初中數學疑難問題幫手一代數綜合100題

a+ba-b+c-a+b+c

1.已知abcH0,且—------，求_p.(a+b)(b+c)(a+c)的值.

-b-aabc

2.如果ct+b+|yjc-1-1|=47cl—2+2.b+1—4,求CL+2b—3c的值.

2

3.實數a,b滿足7a2一2a+1+V25-10a+a=10-|b+4I—|匕—2|,求M+非的最大值.

4.已知a,b,c均為正整數，且a5=b4,c3=d2,a—c=65,求b-d的值.

2020X2020-20202021X2021-20212022x2222-202

5.已知C=—，求abc的值

2019x2019+20192020X20+20202021x2021+2021

6.已知a,b,c是不為零的實數，且胃=［著=If=今求的值?

7.已知6X=32y=192,求(一2019)(xT)ST)-2的值

X

8.已知求(b-c)x+(c-a)y+(a-6)z的值

b+c-a

9,已知a2-3a-1=0,求a6+120a的值.

10.已知(a—2019)2+(2020—a)2=5,求(a-2019)(a-2020)的值.

11.已知V19—x2—V15—x2=2,求V19—x2+V15-婷的值.

12.在有理數范圍內分解因式：((6%—1)(4%-1)(3%-1)(%-1)+9x4.

13.如果\a-b\=1,\b+c\=1,\a+c\=2,求\a+b+2cI的值.

14.已知久|=1,求打|x|的值

2

15.已知a,b,x,y都為實數，且y+lV%-2|=1-a,|%-4|=3y-3-爐,求a+b+x+y的值.

16.x,y為有理數，求|%+y-2|+|%+2y—l|+|%—3y+4I的最小值.

17.已知b為正數，a為b的小數部分，且M+塊=27,求ab的值.

18.已知a,be已是四個不同的實數且((b+d)(b+a)=1,(c+d)(c+a)=1,求(b+d)(c+d)的值.

19.已知x>0,y>0,x2+y2=24,(Vx+近>+(Vx-后),=180求xy的值.

20.已知3x4-30x3+77x2-10%—5=0且x25,求x2-5x的值.

21.已知實數x,y滿足(2x+I)2+y2+(y-2x)2=*求x+y的值.

22.已知x,y,z者B是整數，且％+y+z=3,/+y3+=3,求%2+y2+z2.

111

23.已知abc=l,a+b+c=2,az+b2+c2=3,求++的值.

afo+c-lZJC+Q-Ica+b-1

24.已知%=J19-8班,求代數式七名蕓番嚀的值.

25.已知實數x,y滿足x2-2x+4y=5,求x+2y的最大值.

26.設實數x,y,z滿足.x+y+z=1,求M=+2yz+3%z的最大值.

27.若y=V%2—2%+2+7x2—4%+13,求y的最小值.

cc由"近、*0/%+yI+1y+zI+|z+x|=4+22?22?22

28.蹴x,y,z,x/y%兩足%,y,+|y_z,+|z_x|=%+y+z.

29.設方程x2+x-l=0的兩個根分別是a和0,求下列代數式的值：

(1)2。2+5a—2d--—;

''a2-l

(2)03+。+3)(管+夕+3);

(3)4a5+10優

30.實數a處,且滿足(a+I/=3—3(a+1),3(b+1)=3-(b+1產求bl^+aJ押值.

31.設實數a,b滿足a2(b2+1)+b(b+2a)=40,a(b+1)+&=8,求*+今的值.

QQ丫2018

32.如果關于x的方程x2+kx+^k2-3k+l=0的兩個實數根分別為4孫求名的值?

4Z%?

33.方程x2+ax+b=0的兩根為均犯，且血+%2=好+媛=琢+球,求有序實數對(a,b).

34.如果關于x的方程x2-ax+a2-3=0至少有一個正根，求實數a的取值范圍.

35.已知關于x的方程?=%+々有兩個不同的實數根，求實數k的取值范圍.

36.關于x的方程券-瑞+2-a=。有實數根,求a的取值范圍.

37.若滿足|<x<1的任意實數x,都能使不等式2x3-x2-mx>2成立，求實數m的取值范圍.

38.已知關于x的一元二次方程%2+7a2+2a+2-x+(m+1)=0對任意的實數a均有實數根，求實數m

的取值范圍.

39.不相等的正整數p,q使得關于x的方程x2-px+q-。和x2-qx+p=。都有兩個正整數根，求Ip-q

I的值

40.對于任意實數k,方程((爐+l)x2-2(k+a)2x+k2+4k+b0總有一個根是1.求：

⑴實數a,b;

(2)另一個根的取值范圍.

41.已知關于x的方程(%-l)(x2-3x+m)=0,m為實數.

(1)當m=4時.求方程的根.

⑵若方程的三個實根中恰好有兩個實根相等，求m的值.

(3)若方程的三個實根恰好能成為一個三角形的三邊長，求m的取值范圍.

42.關于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0的兩個實根a,0互為倒數方程%2+2(a+m)x+2a-m2+6m

-4=0有大于0且小于2的根.求：

(l)a2-段的值;

(2)a的取值范圍.

43.已知關于x的方程立產=3%+fc.

(1)存在兩個不同的正實數解，求k的取值范圍.

(2)恰好只有一個正實數解，求k的取值范圍.

42

44.已知關于x的一元四次方程x+3/+(fc+3)x+(fc+2)x+fc=。有實數根，求k的取值范圍.

45.若只存在一個x值滿足方程%3+(1-2a)x2+(a24-a-3)x-a2+a+1=0,求a的取值范圍.

46.當m是什么實數時，方程/-4|"+5=小有4個互不相等的實數根?

47.若方程（（%2—1）（久2-4）=k有4個非零實數根，且它們在數軸上對應的4個點等距排列，求實數k的值

48.關于x的方程（%++6+1）2=a有4個相異的實數根，求a的取值范圍.

2

49.設一元二次方程ax+/?%+c=0（a。0）的兩個根分別為.孫孫則"+-%+c=a（%-xt）（x-孫）從

而可得一元二次方程根與系數的關系：%1+%2=-=*

⑴根據以上信息，設三次方程ax3+bx2+cx+d=0（a豐0）的三個根分別為.4孫X3,，請推證一元三次方

xx

程根與系數的關系,即用系數a,b,C,d表示Xr+X2++l3+%2芯3*62%3的值?

⑵若三次方程x3+ax2+bx+c=0的三個根分別為a,b,c,并且a,b,c是不全為零的整數，求a,b,c的值.

50.已知a,b為實數，只有三個不同的x值滿足方程\x2+ax+b\=2.

⑴求b的最小值.

（2）若滿足該方程的三個不同的x值恰為一個三角形三內角的度數，求證：該三角形必有一個內角為（60。.

（3）若滿足該方程的三個不同的x值恰為一個直角三角形的三條邊，求a和b的值.

2

51.已知關于x的方程%-(2m-3)%+血-4=。的兩個根分別為由,,且滿足alfa2f-3<ar<-2

,a2>0,求m的取值范圍.

52.已知m,n是關于x的一元二次方程%2-2tx+t2-2t+4=0的兩個實數根，求(m+2)(n+2)的最小值

53.已知m2—2m—1=0,n2+2n—1=。且mnH1,貝!]mnn—的值為.

n-

54.如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的

方程為“倍根方程”.以下關于倍根方程的說法，正確的是________(寫出所有正確說法的序號).

①方程/%—2=0是倍根方程.

②若((x-2)(mx+n)=。是倍根方程，則4m2+Smn+n2=0.

③若點(p,q)在反比例函數y=單勺圖像上，則關于X的方程p%2+3%+q=0是倍根方程.

④若方程ax2+fox+c=0是倍根方程，且相異兩點M(l+t,s),N(4-t,s)都在拋物線y=ax2+b%+c上，則方程

ax2+bx+c=0的一個根為

4

55.已知在關于x的分式方程一-=2(①和一元二次方程(2-fc)x2+3mx+(3-k)n=0(②中，k,m,n均

%—1

為實數，方程①的根為非負數.

(1)求k的取值范圍.

(2)當方程②有兩個整數根./,X2，k為整數，且k=m+2,幾=1時，求方程②的整數根.

(3)當方程②有兩個實數根.修,右,滿足/(均-k)+X2(X2—k)=-k)(%2-k),且k為負整數時，試判斷

Im|<2是否成立，請說明理由.

56.已知關于x的一元二次方程x2+2x-m2-m=0(>n>0),當m=l,2,3,…,2019時，相應的一元二次方程的兩

個根分別記為如凡的席…如訶時正求1+高+>高+…+高+熹的值

57.二次函數y=/+法的圖像如圖1.1所示對稱軸為直線.久=1,若關于x的一元二次方程x2+bx-t=0

(t.為實數)在-1<x<4范圍內有解，則t的取值范圍是________.

58.設m是不小于-1的實數，使得關于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有兩個不相等的實數根x

x

1I2?

⑴若2+;1，求4的值

⑵求景+箋一評的最大值?

59.設m,k為整數，方程mx2-kx+2=0在區間(0,1)內有兩個不同的根，求TH+k的最小值.

60.已知關于x的一元二次方程./_+人+c)x+ab+be+ca=0,且a>b>c>0.

⑴若方程有實數根，求證：a,b,c不能構成一個三角形的三邊長.

(2)若方程有實數根.配,求證：b+c<x0<a.

⑶若方程的實數根為6和9,求正整數a,b,c的值.

61.已知方程x2+2ax+。-4=0有兩個不同的實數根，方程%2+2ax+fc=0也有兩個不同的實數根，且后

者的兩根介于前者的兩根之間，求k的取值范圍.

62.已知a,b是一元二次方程t2-t-1=0的兩根,解關于x,y的方程

-+^=%+1

組盤Jo.

m+e+i

63.不呈：J%+27x—J+y/x—2.y/x—T=x—1.

64.解方程：Jx—§+J1—：=x.

65.求使不等式I2%-遍I+/cV%有解的實數k的取值范圍.

66.對于滿足（0<p<4的一切實數，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求實數x的取值范圍.

67.互不相等的正整數a,b,c滿足((a+b)(a+c)=(b+c>證明：((b-c)2>4(6+c).

68.已知函數/(x)=ax+bx3+^+^=+1000,其中a,b,c,d為常數，且f⑸=2019,求f(-5).

69.已知函數/(%)=擊，求f(2019)++/2)+f(l)+/?+/?+-+f(^)-

7。.已知函數y=fM=G+焉+對求/⑴+/⑵++/⑸D

71.不論m取任何實數，拋物線y=/+2mx+加2+m-1的頂點都在同一條直線上，求這條直線的解析式.

72.二次函數y=2x2-8x+m滿足：當-2<%<—1時，它的圖像位于x軸的下方；當6<x<7時，它的

圖像位于x軸的上方.求m的值.

73.二次函數y=x2+2ax+a在-1WXW2上有最小值一4,,求a的值.

74.若函數y=3/-（9+a）x+6+2a（x是自變量且x為整數）在.x=6或%=7時取得最小值，求a的取值

范圍.

75.當-1Wx<2時，求函數f（%）=2x2-4ax+a2+2a+2的最小值；若最小值為-1,,求a所有可能的

值.

76.已知二次函數y=—x2+6x—7:

(1)當t<x<t+2時有最大值y=-(t-3)2+2,求t的取值范圍；

⑵當t<x<t+2^y的最大值為1,求t；

⑶當"久Wt+2時y的最大值為2,求t的取值范圍；

(4)當t<x<t+2時y的最小值為a,求a的最大值；

⑸當1W%Wt時y的最大值為2,最小值為-2,求t的取值范圍.

77.已知函數y=|x2-2x-3|:

(1)函數圖像與直線.y=x+爪有三個不同的交點，求m的值；

(2)函數圖像與直線y=x+zn有四個不同的交點，求m的取值范圍；

(3)函數圖像與直線.y=6x+巾有兩個不同的交點，求m的取值范圍.

78.如圖1.2所示，拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數a豐0）與x軸交于A,B兩點，頂點P（m,n）給出下列

結論:①2a+c<0.②若（一，〉1）,（-1少2），8%）在拋物線上，則yi>%>乃?③關于x的方程（a/+bx+k=0有

實數解，則k>c-九④當n=-［時，△ABP為等腰直角三角形.其中正確的結論是________.

圖L2

79.已知實數萬1，%2滿足+1)=1，%2(久2+1)=1魯+老=當-2<slantx<1時，函數f(x)=

晾/+2nx-4n<0恒成立，求常數n的取值范圍.

80.已知二次函數y=x2+bx+c,其中b,c滿足b2+c2—2b—22c+122<0.

⑴求b,c的值

⑵若過x軸上動點A（a,0）,比例系數分別為匕,做的兩個一次函數的圖像與二次函數y=x2+bx+c的圖像

都有且只有一個交點，求證：燈?七=-43.

（3）二次函數的圖像上是否存在這樣的點，其橫坐標為一個正整數，縱坐標為一個完全平方數?若存在，求出這

個點的坐標；若不存在，請說明理由.

80.在平面直角坐標系xOy中，已知點M,N的坐標分別為（（—1，2）,（2,1）.若拋物線y=a/-%+2（a不0）

與線段MN有兩個不同的交點，求a的取值范圍.

82.對于三個數a,b,c,用M{a,b,c}表示這三個數的中位數，用max{a,b,c}表示這三個數中的最大數，例如M{-2,-

a

1,0}=-1,max{-2,-l,0}=0,max{-2,-l,a}={。2一1).

-l(a<-1)

解答以下問題：

(1)填空：M(sin45°^cos60°^tan60°}=如果max[3>5—3x>2x—6]=3,則x的取值范圍為.

(2)如果2xM{2,％+2,X+4}=max{2>x+2>x+4},求x的值.

(3)如果3%—2]=max{9fx2f3x—2},求x的值.

x+[y]+{z}=-0.9

83.已知x,y,z滿足[[%]+{y}+z=0.2對于數a,[a]表示不大于a的最大整數,{a}=a-[a],求10(x+y)+z的值.

{x}+y+[z]=1.3

84.已知整數X],X2,x3,...,X2020滿足:①-l<xn<2,n=1,2,...,2020;@xt+x2+…+'2020=200;③淄+

%2+…+^2020=2020.求+%2+,,,+端20的最小值和最大值.

85.以X表示不大于x的最大整數，例如[3.7]=3,[3]=3.求[(V6+V5)6].

86.如果把一個奇數位的自然數各數位上的數字從最高位到個位依次排列，與從個位到最高位依次排列的一串數

字完全相同，相鄰兩個數位上的數字之差的絕對值相等(不等于零),且該數正中間的數字與其余數字均不同，我們

把這樣的自然數稱為“階梯數”，例如自然數12321,從最高位到個位依次排列的一串數字是1,2,3,2,1,從個

位到最高位依次排列的一串數字仍是1,2,3,易，且口-2|=|2-3|=|3-2|=|2』|=1,因此12321是一個“階梯數”.又如262,8525

8，…，都是“階梯數1若一個平介梯數”t從左數到右，奇數位上的數字之和為M,偶數位上的數字之和為N,記P(t)=2

N-M,Q(t)=M+N.

(1)已知一個三位“階梯數”t,其中P(t)=12，且Q(t)為一個完全平方數，求這個三位數.

(2)已知一個五位“階梯數”t能被4整除，且Q(t)除以4余2,求該五位“階梯數”t的最大值與最小值.

87.對于任意一個四位數n,如果千位與十位上的數字之和為9,百位與個位上的數字之和也為9,則稱n為“極

數

⑴請任意寫出三個“極數”；猜想任意一個“極數”是否是99的倍數，請說明理由.

⑵如果一個正整數a是另一個正整數b的平方，則正整數a是完全平方數.若四位數m為“極數”記D(m)=

求滿足D(m)是完全平方數的所有m.

88.對任意一個三位數n,如果n滿足各數位上的數字互不相同，且都不為零，那么稱這個數為“相異數”.將一

個“相異數”任意兩個數位上的數字對調后可以得到三個不同的新三位數.把這三個新三位數的和與111的商記為F

(n).例如n=123,對調百位與十位上的數字得到213，對調百位與個位上的數字得到321，對調十位與個位上的數字

得到132,這三個新三位數的和為213+321+132=666,666勺11=6,所以F(123)=6.

(1)計算F(243),F(617).

(2)若s,t都是“相異數"，其中.s=100%+32,t=150+y(l<x<slants,1<slanty<s/cmt9,x,y都是正整數),

規定k=黑.當F(s)+F(t)=18時，求k的最大值.

89.任意一個正整數n都可以進行這樣的分解：n=pxq(p,q是正整數，且pgq).在n的所有這種分解中，如果

p,q兩因數之差的絕對值最小，我們就稱pxq是n的最佳分解，并規定“元)=/列如,12可以分解成1x12,2x6或

3x4,因為12-1>6-2>4-3,所以3x4是12的最佳分解，則尸(12)=*

4

(1)如果一個正整數a是另一個正整數b的平方，我們稱正整數a是完全平方數.求證：對任意一個完全平方數

m，總有F(m)=l.

(2)如果有一個兩位正整數t,t=10x+y(l<x<y<9,x,y為自然數)，交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原

來的兩位正整數所得的差為18,那么我們稱這個數t為“吉祥數”.求所有“吉祥數”中F(t)的最大值.

90.對于一個三位正整數t,將各數位上的數字重新排序后，得到一個新的三位數赤(a<c),在所有重新排列

的三位數(包括本身)中,當a+c-2bl最小時,稱此時的赤為t的“最優組合”，并規定F(t)=|a-bHb-c|.例如,124重新排

序后為142,214,因為|1+4-4|=1,|1+2-8|=5,|2+4-2|=4,所以124為124的“最優組合，，此時F(124)=-1.

(1)在三位正整數t中，有一個數位上的數字是另外兩數位上的數字的平均數，求證：F(t)=0.

(2)有一個正整數，由N個數字組成，若從左向右它的第一位數能被1整除，它的前兩位數能被2整除，前三

位數能被3整除……前N位數能被N整除，我們稱這樣的數為“善雅數”.例如，123的第一位數1能被1整除，前

兩位數12能被2整除前三位數123能被3整除則123是一個“善雅數”.若三位“善雅數…m=200++y(0<x

<9,0<y<9,x,y為整數)的各位數字之和為一個完全平方數，求出所有符合條件的“善雅數”中F(m)的最大值.

91.如果在一個多位自然數的任意兩個相鄰數位上，左邊數位上的數字總比右邊數位上的數字大1,那么我們把

這樣的自然數叫作“遞減數”.例如，321,5432,87,43210,……都是"遞減數”.

(1)有一個“遞減數”，它是其個位數字的13倍，請求出這個“遞減數”.

⑵將一個自然數m(tmW9)放置于一個三位“遞減數”的左邊得到一個四位自然數t若數t恰好能被11整除，

且數m與這個三位“遞減數”各數位上的數字之和是一個完全平方數，求出所有符合條件的數m和t的值.

92.閱讀下列材料：

t是一個三位正整數，且t=100a+10b+c(l<a<9,0<fa<9,0<c<9,,且a,b,c為整數),若t的百位、

個位數字之和與十位數字之差為6，則我們稱這個三位數t是“和順數，，并規定F(t)=3a-c.例如，534是和順

數，"534)=3x5—4=11.

⑴若“和順數"t既能被3整除又能被10整除，求符合條件的t值.

⑵若兩個'和順數匕，t2的十位數字均為y,百位數字分別為x,大血),個位數字分別為z,n(z*n),且3F

(右)=4產(七)一2,證明：3x—n=17.

93.對任意一個二位以上的自然數n,如果能被13整除，且各數位上的數字只能從1,3,5,6,9五個數字中

選取，那么稱這個自然數為“轉運數’例如自然數13或39,能被13整除，則13或39稱為“轉運數”；26能被13整

除，但其十位上的數字2不是從1,3,5,6,9五個數字中選取的，所以26不能稱為“轉運數”.

(1)請你直接寫出不同于題中所給的兩個二位“轉運數”ab.

⑵在⑴的條件下，記“轉運數”ab為s.已知四位裝運數"'t=再(1<c,d<3,且c,d互異),滿足型管為

整數，求t的值.

94.如果一個三位數滿足各位數字都不為0,且個位數字比十位數字大1,則稱這個三位數為“圓夢數”.若m,n

都是“圓夢數”，將組成m的各位數字中最大的數字作為兩位數p的十位數字，組成n的各位數字中最大的數字作

為兩位數P的個位數字；再將組成m的各位數字中最小的數字作為另一個兩位數q的十位數字，組成n的各位數

字中最小的數字作為兩位數q的個位數字.所得的這兩個二位數p,q之和記為F(m,n).

例如:5+1=6,2+1=3,則556和923都是“圓夢數”,F(556,923尸69+52=121;1+1=2,8+1=9,則212和689都是“圓夢數”,

F(212,689)=29+16=45.

(1)計算F(767,634),F(978,445).

(2)若s和t者B是“圓夢數”,其中s=500+10x+y,t=210+100a+b(lSxS8,0WaS7,0Wy,bS9),規定K(s,t)=|s-t|,當F(s,312)-F(t,

678)=20時，求K(s,t)的最大值.

95.對于一個二位正整數A(十位、個位都不為0),如果把A的十位數字添在A的個位數字之后，同時將A

的個位數字添在A的十位數字之前，這樣得到一個新的四位數A1，我們把A1稱為A的“外同源數”；如果把A

的十位數字和個位數字互換位置，可得到另一個二位數B,再把B放到A的十位數字與個位數字之間，這樣又得

到一個新的四位數A2,我們把A2稱為A的“內同源數”.

例如,23的“外同源數”為3232,23的“內同源數”為2323.

同時我們發現，一個二位正整數A的“外同源數"A1與“內同源數”A2的各數位上的數字之和相等，我們把這個

和稱為A的“同源和”，記為G(A).

例如,23的“同源和”0(23)=2+2+3+3=10.

⑴如果二位正整數A的“外同源數可以被3整除，且A的“內同源數”能被5整除，求A的值

(2)已知M,N,P為三個不相同的二位數，若39G(M)+G(P)=386-37G(N),求證:G(M>G(N)的值必為8的倍數.

96.有兩個多位正整數,若它們各數位上的數字和相等，則稱這兩個多位數互為“調和數”.例如37與82,它們各

數位上的數字和為：3+7=8+2=10,則稱37與82互為“調和數”；又如123與51,它們各數位上的數字和為1

1+2+3=54-1=6,,則稱123與51互為“調和數”.

(1)若兩個三位數a43,2bc(l<a<9,0</?<9,0<c<9,且a,b,c為整數)互為“調和數"，且這兩個三位數之

和為99的倍數，求這兩個“調和數”.

⑵若A,B是兩個不相等的兩位數，A=xy,B=mn,A,B互為“調和數”，且A與B之和是B與A之差的3倍,

求證:y=-x+9.

97.材料一已知一個正整數，把其個位數字去掉，再把余下的數加上個位數字的4倍，如果和是13的倍數，則

稱原數為“自覺數”.如果和太大不能直接觀察出來，就重復過程.例如416,41+4x6=65,65+13=5,所以416是“自覺數”；

又例如25281,2528+4x1=2532,253+4x2=261,26+4x1=30,因為30不能被13整除，所以25281不是“自覺數”.

材料二在數學世界里，數與數之間存在各種奇妙的關系.例如：對任意一個幾位正整數t,若去掉其個位數字,

將余下的數加上原個位數字的兩倍，得到一個新數C若f能被19整除，則原數t就能被19整除.

⑴判斷7365是否為“自覺數”，并證明任意一個能被13整除的正整數一定是“自覺數”.

（2）請證明：對任意一個幾位正整數t,若去掉其個位數字，將余下的數加上原個位數字的2倍，其和f能被1

9整除，則原數t一定能被19整除.

⑶若將一個多位自然數分解為個位數與個位之前的數，讓個位之前的數減去個位數的K（K為正整數,1<K<5）

倍，所得之差能被7整除，求當K為何值時原多位自然數一定能被7整除.

（4）如果一個四位數，滿足各位數字都不為零，且其前兩位組成的兩位數和后兩位組成的兩位數都是完全平方數,

則稱這個四位數是“雙喜臨門數”.例如，8136,1649都是“雙喜臨門數”.若一個四位數n是“雙喜臨門數”，且n能被

65整除，求出滿足條件的所有四位數n.

98.閱讀下列材料，解答下列問題：

材料一有一個三位以上的自然數，如果該自然數的末三位表示的數與末三位之前的數字表示的數之差是11的

倍數，我們稱滿足此特征的數為“網紅數”.例如：65362,362-65=297=11x27.

材料二任意的自然數P均可分解為.P=100%+10y+z（x>0,0<y<9,0<slantz<9且x,y,z均為整數）,

如5278=52x100+10x7+8,規定

X2+X-Z（l+X）4-1

G（P）=一一■

⑴求證：“網紅數”一定能被11整除.

（2）有一個三位以上的自然數，如果該自然數的末三位表示的數與末三位之前的數字表示的數之差是K的倍數,

那么這個自然數就能被K整除.求所有滿足條件的正整數K.

(3)已知s=300+10b+a,t=1000b+100a+1142(lWaS7,0SbS5,且a,b均為整數).當s+t為“網紅數時，求G(t)的最大值.

99.材料一有一個四位正整數，它的千位數字與個位數字相同，百位數字與十位數字相同，且千位數字小于百

位數字，則稱這個四位數為“美好數”.例如，3443為“美好數”.

材料二一個正整數x能寫成.x=a?-62(地均為正整數，且a處)，則稱x為“美滿數”，a,b為x的一個平方差

分解在x的所有平方差分解中，若a?+最大，貝［］稱a,b為x的最佳平方差分解,此時F(x)=3列如：21=

52-22,21為“美滿數”,5和2為21的一個平方差分解,48=132-II2=82-42=72-F,因為132+II2>

82+42>72+所以13和11是48的最佳平方差分解，則“48)=g.

根據材料回答：

(1)試證明：2018不是“美滿數”.

(2)1-2019這2019個自然數中一共有多少個“美滿數”？

(3)求證：若一個“美滿數”的各數位上的數字之和為6的倍數，則這個美好數一定能被33整除.

(4)若一個數m既是“美好數”又是“美滿數"并且另一個“美好數”的前兩位數字所組成的兩位數與后兩位數字

所組成的兩位數恰好是m的一個平方差分解，請求所有滿足條件的數m中F(m)的最大值.

100.有一個三位數n,如果n滿足各個數位上的數字均不為零，且該數任意兩個數位上的數字之和大于另一個

數位上的數字，那么我們就把該數稱為“三角形數”.現把n的百位數字替換成“十位數字加上個位數字后與百位數字

的差”，其余數位保持不變，得到一個新數n1才巴n的十位數字替換成“百位數字加上個位數字后與十位數字的差”，

其余數位保持不變，得到一個新數n2；把門的個位數字替換成“百位數字加上十位數字后與個位數字的差"其余

數位保持不變，得到一個新數n3(若出現替換后的數位上的數字大于等于10,則該數位上的數字向前一位進位).

我們把nx,n2,n3的和記作F(n).例如,n=345,則n1=645小=345m3=342,F(n)=645+345+342=1332;又例如

n=839,則=439,%=949,n3=832,F(n)=439+949+832=2220.

(1)計算F(212),F(739).

(2攻口果一個"三角形數"t=100x+10y+z(2<slantx<slant9,l<slanty<slant9,l<z<slant9,x,y,z均

為整數)滿足x+y+z=17,正整數s=100x+30y+109和正整數m=204+lOy滿足s-m得到的新數的各個數位上

的數字之和是18,規定k(t)=|井I,求k(t)的最大值.

a+b-c_a-b+c

方法

1.1cbJ

/.b(a+b-c)=c(a-b+c),

???ab+b2—be—ac+be—c2—0,

(b-c)(a+b+c)=0,

b=c或a+b=-c.

同理,a=b或b+c=-a,a=c或a+c=-b.

當b=c,a=b,a=c時，原式=8.

當a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b時，原式=1.

綜上所述，原式等于8或-1.

方法2設

a+b-c_a-b+c_-a+b+c_,

K

cba?

a+b-c二ck,a-b+c=bk,-a+b+c=ak,

三式疊加為a+b+c=(a+b+c)k.

若a+b+c=0,則a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b,原式=-l.

若k=l,則a+b=2c,b+c=2a,a+c=2b,原式=8.

綜上所述，原式等于8或-1.

方法3若a+b+c=0,則a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b,原式=-1.

若a+b+c#0,則利用等比性質有

a+b-ca-b+c-a+b+c

cba

a+b+ct

=-a-+--b-+-c-=1.

a+b=2c,b+c=2a,a+c=2b,原式=8.

綜上所述，原式等于8或1

思路點撥

對于多個分式連等問題，可以考慮設比例常數k或利用等比性質來解決；注意解答過程中的分類討論，小心遺

漏.

⑴先根據已知條件，兩兩結合，利用比例性質化簡，可得兩式乘積等于零，那么每一個式子都可能等于零，從

而求出a,b,c的關系，然后分兩種情況代入所求式即可.

(2)設比例常數為k,然后將得到的三個乘積進行疊加，從而解出a,b,c的關系.

⑶根據分式的等比性質可直接得出最終結果

2.已知條件可變形為(a+b+\Vc—1-1|—4、a—2—27b+1+4=0。—2——2+4+匕+1—2

y/b+l+1+|Vc^l-1|=0(7^1-2)2+"b+1-1)2+|Vc^l-1|=0.

*e?y!CL—2—2=0,y/b+1-1=0,7c—1—1=0,

a-2=4,b+1=1,c-1=1,

a=6,b=0,c=2.

a+2b-3c=6+0-3x2=0.

思路點撥

要從一個式子中同時求多個變量，可以從“多個非負數的和為零”出發考慮問題.

先將已知條件移項，然后將等號左邊的式子配成兩個完全平方式加一個絕對值式，從而根據三個非負數的和為

零，得到三式均為零，可求出a,b,c的值

3.vVa2-2a+1+V25-10a+a2=10-|6+4|-|b-2|,

|a-l|+|a-5|+|b+4|+|b-2|=10.

V|a-l|+|a-5|>4,|b+4|+|b-2|>6,

|a-l|+|b-2|=4,|b+4|+|b-2|=6,

二l<a<5,-4<b<2,

a2+肝的最大值為52+(-4尸=41.

，r

密，思路點撥

本題要求掌握二次根式的性質和化簡，以及絕對值的幾何意義.

首先將已知條件化簡可得|a-l|+|a-5|+|b+4|+|b-2|=10,然后根據絕對值的幾何意義可得|a-l|+|a-5|24,|b+4|+|b-2巨6,從

而判斷出a,b的取值范圍，最后求出最值.

4.va5=b4,c3=d2,

可設a=m4,b=m5,c=x2,d=x3(m,x為正整數).

*/a-c=65,

??.m4—x2=65,即(m2+x)(m2—x)=65,

.rm2+x=65或rm2+%=13

1m2—x=im2—x=5'

??.正整數解為［m=3x=4,

b—d=m5—x3243-64=179.

膏，思路點撥

此題借助了巧妙的設法，運用因式分解的方法達到降指數的目的.

設a=m4,b=m5,c=x2,d=x3（m,x為正整數）根據已知條件a-c=65，運用因式分解的方法得到關于m,x的方程組,

從而求解.

r（X+1）2-（X+1）X（X+1）

5.v---------；--------=----；——-二-1,

x2+xx（x+l）

...將X分別取為2019,2020,2021,即可得a,b,c,

/.a=b=c=-l,

I.abc=（-l）x（-l）x（-l）=-l.

h/

密，思路點撥

抓住式子中數字的特點，用字母代替數字進行因式分解和約分化簡，更能體現本質.

6a匕

a+匕

黑11

即3

--+--

3,a匕

1111

理

同m5

----

二

匕CCa

三式相加可得

2（工+**）=3+4+5=12,

\abcj

ab+bc+ca

6,即=6,

abcabc

abc1

----------=

ab+bc+ca6

寐，思路點撥

分母和差、分子乘積的形式可以先轉化為倒數，使計算更加簡便.

本題先將已知條件的分子、分母顛倒，再將分式化簡，然后疊加，最后取倒數.

7.方法16x=192,32丫=192,

???6、T=192+6=32,32'T=192+32=6,

...=32>T=6,BP6（XT）?T）=6,

???(x-l)(y-l)=l,

i

(—2019)(XT)QT)-2=(_2019)T

20191

方法2：6*=192,32y=192,

6Xy=192x,32xy=192x,

6Xy-32xy=192x-192y，即192町=192＞匕

xy=x+y,

(-2019)(工_1)。_。_2=(-2019)xy-x-y-1=(-2019)-1=-短.

思路點撥

此題涉及幕的乘方與積的乘方，需要靈活運用知識構造與結果有關的指數形式，從而解決問題.

8.設

Xz

y==則

b+c-ac+a-ba+b-c

b+c-a=p①

c+a-b=^-,②

k

③

a+b—c=Yk-

③-②得

b—c=7—^.

2k

①-③得

x-z

c—a=—.

2k

②-①得

a—b=

2k

將以上三式代入所求式，得

(b-c)x+(c—a)y+(a—b)z

z-y.x-zy-x

=-,xH——?yH——?z

2k2k172k

zx-yx+xy-zy+yz-xz八

=------------------------=0.

2k

配思路點撥

出現分式連等的復雜形式時，可以設比例常數為k,再運用整體思想解決問題.

9.方法1va2-3a-1=0,

???a2=3a+1,

??.a6=(a2)3=(3a+l)3=(9a2+6a+l)(3a+1)=[9x(3a+l)+6a+l](3a+l)=(33a+10)(3a+l)=99a2+63a+10=9

9(3a+l)+63a+10=360a+109.

a2—3a=L

???120a-2=i20a-2(a2-3a)=120—字=120-等(a2-3a)=120-360a+1080.

a6+120a-2=360a+109+120-360a+1080=1309.

方法22a?-3a-1=0,

o—=3a2-|--=Ila,H—-=119,

???a6+120a-=a2(a4+i+119^)=a2(119+119^)=119(a2+1)=1309.

哀，思路點撥

方法1：運用整體思想進行求值，指數不一致的時候可以利用指數的升降達到化簡的目的.由已知等式得到a