2024?2025學年度下學期八年級期中數(shù)學試卷

一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分）

1.下列各式中是二次根式的是（）

A.V5B.我D.C

2.己知。，△是一元二次方程/+2x-l=0的兩根，則+1的值是（

A.B.2C.D.12

I2

3.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（)

A.2,3,4B.1,2,V5C.1.5,2,2.5D.5,12,13

4.下列計算正確的是（）

A.V2+V3=V5B.Vs4-V2=2

C.=-2D.（2廚=6

5.已知。，b,。為△48。的三邊長，在下列條件中不能判定△48。是直角三角形的是

()

A.ZA+ZB=ZCB.a=6fb=8,c=10

C.a2+b2=c2D.乙4:/5:/C=3:4:5

6.如圖，在平面直角坐標系中，ZUBC的頂點4（-L0）,8（2,2）,。（0,-2）均在正方形網(wǎng)

格的格點上，則△N8C在ZC邊上的高為（）

V13D.逑

Vr/?-----

25

7.“讀萬卷書,行萬里路”我校為了豐富學生的閱歷知識，堅持開展課外閱讀活動，學生人

均課外閱讀量從七年級的每年50萬字增加到九年級的每年80萬字.設該校七至九年級人均

閱讀量年均增長率為x,則可列方程為（）

試卷第1頁，共4頁

A.50(1+x)2=80B.50(1+x%)2=80

C.50（1+2x）2=80D.50+50（l+x）+50（l+x）2=80

8.實數(shù)6在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，計算值-|2a+6|的結果為（）

——1-----------------1--------J?

a0b

A.2b-aB.2b+aC.3a-2bD.a+b

9.已知加〃是關于％的一元二次方程Y—3x-1=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式

6加-2/+加〃+3的值是（）

A.0B.1C.2D.3

10.如圖，四個全等的直角三角形圍成正方形和正方形用G”（趙爽弦圖），連接

AC,交EF、G"分別于點〃，N,連接7W,已知=且S正方形舒⑺=25,則圖

D.10

二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分）

11.若代數(shù)式傷口+—1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是________.

x-1

12.已知一元二次方程/+4工-1=0的兩根分別為加，“，貝!的值是.

13.已知一個多邊形的每個內(nèi)角都相等，其內(nèi)角和為2340。，則這個多邊形每個外角的度數(shù)

是°.

14.對于實數(shù)6,我們定義符號max{a,6}的意義為:當a＞方時,max[a,b}=a；當aWb

時，max{a,b}=b,如tnax{l,-2}=1,則方程max{x,x+2}=x?-4的解為.

15.我國是最早了解勾股定理的國家之一，在《周髀算經(jīng)》中記載了勾股定理的公式與證明,

相傳是由商高發(fā)現(xiàn)，故又稱之為“商高定理”.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角

試卷第2頁，共4頁

形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,

直角三角形的兩條直角邊長分別為加、小貝卜"〃=

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

16.計算：V24-V3-（V5）2+V32.

17.解方程：x（x+3）—4（x+3）=0.

四、（本大題共6小題，滿分39分）

18.如圖，在△/BC中，AB=AC,ZBAC=90°,BE是N/8C的角平分線，CD工BE交BE

的延長線與點

（2）連接40,若48=4,BC=40，S^BDC=^,求三角形的面積.

19.已知左為實數(shù)，關于x的方程為--b=3住+3）.

（1）請證明不論左取何值，這個方程總有兩個根；

⑵若方程的兩個根分別記為多，x2,且滿足才+君=9,求左值.

20.某市一樓盤準備以每平方米5000元的均價對外銷售，由于國務院有關房地產(chǎn)的新政策

出臺后，購房者持幣觀望為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以

每平方米4050元的均價開盤銷售.

（1）求平均每次下調(diào)的百分率；

（2）某人準備以開盤均價購買一套200平方米的房子.開發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以

供選擇：①打9.5折銷售；②不打折，送2年物業(yè)管理費，物業(yè)管理費為每平方米每月5元,

請問哪種方案更優(yōu)惠？

21.已知點/，N把線段分割成/M,MN和BN,若以NM,MN,3N為邊的三角

試卷第3頁，共4頁

形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段A8的勾股分割點，如圖，點M、N是線段

的勾股分割點.

AMNA

IIII

⑴當/M=3,兒W=4時，求BN的長；

Q）當AM=4ia，MN=?時,求3N的長.

22.新定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”

(1)如圖1,已知四邊形48c。是垂美四邊形.若AB=c,BC=d,CD=a,DA=b,探究a,b,

c,d的數(shù)量關系.

(2)如圖2,在長方形/BCD中，AB=6,尸是邊40上一點，S.AP=2PD,CP±BD,求4D

的長

23.如圖，在中，點E,尸分別在8c邊上，OE與4尸相交于點G,

DE=AF,ZAED=/AFB.

(1)探索四邊形/BCD是何種特殊平行四邊形，并說明理由;

⑵若N/ED=60。，AE=6,BF=2,求48的值.

試卷第4頁，共4頁

1.A

【分析】本題考查了二次根式的定義，能熟記二次根式的定義是解此題的關鍵，形如

y/a(a>0)的式子叫二次根式.

根據(jù)二次根式的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：A.右是二次根式，故本選項符合題意；

B.我的根指數(shù)是3,不是2,不是二次根式，故本選項不符合題意；

C.當x<0時，4不是二次根式，故本選項不符合題意；

D.C的被開方數(shù)-7<0不是二次根式，故本選項不符合題意.

故選：A.

2.B

【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵,

由于b是一元二次方程/+2》一1=0的兩根，可得到a+6=-2,ab=-l,代入即可得

到答案.

【詳解】解:?:a,6是一元二次方程?+2x7=0的兩根,

■■a+b--2,ab=-\,

ab-a-6+1=ab-(a+b)+l=-1-(-2)+1=-l+2+l=2,

故選：B.

3.D

【分析】本題考查的是勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的概念對各選項進行逐一分析即可.熟知滿足

/+/=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解題的關鍵.

【詳解】解：A、；22+32342,.?.不能構成勾股數(shù)，不符合題意；

B、6不是整數(shù)，不能構成勾股數(shù)，不符合題意；

C、152,2.5不是整數(shù)，不能構成勾股數(shù)，不符合題意；

D、???52+122=132,??.能構成勾股數(shù)，符合題意.

故選：D.

4.B

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡，二次根式的乘方，二次根式的除法等知識點，解

題的關鍵是熟練掌握各項運算法則.

答案第1頁，共12頁

利用二次根式的化簡，二次根式的乘方，二次根式的除法逐項判斷即可.

【詳解】解：A.V2+V3,不是同類二次根式，不能進行合并，故該選項錯誤，不符合題

忌；

B.應+G=2,該選項正確，符合題意；

C.幾了="=2,故該選項錯誤，不符合題意；

D.(2班『=12,故該選項錯誤，不符合題意；

故選：B.

5.D

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理的逆定理.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得

A、D選項；根據(jù)勾股定理逆定理可判斷出B、C選項.

【詳解】解：A.-.-ZA+ZB=ZC,且//+Z8+/C=180。，，/。二為。，故△N8C為直角三

角形，故該選項不符合題意；

B.:62+82=10"故△/BC為直角三角形，故該選項不符合題意；

C.■-a2+b2=c2,故為直角三角形，故該選項不符合題意；

D.ZA;ZB;ZC=3:4:5,:.ZC=—；—xl80°=75°,故不能判定△4BC是直角三角形,

3+4+5

故該選項符合題意；

故選：D.

6.B

【分析】本題主要考查勾股定理以及三角形的面積，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.根據(jù)

勾股定理求出/。=遙，再由三角形的面積即可計算出答案.

【詳解】解：〃BC=；X2X2+；X2X2=4,

???AC=A/12+22=V5，

7v

24BC8875

A△4BC在4C邊上的高為

AC

故選B.

7.A

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，增長率問題的一般形式為a(l+x)2=6,。為起始

答案第2頁，共12頁

時間的有關數(shù)量，6為終止時間的有關數(shù)量，由此列方程即可.

【詳解】解：設該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為X,

則50(l+x)2=80,

故選A.

8.D

【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，數(shù)軸，絕對值，正確得出各項符號是解題

關鍵.直接利用數(shù)軸得出〃<0<6,同>例，進而化簡得出答案.

【詳解】解：由數(shù)軸可知，a<0<b,\a\>\b\9

…J/=—af2cl+b<°，

**--\2a+b\,

——u+2Q+b,

=a+b,

故選：D.

9.A

【分析】由加，〃是關于X的一元二次方程/-3》-1=0的兩個實數(shù)根，可得/〃=-1,

m2-3m-l=0,即"?2一3加=1,再整體代入求解代數(shù)式的值即可.

【詳解】解：是關于x的一元二次方程一一3》-1=0的兩個實數(shù)根，

:.mn=-1,m2-3/M-1=0,

m2-3m=1,

6m-2m2+mn+3

=-2-3加)+mn+3

=-2-1+3

=0；

故選A

【點睛】本題考查了一元二次方程的解的含義，根與系數(shù)的關系，解決該題型題目時，根據(jù)

根與系數(shù)的關系找出兩根之和與兩根之積，再將代數(shù)式變形為只含兩根之和與兩根之積的形

式是關鍵.

10.B

答案第3頁，共12頁

【分析】本題考查了勾股定理的證明.根據(jù)正方形的面積可得正方形邊長的平方，設

DH=x,則==,根據(jù)勾股定理可得》的平方的值，再根據(jù)題意可得

SAFGN~S"EM+S.CGN，然后可得陰影部分的面積之和為梯形NGEVf的面積.

【詳解】解：:S正方形WZ)=25,

AB2=25,

則AH=3DH=3x,

x2+9x2=25,

,25

..x=一,

2

根據(jù)題意可知：

AE=CG=DH=x,CF=AH=3xf

FE=FG=CF—CG=3x—x=2x,

?c—7c

一"FGN-乙4&CGN

???陰影部分的面積之和為：

S梯彩NGFM=；(NG+FM〉FG

=—FEFG

2

故選：B.

11.x>——且Xwl##xW1且％之——

33

【分析】本題考查了二次根式與分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件：被開

方數(shù)為非負數(shù)；分式有意義的條件：分母不等于零是解題的關鍵.根據(jù)二次根式與分式有意

答案第4頁，共12頁

義的條件求解即可.

【詳解】解：由題意得：3x+l>0,且x—lwO,

解得：xN—§且xwl,

故答案為：且XW1.

12.3

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟悉此關系是解題的關鍵；由根與系數(shù)

關系得加+〃=-4,加〃=-1,再整體代入即可求值.

【詳解】解：由根與系數(shù)關系得，"+〃=-4,皿=—1,

mn—m—n

=mn-(m-\-n)

=-1-(-4)

=3；

故答案為：3.

13.24

【分析】設這個多邊形是〃邊形，它的內(nèi)角和可以表示成(〃-2>180。，就得到關于"的方程,

求出邊數(shù)n.然后根據(jù)多邊形的外角和是360。，多邊形的每個內(nèi)角都相等即每個外角也相等，

這樣就能求出多邊形的一個外角.

【詳解】解：設這個多邊形是"邊形，

根據(jù)題意得：(”-2>180。=2340°,

解得M-15；

那么這個多邊形的一個外角是360。勺5=24。，

即這個多邊形的一個外角是24°.

故答案為:24.

【點睛】考查了多邊形內(nèi)角與外角的關系.根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，求邊數(shù)的問題就可以

轉(zhuǎn)化為解方程的問題來解決.

14.-2或3

【分析】本題主要考查了新定義，解一元二次方程，解題的關鍵是正確理解題目所給新定義

的運算法則，以及解一元二次方程的方法和步驟.根據(jù)題目所給新定義，列出方程求解即可.

【詳解】解：；x+2>x,max{x,x+2)=x+2=x2-4,

答案第5頁，共12頁

*'-x2-x-6=0,BP(x-3)(x+2)=0,

解得：玉=3,%2=—2,

故答案為：-2或3.

15.12

【分析】本題考查了勾股定理，以及完全平方式，由題意可得，/+幾2=25,(加)2=1,

進而可得2mn=24.

【詳解】解：???大正方形的面積是25,

加2+幾2=25,

???小正方形的面積是1,

(加一〃)2=1,

???m2-2mn+n2=1,

25-2mn=1,

???2mn=24,

:.mn=12,

故答案為：12.

16.672-5

【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，掌握其運算法則是關鍵.

根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，二次根式的混合運算法則計算即可.

【詳解】解：V24^3—^A/5j+

=124-3-5+4啦

=2收-5+4及

=6及-5.

17.X]=-3,x2=4

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，把方程左邊利用提公因式法分解因式，進而解方

程即可.

【詳解】解：???X(X+3)-4(X+3)=0,

(x-4)(x+3)=0,

答案第6頁，共12頁

???x+3=0或尤一4=0,

解得再=-3，x2=4.

18.(1)證明見解析

⑵4

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，二次根式的除法運算，作出合適的輔助線

是解本題的關鍵；

(1)如圖，延長A4,CD交于點、H,證明△砌汪△C5D,LABE注LACH,從而可得結

論；

(2)如圖，過D作DNLBH于N,結合全等三角形的性質(zhì)求解ZW,從而可得答案.

【詳解】(1)證明：如圖，延長R4,CD交于點H,

：,/HBD=/CBD,ZBDH=ZBDC,

BD=BD,

???八HBD沿KBD,

HD=CD,

vZBAC=90°,ZBDC=90°,ZAEB=ZCED,

??./ABE=ZACH,

vAB=AC,ZBAE=ZCAH=90°,

：?LABEdACH,

：,BE=CH,

?:CH=2CD,

:,BE=2CD；

(2)如圖，過D作DN1BH于N,

答案第7頁，共12頁

H

S4BDC=S^BDH~4V2,BH=BC=46，

X4y/2XDN=4y/2,

2

DN=2,

=；x4x2=4.

19.（1）見解析

Q）k=-3

【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式進行證明即可；

（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，即可求解.

【詳解】（1）證明：由原方程變形為，-丘-3（左+3）=0,

A=（-我『-4x[-3（左+3）]=左2+12左+36=（后+6『20,

???不論k取何值，方程總有兩個實數(shù)解；

（2）解：?.？，々分別是關于x的方程/-履=3優(yōu)+3）的兩個根,

x+x=k,-3（k+）

l2xrx2=3,

?rx；+君=9,

（）22xx

X]+x2—t2=9,

.?.左2+6（左+3）=9,

得左？+6/+9=0,

解得左=-3.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系，解一元二次方程，熟練掌

握和運用一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系是解決本題的關鍵.

答案第8頁，共12頁

20.（1）10%；（2）選方案①更優(yōu)惠

【分析】（1）設平均每次降價的百分率是x,根據(jù)預備每平方米銷售價格x

（1-平均每次降價的百分率）2=開盤每平方米銷售價格列出方程式并解答即可；

（2）方案①：開盤每平方米銷售價格x200x0.95；方案②：開盤每平方米銷售價格x100-

兩年物業(yè)費，比較結果即可解答.

【詳解】解：（1）設平均每次降價的百分率是x,依題意得

5000（1-%）2=4050

19

解得：網(wǎng)=10%戶2=而（不合題意，舍去）

答：平均每次降價的百分率為10%.

（2）方案①的房款是4050x200x0.95=769500（元）

方案②的房款是：4050x200-200x2x12x5=786000（元）

769500<786000

答：選方案①更優(yōu)惠.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，通過分析題干正確列出方程式和公式是關鍵.

21.（1）8N的長為V7或5.

（2）8N的長為。或其.

【分析】本題主要考查了勾股定理以及二次根式的混合運算.

（1）分兩種情況：當為最大線段時和當8N為最大線段時，利用勾股定理求解即可.

（2）分兩種情況：當上W為最大線段時和當3N為最大線段時，利用勾股定理求解即可.

【詳解】（1）解：分兩種情況：

①當為最大線段時，

?.?點M,N是線段48的勾股分割點，

???BN=yjMN2-AM2="_32=g

②當為最大線段時，

?.?點M、N是線段48的勾股分割點，

?1?BN=ylMN2+AM2=J42+32=5

綜上所述：3N的長為5或5.

答案第9頁，共12頁

(2)①當MN為最大線段時，

???點M,N是線段的勾股分割點，

???BN=ylMN2-AM2=一(缶『=a

②當瓦V為最大線段時，

???點M、N是線段AB的勾股分割點，

???BN=NMM+AM?=?6aj+(缶/=氐

綜上所述：8N的長為。或右a.

22.(l)c2+a2=b2+d2

⑵6后

【分析】本題考查勾股定理，理解新定義，靈活運用勾股定理構建方程是解題的關鍵.

(1)根據(jù)垂美四邊形的定義可得NC/5D,再利用勾股定理即可得出結論；

(2)連接PB,先證明四邊形3cop是垂美四邊形，再利用勾股定理計算即可.

【詳解】(1)解：???四邊形是“垂美四邊形”，

：.ACJ.BD