物線的函數解析式.

（2）點D在線段OA上運動,過點D作2軸的垂線,與AC交于點Q,與拋物線交于點P,連接AP、CP,求四

邊形AOCF的面積的最大值.

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點M,使得以點A、。、加■為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出

點河的坐標;若不存在,請說明理由.

題目叵（23—24九年級上?重慶渝北?期末）二次函數y=ax^+bx+4經過點A（-l,0）,點8（4,0），點C,點D

分別二次函數與g軸的交點和頂點,點朋■為二次函數圖象上第一象限內的一個動點.

??

（1）求二次函數的解析式；

（2）如圖1,連接8C,過點A作的平行線交二次函數于點E,連接CE.求四邊形CMBE

面積的最大值以及此時點"■的坐標；

（3）如圖2,過點作M7W/沙軸，交BC于點N（點M不與點D重合）,過點D作DH//9軸，交BC于點H,當

。河=即￥時，直接寫出點河的坐標.

題型03面積比最值問題

題目3ZJ（2024.安徽合肥.一模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=a（x+1）（①一4）與c軸交于4

B兩點，與9軸交于點。（0,—2）.

（1）求a的值；

（2）點。為第四象限拋物線上一點

①求ABCD的面積最大值

②連接AO,BC交于點E,連接BD,記&BDE的面積為&,AABE的面積為S2,求熹的最大值；

題目叵（2023?四川遂寧?中考真題）在平面直角坐標系中，。為坐標原點,拋物線y=^x2+bx+c經過點O

（0,0）,對稱軸過點B（2,0）,直線，過點C（2,-2）,且垂直于沙軸.過點B的直線力交拋物線于點M、N,交直

線，于點Q，其中點河、Q在拋物線對稱軸的左側.

4!yk\

■>

X

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,當BM-.MQ=3:5時，求點N的坐標；

（3）如圖2,當點Q恰好在夕軸上時，P為直線h下方的拋物線上一動點，連接PQ、P。,其中PO交。于點

E,設4OQE的面積為8,/\PQE的面積為S2.求年的最大值.

:題目電（2024.湖北省直轄縣級單位.一模）拋物線y="—4c與直線y=x交于原點。和點B,與2軸交于另

一點頂點為。.??

(1)求出點B和點。的坐標；

(2)如圖①，連接。。，P為c軸的負半軸上的一點，當tanAPDO=｝時，求點P的坐標；

(3)如圖②，M是點B關于拋物線的對稱軸的對稱點，Q是拋物線上的動點，它的橫坐標為m(0<m<5),

連接MQ,BQ,MQ與直線OB交于點E,設^BEQ和4BEM的面積分別為S1和S2,求善的最大值.

題目回(2023?湖南永州?中考真題)如圖1,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數)經過點F(0,5),頂點坐標

⑵如圖1,直線OP：n=迎立交于點G,求要型的最大值：

X1b^BOG

⑶如圖2,四邊形為正方形，P4交g軸于點石，交F/0的延長線于C,且瓦」

求點P的橫坐標.

彘目叵(2024.四川南充.一模)拋物線y=-^x2+bx+c(6>0)與力軸分別交于A,B兩點(點A在點B的

O

左側)，與沙軸交于點。(0,3),拋物線對稱軸為，=1,點P是拋物線在第一象限上動點，連接CB,PB.

(1)求拋物線和直線BC的解析式；

⑵如圖，連接P4交BC于點朋r，設A4BM的面積為$,APBM的面積為S2,求告的最小值及此時點P

的坐標.

［題目叵(2024?湖北孝感?一模)如圖1,已知拋物線y=ax2+bx+3與①軸交于點A(-l,0),8(3,0)，與沙軸交

于點C,連接60.

(1)求a,6的值及直線BC的解析式；

(2)如圖1,點P是拋物線上位于直線BC上方的一點,連接AP交于點E,過P作PF，7軸于點F,交

BC于點、G,

(i)若EP=EG,求點P的坐標，

(ii)連接CP,CA,記APGE的面積為$,4ACE的面積為S2,求善的最大值；

(3)如圖2,將拋物線位于加軸下方面的部分不變,位于加軸上方面的部分關于立軸對稱，得到新的圖形，將直

線BC向下平移n個單位,得到直線I，若直線Z與新的圖形有四個不同交點,請直接寫出n的取值范圍.

題型04面積和最值問題

題目工I(2024.吉林長春.一模)在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+3交2軸于點力(-1,0)、5(3,0)，交

V軸于點。，連結點。在該拋物線上，過點。作。石〃AC,交直線BC于點E,連結AD、AE、

BD.設點。橫坐標為機(機＞0),/3/出的面積為的面積為S2.

⑴求a,6的值；

(2)設拋物線上。、B兩個點和它們之間的部分為圖象G,當圖象G的最高點的縱坐標與小無關時,求小的

取值范圍；

(3)當點。在第一象限時，求S+S2的最大值；

(4)當S：S2=2:1時，直接寫出小的值.

題型05面積差最值問題

題目曰(2024?安徽合肥?一模)如圖1,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線，=

2,且與v軸相交于點。（0,5）.

（2）如圖2,點AB在y軸上（B在人的右側），且。4=亡（0<1<3）,48=1,過點4_8分別作3；軸的垂線交

拋物線于點DE,連接CD,CE,OE,并延長AD交CE于點F.

①求DF的長（用含力的代數式表示）；

②若△CDF的面積記作的面積記作S?，記S?—S尸S,則S是否有最大值，若有請求出，若沒有，請

說明理由.

［題目區（2024?安徽