2025年中考數學總復習《因式分解》專項測試卷（附答案）

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一、單選題

1.下列對多項式的因式分解正確的是（）

A.尤2—4x+4=(無+2)B.三一1=%

C.9-6y-/=(3-y)2D.尤2—2肛+,2=(彳_

2.將多項式+16/+12々分解因式，應提取的公因式是（)

A.4/B.41C.4?D.4a

若A(/_2*q5

3.-2/6,則代數式人為（）

A.aB..2C.ab2D.a2b

317

4.已知M=—Q+1,N=7a-/則知與N的大小關系為（)

7

A.M>NB.M<NC.M>ND.M<N

5.下列因式分解中正確的是（）

A.4—8/+16=(Q—4)2B.-a2+4。-4=一(。-2)2

C.x(a—b)—y(b—a)=(a—b\x—y)D.a4-b4=(a2+b2)(a2-b2)

6.設〃為某一自然數，代入代數式"計算其值時，四個學生算出了下列四個結果。其中

正確的結果是（）

A.121B.210C.335D.505

7.將多項式爐x+ay-/%',因式分解時，應提取的公因式是（）

A.aB.a2C.crxD.a2x2

8.通過計算比較圖1,圖2中陰影部分的面積，可以驗證的計算式子是（）

圖I圖2

A.ab-ax-a(Jj-x)

B.ab-bx=b[a-x)

C.ab-ax-bx=(<a-x)(b-x)

D.ab-ax-bx-^-x2=(a-x)[b—x)

二、填空題

9.分解因式：w—y=.

10.甲、乙兩個同學分解因式/+?+匕時，甲看錯了或分解結果為(x+2)(x+4)；乙看

錯了分解結果為(1+1)(1+9),則Q+b=—.

11.若劉〃為常數，多項式/+如+〃可因式分解為(％-1)。+2),貝心機+〃產25的值為_

12.若a-b=2,則式子/一〃一4〃的值等于.

41

13.若x+y=§,孫=耳，則兀2丁+孫2的值為.

%

14.已知/―丁=]2,x-y=-3,貝Ij—=.

y

15.若a,b,c均為非零實數，且Q+0+C="C=",貝!J"+我?+。々的最小值為.

16.已知工為整數，若爐―2x-16是某個整數的平方，貝Ijx為.

三、解答題

17.分解因式：

⑴〃2(1-y)+/(y-%)；Q)(〃2+J_4〃2)2.

18.已知a=2+"b=2-若，求下列各式的值

Wa2-b2

(2)a2b-b2a

19.在某次拼圖游戲中，欣欣發現利用圖1中的三種材料各若干可以拼出一些長方形來解釋

某些等式，如圖2可以解釋完全平方公式(a+b)2=/+2必+62.

(2)現有如圖1所示的邊長為。的正方形紙片2張，邊長為6的正方形3張，寬為。長為6的

長方形紙片機(加為正整數)張，這些紙片可以正好拼出一些長方形，請通過圖形、式子

或者文字列出所有可能性并說明機的最大值.

20.先閱讀下列材料，再解答下列問題：

材料：(x+yf+2(x+y)+1

解：將“x+y”看成整體，令x+y=A,貝!|

原式=A~+2A+1=(A+1)-

再將“A”還原,得：原式=(x+y+l)~

上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數學解題中常用的一種思想方法，請你解下列問

題：

(1)類比應用，求9+6(x—y)+(x—y)2=.

(2)求多項式(。+力(。+6-8)+17的最小值.

(3)若"為正整數，判斷式子(〃+1)(〃+2)(〃+3)(〃+4)+1的值是否是某一個整數的平方，并說

明理由.

21.上數學課時，王老師在講完乘法公式(。±6)2="±2必+6?的多種運用后，要求同學們

運用所學知識解答：求代數式f+4x+5的最小值？同學們經過交流、討論，最后總結出如

下解答方法：

解：X?+4x+5=%2+4x+4+l=(x+2)2+1.

(x+2)>0,

???當x=—2時，(x+2)2的值最小，最小值是0.

.-.(X+2)2+1>1.

，當x=-2時，/+4x+5的最小值是1.

請你根據上述方法，解答下列各題：

(1)知識再現：當》=時，代數式V-6x+13的最小值是.

⑵知識運用：^y=-x2+2x-3,當苫=時，y有最___________值(填“大”或

“小”)，這個值是.

(3)知識拓展：若-f+i0x+y+6=0,求2x+y的最小值.

參考答案

1.D

【分析】此題主要考查了因式分解的方法.因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，

完全平方公式法，十字相乘法等.根據分解因式的方法求解即可.

【詳解】解：A、X2-4X+4=(%-2)2,選項分解錯誤，不符合題意；

B、%3-x=x(x2-l)=x(x+l)(x-l),選項分解不徹底，不符合題意；

C、9-6y-y2^(3-y)\選項分解錯誤，不符合題意；

D、X2-2xy+y~=(x-y)2,選項分解正確，符合題意.

故選：D.

2.D

【分析】本題考查因式分解、找公因式的方法，熟練掌握確定公因式的方法是解題的關鍵.

根據找公因式的方法：系數取最大公約數，相同字母取最低次幕，進行求解即可.

【詳解】解：T/+16/+12“=4a(-/+4a+3),

應提取的公因式是4%

故選：D.

3.B

【分析】本題主要考查了因式分解，根據題意可得A=Q苫2,再把分子分解因式并把分

a3-2b

子與分母約分即可得到答案.

LWJA(a3-2b)=as-2a2b,

../—2crb

??A=—：-----

a3—2b

a3-2b

故選：B.

4.C

【分析】本題考查的是配方法的應用和非負數的性質，利用配方法把M-N的代數式變形,

根據偶次方的非負性判斷即可.

【詳解】解：

故選：C.

5.B

【分析】本題考查了公式法、提公因式法分解因式，運用提公因式法時，注意各項符號的變

化，運用公式法的時候，注意公式的結構特征.根據完全平方公式和平方差公式，對各選項

分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：A、a4-8a2+16=(a2-4)2=(a+2)2(A-2)2,原寫法錯誤，不符合題意；

B、—a2+4a-4=—(a—2)2,原寫法正確，符合題意；

C、x(a-b)-y(b-a)=(a-bXx+y),原寫法錯誤，不符合題意；

D、6Z4-b4=(a2+Z>2)(672-Z>2)=(?2+b2)(a+b)(a-b),原寫法錯誤，不符合題意；

故選：B.

6.B

【分析】本題綜合考查因式分解的應用，三個連續自然數的積為偶數等相關知識點，重點掌

握因式分解的應用.代數式〃3一〃因式分解可得〃5-1乂〃+1),則代數式表示三個連續正整

數的積.據此分析即可.

【詳解】解：由題意可知:原式-1)(〃+1),

療一"為三個連續的正整數的積，

.?.〃3一”可寫成三個連續自然數的積，其中有因數必為偶數，也有因數必為3的倍數，

/.n3-n是一個偶數.而且是3的倍數，

選項只有B,符合條件，

X'."210=5X6X7=63-6.

故選：B.

7.A

【分析】此題考查了公因式，根據公因式的定義進行解答即可.

【詳解】解：將多項式a3+ay-/Yy,因式分解時，應提取的公因式是a.

故選：A.

8.D

【分析】本題考查了因式分解的應用，圖1中，陰影部分的面積=大長方形的面積一長是。

寬是x的長方形的面積一長是匕寬是x的長方形的面積+邊長是x的正方形的面積，圖2中，

陰影部分的長為(a-x),寬為(6T),分別表示出陰影部分的面積，即可得解.

【詳解】解：圖1中，陰影部分的面積=大長方形的面積一長是。寬是x的長方形的面積一長

是b寬是x的長方形的面積+邊長是x的正方形的面積,

??.圖1中陰影部分的面積=ab-ox-Zzx+尤2,

圖2中，陰影部分的長為(a-尤)，寬為3-力，

圖2中陰影部分的面積=(a-x)(br),

/.ab-ax-bx+x2=(a-x)(b-尤),

故選：D.

9.y(xT)

【分析】本題考查提公因式法因式分解.根據題意可得孫-y=y(x-i),繼而得到本題答案.

【詳解】解：：孫-y=y(尤T),

故答案為：y(x-i).

10.15

【分析】本題考查了因式分解，解決本題的關鍵是看錯了一個系數，但是另一個沒看錯.學

生做這類題時往往不能理解.根據題意：分解因式d+ox+6時，甲看錯了6,但是。正確，

分解結果為(x+2)(x+4),0為6；乙看錯了a,但是b正確，分解結果為(x+l)(x+9),b

為9.代入a+b即可.

【詳解】解：：分解因式V+辦+6時，甲看錯了6,分解結果為(X+2)(X+4)=￡+6X+8,

??。=6,

乙看錯了〃，分解結果為(％+1)(工+9)=%2+10%+9,

：.b=9,

a+b=6+9=15.

故答案為：15.

11.-1

【分析】本題考查了多項式乘以多項式，代數式求值，有理數的乘方.熟練掌握多項式乘以

多項式，代數式求值，有理數的乘方運算是解題的關鍵.

由題意知，x2+twc+n=(x-I)(x+2)=x2+x-2,則根=1,〃=一2,然后代入求解即可.

【詳解】解：由題意知,X2+mx+n=(x-l)(x+2)=x2+x-2,

m=l,n=—2,

/.(m+n)2025=(l-2)2025=-l,

故答案為：-1.

12.-4

【分析】本題考查因式分解，代數式求值，根據8=2,得到8=2+a,利用整體代入法

進行求值即可.

【詳解】解:?:a-b=2,

b=a-2,

a2—b2—4a

=(〃+/?)(〃一〃)一4〃

=2(a—2+—4〃

=4a-4-4a

=-4;

故答案為：—4.

13.-

3

41

【分析】本題主要考查了因式分解的應用，先提取公因式分解因式，在把x+y=葭孫=于

代入原式計算即可.

【詳解】解：^y+xy1=xy{x+y},

41

把％+y=§,xy=-,代入，

原式=g1x4：=彳2，

233

2

故答案為：—.

14.7

【分析】本題考查分式的求值，根據/_>2=12,%-尸-3,得到x+y=—4,進而求出羽y

X

的值，進而求出一的值即可.

y

【詳解】解：：/一y2=(x+y)(x-y)=12,x-y=-3,

x+y=-4,

7

x—y=-3

聯立x+y—解得：

y

故答案為：7.

15.9

【分析】本題考查因式分解和一元二次方程的判別式.解題的關鍵是將待求代數式，用一個

字母進行表示，構造出一元二次方程.

根據a+6+c=%=",得到6+c=q3_a,6°=",將仍+慶+9轉化為用。表示的式子，

構造一個以6,c為兩個根的一元二次方程，再轉化為含字母。的一元二次方程，根據方程有

兩個根，得到+0,求出。的取值范圍，即可得解.

【詳解】解：b,。均為非零實數，且4+6+C="C="3,

??Z?+c=〃3—a，he—片，

ab+bc-\-ca=bc+a(b+c)=a2+a(6?-0)=(/,

■:b,c是方程尤2—S+c)%+:c=0的兩根,

方程V-何―“卜+/=0有兩個實數根，

貝I]A=(a3-a)2-4a2>0,即a6-2o4-3a2>0

,/4NO,

o'-2<72—320,即(a~—3)(iz-+1)>0,

V（a2+l）>0,

a2-3>0,BPa2>3,

ab+bc+ca=a4>32=9>

即ab+bc+ca的最小值為9,

故答案為：9.

16.10或-8

【分析】本題主要考查了完全平方公式的應用，設/一2彳-16=田（根為整數），則

（x-l）2-m2=17,然后運用完全平方公式變形整理得到（x-l+M（x-1-加）=17,再得出二

元一次方程組，解之可得.

【詳解】解：設尤2一2彳-16=/(加為整數),

貝I](1)2-療=17,

V17=lxl7=(-l)x(-17),

+fx—l+m=17fx-l+m=—1[x-l+m=-17

：.\或1或<或<

[x—1—m=17[x—l—m=l[x—1—m=—17—m=

故答案為：10或-8.

17.(1)(x-y){a+b\a-b)

(2)(。+b)~(a-b)2

【分析】本題考查因式分解，熟練掌握完全平方公式及平方差公式是解題關鍵.

(1)先提取公因式(x-y),再利用平方差公式分解因式即可得答案；

(2)先利用完全平方公式展開，合并，再利用完全平方公式及平方差公式分解因式即可得

答案.

2

【詳解】(1)解：a\x-y)+b(y-x)

={x-y){cr-Z?2)

=(x—y)(a+b)(a—b).

(2)解：(a2+b2)2-4a2b2

=(a2)2+201bl+(廿>一4a2〃

=(a2)2-2aV+(Z>2)2

=(a2-b2f

=(a+b)2(a-b)2.

18.(1)8A/3

(2)2A/3

【分析】本題主要考查二次根式的運算、平方差公式、因式分解，掌握運算法則是解題的關

鍵.

(1)原式化為(。+"(。_6),將a=2+g*=2-6代入，運算即可求得答案;

(2)原式化為必(。-與，將a=2+6/=2-g代入，運算即可求得答案.

【詳解】⑴解：原式=(a+6)(a-6).

將a=2+>/=2-A/^代入，得

原式=(2+A/^+2-(2+5^-2+

=4x2卡>=8^/3

(2)解:原式=成(。-6).

=(2+礎2-@(2+若_2+@

=(22-3)X2A/3

=2A/3.

19.(l)(a+2Z?)(a+Z?)=a2+2Z?2+3ab

(2)機的最大值為7.

【分析】本題考查多項式和多項式的乘法，因式分解.

(1)看圖從總體和部分，分析即可得出所求的式子；

(2)根據代數式分解因式即可分析解答.

【詳解】(1)解：從總體的看，長方形的長為(a+2b),寬為(a+b),面積為(4+2與(。+為，

從部分看邊長為。的正方形紙片1張，邊長為b的正方形2張，寬為。長為6的長方形紙片

3張,面積為/+2〃+3〃萬，

圖3可以解釋的等式為(a+2Z?)(a+b)=a2+處2+3M,

故答案為：(a+?)(a+b)=/+0+3"；

(2)解：由題意得,面積為2a2+”/>+3。2,

可得至!](a+3b)(2a+/?)=2a?+r7ab+3b,止匕時〃?=7；

也可得至U(a+b)(2a+3b)=2/+5ab+3b~,止匕時m=5；

m的最大值為7.

20.(l)(x-y+3)2

(2)1

(3)式子("+1)5+2)("+3)(〃+4)+1的值是某一個整數的平方，理由見詳解

【分析】本題考查因式分解，解題的關鍵是理解并掌握整體思想和換元思想.

(1)利用整體思想和完全平方公式進行化簡即可；

(2)利用整體思想和完全平方公式進行化簡確定取值即可；

(3)利用乘法的結合律和多項式乘多項式的法則對原式進行整理，再利用整體思想和完全

平方公式進行整理即可.

【詳解】(1)解：將“x-V”看成整體，令x-y=A,則

原式=9+6A+A2=(A+3)2

再將“A”還原,得：原式=(x-y+3)2

故答案為：(x-y+3)?；

(2)解：令a+b=A,則原式=A(A—8)+17=A2—8A+17=(A—4)2+121

所以多項式的最小值為1;

(3)證明：式子(〃+1)(〃+2)("+3)(〃+4)+1的值是某一個整數的平方，理由如下

(〃+1)(H+2)(〃+3)(〃+4)+1

二(〃+1)(〃+4)?5+3)(〃+2)+1

二(*+5〃+4)(〃2+5〃+6)+1

令“2+5”=A,則原式