第二十六講概率

命題點(diǎn)1事件的分類及概率的意義（30考）

1.（2024武漢）小美和小好同學(xué)做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時(shí)出相同的手勢，這個(gè)事件是

（）

A.隨機(jī)事件B.不可能事件C.必然事件D.確定性事件

2.（2024湖北省卷）在下列事件中，必然事件是（）

A才鄭一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是3

B.籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，未投中

C.經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈

D.任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是180°

3.（2024連云港）下列說法正確的是（）

A.10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，先摸的人摸到獎(jiǎng)票的概率較大

B.從1,2,3,4,5中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，取得偶數(shù)的可能性較大

C.小強(qiáng)一次擲出3顆質(zhì)地均勻的骰子，3顆全是6點(diǎn)朝上是隨機(jī)事件

D.拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率為*連續(xù)拋此硬幣2次必有1次正面朝上

命題點(diǎn)2頻率與概率（17考）

4.（2024貴州）小星同學(xué)通過大量重復(fù)的定點(diǎn)投籃練習(xí)，用頻率估計(jì)他投中的概率為0.4,下列說法正確的是

（）

A.小星定點(diǎn)投籃1次，不一定能投中

B.小星定點(diǎn)投籃1次，一定可以投中

C.小星定點(diǎn)投籃10次，一定投中4次

D.小星定點(diǎn)投籃4次，一定投中1次

5.（2024揚(yáng)州）數(shù)學(xué)興趣小組做拋擲一枚瓶蓋的實(shí)驗(yàn)后，整理的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：

累計(jì)拋擲次數(shù)50100200300500

蓋面朝上次數(shù)2854106157264

蓋面朝上頻率0.5600.5400.5300.5230.528

累計(jì)拋擲次數(shù)1000200030005000

蓋面朝上次數(shù)527105615872650

蓋面朝上頻率0.5270.5280.5290.530

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以估計(jì)出“蓋面朝上”的概率約為.（精確至！J0.01）

命題點(diǎn)3概率的計(jì)算

類型——步概率的計(jì)算（含幾何概型）（314考）

6.（2024遼寧）一個(gè)不透明袋子中裝有4個(gè)白球，3個(gè)紅球,2個(gè)綠球，1個(gè)黑球，每個(gè)球除顏色外都相同.從中隨

機(jī)摸出一個(gè)球，則下列事件發(fā)生的概率為總的是（）

A.摸出白球B.摸出紅球C.摸出綠球D.摸出黑球

7.（2024威海）如圖,在扇形AOB中.4AOB=90。,點(diǎn)C是AO的中點(diǎn).過點(diǎn)C作CEXAO交通于點(diǎn)E,過點(diǎn)

E作ED±OB,垂足為點(diǎn)D.在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落在陰影部分的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4323

8.（2024雅安）將-2,凱0,V2,3.14這6個(gè)數(shù)分別寫在6張同樣的卡片上，從中隨機(jī)抽取1張，卡片上的數(shù)為

有理數(shù)的概率是.

9.新考法數(shù)學(xué)文化（2024湖北省卷）小亮了解了祖沖之、劉徽、趙爽、楊輝、秦九韶這5位著名數(shù)學(xué)家的生

平簡介，知曉他們?nèi)〉玫膫ゴ蟪删蛯ξ覈酥潦澜鐢?shù)學(xué)發(fā)展起到的巨大推進(jìn)作用，準(zhǔn)備在數(shù)學(xué)課上隨機(jī)選取其中一

位的成就進(jìn)行分享，選到數(shù)學(xué)家趙爽的概率是.

10.（2024浙江）有8張卡片，上面分別寫著數(shù)1,2,3,4,5,6,7,8.從中隨機(jī)抽取1張，該卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的概

率是.

11.（2024蘇州）如圖，正八邊形轉(zhuǎn)盤被分成八個(gè)面積相等的三角形，任意轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)轉(zhuǎn)盤一次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，

指針落在陰影部分的概率是.

12.（2024成都）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別.從盒中隨機(jī)取出一枚棋子，如果它是

黑棋的概率是（則,勺值為t

13.（2024上海）一個(gè)袋子中有若干個(gè)白球和綠球，它們除了顏色外都相同.隨機(jī)從中摸一個(gè)球，恰好摸到綠球的

概率是|,則袋子中至少有個(gè)綠球.

類型二兩步概率的計(jì)算（142考）

14.（2024山東省卷）某校課外活動(dòng)期間開展跳繩、踢鍵子、韻律操三項(xiàng)活動(dòng)，甲、乙兩位同學(xué)各自任選其中一項(xiàng)

參加，則他們選擇同一項(xiàng)活動(dòng)的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

9933

15新考法跨物理學(xué)科（2024內(nèi)江）如圖所示的電路中，當(dāng)隨機(jī)閉合開關(guān)SiS，S3中的兩個(gè)時(shí)，燈泡能發(fā)光的概率

為（）

71.-B.-

32

C.~1D.-1

36

16.（2024福建）哥德巴赫提出“每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德

巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.在質(zhì)數(shù)2,3,5中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4323

17.（2024武漢）經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，這三種可能性大小相同.若兩輛汽

車經(jīng)過這個(gè)十字路口，則至少一輛車向右轉(zhuǎn)的概率是（）

A.-1B.-1C.-4D.-6

9399

18.新考法傳統(tǒng)文化（2024達(dá)州）“四大名著”《紅樓夢》《水滸傳》《三國演義》《西游記》是中國優(yōu)秀文化的

重要組成部分.某校七年級準(zhǔn)備從這四部名著中隨機(jī)抽取兩本（先隨機(jī)抽取一本，不放回,再隨機(jī)抽取另一本）開展“名

著共讀”活動(dòng).則該年級的學(xué)生恰好抽取到《三國演義》和《西游記》的概率是______.

19.（2024陜西）一個(gè)不透明的袋子中共裝有五個(gè)小球，其中3個(gè)紅球，1個(gè)白球，1個(gè)黃球.這些小球除顏色外都

相同.將袋中小球搖勻，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后放回，記作隨機(jī)摸球1次.

⑴隨機(jī)摸球10次，其中摸出黃球3次，則這10次摸球中，摸出黃球的頻率是；

⑵隨機(jī)摸球2次，用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的小球都是紅球的概率.

20.(2024甘肅省卷)在一只不透明的布袋中，裝有質(zhì)地、大小均相同的四個(gè)小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,

4.甲乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則為：兩人同時(shí)從袋中隨機(jī)各摸出1個(gè)小球，若兩球上的數(shù)字之和為奇數(shù)，則甲勝；若

兩球上的數(shù)字之和為偶數(shù)，則乙勝.

(1)請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲獲勝的概率；

(2)這個(gè)游戲規(guī)則對甲乙雙方公平嗎?請說明理由.

21.新考法結(jié)合代數(shù)式(2024河北)甲、乙、丙三張卡片正面分別寫有a+瓦2a+6,a-瓦除正面的代數(shù)式不

同外，其余均相同.

⑴將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，當(dāng)a=1,6=-2時(shí)，求取出的卡片上代數(shù)式的值為負(fù)數(shù)

的概率；

(2)將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，放回后重新洗勻，再隨機(jī)抽取一張.請?jiān)诒砀裰醒a(bǔ)全兩次

取出的卡片上代數(shù)式之和的所有可能結(jié)果(化為最簡)，并求出和為單項(xiàng)式的概率.

第

第次a+b2a+ba-b

次和

a+b2a+2b2a

2a+b

a-b2a

22.（2024蘇州）一個(gè)不透明的盒子里裝有4張書簽，分別描繪“春”，“夏”，“秋”，“冬”四個(gè)季節(jié)，書簽除圖案外

都相同，并將4張書簽充分?jǐn)噭?

⑴若從盒子中任意抽取1張書簽，恰好抽到，夏”的概率為二

（2）若從盒子中任意抽取2張書簽（先抽取1張書簽，目這張書簽不放回，再抽取1張書簽），求抽取的書簽恰好

1張為“春”，1張為“秋”的概率.（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）

類型三三步概率的計(jì)算（10考）

23.新考法新定義（2023安徽攻口果一個(gè)三位數(shù)中任意兩個(gè)相鄰數(shù)字之差的絕對值不超過1,則稱該三位數(shù)為“平

穩(wěn)數(shù)”.用1,2,3這三個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的概率為

（）

5112

A.-B.-C.-D.-

9239

命題點(diǎn)4統(tǒng)計(jì)與概率結(jié)合（99考）

24.（2024貴州）根據(jù)《國家體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定，七年級男生、女生50米短跑時(shí)間分別不超過7.7秒、8.3秒為

優(yōu)秀等次.某校在七年級學(xué)生中挑選男生、女生各5人進(jìn)行集訓(xùn)，經(jīng)多次測試得到10名學(xué)生的平均成績（單位：秒）

記錄如下：

男生成績：7.61,7.38,7.65,7.38,7.38

女生成績：8.23,8.27,8.16,8.26,8.32

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

⑴男生成績的眾數(shù)為女生成績的中位數(shù)為

（2）判斷下列兩位同學(xué)的說法是否正確；

5名女生的成績均

?好的是7.38秒.；為優(yōu)秀等次一

’——————————————,,,I——

⑶教練從成績最好的3名男生（設(shè)為甲，乙，丙）中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生代表學(xué)校參加比賽，請用畫樹狀圖或列

表的方法求甲被抽中的概率.

25.（2024德陽）2024年中國龍舟公開賽（四川彳惠陽站），在德陽旌湖沱江橋水域舉行，預(yù)計(jì)來自全國各地1000余

名選手將參賽.旌湖兩岸高顏值的綠色生態(tài)景觀綠化帶“德陽之窗，，將迎接德陽市民以及來自全國各地的朋友近距離

的觀看比賽.比賽設(shè)置男子組、女子組、本地組三個(gè)組別，其中男子組將進(jìn)行A：100米直道競速賽B200米直道競

速賽,C:500米直道競速賽.D:3000米繞標(biāo)賽.為了了解德陽市民對于這四個(gè)比賽項(xiàng)目的關(guān)注程度，隨機(jī)對部分市民進(jìn)

行了問卷調(diào)查（參與問卷調(diào)查的每位市民只能選擇其中一個(gè)項(xiàng)目），將調(diào)查得到的數(shù)據(jù)繪制成數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)

圖（表、圖都未完全制作完成）：

市民最關(guān)注的比賽項(xiàng)目市民最關(guān)注的比賽項(xiàng)目

人數(shù)統(tǒng)計(jì)表人數(shù)分布扇形統(tǒng)計(jì)圖

比賽項(xiàng)目ABCD

關(guān)注人數(shù)4230ab

（1）直接寫出a,b的值和D所在扇形圓心角的度數(shù)；

⑵若當(dāng)天觀看比賽的市民有1000個(gè)人，試估計(jì)當(dāng)天觀看比賽的市民中關(guān)注哪個(gè)比賽項(xiàng)目的人數(shù)最多?大約有多

少人？

（3）為了緩解比賽當(dāng)天城市交通壓力，維護(hù)交通秩序，德陽交警旌陽支隊(duì)派出4名交警（2男2女）對該路段進(jìn)行

值守、若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口執(zhí)勤，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求出恰好抽到的兩名

交警性別相同的概率.

第二十六講概率

1.A

2.D

3.C【解析】A.“10張票中有1張獎(jiǎng)票,10人去摸.先摸的人摸到獎(jiǎng)票的概率和后摸的人無法比較”，故A選項(xiàng)

錯(cuò)誤；B.從1,2,3,4,5中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，奇數(shù)有3個(gè)，偶數(shù)有2個(gè)，取得奇數(shù)的可能性較大，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.“小強(qiáng)一次擲出3顆質(zhì)地均勻的骰子,3顆全是6點(diǎn)朝上是隨機(jī)事件”，故C選項(xiàng)正確；D.拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，

正面朝上的概率為|,連續(xù)拋此硬幣2次有可能有1次正面朝上，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

4.A【解析】由于定點(diǎn)投籃進(jìn)球的概率為0.4,.?.投籃1次，進(jìn)球的情況屬于隨機(jī)事件，不一定投中，故A

選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)錯(cuò)誤；投籃10次，不一定投中4次，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；定點(diǎn)投籃4次，也不一定投中1次，故D

選項(xiàng)錯(cuò)誤.

5.0.53【解析】觀察分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知“蓋面朝上”的頻率在0.53附近波動(dòng),P（“蓋面朝上”）約為0.53.

6.B【解析】由題意可知，該不透明袋子中共有的球數(shù)為4+3+2+1=10個(gè)；紅球的數(shù)量為3,,\從中隨機(jī)摸出

一個(gè)球，P（摸出紅球）=看

-I1

7.B【解析】設(shè)。。的半徑為一.工￡_1人0,；./0?￡=90。,；點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，二OC=-OA.OE在

nr-1

RSOCE中,I；cos/COE=而=”"0E=60。,

.?.NBOE=NAOB-NCOE=30o,：ED_LOB,；.NODE=90o,：NCOD=NOCE=90。,；.四邊形OCED為矩形，

S…SA。函，S陰常分=S扇形B°E=歿盧，「P（點(diǎn)P落在陰影部分

2

30xirXr

_S叨形叩￡_360_1

S扇形的890XFXJ3

360

8.|【解析】6個(gè)數(shù)中有4個(gè)有理數(shù)，分別為-2,5,0,3.14,故P（卡片上的數(shù)為有理數(shù)）號.

9.|【解析】共有5位數(shù)學(xué)家，趙爽是其中一位，，從中隨機(jī)任選一位，P（選到數(shù)字家趙爽=

10.；【解析】卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍的數(shù)共有2張，分別為4,8,故P（卡片上的數(shù)是4的整數(shù)倍尸|=

4o4

11.I【解析】根據(jù)題意可知正八邊形轉(zhuǎn)盤被分成八個(gè)面積相等的三角形，其中陰影部分的面積為三個(gè)面積相

O

等的三角形，；.p（指針落在陰影部分）=*

O

12.|【解析】\.盒中有x枚黑棋和y枚白棋從盒中隨機(jī)取出一枚棋子是黑棋的概率是I，--.+=*.?一=|,

5oX-ryoyb

13.3【解析】設(shè)袋子中綠球有3x個(gè)，.??摸到綠球的概率是|,??.球的總數(shù)為3x+：=5x個(gè)，.?.白球的數(shù)量

為5x-3x=2x個(gè),..?每種球的個(gè)數(shù)為正整數(shù)2x>0,且x為正整數(shù)，，x>0,且x為正整數(shù)，,x的最小值為1,，綠

球的個(gè)數(shù)的最小值為3，，袋子中至少有3個(gè)綠球.

解題技巧

根據(jù)摸到綠球的概率，設(shè)綠球的數(shù)量為3x，得到球的總數(shù)為5x，白球的數(shù)量為2x，?分析球的數(shù)量滿足的取值，

求解即可.

14.C【解析】將跳繩、踢鍵子、韻律操分別記作A,B,C,根據(jù)題意，列表如下：

甲

乙

ABc

A(A,A)(A,B)(A,C)

B(B,A)(B,B)(B,C)

C(C,A)(C,B)(C,C)

由列表可知共有9種等可能的結(jié)果其中他們選擇同一項(xiàng)活動(dòng)的結(jié)果有3種，，P（他們選擇同一項(xiàng)活動(dòng)=1

15.A【解析】由電路圖可知，當(dāng)同時(shí)閉合開關(guān)Si和S2或Si和S3時(shí),燈泡能發(fā)光，畫樹狀圖如解圖：

開始

第一個(gè)S,S2S,

楸一人/\/\/\

第一個(gè)s2s,s,s,s,s2

第15題解圖

由樹狀圖可知，共有6種等可能的結(jié)果,其中燈泡能發(fā)光的有4種，.?◎（燈泡能發(fā)光）=i=|.

o3

易錯(cuò)點(diǎn)撥

本題為跨物理學(xué)科試題，需要注意：當(dāng)燈泡能發(fā)光時(shí)，S1必須為閉合狀態(tài)才滿足.

16.B【解析】由題可得，所有情況用列表法表示如下：

235

2-57

35-8

578-

由上表可得，所有等可能的結(jié)果有6種，兩數(shù)之和為偶數(shù)的結(jié)果有2種一，.P（和為偶數(shù)）=j1

O31

易錯(cuò)點(diǎn)撥

在質(zhì)數(shù)2,3,5中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，屬于不放回的情況.

17.D【解析】畫樹狀圖如下：

開始

第一輛直左右

XK/TXXTX

第二輛直左右直左右直左右

第17題解圖

共有9種等可能的結(jié)果，至少一輛車向右轉(zhuǎn)的結(jié)果有5種，；.P（至少一輛車向右轉(zhuǎn)）=|,

【解析】把《紅樓夢》《水滸傳》《三國演義》《西游記》四本書分別記為根據(jù)題意，

18O.;A,B,C,D,

畫樹狀圖如解圖.由樹狀圖可知，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.恰好抽到《三國演義》

和《西游記》的結(jié)果有2種，所以P（恰好抽到《三國演義》和《西游記》）=卷=（

開始

第一次ABCD

AAAA

第二次BCDACDABDABC

第18題解圖

19.解:⑴.

（2）根據(jù)題意列表如下：

第一次

第二次

紅紅紅白黃

紅（紅，紅）（紅，（紅,（白紅）（黃，紅）

紅）紅）

紅（紅，

紅（紅，紅）（白紅）（黃，紅）

紅）紅）

（紅，（紅*

紅（紅，紅）（白紅）（黃，紅）

紅）紅）

（紅，

白（紅，白）（紅，白）（白，白）（黃，白）

白）

紅（紅,

黃（紅，黃）（白，黃）（黃，黃）

黃）

由上表可知，共有25種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的小球都是紅球的結(jié)果有9種,

P（這兩次摸出的小球都是紅球）=套

20.解:⑴列表如下：

甲

乙

1234

1一(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)—(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)一(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)一

或畫樹狀圖如解圖：

乙234134124123

第20題解圖

???共有12種等可能的情況，兩球上的數(shù)字之和為奇數(shù)的情況有8種,

???P（甲獲勝）=^=|；

（2）游戲規(guī)則對甲乙雙方不公平.

；P（甲獲勝）=|,P（乙獲勝））=|

I#??游戲規(guī)則對甲乙雙方不公平.

解題技巧

解決游戲公平性問題要先計(jì)算游戲雙方獲勝的概率；若概率相等，則游戲公平；若概率不相等，則游戲不公平.

21.解:⑴當(dāng)a=l,b=-2時(shí),a+b=-l,2a+b=0,a-b=3.從三張卡片中隨機(jī)抽取一張，共有3種等可能的結(jié)果，其中取出

的卡片上代數(shù)式的值為負(fù)數(shù)的結(jié)果有1種，；.P(取出的卡片上代數(shù)式的值為負(fù)數(shù))=|;

(2)補(bǔ)全表格如下：

第一次

a+b2a+ba-b

第二次和

a+b2a+2b3a+2b2a

2a+b3a+2b4a+2b3a

a-b2a