2025年中考數學總復習《圖形的相似》專項檢測卷帶答案

學校:姓名:班級：考號：

一、單選題

1.已知相似比為1:4,那么VABC和AAEC'的周長比為（）

A.1:4B.3:4C.1:8D.1:16

2.如圖，VABC與位似，位似中心為點O,OC:CC'=2A,AAEC的面積為12,

則VABC面積為（）

9

A.54B.32C.27D.—

16

3.大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為48的

黃金分割點（轉＞依），如果的長度為10cm,那么總的長度為（）cm.

B

A.575-5B.106-10C.15-5百D.15+5下

4.如圖，在VABC中，AB=AC,ZA=36°,平分/ABC.與AC交于點。.若3c=2,

則CD的長度為（）

A.1B.3C.75+1D.75-1

5.如圖，在正方形ABCL（中，M為BC的三等分點，MC=2BM,對角線AC與相交于

點R過點F作CD的垂線，垂足為G,過點尸作BC的垂線，垂足為E,已知">=4,則FG

的長度為（）

6.如圖，VABC與ADE尸是以點。為位似中心的圖形（點A,B,C的對應點分別為點。,

nA

E,F）.若VABC與ADEF的周長之比為1:2,則一的值為（）

7.矩形ABC￡>中，AB=4,BC=3,點河在線段C。上，CM=1,連接過點A作

AEJ.BM,垂足為與對角線3D交于點尸，則所的長是（）

A.—B.勺叵C.9D.3

135

8.如圖，在正五邊形ABCDE中，連結BE,BD,過點。作CD的垂線，與邊AE交于點F,

與對角線砥交于點P,下列結論中錯誤的是（）

A.ZEFD=54°B.AB+AF=BE

AFV5-1

D.點尸是AE的黃金分割點

而一2

二、填空題

9.如圖，在AABC中，ZACB=90°,BC=5,AC=12,=，點E是AC的中點，BE、

8相交于尸，則四邊形ADEE的面積為.

10.如圖，矩形ABCD中，點E為BC邊的中點，連接AE,點尸為邊上一點，連接CP

2

交AE于點G,若CO=CG=3如，tan/EGC=],則線段BC的長度為.

11.如圖，在VA3C中，￡>E〃BC分別交A3、AC于點。、E,D尸〃AC交BC于點F,

AP2

—跖=10,則C/的長為—.

EC5

12.如圖，在平面直角坐標系中，VABC的頂點A在第二象限，點8的坐標為(-2,0),點C

的坐標為(-1,0).以點C為位似中心.在龍軸的下方作VA3C的位似圖形△AB'C.若點A的

對應點A的坐標為(2,-3),點B的對應點B'的坐標為(1,0),則點A的坐標為.

13.如圖，小孔成像實驗如圖1,抽象為數學問題如圖2,AC與8￡）交于點0,AB//CD,

若點。到A3的距離為10cm,點。到CD的距離為15cm,蠟燭火焰倒立的像CD的高度是

6cm,則蠟燭火焰AB的高度是cm.

圖1圖2

3

14.如圖，在平面直角坐標系中，直線>=］尤-6分另IJ與x軸、>軸相交于點A、B,點、E、F

分別是正方形。1C。的邊OZXAC上的動點，且=過原點。作OH,EE,垂足為

H,連接HA、HB,貝lj"MB面積的最大值為.

三、解答題

15.如圖，在uABCD中，AC為對角線，過點B作跖，AC交AC于點E,交于點

交C。的延長線于點G.

G

⑴求證：GFCG=DGBG-,

(2)如果AB?=BE.8/，求證：四邊形ABCD是矩形.

16.如圖，ABC是一張銳角三角形紙片.

(1)按下面的步驟完成尺規作圖(保留作圖痕跡，不寫作法)

①作一BAC的角平分線，交8C于點￡＞；

②在AB、AC上分別取兩點E和尸，連接OE、DF,使四邊形如是菱形.

⑵若AB=3,AC=4,求DE的長.

17.如圖，點E在正方形ABC。邊上，點尸是線段A3上的動點（不與點A重合），DF

交AC于點G,64，4）于點8,AB=3,DE=1.

⑴求tanZACE1的值；

（2）設AP=尤,G"=y,試探究y與尤的函數關系式（寫出尤的取值范圍）;

⑶當ZADF=ZACE時,判斷ACGE與△ZMF是否相似并說明理由.

18.【問題情境】在矩形ABCD中，點E為邊2C上一個動點，連接AE.將沿AE翻

圖1圖2備用圖

【探究發現】

（1）如圖1,若BC=-J^AB,求NA也的度數;

（2）如圖2,當AB=4,且跳=8時，求BC的長.

【拓展延伸】

（3）若矩形ABC。滿足AB:3c=2:3,點E為邊BC上一個動點，將矩形ABCD沿進行

翻折，點C的對應點為C',當點E,C,O三點共線時，求154E的正切值.

19.如圖①，在菱形A5C。中，AB-lOcm,BD=16cm.動點尸從點8出發，沿BC方向

勻速運動，速度為lcm/s；同時，線段MN(點、M,N分別與點A,。重合)從點。出發,

沿方向勻速平移，速度為2cm/s；線段"N停止運動時，點尸也隨之停止運動.MN交

A3于點E,連接PN,MB.設運動時間為》(s)(0<f<8),解答下列問題：

E花ME

圖①圖①備用圖圖②

(1)是否存在某一時刻K使PN〃EB?若存在,求出f的值；若不存在，說明理由；

(2)是否存在某一時刻f,使點E在14汨的平分線上？若存在，求出f的值；若不存在，說

明理由；

⑶設四邊形的面積為S(cn?),求S與，的函數關系式；

(4)如圖②，點N'是點N關于直線BC的對稱點，連接BN"NN',當r為何值時，點B,

N'在同一條直線上？請說明理由.

20.如圖，邊長為4的正方形ABCD內部有一點E,點尸在邊AD的上方，AE=AF,

/E4F=90°,連接跖、BE、DF.

FF

備用圖

(1)求證：AABE當△ADF；

⑵延長BE交D尸所在直線于點G；

①若AE=丘,歸=45。時，求AEPG的面積；

②若AE=2,當154石從。。至U60。的變化過程中，求點G經過的路徑長.

參考答案

題號12345678

答案ACCDBAAC

1.A

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的周長之比等于相似比,

是解題的關鍵.根據相似三角形的性質，進行求解即可.

【詳解】解：AABCsAAEC',相似比為1:4,

NABC和△A'3'C'的周長比為1:4.

故選：A.

2.C

【分析】本題主要考查了位似圖形的性質，

根據冷=5可得冷=1,即可得出優Q=G，再結合S“A0C，=12可得答案.

CC1UC5，ABC"

OC'2

【詳解】解：

.OC2

??—―,

OC3

*,ASADACRr~9'

??q-19

S^ABC=27.

故選：c.

3.C

【分析】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點把線段分成兩段，其中較長線段是較短線

段和整個線段的比例中項，那么這個點就是這條線段的黃金分割點.根據4尸=叵448,

2

即可求出3P.

【詳解】解：?.?P為居的黃金分割點(AP>M)

???AP=3^AB=3^xlO=(5正一5km

??.PB=AB-AP=10-(55/5-5)=(15-5^)cm

故答案為：C.

4.D

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形相似的判定與性質，熟

練掌握以上知識點是解題的關鍵.先利用等腰三角形以及三角形內角和，求得Z4BC=NC,

再利用角平分線，求得NO3C=NA3D=：ZA3C,然后計算出N5DC,推出AZ)=a)=BC,

最后證明Z\BCDS^ACB，然后利用對應邊成比例求得答案.

【詳解】解：?.?=NA=36。,

180。—/A。—。=。,

:.ZABC=ZC=1803672

2

??,BO平分/ABC,

/.ZDBC=ZABD=-ZABC=36°,

2

ZDBC=ZA=ZABD,ZBDC=180。一ZDBC-ZC=180°-36°-72°=72°

BD=AD,BD=BC

ZC=ZC,ZDBC=ZA

△BCDsAACB,

BCCD

花一百，

BC=2,

2CD

AD+CD~2

2CD

"1+CD~2

2CO+m=4

:.CD=布-1(舍去負值)

故選：D.

5.B

【分析】本題考查正方形的性質，相似三角形的判定與性質，由正方形得到40=30=4,

AD//BC,ZAZ)C=90°,貝I笑=2，結合三等分點得到三=:,再由垂直證明

CMCFAC5

CFFG2

△ADCs^FGC,得到---=---二—,即可求出FG的長度.

ACAD5

【詳解】解：??,在正方形ABCO中，4)=4,

/.AD=BC=4,AD//BC,ZADC=90°,

.AD_AF

,?三一五'

為BC的三等分點，MC=2BM,

22

：.CM=-BC=-AD,

33

.AD_AF_3

**CM-CF-2，

,CF_2

??就一二，

??,過點尸作CD的垂線，垂足為G,

：.ZADC=ZFGC=9Q°,

：.AADC^FGC,

,CFFG2FG2

..—=—=一，則ni一=一,

ACAD545

Q

解得BG=g,

故選：B.

6.A

【分析】本題考查的是位似變換的概念和性質、相似三角形的性質，根據位似變換的概念得

AD1

到根據相似三角形的性質求出二=彳，再根據相似三角形的性質計算,

DE2

得到答案.

【詳解】解：：VABC與AOEF是以點。為位似中心的位似圖形，

:.AABCs^DEF,AB//DE,

：VABC的周長與ADEF的周長比是1:2,

.AB1

??=一，

DE2

AB//DE,

^AOB^^DOE,

.OA_AB

**OD-DE-2'

故選：A.

7.A

【分析】本題考查矩形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理.根據矩形的性質證明

△CBMs由棲和2DFsANBF,根據相似三角形的性質列出比例式，求解即可.

【詳解】解：如圖所示，延長交于點N

???四邊形ABCD是矩形,

AZC=ZABC=90°,AB//CD,BC=AD=3,CD=AB=4,

：./BAN+ZANB=94。,

AE.LBM,

：.ZBEN=90。,

???ZCBM+ZANB=90°,

：.Z.CBM=/BAN,

???^CBM^BAN,

.BCCM

??商一加‘

.3__￡_

??一，

4BN

4

/.BN=~,

3

u：AD//BC,

：./\ADF^ANBF,

DFAD39

BF~BN~

3

^DF=9x,貝l]5/=4x,

???BD=13x,

在Rt~4BD中，由勾股定理得5。=J.2+仞2=532+42=5,

???13x=5,

x=—5

13

故選：A.

8.C

【分析】連接A。交BE于點G,連接G尸，由正五邊的性質求出/￡AB=108。，由等腰三角

形的性質及三角形內角和定理可得/ABE=ZEAD=36°,然后證明AEDF%GDF（SAS）,

得出ZDEF=ZDGF=108。，證出AG=AF,則可得出AB+詼=BE;再證明,

貝噂嘿,整理得力=-x",解得小牛^（負值已舍去），則

竺=必二1,所以點尸是AE的黃金分割點，再得出1"=或上1人尸=4￡,算出

AE2V5-12

BD=AE+AF=J^-^-AF,即可作答.

2

【詳解】證明：如圖，連接AD交座于點G,連接G/，

A

正五邊形的內角和是（5-2）x180。=540。，

???/FED=ZCDE=ZEAB=540。+5=108°,

???過點。作CD的垂線，

???/CDF=90°,

：.ZFDE=108°-90°=18°

在R/EFD中，ZEFD=180°-18°-108°=54°,

故A選項是正確的，不符合題意；

QAE=AB,

,\ZAEB=ZABE,

ZABE=-x（180。—108。）=36。

2

???/ABE=ZEAD=36°，

oo

..ZBAD=108-36=72°f

ZBGA=180°-72°-36°=72°

:.AB=BG,

又???NEW=/AEG=36。，

:.GA=GE,

:.BA+GA=BG+GE=BE,

XZEDF=180°-90°-72°=18°,ZGDF=36°-18°=18°,

/.ZCGB=ZCBG=72°,

:.DG=DE,

在△￡/）尸和aGD廠中，

ED=DG

<ZEDF=ZGDF,

DF=DF

.AEDF學AGDF（SAS）,

.\ZDEF=ZDGF=108°,GF=EF

:.ZAGF=ZAFG=72°f

,\AG=AF,

:.AE+AF=BE.

???AB+AF=BE,

故B選項是正確的，不符合題意;

?：AB=BG,AG=AF,

.AB_BG_1

**AF-AG-

ZABG=ZGAF=36°,

???△ABGs△叢G,

目口AFGF

即——=——，

ABAG

VAG=AF,GF=EF,

AF2=AB2-ABXAFF

解得4尸=避二1AB（負值已舍去）,

2

，AF=J^-AE,

2

即”=紅

AE2

???點/是的黃金分割點，

故D選項是正確的，不符合題意；

則ZBDE=ZCDE-ZCDB=108°-36°=72°,

ZBDE=ZBED,

:.BE=BD,

則5石=5G+GE=AB+AG=AE+AF,

即BD=AE+AF,

BD=AE+AF=^^~AF+AF=^^~AF,

22

故C選項不是正確的，符合題意;

故選：C.

【點睛】本題考查了正多邊形的性質，等腰三角形的判定與性質,全等三角形的判定與性質，

相似三角形的判定與性質，黃金分割，熟練掌握相似三角形的判定與性質，全等三角形的判

定與性質是解題的關鍵.

【分析】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質與判定，三角形中線的性質，,

作EG〃ED交AB于點G,貝1白絲=黑=3,得出S.3c=學，證明△A￡18A4CD得出

、JDBDB2

14543

\AEG=75AADC=V>證明△屏DSABEG得出S/FB=AS,GEB=7,進而即可求解.

4o92

【詳解】解：如圖所示，作EG〃ED交AB于點G,

/.S△/I.D?rC=-2ACxBC=30

YE是AC的中點，EG//FD

.AEAG

??正一而

：.AD=DG

'：AD=3BD,

?S.ADC==3

??S.ADB-DB一

331345

?-^=-S^=-X-XACXBC=-X12X5=—

ADC4BC4，oZ

■:EF//CD

**?^AEG^^ACD

45

,,S4AEG=WS^ADC

T

???E為AC的中點

?*,S.ABE=—S^ABC=15

75

q一q

°ABGE°AABEUdEG=15--=

8~8

■:EG//FD

"BFDS^BEG

、2

.o_4._±Z2_3

-V

,,MDFB~9口《EB258-2

3?7

?e?四邊形ADFE的面積為SA.-SAD尸§=15-5=5

7

故答案為：四邊形AD方石的面積為萬.

10.4a

【分析】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等，延長AE交

的延長線于點“，過點C作CM_L于點M,可證△ECHs-i￡)H,可得

CH=CD=3岳,即得CG=C",得到N"=/EGC,進而得到”=:,利用勾股定理

得CM=6,又由余角性質可得NECM=NH,由三角函數得EM=4,進而即可求解，正確

作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，延長AE交OC的延長線于點H,過點。作CMLAH于點則

/CMH=NCME=9伊,

H

???四邊形ABC。是矩形，

:?AD=BC,AD//BC,4CD=90。,

:?小ECHs&ADH,NECH=90。,

.CHEC

??一—,

DHAD

???點E為5c邊的中點，

.ECX

??=一,

BC2

.EC_1

??茄￥

.CH_1

??而―/，

CH=CD=3A/13,

*/CG=35,

：.CG=CH,

：.ZH=ZEGC,

：.tan/H=tanZEGC=-,

3

.CM_2

??MHi飛'

設CM=2a,貝!JMH=3a,

在RjCMW中，CM2+MH2=CH2,

???（2〃）2+（3〃）2=（3拒『，

解得a=3,

：.CM=6,

?:/H+/MCH=90°,/ECM+ZMCH=9V,

:?/ECM=ZH,

：.tanZECM=tanNH=2,

3

.EM_2

**CM-3）

EM2

即nn~~T=7，

63

???EM=4,

CE=4EM2+CM2="=+62=2V13>

，BC=2CE=4^/13,

故答案為：4A/13.

11.4

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，由OE〃BC,

￡>/〃AC,得四邊形。ECF是平行四邊形，DE=CF,設DE=CF=x,由△ADES/\ABC,

笠AE==2可得r小=25,即可解得答案.

EC510+x7

【詳解】解：?.?D￡〃5C,DF//AC,

???四邊形是平行四邊形，

；?DE=CF,

^DE=CF=x,

VBF=10,

???BC=BF+CF=10+x,

DE//BC,

：.AADE^ABCf

.AEDE

**AC-BC?

..AE2

EC5

.AE_2

*AC-7

解得％=4,

???CF=4,

故答案為:4.

53

252

【分析】本題考查了位似變換、相似三角形的判定與性質、坐標與圖形，作AE，龍軸于E,

作A'_F_1_無軸于_F,由題意可得OB=2,OC==1,OF=2,AF=3,BC=1,CB'=2,

3

C尸=3,AABC^AA^C,由相似三角形的性質得出AE=/,再證明，求出

35

CE=3,再求出OE=EC+OC=],即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題

的關鍵.

【詳解】解：如圖，作四，無軸于￡,作軸于產，

??,點3的坐標為(-2,0),點。的坐標為(-1,0),點A的坐標為(2,-3),點笈的坐標為(1,0),

：.OB=2,OC=OB'=1,OF=2,A方=3,BC=1,CB'=2,CF=3,

由題意可得：△ABC,

AE_BC_1

AE=~,

2

,

ZACE=ZACFfZAEC=ZAFC=9Q0,

AAEC^^AFC,

EC_AE_1

CF-2?

CE=-,

??OE=EC+OC=-

2f

13.4

【分析】本題考查了相似三角形的應用，由A3〃CD可得△AO5s??。。，即得而=話,

據此解答即可求解，掌握相似三角形的對應高之比等于相似比是解題的關鍵.

【詳解】解：???AB〃C。,

???AAOBS^COD,

AB1Q

?-?_一，

CD15

*.*CD=6cm,

.AB10

??一，

615

解得AB=4cm,

故答案為：4.

14.26+10應“0/+26

【分析】連接AD,交.EF于N,連接OC,取QV的中點連接過點M作筋

于。，交A0于點K,作MP_LOA于點P,如圖所示，先證明ON=CV,再證點H在以ON

直徑的圓上運動，則當點H在的延長線上時，點H到AB的距離最大，由相似三角形的

性質可求MK,KQ的長，由三角形的面積公式代值求解即可得到答案.

【詳解】解:連接AD,交EF于N,連接OC,取ON的中點M,連接MX,過點M作MQ_L

于Q,交AO于點K,作MP_LQ4于點P,如圖所示：

3

:直線y=：x-6分別與無軸、》軸相交于點A、B,

.?.點4(8,0),點3(0,-6),

.-.OB=6,OA=8,

:.AB=S尺+OB?=10,

四邊形ACDO是正方形，

OD//CA,AO=AC=OD=8,OC=872,ZCOA=45°,

:.ZEDN=ZNAF,ZDEN=ZAFN,

X-.-DE=AF,

..△DEN四?W(ASA),

：.DN=AN,EN=NF,

.??點N是AD的中點，即點N是OC的中點，

ON=NC=4>/2,

\-OHVEF,

:.ZOHN=9QP,

???點H在以ON直徑的圓上運動，則當點H在的延長線上時，點”到的距離最大,

???點M是QV的中點，

:.OM=MN=2y/2，

???MP_LOP,ZCOA=45°,

:.OP=MP=2,

貝!JAP=6,

-.?ZOAB+ZOBA=90°=ZOAB^-ZAKQ,

:.ZAKQ=ZABO=NMKP,

又-.-ZAOB=ZMPK=90°,

:./\MPK^/\AOB,

MPPKMK

^A~OB~AB

2PKMK解得=°

則支

~6~76~2

“I

\'ZAKQ=ZABO,ZOAB=ZKAQ,

:./\AKQ^/\ABO,

9

AKKQ

,即

AB-OB

10-6

:.QM=KQ+MK=-+—=—,

點H到AB的最大距離為g+2后,

面積的最大值=卜0*《+2問=26+10后,

故答案為：26+10應.

【點睛】本題是四邊形綜合題，涉及正方形的性質、勾股定理、一次函數圖象與性質、全等

三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、動點最值-輔助圓問題等知識，求出MQ的

長是解題的關鍵.

15.(1)見解析;

Q)見解析.

【分析】本題考查平行四邊形及特殊四邊形綜合，涉及平行四邊形性質、相似三角形的判定

與性質、矩形的判定，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵.

(1)由平行四邊形性質，結合相似三角形的判定得到AGFDSAGBC,由相似比變形即可得

證；

(2)由題中條件，結合相似三角形的判定得到再由相似三角形的性質得到

ZAEB^ZFAB,根據四邊形ABCD是平行四邊形，由矩形的判定即可得證.

【詳解】(1)證明：：四邊形A3。是平行四邊形，

DF//BC,

：.ZGDF=ZGCB,

,/NG=NG,

：.AGFDS4GBC,

.GFDG

??一J

GBCG

：?GFCG=DGBG；

(2)AB2=BEBFf

.ABBE

,?一—,

BFAB

又?：ABE=ZABF,

AABES忑BN,

:.ZAEB=ZFAB,

■:BE^AC,

：.ZAEB=90°9

???NBAb=90。，

,/四邊形AB。是平行四邊形，

...四邊形ABCD是矩形.

16.(1)①圖見解析；②圖見解析

(2)￡D=y

【分析】(1)①作已知一A4c的角平分線即可；

②先作線段AD的垂直平分線，交A3于點E,交AC于點尸，連接DE、DF,根據線段的

垂直平分線的作圖和性質及AD平分/BAC,可得鉆=￡0=。？=酢，即四邊形AEZ)戶是

菱形.

CFFD4—FDFD

(2)利用菱形的性質證得△CFDS^CM,可得三=即一解方程，即

CAAB43

可求解.

【詳解】(1)解：①如圖所示,

②如圖所示，四邊形血不為所求.

:.AE//DF,AF=AE=ED=FD,

..^CFD^^CAB,

CFFD

*CA-AB?

?/AB=3,AC=4,

4—EDED

??一，

43

12

???解得：ED=-.

【點睛】本題主要考查了角平分線和垂直平分線的尺規作圖，菱形的判定和性質，相似三角

形的判定與性質，解一元一次方程，熟練掌握相關尺規作圖是解題關鍵.

17.⑴tanZACE1=；

qx

(2)y=—j(0<xW3)；

(3)當NAD尸=NACE時，△CGEs/^DAF,理由見解析

【分析】(1)過點E作EM_LAC于點M,由正方形的性質求出4E=2,由直角三角形的

性質求出EM和CM的長，則可得出答案；

(2)證明AOHGSAZMF,由相似三角形的性質得出筆=名,則可得出答案；

AFDA

AFx13

(3)由銳角三角函數的定義得出矢=3=；,求出x=2，y=l,證明AEHG和AAHG都是

等腰直角三角形，則可得出答案.

【詳解】(1)解：過點E作EMLAC于點Af,

Z.CAD=45°,AE=AD—DE=3—1=2,

:.EM=AM=AEsinZCAD=2x與=0,AC=372，

CM=AC-AM=342-42=2-42,

2加=需=奈='

(2)解：?.?四邊形ABC。是邊長為3的正方形,

.\ZCAD=45°,

,.GH上AD,

.?.△AHG是等腰直角三角形,

：.AH=GH=y,

?.?GH上AD,ABA.AD,

.\GH//AB,

:.ADHGsaAF,

HG_PH

AF~DA

..--3-y

x3

:.y=x—xy,

%+3、7

(3)解：當NADF=NAC石時，ACGES^DAF,

理由：tanZADF=tanZACE=-,

2

.A/％_1

一~AD~3~2，

q3X-

371

???%=孑，3=1，

2-+3

2

.\HA=GH=1,

:.EH=AD—DE—AH=1,

.?.△EHG是等腰直角三角形，

:.ZHGE=45°,

?「△AHG是等腰直角三角形，

vZAGH=45°,

:.ZAGE=ZAGH+ZHGE=90。,

,\ZCGE=ZDAF=90°.

'：ZADF=ZACE,

：.ACGEs公DAF.

【點睛】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾

股定理，銳角三角函數的定義，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質.

18.(1)120°；(2)4拒；(3)③-，或..

22

【分析】(1)由矩形的性質和銳角三角函數定義，得NABD=60。，再由折疊性質得：AF=AB,

故445?是等邊三角形，即可得結論；

(2)由折疊性質得：BFLAE,EF=EB,則3C=2E3,再證AABESABS,根據相似

的性質可得的長；

(3)分類討論且結合作圖，當點E在2、C之間時，得DE=AD=BC=3*運用勾股定理

得CE={DE。-CD。=&.,BE=?_布)n,tanZBAE=；當E與C重合時,

BE=BC=3n,tanZBAE=—=-,即可作答.

AB2

【詳解】解：(1),四邊形ABCD是矩形,

AD=BC,ZBAD=90°,

VBC=y/3AB,

AD=也AB,

4n-

tmZABD=——=6

AB

ZABD=6Q°,

由折疊的性質得：AF=AB,

-e?AAS/是等邊三角形，

ZAFB=60°,

,ZAFD=180O-ZAFB=120°；

(2)由折疊的性質得：BFLAE,EF=EB,

，ZBGE=9Q°,

??,EF=EC,

??.EF=EC=EB,

BC=2EB,

???四邊形ABCD是矩形，

ZABC=ZBCD=90°,AB=CD=49

??,ZBAE+ZAEB=90°,/CBD+ZAEB=90°,

??./CBD=/BAE,

??,ZBCD=ZABE,

△ABECy^)^BCD,

:.包=里,即4"J

BCCD^=—

BC=4y/2(負值已舍去)，

即BC的長為4點；

(3)設AB=2〃，BC=3n,

分兩種情況：當點￡在&C之間時,

由折疊的性質得：ZAEC'=ZAEC,

'：ZBEC=ZDEC,

ZAEB=ZAED,

?/AD//BC,

ZAEB=ZDAE,

,ZDAE=ZAED,

DE-AD=BC=3n,

在中,CE=dDE2-CD2=&i，BE=（3-V5）n,

tanZ.BAE=-——

2

當E與C重合時，BE=BC=3n,

：.tanZBAE=-=-

AB2

綜上所述，的正切值為一或，

【點睛】本題考查了矩形的性質，解直角三角形的相關運算，勾股定理，相似三角形的判定

與性質，折疊性質，難度適中，綜合性較強，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

40

19.⑴:——s

9

⑵V

（3）5=-|?-|r+48（0</<8）

39

（4”=——

8

【分析】(1)根據菱形ABCD中，AS=10cm,BD=16cm.動點尸從點8出發,速度為1cm/s；

同時，線段建V速度為2cm/s,設運動時間為3則3P=rcm,DN=2tcm,

BN=BD-DN=(16-2t)cm,根據硒〃AO得到△班NSEA。，列出比例式網=空

BDAD

當第=硒時，四邊形是平行四邊形，即可證PN〃EB；

(2)根據硒〃A。，得WE=NA?E>,根據點E在一ADB的平分線上，得到

ZADE=ZNDE,于是得到ZNED=/NDE即EN=DN,建立方程2r=10-』/,解答即可；

4

(3)連接AC與。8交于點O,求得04=OC=1AB?-OB?=6(cm),過點N作GH_L8C于

點G,交AD于點H,則G”為菱形的高，根據BC.GH=；AC.3。，就可以得到

1x12x16BNGN48—6%

248,根據△5QVS3MV,得到黑=黑，求得GN="1，后根據

GH=------.......=—DNHN5

486f

S=|MN-GN+1BPGN=1xJx(10+r)_g/+48解答即可.

(4)連接AC與交于點O,設MV'與交于點。，求得cos/OBC=^=J得到

BC5

464—2

BQ=8NCOSNOBC=M(16-2。==一，證明NQ=N'Q,得MB=&V',根據三角形中位

線定理，得BQ二1MN=5,故5=上64—廣8/，解得才=蕓39.

25o

【詳解】(1)解：,??菱形ABCD中，4B=10cm,BD=16cm.動點尸從點3出發，速度為

1cm/s；同時，線段A/N速度為2cm/s,

設運動時間為3則8P=/cm,DN=2tcm,BN-BD-DN=(16-2z)cm,

AB=BC=CD=DA=Wcm,

-EN//AD,

：.^BEN^BAD,

.BNEN

??茄一茄‘

.16-2/_EN

??一，

1610

解得EN=IO-3,

4

當=時，四邊形RVPB是平行四邊形，即可證PN〃EB,

于是，％=10-

4

解得/=《,

40

故當時，PN//EB,

(2)解.?YENHAD,

：.ZADE=ZNED,

???點E在ZADB的平分線上,

???ZADE=ZNDE,

：.ZNED=Z.NDE,

：.EN=DN,

2z=10—t,

4

解得"音40，

故當/=1S時，點E在/反汨的平分線上.

（3）解：連接AC與。8交于點O,

:菱形A2CZ）中，AB=10cm,BD=16cm.

ZAO8=90°,OB=OD=-BD=Scm,

2

/.OA=OC=y/AB2-OB2=6（cm）,

過點N作GHLBC于點G,交AD于點”，

則G/f為菱形的高，

??BC-GH=-AC>BD,

2

?/BC//AD,

4BGNS&DHN,

.BNGN

??而一而'

16—2,GN

2t

解得GN="4一8-6/

5

48-67

：.S=-MN-GN+-BP-GN=-xx(10+?)

2225

=--t2-3+48.

55

(4)解：連接AC與。8交于點O,設MV'與8C交于點°,

:菱形ABC。中，AB=10cm,BD=16cm.

ZAOB=90°,OB=OD=-BD=8cm,

2

OA=OC=y/AB2-OB2=6(cm),

/.cosZOBC=—^~,

BC5

648f

：.BQ=BNcosZOBC=1(16-2f)=J

根據題意，得NQ=N'Q