2025年中考數學總復習《一次函數中等腰三角形存在性問題》專項測試卷

(帶答案)

學校:班級：姓名：考號：

4

1.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=1x+2的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B,且與正比例函數y-%

3

的圖象交點為C.

(1)點3的坐標為；

(2)求△20C的面積；

(3)在y軸上求一點P,使△POC是以0C為腰的等腰三角形.請直接寫出所有符合條件的點P的坐

標.

2.如圖，直線＞=丘+6(ZW0)與坐標軸分別交于A、8兩點，04=8,。8=6,點M(4,m)在直線上，動點P

從。點出發，沿x軸正方向以每秒2個單位長度的速度運動.

(1)A點的坐標為；8點的坐標為；

(2)直線A8的函數解析式；

(3)設點尸的運動時間為t秒(0W/W4),/XB%的面積為S,求S與f之間的函數關系式：并求出當S=8時

點P的坐標；

(4)x軸正半軸上是否存在一點P,使△0PM為等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的所有P點的坐標；若

不存在，請說明理由.

(2)一次函數中面積相關問題訓練

第1頁共19頁

3.如圖，直線y=-聯+4與坐標軸相交于A、B兩點，將△A3。沿過點A的直線折疊，使點B與x軸上的點C重

合，折痕為4D

(1)求點A、B的坐標；

(2)求折痕所在直線對應的函數表達式；

(3)若點P為直線上的一點，且S"BO=ZSAABO，求點尸的坐標.

4.如圖，長方形AOBC在直角坐標系中，點A在y軸上，點8在x軸上，已知點A的坐標是(0,4),點8的坐

標是(8,0).

(1)求對角線A8所在直線的函數關系式；

(2)對角線AB的垂直平分線MN交x軸于點連接AM,求線段AM的長；

(3)在(2)的條件下，若點P是直線AB上的一個動點，當△公!〃的面積與長方形AO8C的面積相等時，求

點尸的坐標.

(3)一次函數中角度相關問題訓練

5.如圖1,已知直線A：y=fcv+4交無軸于A(4,0),交y軸于艮

(1)直接寫出左的值為；8點坐標為

第2頁共19頁

⑵如圖2,過C(-2,0)點的直線"：y與AB交于點p，點Q為射線以上一動點，若點。到直

線CP的距離為2而，求點Q的橫坐標t的值；

(3)如圖3,已知點M(-1,0),點N(5m,3〃什2)為直線AB右側一點，且滿足/A8N,求點N

坐標.

A\xA\汽\OA\x

6.一次函數》=履+。的圖象經過點A(-2,0)、B(-l,1),且和一次函數y=-2x+〃的圖象交于點C,如圖所

(1)填空：不等式fci+bvo的解集是;

(2)若不等式履+/?>-21+〃的解集是x>l,求點。的坐標；

(3)在(2)的條件下，點尸是直線y=-2x+〃上一動點.且在點C上方，當NB4C=15°時，求點尸的坐標.

y=kx+b

O、力

y=—2x+a

(4)一次函數中平行四邊形存在性問題訓練

7.如圖，已知函數>=一寺％+b的圖象與X軸、y軸分別交于點A、B,與函數>=%的圖象交于點點E的橫坐

標為3.

(1)求點A的坐標；

(2)在尤軸上有一點尸(a,0),過點尸作無軸的垂線，分別交函數y=—gx+6和y=x的圖象于點C、D,若

第3頁共19頁

以點3、0、C、。為頂點的四邊形為平行四邊形，求a的值.

8.如圖，已知直線＞=依+少經過A(6,0)、B(0,3)兩點.

(1)求直線y=fcr+6的解析式；

(2)若C是線段OA上一點，將線段CB繞點C順時針旋轉90°得到CD,此時點D恰好落在直線AB上.

①求點C和點D的坐標；

②若點P在y軸上，Q在直線A3上，是否存在以C、D、P、。為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫

出所有滿足條件的點0坐標，否則說明理由.

(5)一次函數中菱形存在性問題訓練

9.已知：在平面直角坐標系中，直線/1：y=-x+2與x軸、y軸分別交于A、2兩點，直線/2經過點A,與y軸交

于點C(0,-4).

(1)求直線/2的解析式；

(2)如圖1,點P為直線人上的一個動點，若△R1C的面積等于9時，請求出點尸的坐標；

(3)如圖2,將△ABC沿著x軸平移，平移過程中的△ABC記為△ALBICL請問在平面內是否存在點。，使得以

4、Ci、C、。為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點。的坐標.

?i圖2備用圖

10.如圖，在平面直角坐標系中，直線A：產-3+6分別與x軸、y軸交于點3、C,且與直線，2：交于點A.

(1)求出點A的坐標.

(2)若。是線段OA上的點，且△C。。的面積為12,求直線C。的函數表達式.

(3)在(2)的條件下，設尸是射線CD上的點，在平面內是否存在點。，使以。、C、P、0為頂點的四邊形

是菱形？若存在，直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

(6)一次函數中全等三角形和相似三角形存在性問題

11.如圖，直線A8分別與兩坐標軸交于點A(4,0).B(0,8),點C的坐標為(2,0).

(1)求直線的解析式；

(2)在線段AB上有一動點P.

①過點P分別作無，y軸的垂線，垂足分別為點E,F,若矩形OEPE的面積為6,求點尸的坐標.

②連接CP,是否存在點尸，使△ACP與AAOB相似？若存在，求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

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12.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線/1：>=尤+2與x軸交于點A,直線八：y=3x-6與x軸交于點。，與人

相交于點C.

(1)求點D的坐標；

(2)在y軸上一點E,若S^ACE=S^ACD,求點E的坐標；

(3)直線A上一點尸(1,3),平面內一點「若以A、P、尸為頂點的三角形與△APO全等，求點尸的坐標.

(7)一次函數線段和差及周長最值問題

13.如圖，長方形OA8C,是一張放在平面直角坐標系中的長方形紙片，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上,

04=10,OC=6,在A8上取一點M使得△CBM沿CM翻折后，點B落在x軸上，記作夕點.

(1)求8'點的坐標；

(2)求折痕CM所在直線的表達式；

(3)求折痕CM上是否存在一點P,使尸。+P9最小？若存在，請求出最小值，若不存在，請說出理由.

14.如圖，已知一次函數y=2x+4的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點3,點M為線段AB的中點.

(1)點A/的坐標為；

(2)y軸上有一動點。，連接QM,QA,求周長的最小值及此時點。的坐標；

(3)在(2)的條件下，當△QMA的周長最小時，若x軸上有一點R過點/作直線軸，交直線于點

G,交直線A8于點“，若G”的長為3,求點尸的坐標.

第6頁共19頁

備用圖

參考答案

1.【解答】解：(1)對于y=0+2,當x=0時，尸2,即點2(0,2)

故答案為：(0,2)；

24

--

(2)聯立兩個函數表達式得:33則x=3,即點C(3,4)

11

則△BOC的面積=1xOBXxc=2X2X3=3；

(3)設點P(0,y)

由點尸、0、C的坐標得，2。2=/,PC2=9+(y-4)2,CO2=25

則PO=CO^PC=OC

即25=9+(y-4)2或/=25,則》=±5或0(舍去)或8

即點P(0,5)或(0,-5)或(0,8).

2.【解答】解：(1):直線y=Ax+b(后0)與坐標軸分別交于A、B兩點，04=8,。2=6

AA(8,0),B(0,6)

故答案為：(8,0)；(0,6)；

(2)把A(8,0),B(0,6)代入y=fcc+b(笈#0),得：

(b=6

l8fc+/?=0

解得：卜=一［

3=6

.*.y=—4%+6；

(3)由題意，得：0P=2t

當0WfW4時，點P在線段。4上

：.AP=8-2t

11

ABB4的面積為S=2ap-OB=1x6(8-2t)=-6t+24

當S=8時，得：-6什24=8

8

得

解--

3

。產163

第7頁共19頁

(竽，0).

(4)尤軸正半軸上存在一點P,使△OPM為等腰三角形；理由如下:

-：y=-^x+6,把A/(4,M,代入得：y=—充義4+6=3

：.M(4,3)

.,.OM=V32+42=5

設尸⑵,0)(AO)

當△OPM為等腰三角形時，分三種情況：

①0P=0M=5,則：P(5,0)；

②當OP=PM時，貝I：(2r)2=(2r-3)2+42

解得：1=稱

；.P償，0)；

③當時，過點軸，貝ij：ON=4,OP=2ON=8

：.P(8,0)；

綜上，x軸正半軸上存在一點P,使△OPM為等腰三角形；P(5,0),P(8,0),P償，0).

4

3.【解答】解：(1)對于y=-@x+4,當x=0時，y=4,令y=0,則x=3

即點A、8的坐標分別為：(3,0)、(0,4),則A8=5；

(2)設點。(0,y)

由題意得：CD=BD,AC^AB=5,則0c=2,即點C(-2,0)

,:CD=BD,貝Uy2+4=(j-4)2,貝Uy=怖

3

即點D(0,-)

2

設直線的表達式為：y=kx+l

將點A的坐標代入上式得：0=34+宗則仁—義

故直線AD的表達式為：y=—2%+］；

(3)設點尸(羽-11x+12)

2121

9：SAPBO=及枷0,即一xOBX\x\=2x2xAOXOB

則點尸59-0Z)或(QV，1一5)?

2424

4.【解答】解：(1)設直線AB的解析式為：y=kx+b

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???點A的坐標是（0,4）,點3的坐標是（8,0）,且A、5兩點都在直線A5上

.(b=4

…抽+匕=0

(b=4

解得k=~l

對角線AB所在直線的函數關系式為：y=-1x+4；

（2）:點A的坐標是（0,4）,點8的坐標是（8,0）

；.。4=4,02=8

,:MN是AB的垂直平分線

在RtzXAOM中，由勾股定理得:

.?.42+(8-AM)2=AM2

.\AM=5；

（3）長方形A05C的面積為：4X8=32,設點尸的縱坐標為y

當點尸在第二象限時

由S^BMP-S/^AMB=S^PAM=S矩形A03C

11

A-x5x|y|--x5x4=32

2⑶2

解得：y=

當尸熟寸，￡=-1+4

解得：x=—竽

當點P在第四象限時

同理可矢口：S/\BMP+S/\AMB=S^PAM=S矩形AOBC

11

—Kx5xy+Kx5x4=32

22

44

解得：y=-

虧

當〉=—昔時，—背=—9+4

解得：%=苧

點尸的坐標為：（詈，-￡）或（-*勤.

5.【解答】解：（1）:直線止y=fcc+4交無軸于A（4,0）

：.0=4k+4

:?k=-1

??y=-x+4,當x=0時，y=4

：.B（0,4）；

故答案為：7,（0,4）；

（2）,?,過。（-2,0）點的直線%：y=★%+九與A3交于點尸

/.0=x(—2)+n

第9頁共19頁

.-.y=/1+1

聯立卜=b+l

ly=—%+4

解得:(y：2

：.P(2,2)

過點尸作PEJ_x軸于點E,貝I：PE=2

VCC-2,0)

；.OC=2

：.CE=4,CP=V42+22=2V5

1/點。為射線PA上一動點，點。到直線CP的距離為2代，Q的橫坐標為t

則：QG,-f+4)

過點。作。N,CP于點N,QMLx軸交CP于點如圖2

圖2

貝ij：M(t,1t+1),QN=2V5,QM//PE,NQNM=90°

13

:?NM=NCPE,QM=^t+1-(-t+4)=|t-3

9：ZQNM=ZPEC=90°

:?APECs叢MNQ

.QMQN|532V5

??—=—,BP：—尸=----

CPCE2V54

解得：”學

(3)在尤軸上取一點P(l,0),連接BP,過點尸作BPLPQ,交BN于點Q,過點。作于點R,如圖

圖3

貝ij：ZBOP=ZBPQ=ZQRP=9Q°

：.ZPBO=ZQPR=900-ZOPB

,：A(4,0),B(0,4)

第10頁共19頁

：.0A=0B=4

：.ZOBA=ZOAB=45°

9：M(-1,0)

：.OM=OP=1

?；BO上PM

：.BM=BP

：.ZOBP=ZOBM=NABN

：.NOBP+/PBA=ZABN+ZPBA

即：ZPBQ=ZOBA=45°

：.ZPBQ=ZPQB=45°

：.PB=PQ

又/BOP=/QRP=9U°,ZPBO=ZQPR

：.ABOP^APRQ

：.PR=OB=4,RQ=OP=1

：.OR=5

：.Q(5,1)

設直線BQ的解析式為：y=ax+b

則:{:二產

解得：卜=_g

3=4

y=—F%+4

■:N(5m,3m+2)在直線5Q上

3

3m+2=一1x5m+4

m=

：.N(^,3).

6.【解答】解：(1)..?一次函數的圖象與無軸交于點A(-2,0)

不等式fcv+b<0的解集是尤<-2

故答案為尤<-2.

(2)一次函數〉=履+6的圖象經過點A(-2,0),8(-1,1)

.(—2k+b=0

?Lk+b=1

.(k=1

**tb=2

???解析式為：y=x+2

???一次函數的圖象和一次函數y=-2x+o的圖象交于點C

且不等式kx+b>-2x+〃的解集是x>l

???結合圖象可得，點。的橫坐標為1

當％=1時，y=x+2=l+2=3

所以點。的坐標為(1,3).

(3)如圖，設直線AC與y軸交于點。，直線必與y軸交于點E

???一次函數y=-2x+〃的圖象經過點C(1,3)

???3=-2X1+〃

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??〃=5

???函數解析式為：y=-2i+5

對于一次函數y=x+2

當％=0時，y=2

???點D的坐標為(0,2)

：.OD=2

\9OA=2

：.OA=OD

：.ZDAO=45°

又???NB4C=15°

AZPAO=ZDAO+ZPAC=45°+15°=60°

JZAEO=30°

.\AE=2OA=2X2=4

在RtZkEAO中，由勾股定理得

0E=y/AE2-OA2=V42-22=2百

???點E的坐標為(0,2V3)

設直線AE的解析式為：y=rrvc+n

把A(-2,0),E(0,2V3)兩點坐標代入上式得

(—2m+n=0

tn=2V3

.Cm=V3

"In=2V3

，解析式為：y=V3x+2V3

解方程組得

(y=V3x+2V3

.卜=16-9A/3

"(y=-27+18V3

故點尸的坐標為(16—9/，-27+18V3).

7.【解答】解：(1)把x=3代入y=x,得：y=3,即E(3,3)

把E坐標代入＞=—%+b中，得：b=4,即函數解析式為y=—%+4

令y=0,得到x=12

貝IJA(12,0)；

(2)直線AB解析式為y=—^.r+4

由題意可知，C、。的橫坐標為。

.1

「?C(〃，—gi+4),D(a,a)

14

.**CD=a-(—可［+4)=可4-4

若以點8、。、。、。為頂點的四邊形為平行四邊形

4

：.CD=OB=4,即號〃一4|=4

解得：a=6.

8.【解答】解:(1)將A(6,0),B(0,3)代入y=fci+Z?得:

^k+b=0；解得:k=-

b=3

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，直線AB的表達式為y=—^x+3；

(2)①?；NBOC=NBCD=NCED=90°

：.Z0CB+ZDCE=9Q°,ZDCE+ZCDE=90°

：.ZBCO=ZCDE.

在△30。和△CED中

NBOC=Z.CED

乙BCO=乙CDE

BC=CD

:?△BOCQ4CED（A4S）

：?0C=DE,B0=CE=3.

設,0C=DE=m,則點。的坐標為（m+3,m）

???點。在直線AB上

m=-2（m+3）+3

??m=1

.,.點C的坐標為（1,0）,點。的坐標為（4,1）；

②存在，設點。的坐標為（小-如3）.

分兩種情況考慮

當CD為邊時

:點C的坐標為（1,0）,點。的坐標為（4,1）,點P的橫坐標為0

.'.0-n—4-1或w-0=4-1

.,.n=-3或n=3

39

.?.點。的坐標為（3,3）或（-3,-）；

當C。為對角線時

:點C的坐標為（1,0）,點。的坐標為（4,1）,點P的橫坐標為0

w+0=l+4

??n=5

1

點。〃的坐標為（5,-）.

391

綜上所述：存在以C、D、P、。為頂點的四邊形是平行四邊形，點。的坐標為（3,5）或（-3,3）或（5,

9.【解答】解：（1）設直線/2的解析式>=日+。

:直線A：y=-x+2與無軸，y軸分別交于A、B兩點

AA（2,0）,B（0,2）

:直線72經過點A,與y軸交于點C（0,-4）

.（2k+b=0

tb=—4

.（k—2

"tb=-4

直線/2的解析式：y=2x-4；

（2）由題意可知，BC=6

設點P的橫坐標為m

第13頁共19頁

11

/.S/^PAC-2*kA-xp\,BC—引2-〃z|X6=9

?*HI~~~1回^m5.

：.P(-1,3)或尸(5,-3)；

(3)設將AABC沿著無軸平移/個單位長度得到△4B1C1

：.Ai(2-t,0)

.".CCi=t,AiCi=AC=2V5

設。點坐標為(p,q)

①當CCi為以4、Ci、C、。為頂點的菱形邊長時，有兩種情況：

當CCi=4Ci=2近時,即f=2西

此時CC1〃4D,即點。在x軸上

且A1D=A1C1=2病

...點。與點A重合，即。(2,0).

當CCi=AiC=t時

VA1(2-t,0),C(0,-4)

(-4)2+(2-/)2=戶

解得t=5

此時CCi〃A。，即點〃在無軸上

且4O=CCi=5

：.D(-8,0).

②當CCi為以4、Ci、C、。為頂點的菱形對角線時，A1C1=A1C=2V5,即點Ai在CC1的垂直平分線上，且

Ai,。關于CQ對稱

當△ABC向左一移動，Ai(2-t,0),C(0,-4),Ci(-r,-4)

(-4)2+(2-/)2=(2V5)2

解得f=4或t=0(舍)

當△ABC向右移動時，Ai(2+30),C(0,-4),Ci(t,-4)

：.(-4)2+(2+02=(2V5)2

解得1=-4(舍)或t=0(舍)

AA1(-2,0)

：.D(-2,-8).

綜上所述，存在點。，使得以4、Cl、C、。為頂點的四邊形是菱形，點。的坐標為(2,0),(-8,0),(-2,

-8).

io.【解答】解：(1)解方程組：2"+6,得七二?

1

丫=尹

AA(6,3)；

1

(2)設D(x,-%)

2

???△CO。的面積為12

???一x6X%=12

2

解得：x=4

：.D(4,2)

設直線CD的函數表達式是

把C(0,6),0(4,2)代入得：］?=巳，〃，解得

???直線CD解析式為y=-x+6；

第14頁共

1

(3)在直線/i：y=-2,t+6中，當x=0時，y—6

：.C(0,6)

存在點尸，使以0、c、P、。為頂點的四邊形是菱形

如圖所示，分三種情況考慮：

(z)當四邊形OP1Q1C為菱形時，由/COPi=90°,得到四邊形OP10C為正方形，止匕時OPi=OC=6,即Pi

(6,0)；

GD當四邊形OP2c0為菱形時，由C坐標為(0,6),得到P2縱坐標為3

把y=3代入直線CP的解析式y=-x+6中，可得3=-尤+6,解得x=3,此時P2(3,3)；

(沆)當四邊形。。3P3c為菱形時，則有0。3=。?=。尸3=尸3。3=6,設P3(X,-X+6)

；./+(-x+6-6)2=62,解得彳=3近或彳=-3位(舍去)，此時P3(3V2,-3^2+6)；

綜上可知存在滿足條件的點的尸，其坐標為(6,0)或(3,3)或(3V2,-3V2+6).

11.【解答】解：(1)設直線的解析式為y=fcv+b,如圖1：

=o

依題意,r=v

.(k=-2

?力=-2x+8；

(2)①設動點尸(x,-2x+8),則PE=x,PF=-2x+8

S^OEPF=PE*PF=x(-2x+8)=6

=X2=3;

經檢驗Xl=l,X2=3都符合題意

???點尸(1,6)或(3,2)；

②存在，分兩種情況

第一種：CP//OB

：.AACP^AAOB

而點。的坐標為(2,0)

???點尸(2,4)；

第二種CP_LA8

VZAPC=ZAOB=90°,ZPAC=ZBAO

：.AAPC^AAOB

.APAC

0A~AB

.AP2

??4―V42+82

：.AP=等

如圖2,過點P作尸軸，垂足為“

第15頁共19頁

J.PH//OB

：.△AP”S/\A5。

.PHAPAH

OB~AB~OA

2V5

PHMAH

-8?475.4

42

,""=I，AH=g

：.OH=OA-AH=^

-184

**?點P

184

???點P的坐標為(2,4)或點尸(Y，-).

12.【解答】解：(1),??直線/2：y=3x-6與x軸交于點。

???令y=0,貝！)3%-6=0

??x~~2

：.D(2,0)；

(2)如圖1

;?直線A：y=x+2與x軸交于點A

???令y=0.

**?x+2—0

??x^~-2

(-2,0)

由(1)知，D(2,0)

：.AD=4

聯立直線/I,/2的解析式得，P=：+2

(y=3%—6

解得，

：.C(4,6)

11

ASAACD=2A￡)?|yc|=qx4X6=12

S△ACE=S^ACD

SAACE=12

直線/i與y軸的交點記作點B

：.B(0,2)

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設點E(0,M

：.BE=\m-2|

11

SMCE--^E,\XC-XA\—彳依-2|X|4+2|=3防-2|=12

'.m--2或m—6

.?.點E(0,-2)或(0,6)；

(3)如圖2

①當點尸在直線/1上方時

?.?以A、P、尸為頂點的三角形與△AP。全等

I、當△AP尸絲時，連接。尸，BD

由(2)知，B(0,2)

由(1)知，A(-2,0),D(2,0)

：.OB=OA=OD

：.ZABO^ZDBO^45°

：.ZABZ)=90°

C.DBLh

,：AAPF^AAPD

:.PF=PD,AF^AD

直線h是線段OF的垂直平分線

...點。，尸關于直線/1對稱

：.DF±h

尸過點2,且點8是。F的中點

.*.F(-2,4)

II、當時

：.PF=AD,ZAPF=APAD

：.PF//AD

;點D(2,0),A(-2,0)

點D向左平移4個單位

二點P向左平移4個單位得，F(1-4,3)

：.F(-3,3)

②當點尸在直線/1下方時

?."△B4F'^AAP￡)

由①n知，AB4P0Z\AP￡)

.?.△B4F^AE4F'

：.AF=AF',PF=PF'

：.點F與點尸關于直線Zi對稱

：.FF'M\

VDFX/i

：.FF'//DF

而點F(-2,4)先向左平移一個單位，再向下平移一個單位

：.D(2,0),向左平移1個單位，再向下平移一個單位得廣(2-1,0-1)

：.F'(1,-1)

當點尸與點P重合時，符合題意，即F(2,0)

即：點尸的坐標為(-3,3)或(-2,4)或(1,-1)或(2,0).

13.【解答】解：(1)：四邊形OA8C是長方形，。4=10

：.BC=OA=10

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?「△CBM沿CM翻折

：.B'C=BC=10

在RtAB'OC中，B'C=10,OC=6

：.B'O=yjB'C2-OC2=8

：.B'(8,0)；

(2)設AM=x,則AM=6-%

VOA=10,B'0=8

：.B'A=2

???△CBM沿CM翻折

：.B'M=BM=6-x

在RtZXABM中，B'^AM2=B'M2

22+X1=(6-x)2M

8

-A

301Bz

8

：.M(10,-)

3

g

設CM所在直線的解析式為y=fcv+。，將C(0,6)、M(10,-)代入得:

(6=b

8

至=10k+b

I。

解得：卜=_§

(6=6

.,.CM所在直線的解析式為y=-1x+6；

(3)折痕CM上存在一點P,使PO+PB最小,連接OB,OB與CM交點即為所求點P,連接如圖