第20關(guān)特殊的平行四邊形

基礎(chǔ)練

考點1矩形

1.[2024四川成都]如圖在矩形ABCD中對角線AC與BD相交于點O,則下列結(jié)論一定正確的是

()

A.AB=ADB.AC±BD

C.AC=BDD.ZACB=ZACD

第1題圖第2題圖

2.[2024甘肅]如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,/ABD=6(F,AB=2,則AC的長為()

A.6B.5C.4D.3

3.[2024四川瀘州]已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列條件中，不能判定口ABCD為矩形的是

)

A.ZA=90°B.ZB=ZC

C.AC=BDD.AC±BD

4.[2024黑龍江綏化]在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,點E在直線AD上，且DE=2cm,則點E到矩形對角線

所在直線的距離是cm.

5.[2024吉林長春]如圖，在四邊形ABCD中,/A=/B=90。,。是邊AB的中點/AOD=/BOC.求證：四邊形ABC

D是矩形.

6.[2024貴州]如圖.四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,AD〃BC,/ABC=90。,有下列條件:①AB〃C

D,②AD=BC.

(1)請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形ABCD是矩形；

⑵在⑴的條件下，若AB=3,AC=5,求四邊形ABCD的面積.

AD

考點2菱形

7.[2024甘肅臨夏州]如圖，O是坐標(biāo)原點，菱形ABOC的頂點B在x軸的負(fù)半軸上，頂點C的坐標(biāo)為(3,4),

則頂點A的坐標(biāo)為()

A.(-4,2)B.(-V3-4)

C.(-2,4)D.(-4-V3)

8.[2024上海]在菱形ABCD中,NABC=66。,貝!J/BAC='

9.[2024廣西]如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60。、則重合部分構(gòu)成的四

邊形ABCD的周長為cm.

10.[2024貴州]如圖,在菱形ABCD中，點E,F分別是BC,CD的中點，連接AE,AF.若sin/EAF=],AE=5,則AB的

長為.

第10題圖第11題圖

11.[2024廣東]如圖，菱形ABCD的面積為24點E是AB的中點點F是BC上的動點.若△BEF的面積為4,

則圖中陰影部分的面積為

12.[2024湖南長沙]如圖，在口ABCD中對角線AC,BD相交于點O,/ABC=90。.

⑴求證:AC=BD;

⑵點E在BC邊上，滿足NCEO=NCOE,若AB=6,BC=8,求CE的長及tan/CEO的值.

考點3正方形

13.[2024陜西]如圖,正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD上,AF與DC交于點H,若AB=6,CE=2,

則DH的長為（）

A.2B.3C.-D-

23

14.[2024內(nèi)蒙古興安盟]如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,E是BC邊上一點,F

是BD上一點，連接DE,EF苕ADEF與△DEC關(guān)于直線DE對稱,則小BEF的周長是（

A.2V2B.2+V2

C.4-2V2D.V2

15.[2024黑龍江龍東地區(qū)]如圖,在菱形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,請?zhí)砑右粋€條件：

使得菱形ABCD為正方形.

16.[2024天津]如圖,正方形ABCD的邊長為3/對角線AC,BD相交于點O,點E在CA的延長線上,OE=5,

連接DE.

⑴線段AE的長為:

⑵若F為DE的中點，則線段AF的長為

17.［2024河北］在平面直角坐標(biāo)系中，我們把一個點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值稱為該點的“特征值”.如圖，矩形A

BCD位于第一象限，其四條邊分別與坐標(biāo)軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是()

A.點AB.點BC.點CD.點D

18.（2024山東臨沂］如圖，已知AB,BC,CD是正n邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以BC為邊在該正n邊形的外

部作正方形BCMN.若/ABN=120。,則n的值為（）

N-------M

A.12B.10C.8D.6

19.（2024山西］在四邊形ABCD中點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點EG,FH交于點O.若四邊形ABC

D的對角線相等，則線段EG與FH一定滿足的關(guān)系為（）

A.互相垂直平分

B.互相平分且相等

C.互相垂直且相等

D.互相垂直平分且相等

20.［2024廣西］如圖.邊長為5的正方形ABCD,E,F,G,H分別為各邊中點.連接AG,BH,CE,DF,交點分別為M,N,P,

Q,那么四邊形MNPQ的面積為（）

層：

AB

E

A.lB.2C.5D.10

21.[2024湖南長沙]如圖在菱形ABCD中,AB=6,/B=30。,點E是BC邊上的動點，連接AE,DE,過點A作

AFJ_DE于點F.設(shè)DE=x,AF=y，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（）

22.[2024山東泰安]如圖,菱形ABCD中,/B=60。點E是AB邊上的點AE=4,BE=8,點F是BC上的一點，AE

GF是以點G為直角頂點，ZEFG為30。角的直角三角形，連接AG.當(dāng)點F在直線BC上運動時，線段AG的最

小值是()

A.2B,4V3-2

C.2V3D.4

23.[2024江蘇蘇州]如圖，矩形ABCD中,AB==1,,動點E,F分別從點A,C同時出發(fā)，以每秒1個

單位長度的速度沿AB,CD向終點B,D運動，過點E,F作直線1,過點A作直線1的垂線，垂足為G,則AG

的最大值為（）

A.V3B.-C.2D.1

2

24.[2024黑龍江龍東地區(qū)]如圖，在正方形ABCD中，點H在AD邊上（不與點A、D重合）,/BHF=9（T,HF交

正方形外角的平分線DF于點F,連接AC交BH于點M,連接BF交AC于點G,交CD于點N,連接BD.則下列結(jié)

論：

①/HBF=45。;②點G是BF的中點;③若點H是AD的中點則sin/NBC=曹;④BN=⑤若AH=

物。廁SABND=￡SA4HM?其中正確的結(jié)論是)

AHD

A.①②③④B.①③⑤

C.①②④⑤D.①②③④⑤

25.[2024吉林]如圖,正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E是OA的中點點F是OD上一點、連

接EF.若/FEO=45。廁3的值為.

AD

BC

26.[2024北京]如圖在正方形ABCD中，點E在AB上,AFLDE于點F,CG±DE于點G.若AD=5,CG=4,則△AE

F的面積為.

27.[2024四川德陽]如圖,四邊形ABCD是矩形,△ADG是正三角形，點F是GD的中點點P是矩形ABCD

內(nèi)一點，且△PBC是以BC為底的等腰三角形，貝必PCD的面積與^FCD的面積的比值是_______.

28.[2024云南]如圖，在四邊形ABCD中點E,F、G、H分別是各邊的中點且AB〃CD,AD〃BC,四邊形EFGH

是矩形.

⑴求證:四邊形ABCD是菱形;

(2)若矩形EFGH的周長為22,四邊形ABCD的面積為10,求AB的長.

A

JD

29J2024江蘇揚州］如圖1,將兩個寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形ABCD.

(1)試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；

(2)已知矩形紙條寬度為2cm,將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時，四邊形ABCD的面積為8cm2求此時直線

AD,CD所夾銳角/I的度數(shù).

30J2024吉林長春］如圖.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.點D是邊BC上的一點(點D不與點B、C重合)，作射

線AD,在射線AD上取點P,使AP=BD,以AP為邊作正方形APMN,使點M和點C在直線AD同側(cè).

⑴當(dāng)點D是邊BC的中點時，求AD的長；

⑵當(dāng)BD=4時點D到直線AC的距離為;

(3)連接PN,當(dāng)PN±AC時，求正方形APMN的邊長；

(4)若點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，則CD的長為.(寫出一個即可)

31.［2024青海］綜合與實踐

順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形.數(shù)學(xué)興趣小

組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個方面展開探究.

【探究一】

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

C

圖1

如圖1,在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是各邊的中點.

求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形.

證明:：E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點，

；.EF,GH分別是△ABC和4ACD的中位線，

EF='c,G”="C((p)

/.EF=GH.

同理可得:EH=FG.

???中點四邊形EFGH是平行四邊形.

結(jié)論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形.

⑴請你補全上述過程中的證明依據(jù)：①.

【探究二】

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀A(yù)

不相等、不垂直平行四邊形

c

AC=BD菱形

圖2

從作圖、測量結(jié)果得出猜想I：原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形.

⑵下面我們結(jié)合圖2來證明猜想I,請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程.

【探究三】

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

出殺

不相等、不垂直平行四邊形朱

VF??.????1???????

c

AC1BD②

圖3

⑶從作圖、測量結(jié)果得出猜想II：原四邊形對角線垂直時，中點四邊形是②.

⑷下面我們結(jié)合圖3來證明猜想n,請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程.

【歸納總結(jié)】

⑸請你根據(jù)上述探究過程，補全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對應(yīng)的圖形.

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀:::::::

????4

…丁…=…:…廠

③④1:J1:1:

圖4

結(jié)論：原四邊形對角線③時，中點四邊形是④.

第20關(guān)特殊的平行四邊形

LC

2C解析:?.?四邊形ABCD為矩形，對角線AC,BD相交于點O,;QA=OB=OC=OD,

?.zABD=60°,

."OAB為等邊三角形，

，OA=OB=AB=2,

.QC=OA=2,

..AC=OA+OC=4.

3.D解析:當(dāng)NA=90。時，平行四邊形ABCD是矩形，

，選項A可以判定口ABCD為矩形，故選項A不符合題意；

?.四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.ABllCD,

.?.zB+zC=180°,

當(dāng)NB=NC時/B=NC=90。,此時DABCD為矩形，

，選項B可以判定口ABCD為矩形,故選項B不符合題意；

當(dāng)AC=BD時，平行四邊形ABCD是矩形，

，選項C可以判定口ABCD為矩形，故選項C不符合題意；

當(dāng)AC^BD時，平行四邊形ABCD是菱形，

，選項D不能判定口ABCD為矩形，故選項D符合題意.

4,管管或2V5

解析：①當(dāng)點E在線段AD上時，如圖1,過點E作EF±BD于點F,

圖I

???四邊形ABCD是矩形，

:NBAD=/ABC=NADC=90°,AC=BD,AD=BC,AB=CD,

「AB=4cm,BC=8cm,

..由勾股定理得AC=7AB2+BC2=V42+82=4遙(cm),

.?.BD—4V5cm,

/zEFD=zBAD=90°/zEDF=zBDAz

A

..△DEF^DBAZ

EF_DE

AB-BD'

EF_2

4―4VS/

口廠2遍

???EF=——cm;

5

如圖2,過點E作EM±AC于點M,

圖2

-，AD=BC=8cm,DE=2cm,

.■.AE=6cm,

???zAME=zADC=90°,zEAM=zCAD,

.,.△AEM-^ACD,

AE_EM

AC-CD'

6_EM

4V5.4J

6V5

???EM=——cm.

5

②當(dāng)點E在線段AD的延長線上時，如圖3,過點E作EN_LBD交BD的延長線于點N,

圖3

..NEND=NBAD=90°,

.NEDN=NBDA,

.-.△END-ABAD,

.DE_EN

"BD-ABr

2_EN

"475?4'

如圖4,過點E作EH_LAC交AC所在直線于點H,

圖4

..NAHE=NADC=90。，

?「NEAH=NCAD,

.?.△AHE2DC,

tAE_EH

??AC-CD'

?「AD=BC=8cm,DE=2cm,

.,.AE=10cm,

.10_EH

"475一4'

???EH—2y/5cm.

③當(dāng)點E在DA的延長線上時，與②同理.

綜上,點E到矩形對角線所在直線的距離是等cmWent或2V5cm.

5.證明是邊AB的中點

,.OA=OB,

在AAOD和ABOC中，

zAOD=NBOC,

{OA=OB,

NA=NB,

.?.△AOD￥BOC(ASA),

..DA=CB,

?.zA+zB=180°,

.-.DAllCB,

四邊形ABCD是平行四邊形，

又.NA=90°,

二四邊形ABCD是矩形.

解題思路..

先根據(jù)條件證明AAOD2BOC,再證明四邊形ABCD是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形與矩形的關(guān)系進行證

明即可.

6.⑴見解析(2)12

解析：(1)選擇①，證明:「ADIIBC,ABllCD,

二四邊形ABCD是平行四邊形，

?.NABC=90°,

二四邊形ABCD是矩形.

選擇②，證明:〔ADUBC,AD=BC,

二四邊形ABCD是平行四邊形，

?.NABC=90。,..四邊形ABCD是矩形.

(2)在RfABC中,AB=3,AC=5/ABC=90。，

BC=<AC2-AB2=4,

???四邊形ABCD是矩形，

，四邊形ABCD的面積=AB-BC=3x4

12.

7.C解析:過C作0\1，*軸于1\1,過人作人1\/1，*軸于乂、

?.點C的坐標(biāo)為(3,4),

.■.ON=3,CN=4,

0C=y/ON2+CN2=5,

1?四邊形ABOC是菱形，

.,.AC=OC=5,ACIIB0,

.?.zACN=180°-zCNM=90°,

X-.zAMN=zCNM=90°,

二四邊形AMNC是矩形，

.-.MN=AC=5.

/.0M=MN-0N=2.

二點A的坐標(biāo)為(-2,4).

8.57

9.8V3

解析：根據(jù)題意可得四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)兩張紙條寬度均為3cm可得平行四邊形ABCD的

四條邊都相等，所以平行四邊形ABCD為菱形.過點C作CE^AD,垂足為E,由題意可得4DE=60。,二sin60。=

晟???CE=3,「.CD=2V3,/.四邊形ABCD的周長為V38

1。等

解析:如圖，過點E作EG^AF于點G,延長AF,BC,交于點H,

D

G

BEC.............工H

貝上EGA=NEGH=90。，

AFG

vsin^EAF=-=—AE=5,

5AEf

..EG=4,

AG=y/AE2—EG2=V52—42=3,

??四邊形ABCD是菱形，

ADIIBC,AD=AB=BC=CD/zD=zB,

??點E,F分別是BC,CD的中點,

???BE=CE=\BC.DF=CF=1CD,

.-.BE=DF,

."ADF當(dāng)ABE(SAS),

.-.AF=AE=5,

.'.GF=AF-AG=2,

?.ADllBC,

,?.zD=zFCH,X-.zAFD=zHFC,DF=CF,

.“ADF學(xué)HCF(ASA),

.-，AF=HF=5,AD=CH,

.-.AB=BC=CH,GH=GF+HF=2+5=7,

???EH=sjEG2+GH2=V42+72=V65,

2j-.j.2A/65

?A?.DAB=BC=-EH=--.

33

11.10

解析：連接BD,

???E是AB的中點,

,,,SUED=5sA4BD=*菱形ABCD=1X24

=6.

連接EC,

同理可得S^BEC=^LAED~6,

VS^BEF=4，

2

?*'S"EF=

??.FC=：BC,

???S^DFC=-S^RCD=.S.2=-X24=4.

△U3LBLD6變形ABCD6

.??S.=S.-S—ED-SABEF-SADFC=24-6-4-4=10.

剛形變尼ABCD"匕"△"廣

12.⑴見解析

(2)CE=5;tanzCEO=3

解析：Q)證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，且NABC=90°,

所以四邊形ABCD是矩形.

所以AC=BD.

(2)在RtAABC中，AC=7AB2+BC2=V62+82=10.

所以CO=|4C=5.

因為NCEO=NCOE,

所以CE=CO=5.

過點。作OF^BC于點F.

因為四邊形ABCD是矩形，所以O(shè)B=OC.

所以CF=|BC=4.

所以EF=CE-CF=5-4=1.

在Rt^COF中，OF=VOC2-CF2=75^-42=3.

所以tan/CE。=—=3.

EF

解題思路..

(1)由四邊形ABCD是平行四邊形，NABC=90°,證明四邊形ABCD是矩形，則AC=BD.

⑵作OF^BC于點F油AB=6,BC=8,求得AC=10廁CE=OC=5,再證明OC=OB,則FC=FB=4,求得EF=1,

由OC=5,CF=4,求得0F=3,進而得至Utan/CE。=—=3.

EF

13.B解析:由正方形CEFG和正方形ABC)得ADIIGF,

MDH-AFGH,

，DH:HG=AD:GF=6:2=3：L

由DG=DC-CG=6-2=4,

得DH=4x3=3.

1+3

14.A解析:1?正方形ABCD的邊長是2,

BD=-22+22=2Vx

?sDEF與ADEC關(guān)于直線DE對稱，

.-.DC=DF=2,EC=EF,

???=2V2-2,

&BEF的周長=BF+BE+EF=BF+BE+EC=BF+BC=2/-2+2=2/.

15.AC=BD(答案不唯一)

解析:添加AC=BD,

??.四邊形ABCD是菱形,AC=BD,

二菱形ABCD為正方形.

16.(1)2⑵4

解析：(1).,四邊形ABCD是正方形,.,QAnOCuODMOB/DOCugO。,在RbDOC中，OD?+0C2=DC2,

???DC=3V2,

，OD=OC=OA=OB=3(負(fù)值舍去),

?.0E=5,

，AE=0E-0A=2.

⑵延長DA到點G,使AG=AD,連接EG,過點E作EHLAG于H,如圖,

E

?；F為DE中點,A為DG中點，

，AF為3GE的中位線

1

AF=；EG,

在RbEAH中/EAH=NDAC=45°,

，AH=EH,

???AH2+EH2=AE2,AE=2,

AH=EH=/（負(fù)值舍去），

GH=AG-AH=342-y[2=2vx在RbEGH中，EG2=EH2+GH2=10,

???EG=VT6（負(fù)值舍去）,

AF=-EG=—.

22

17.B解析:由題意得點A、B、C、D的橫、縱坐標(biāo)均為正數(shù)?點A和點D的橫坐標(biāo)相同，點D的縱坐標(biāo)

大于點A的縱坐標(biāo)，二點A的"特征值"小于點D的"特征值"；同理，點B的"特征值"小于點C的"特征

值",點A和點B的縱坐標(biāo)相同、點B的橫坐標(biāo)大于點A的橫坐標(biāo)，，點B的"特征值”小于點A的"特征

值"，，該矩形四個頂點中"特征值"最小的是點B.

區(qū)A解析曲已知得NABN=120°/CBN=90°,故正n邊形的一個外角為120°+90。一1800=30。利用多

邊形外角和為360°夕導(dǎo)n=360°+30°=12.

19.A解析:連接BD,AC,EF,FG,GH,EH.

??點E,H分別為AB、AD的中點

EH=^BD,

-I1

同理FG=^BD,EF=HG=jxC,

???四邊形ABCD的對角線相等，即AC=BD,

；.EH=FG=HG=EF,

二四邊形EFGH為菱形，

.?.EG與FH互相垂直平分.

20.C解析:■：四邊形ABCD是正方形,，AB=BC=CD=DA,ABIICD,ADIIBC,NDAB=NABC=NBCD=NCDA=

90°；.E,F,G,H分別為各邊中點,

11

CG=DG=-CD=AH,AE=-AB,

22

.,.CG=AE,「ABllCD,

二四邊形AECG是平行四邊形，

..AGIICE,

同理DFllBH,

二四邊形MNPQ是平行四邊形，

??內(nèi)=片==PQ,同理AM=QM,

DG=AH,NADG=NBAH=90°,AD=BA,

AADG2BAH(SAS),「.NDAG=NABH,

zDAG+zGAB=90°,/.zABH+zGAB=90°,

..NQMN=NAMB=90°,同理NAQD=90°,.?.平行四邊形MNPQ是矩形，

zAQD=zAMB=90°,zDAG=NABH,AD=BA,

.?.△ADQ*BAM(AAS),；.DQ=AM,又DQ=PQ,AM=QM,/.DQ=AM=PQ=QM,

，矩形MNPQ是正方形，

在RbADQ中，AD2=DQ2+AQ2,

52=QM2+(2QM)2,

QM2=5/.正方形MNPQ的面積為5.

疑難突破.

本題的解題關(guān)鍵為確定四邊形MNPQ為正方形，首先從正方形ABCD及各邊中點出發(fā),得出四邊形MNPQ

是平行四邊形，進而得出平行四邊形MNPQ是矩形、正方形，最后根據(jù)勾股定理確定QM2的值，得出結(jié)果.

21.C解析:過A作AGLBC于點G,

?.NB=30°,AB=6,

1

AG=-AB=3.

2

在菱形ABCD中,AD=AB=6.

Ii

-SLADE=-AD-AG=-DE-AF,

.,.6x3=xy,

y=——18.

x

解題關(guān)鍵..

用兩種方法表示AADE的面積,進而得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系.

22.C解析:如圖，過E作EM±BC于點M,作MH^AB于點H,作AN^GM交MG的延長線于點N,

?.zEMF+zEGF=180°,

..E,M,F,G四點共圓，

..NEMG=NEFG=30°,

?.zB=60°,

..NBEM=30°=NEMG,

.〔MGIIAB,即點G在過點M且平行于AB的直線上.

易證四邊形MHAN是矩形，

.-.MH=AN,

?.BE=8,

EM=BE-cos30°=4A/3,

MH=-EM=2V3=AN,

2

.-.AG>AN=2V3

-.AG的最小值是2V3

23.D解析:連接AC,交EF于O,

???四邊形ABCD是矩形，

.?.ABllCD,zB=90°,

AB=?BC=1,

AC=>JAB2+BC2=V3T1=2,

■:動點E,F分別從點A,C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB,CD向終點B,D運動，

，CF=AE.

'.ABIICD,

.,.zACD=zCAB.

又.NCOF=NAOE.

.?.ACOF^AAOE(AAS),

，AO=CO=1.

?.AG±EF,

..點G在以AO為直徑的圓上運動.

二當(dāng)點G與點0重合時，AG有最大值.最大值為1.

方法技巧..

根據(jù)全等可以發(fā)現(xiàn)運動過程中EF始終經(jīng)過對角線AC的中點。，而NAGO=90。，是定角，可知點G在以AO

為直徑的圓上運動，故AG為該圓的弦，從而根據(jù)直徑是最長的弦確定AG的最大值.

24.A解析:連接DG,

取AD延長線上一點為點P,

.?四邊形ABCD是正方形，

..NBDC=NBAC=NADB=45O,B/AB=V2,ZBAD=ZADC=90°,AC垂直平分BD,

.?.zCDP=90°,

.DF平分NCDP,

1

???NCDF=-ZCDP=45°=NCDB,

2

:NBDF=NCDF+NCDB=90。，

:NBHF=900=NBDF,

.■.B,H,D,F四點共圓，

zHFB=zHDB=45°,zDHF=zDBF,

NHBF=180°-NHFB-NFHB=45。,故①正確;

'.AC垂直平分BD,

.-.BG=DG,

.,.zBDG=zDBG,

?.zBDF=90°,

zBDG+zGDF=90°=zDBG+zDFG,

.'.zGDF=zDFG,

，DG=FG,

，DG=FG=BG,

，點G是BF的中點，故②正確；

???NBHF=90°=NBAH,

zAHB+zDHF=90°=zAHB+zABH,

..NDHF=NABH,

.NDHF=NDBF,

.-.zABH=zDBF,

又.NBAC=NBDC=45°.

.?.△ABM?&DBN.

吧=處=vx

BMAB

■-BN=近8M.故④正確；

.S"BM_(AB\2_1

s^DDDxBD2

若AH=汐D.則AH=^HD=|(XD-AH),

.-3AH=AD,

tAH_1曰n2"_ZH_1

??-3'BC~AD~3"

.ADllBC,

/.△AHM-ACBM,

.HM_AH_1

''BM-BC~3"

.S“HM__1

S/HMBM3，

???S^AHD=3s△ANM，

..S“BM_1

S^DBN2'

?'tS^BND=2s-BM=6s△/HM，故⑤錯誤；

若點H是AD的中點，

設(shè)AD=2,即AB=BC=AD=2,

■■.AH^-AD=1,

2，

BH=y/AH2+AB2=逐,同理可證△AHM-^CBM,

.HM_AH_1HM+BM_3_BH

''BM~BC~~2fBM-2-BM'

BM=-BH=-V5,

33

???BN=五BM,

：.BN=|V10,

.：BC=2,

在Rt△BNC中，NC=<BN2-BC2=|,

???sin/NBC=黑=*故③正確.

，正確的結(jié)論是①②③④.

25.工

2

解析：???四邊形ABCD是正方形，

..NBAC=NDAC=45°,AD=BC,

?.NFEO=45：.NFEO=NDAC,

.-.EFllAD,

■:點E是0A的中點,

，點F是OD的中點，

，EF是AAOD的中位線

1

??.EF=^AD,

1pp1

：.EF=-BC^-=-.

26.-

8

解析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，得AD=DC=5、CDIIAB,

..NCDG=NAEF.

?：CG=4.

???DG=VDC2-CG2=3,

CGAF4

sin^CDG=sin為EF=-=—=

CDAE5

???tanNCDG=tan^AEF=—=—=—=

DGAEEF3

AL15

???AE=—

4

A4FL=-4x—15=3c,

54

9

?-EF=-,

."AEF的面積為^EF-AF=^.

No

27.2

解析:如圖,分別取BC,AD的中點M,N,連接MN,GN,過F作FR^CD交CD的延長線于點R,延長RF與G

N交于Q點.

設(shè)BC=a,CD=b,

?:WBC是以BC為底的等腰三角形，

..P在MN上，

??.P至I」CD的距離為-fa,

C17117

?e,SXPCD=5X^X5。=]ab,

易證4Q層△DRF,

???AADG是正三角形,..GNLAD,.?.四邊形QNDR為矩形，.;QR=ND=fa,

111

QF=RF=-x-a=-a,

y224

???SMCD=^-CD-FR=^xbx^a=^ab,

.SAPCD_巴_2

,,—i-Li■

S^FCD-ab

28.（i）見解析⑵an

解析：(1)證明:「ABIICD,ADIIBC,.?.四邊形ABCD為平行四邊形.如圖,連

接AC,BD.

-.E,H分別為AB.AD的中點,

.-.EHllBD.

???四邊形EFGH是矩形.

.-.EF±EH.

.-.EF±BD.

??.E,F分別為AB,BC的中點，

.,.EFIIAC.

.-.BD±AC.

，平行四邊形ABCD為菱形.

(2)/E,H分別為ABAD的中點.

-I-1

EH=”0,同理FC=：BD.

11

EF=-AC,HG=-AC.

22

?.?矩形EFGH的周長為22,

.-.AC+BD=22,

?.四邊形ABCD為菱形，

???S+”=-AC-BD=W,.-.AC-BD=20,

變形ABCD2

???{AC+BD)12=AC2+2AC-BD+BD2.

AC2+BD2=444,

如圖，設(shè)AC與BD交于點0,：.A02+BO2-111,

BD1AC,：.AB2=AO2+BO2=111,

AB=VTTi.

疑難突破..

對于⑵，利用三角形中位線定理可推出AC+BD=22，利用菱形的面積公式求得AGBD=20,進而求出AB的長.

29.(1)菱形;理由見解析⑵30°解析:⑴四邊形ABCD是菱形理由如圖1,作CH^A