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文檔簡介
2024?2025學年度下學期八年級期中數(shù)學試卷
一、選擇題(本題共10小題,每小題4分,共40分)
1.下列各式中是二次根式的是()
A.V5B.我D.C
2.己知。,△是一元二次方程/+2x-l=0的兩根,則+1的值是(
A.B.2C.D.12
I2
3.下列各組數(shù)中,是勾股數(shù)的是()
A.2,3,4B.1,2,V5C.1.5,2,2.5D.5,12,13
4.下列計算正確的是()
A.V2+V3=V5B.Vs4-V2=2
C.=-2D.(2廚=6
5.已知。,b,。為△48。的三邊長,在下列條件中不能判定△48。是直角三角形的是
()
A.ZA+ZB=ZCB.a=6fb=8,c=10
C.a2+b2=c2D.乙4:/5:/C=3:4:5
6.如圖,在平面直角坐標系中,ZUBC的頂點4(-L0),8(2,2),。(0,-2)均在正方形網(wǎng)
格的格點上,則△N8C在ZC邊上的高為()
V13D.逑
Vr/?-----
25
7.“讀萬卷書,行萬里路”我校為了豐富學生的閱歷知識,堅持開展課外閱讀活動,學生人
均課外閱讀量從七年級的每年50萬字增加到九年級的每年80萬字.設該校七至九年級人均
閱讀量年均增長率為x,則可列方程為()
試卷第1頁,共4頁
A.50(1+x)2=80B.50(1+x%)2=80
C.50(1+2x)2=80D.50+50(l+x)+50(l+x)2=80
8.實數(shù)6在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示,計算值-|2a+6|的結果為()
——1-----------------1--------J?
a0b
A.2b-aB.2b+aC.3a-2bD.a+b
9.已知加〃是關于%的一元二次方程Y—3x-1=0的兩個實數(shù)根,則代數(shù)式
6加-2/+加〃+3的值是()
A.0B.1C.2D.3
10.如圖,四個全等的直角三角形圍成正方形和正方形用G”(趙爽弦圖),連接
AC,交EF、G"分別于點〃,N,連接7W,已知=且S正方形舒⑺=25,則圖
D.10
二、填空題(本題共5小題,每小題5分,共25分)
11.若代數(shù)式傷口+—1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則實數(shù)x的取值范圍是________.
x-1
12.已知一元二次方程/+4工-1=0的兩根分別為加,“,貝!的值是.
13.已知一個多邊形的每個內(nèi)角都相等,其內(nèi)角和為2340。,則這個多邊形每個外角的度數(shù)
是°.
14.對于實數(shù)6,我們定義符號max{a,6}的意義為:當a>方時,max[a,b}=a;當aWb
時,max{a,b}=b,如tnax{l,-2}=1,則方程max{x,x+2}=x?-4的解為.
15.我國是最早了解勾股定理的國家之一,在《周髀算經(jīng)》中記載了勾股定理的公式與證明,
相傳是由商高發(fā)現(xiàn),故又稱之為“商高定理”.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角
試卷第2頁,共4頁
形和中間的小正方形拼成的一個大正方形,若大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,
直角三角形的兩條直角邊長分別為加、小貝卜"〃=
三、(本大題共2小題,每小題8分,滿分16分)
16.計算:V24-V3-(V5)2+V32.
17.解方程:x(x+3)—4(x+3)=0.
四、(本大題共6小題,滿分39分)
18.如圖,在△/BC中,AB=AC,ZBAC=90°,BE是N/8C的角平分線,CD工BE交BE
的延長線與點
(2)連接40,若48=4,BC=40,S^BDC=^,求三角形的面積.
19.已知左為實數(shù),關于x的方程為--b=3住+3).
(1)請證明不論左取何值,這個方程總有兩個根;
⑵若方程的兩個根分別記為多,x2,且滿足才+君=9,求左值.
20.某市一樓盤準備以每平方米5000元的均價對外銷售,由于國務院有關房地產(chǎn)的新政策
出臺后,購房者持幣觀望為了加快資金周轉(zhuǎn),房地產(chǎn)開發(fā)商對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后,決定以
每平方米4050元的均價開盤銷售.
(1)求平均每次下調(diào)的百分率;
(2)某人準備以開盤均價購買一套200平方米的房子.開發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以
供選擇:①打9.5折銷售;②不打折,送2年物業(yè)管理費,物業(yè)管理費為每平方米每月5元,
請問哪種方案更優(yōu)惠?
21.已知點/,N把線段分割成/M,MN和BN,若以NM,MN,3N為邊的三角
試卷第3頁,共4頁
形是一個直角三角形,則稱點M、N是線段A8的勾股分割點,如圖,點M、N是線段
的勾股分割點.
AMNA
IIII
⑴當/M=3,兒W=4時,求BN的長;
Q)當AM=4ia,MN=?時,求3N的長.
22.新定義:對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”
(1)如圖1,已知四邊形48c。是垂美四邊形.若AB=c,BC=d,CD=a,DA=b,探究a,b,
c,d的數(shù)量關系.
(2)如圖2,在長方形/BCD中,AB=6,尸是邊40上一點,S.AP=2PD,CP±BD,求4D
的長
23.如圖,在中,點E,尸分別在8c邊上,OE與4尸相交于點G,
DE=AF,ZAED=/AFB.
(1)探索四邊形/BCD是何種特殊平行四邊形,并說明理由;
⑵若N/ED=60。,AE=6,BF=2,求48的值.
試卷第4頁,共4頁
1.A
【分析】本題考查了二次根式的定義,能熟記二次根式的定義是解此題的關鍵,形如
y/a(a>0)的式子叫二次根式.
根據(jù)二次根式的定義逐個判斷即可.
【詳解】解:A.右是二次根式,故本選項符合題意;
B.我的根指數(shù)是3,不是2,不是二次根式,故本選項不符合題意;
C.當x<0時,4不是二次根式,故本選項不符合題意;
D.C的被開方數(shù)-7<0不是二次根式,故本選項不符合題意.
故選:A.
2.B
【分析】本題考查解一元二次方程,熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵,
由于b是一元二次方程/+2》一1=0的兩根,可得到a+6=-2,ab=-l,代入即可得
到答案.
【詳解】解:?:a,6是一元二次方程?+2x7=0的兩根,
■■a+b--2,ab=-\,
ab-a-6+1=ab-(a+b)+l=-1-(-2)+1=-l+2+l=2,
故選:B.
3.D
【分析】本題考查的是勾股數(shù),根據(jù)勾股數(shù)的概念對各選項進行逐一分析即可.熟知滿足
/+/=c2的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù)是解題的關鍵.
【詳解】解:A、;22+32342,.?.不能構成勾股數(shù),不符合題意;
B、6不是整數(shù),不能構成勾股數(shù),不符合題意;
C、152,2.5不是整數(shù),不能構成勾股數(shù),不符合題意;
D、???52+122=132,??.能構成勾股數(shù),符合題意.
故選:D.
4.B
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡,二次根式的乘方,二次根式的除法等知識點,解
題的關鍵是熟練掌握各項運算法則.
答案第1頁,共12頁
利用二次根式的化簡,二次根式的乘方,二次根式的除法逐項判斷即可.
【詳解】解:A.V2+V3,不是同類二次根式,不能進行合并,故該選項錯誤,不符合題
忌;
B.應+G=2,該選項正確,符合題意;
C.幾了="=2,故該選項錯誤,不符合題意;
D.(2班『=12,故該選項錯誤,不符合題意;
故選:B.
5.D
【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理的逆定理.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得
A、D選項;根據(jù)勾股定理逆定理可判斷出B、C選項.
【詳解】解:A.-.-ZA+ZB=ZC,且//+Z8+/C=180。,,/。二為。,故△N8C為直角三
角形,故該選項不符合題意;
B.:62+82=10"故△/BC為直角三角形,故該選項不符合題意;
C.■-a2+b2=c2,故為直角三角形,故該選項不符合題意;
D.ZA;ZB;ZC=3:4:5,:.ZC=—;—xl80°=75°,故不能判定△4BC是直角三角形,
3+4+5
故該選項符合題意;
故選:D.
6.B
【分析】本題主要考查勾股定理以及三角形的面積,熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.根據(jù)
勾股定理求出/。=遙,再由三角形的面積即可計算出答案.
【詳解】解:〃BC=;X2X2+;X2X2=4,
???AC=A/12+22=V5,
7v
24BC8875
A△4BC在4C邊上的高為
AC
故選B.
7.A
【分析】本題考查了一元二次方程的應用,增長率問題的一般形式為a(l+x)2=6,。為起始
答案第2頁,共12頁
時間的有關數(shù)量,6為終止時間的有關數(shù)量,由此列方程即可.
【詳解】解:設該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為X,
則50(l+x)2=80,
故選A.
8.D
【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡,數(shù)軸,絕對值,正確得出各項符號是解題
關鍵.直接利用數(shù)軸得出〃<0<6,同>例,進而化簡得出答案.
【詳解】解:由數(shù)軸可知,a<0<b,\a\>\b\9
…J/=—af2cl+b<°,
**--\2a+b\,
——u+2Q+b,
=a+b,
故選:D.
9.A
【分析】由加,〃是關于X的一元二次方程/-3》-1=0的兩個實數(shù)根,可得/〃=-1,
m2-3m-l=0,即"?2一3加=1,再整體代入求解代數(shù)式的值即可.
【詳解】解:是關于x的一元二次方程一一3》-1=0的兩個實數(shù)根,
:.mn=-1,m2-3/M-1=0,
m2-3m=1,
6m-2m2+mn+3
=-2-3加)+mn+3
=-2-1+3
=0;
故選A
【點睛】本題考查了一元二次方程的解的含義,根與系數(shù)的關系,解決該題型題目時,根據(jù)
根與系數(shù)的關系找出兩根之和與兩根之積,再將代數(shù)式變形為只含兩根之和與兩根之積的形
式是關鍵.
10.B
答案第3頁,共12頁
【分析】本題考查了勾股定理的證明.根據(jù)正方形的面積可得正方形邊長的平方,設
DH=x,則==,根據(jù)勾股定理可得》的平方的值,再根據(jù)題意可得
SAFGN~S"EM+S.CGN,然后可得陰影部分的面積之和為梯形NGEVf的面積.
【詳解】解::S正方形WZ)=25,
AB2=25,
則AH=3DH=3x,
x2+9x2=25,
,25
..x=一,
2
根據(jù)題意可知:
AE=CG=DH=x,CF=AH=3xf
FE=FG=CF—CG=3x—x=2x,
?c—7c
一"FGN-乙4&CGN
???陰影部分的面積之和為:
S梯彩NGFM=;(NG+FM〉FG
=—FEFG
2
故選:B.
11.x>——且Xwl##xW1且%之——
33
【分析】本題考查了二次根式與分式有意義的條件,熟練掌握二次根式有意義的條件:被開
方數(shù)為非負數(shù);分式有意義的條件:分母不等于零是解題的關鍵.根據(jù)二次根式與分式有意
答案第4頁,共12頁
義的條件求解即可.
【詳解】解:由題意得:3x+l>0,且x—lwO,
解得:xN—§且xwl,
故答案為:且XW1.
12.3
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系,熟悉此關系是解題的關鍵;由根與系數(shù)
關系得加+〃=-4,加〃=-1,再整體代入即可求值.
【詳解】解:由根與系數(shù)關系得,"+〃=-4,皿=—1,
mn—m—n
=mn-(m-\-n)
=-1-(-4)
=3;
故答案為:3.
13.24
【分析】設這個多邊形是〃邊形,它的內(nèi)角和可以表示成(〃-2>180。,就得到關于"的方程,
求出邊數(shù)n.然后根據(jù)多邊形的外角和是360。,多邊形的每個內(nèi)角都相等即每個外角也相等,
這樣就能求出多邊形的一個外角.
【詳解】解:設這個多邊形是"邊形,
根據(jù)題意得:(”-2>180。=2340°,
解得M-15;
那么這個多邊形的一個外角是360。勺5=24。,
即這個多邊形的一個外角是24°.
故答案為:24.
【點睛】考查了多邊形內(nèi)角與外角的關系.根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理,求邊數(shù)的問題就可以
轉(zhuǎn)化為解方程的問題來解決.
14.-2或3
【分析】本題主要考查了新定義,解一元二次方程,解題的關鍵是正確理解題目所給新定義
的運算法則,以及解一元二次方程的方法和步驟.根據(jù)題目所給新定義,列出方程求解即可.
【詳解】解:;x+2>x,max{x,x+2)=x+2=x2-4,
答案第5頁,共12頁
*'-x2-x-6=0,BP(x-3)(x+2)=0,
解得:玉=3,%2=—2,
故答案為:-2或3.
15.12
【分析】本題考查了勾股定理,以及完全平方式,由題意可得,/+幾2=25,(加)2=1,
進而可得2mn=24.
【詳解】解:???大正方形的面積是25,
加2+幾2=25,
???小正方形的面積是1,
(加一〃)2=1,
???m2-2mn+n2=1,
25-2mn=1,
???2mn=24,
:.mn=12,
故答案為:12.
16.672-5
【分析】本題主要考查二次根式的混合運算,掌握其運算法則是關鍵.
根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡,二次根式的混合運算法則計算即可.
【詳解】解:V24^3—^A/5j+
=124-3-5+4啦
=2收-5+4及
=6及-5.
17.X]=-3,x2=4
【分析】本題主要考查了解一元二次方程,把方程左邊利用提公因式法分解因式,進而解方
程即可.
【詳解】解:???X(X+3)-4(X+3)=0,
(x-4)(x+3)=0,
答案第6頁,共12頁
???x+3=0或尤一4=0,
解得再=-3,x2=4.
18.(1)證明見解析
⑵4
【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì),二次根式的除法運算,作出合適的輔助線
是解本題的關鍵;
(1)如圖,延長A4,CD交于點、H,證明△砌汪△C5D,LABE注LACH,從而可得結
論;
(2)如圖,過D作DNLBH于N,結合全等三角形的性質(zhì)求解ZW,從而可得答案.
【詳解】(1)證明:如圖,延長R4,CD交于點H,
:,/HBD=/CBD,ZBDH=ZBDC,
BD=BD,
???八HBD沿KBD,
HD=CD,
vZBAC=90°,ZBDC=90°,ZAEB=ZCED,
??./ABE=ZACH,
vAB=AC,ZBAE=ZCAH=90°,
:?LABEdACH,
:,BE=CH,
?:CH=2CD,
:,BE=2CD;
(2)如圖,過D作DN1BH于N,
答案第7頁,共12頁
H
S4BDC=S^BDH~4V2,BH=BC=46,
X4y/2XDN=4y/2,
2
DN=2,
=;x4x2=4.
19.(1)見解析
Q)k=-3
【分析】(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式進行證明即可;
(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系,即可求解.
【詳解】(1)證明:由原方程變形為,-丘-3(左+3)=0,
A=(-我『-4x[-3(左+3)]=左2+12左+36=(后+6『20,
???不論k取何值,方程總有兩個實數(shù)解;
(2)解:?.?,々分別是關于x的方程/-履=3優(yōu)+3)的兩個根,
x+x=k,-3(k+)
l2xrx2=3,
?rx;+君=9,
()22xx
X]+x2—t2=9,
.?.左2+6(左+3)=9,
得左?+6/+9=0,
解得左=-3.
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系,解一元二次方程,熟練掌
握和運用一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系是解決本題的關鍵.
答案第8頁,共12頁
20.(1)10%;(2)選方案①更優(yōu)惠
【分析】(1)設平均每次降價的百分率是x,根據(jù)預備每平方米銷售價格x
(1-平均每次降價的百分率)2=開盤每平方米銷售價格列出方程式并解答即可;
(2)方案①:開盤每平方米銷售價格x200x0.95;方案②:開盤每平方米銷售價格x100-
兩年物業(yè)費,比較結果即可解答.
【詳解】解:(1)設平均每次降價的百分率是x,依題意得
5000(1-%)2=4050
19
解得:網(wǎng)=10%戶2=而(不合題意,舍去)
答:平均每次降價的百分率為10%.
(2)方案①的房款是4050x200x0.95=769500(元)
方案②的房款是:4050x200-200x2x12x5=786000(元)
769500<786000
答:選方案①更優(yōu)惠.
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用,通過分析題干正確列出方程式和公式是關鍵.
21.(1)8N的長為V7或5.
(2)8N的長為。或其.
【分析】本題主要考查了勾股定理以及二次根式的混合運算.
(1)分兩種情況:當為最大線段時和當8N為最大線段時,利用勾股定理求解即可.
(2)分兩種情況:當上W為最大線段時和當3N為最大線段時,利用勾股定理求解即可.
【詳解】(1)解:分兩種情況:
①當為最大線段時,
?.?點M,N是線段48的勾股分割點,
???BN=yjMN2-AM2="_32=g
②當為最大線段時,
?.?點M、N是線段48的勾股分割點,
?1?BN=ylMN2+AM2=J42+32=5
綜上所述:3N的長為5或5.
答案第9頁,共12頁
(2)①當MN為最大線段時,
???點M,N是線段的勾股分割點,
???BN=ylMN2-AM2=一(缶『=a
②當瓦V為最大線段時,
???點M、N是線段AB的勾股分割點,
???BN=NMM+AM?=?6aj+(缶/=氐
綜上所述:8N的長為。或右a.
22.(l)c2+a2=b2+d2
⑵6后
【分析】本題考查勾股定理,理解新定義,靈活運用勾股定理構建方程是解題的關鍵.
(1)根據(jù)垂美四邊形的定義可得NC/5D,再利用勾股定理即可得出結論;
(2)連接PB,先證明四邊形3cop是垂美四邊形,再利用勾股定理計算即可.
【詳解】(1)解:???四邊形是“垂美四邊形”,
:.ACJ.BD
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