專題六從推理能力的素養角度去思考命題

第53題理解命題的含義與結構的推理能力素養-----命題的真假

下列命題是真命題的是（）

A.兩點之間直線最短B.多邊形的外角和為360°

C.三角形的任意兩邊之和小于第三邊D.直角三角形的兩個銳角互補

第54題利用多邊形的概念判定多邊形的推理能力素養一正多邊形的性質

一個正n邊形的每一個外角都是60°,則這個正n邊形是（）

A.正四邊形B,正五邊形C.正六邊形D.正七邊形

第55題能夠利用直觀圖發現數量關系的推理能力素養一數的大小比較

有理數a,b在數軸上的表示如下圖所示，則下列結論正確的是（）

甲:-b<a;乙：ab>0;丙:|b-a|=a-b.

-'oa'b

A.只有甲正確B.只有甲、乙正確

C.只有甲、丙正確D,只有丙正確

第56題知道數學概念、定理在演繹推理中的意義的推理能力素養一平行線的性質

如圖，將一副直角三角板重疊擺放，其中乙4=45°,ZE=30。,2封|他,且點B在線段DE上廁41的度數為

)

A.10°B.15°C.20°D.25°

c\D

D

AJi

BC

第56題圖第57題圖

第57題通過觀察發現圖中的幾何結構求得線段長度和角度的推理能力素養——矩形的性質

如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,乙4。8=60。,，若矩形對角線長為4,則線段AD的長度

為（）

A.2正B.4C.2V3D.3

變式33如圖，延長矩形ABCD的邊BC至點旦使（CE=8。連結AE,若匕ADB=60。,則乙E=_.

第58題能夠通過推理建立所學知識的邏輯聯系的推理能力素養-旋轉的性質

如圖，在RtAABC^,ZC=90°,AC=6,BC=8,^AABC繞點A逆時針旋轉得到△使點C落在AB邊上，連

結BB；則sinNBBC的值為)

A3Vs

A.-cr.—D,W

55

第58題圖變式34題圖

變式34如圖，在△ABC中,NACB=90。,BC=4,AB=5,將△ABC繞點B順時針旋轉得到△4BC”吏點A恰好落在

BC的延長線上，則tanNAAC的值為)

A.-s.-

34

C.-D.-

54

第59題通過觀察發現圖中的幾何結構求得線段長度的推理能力素養-圓的基本性質、切線的性質如圖，

半徑為四的。O中,AB是直徑，點C在。O上，連結BC,D為BC的中點延長AB交。O的切線DE于點E,若B

C=4則DE的長度為)

X.V15B.4

C.3V2D.2V5

第59即圖變式35題圖

變式35如圖,AB是。。的直徑,CD是。。的弦，力8回CD,垂足為E,連結BD并延長，與過點A的切線AM

相交于點P,連結AC.若。0的半徑為5,AC=8,則AP的長是)

A32

A.—B.13

3

c.-D.14

3

第60題理解演繹推理是形成命題判斷真偽的基本方法的推理能力素養^一相似三角形的性質如圖在AABC

中，乙4cB=90°,AC=BC=4?D為BC邊上一動點（不與點B,C重合），CEI34D交AB于點E,垂足為點H,連

結BH并延長交AC于點F,則以下結論錯誤的是（）

A.當CD=BD時，=卓B.當CD=BO時，AF

C.BH的最小值為V5D.當BD=2CD時，AE=3V2

變式36如圖，在△ABC中，乙4cB=90°,AC=8C=1,E,F為線段AB上兩動點，且乙ECF=45。,過點E,F

分別作BC,AC的垂線相交于點M,垂足分別為H,G.以下結論錯誤的是（）

B.當點E與點B重合時，=巳

C.AF+BE=EF

D.MG-MH=-

2

第61題通過觀察發現圖中的幾何結構求得線段長度的推理能力素養-----菱形的性質

如圖，在菱形ABCD中，AC,BD為菱形的對角線，乙DBC=60°,BD=10,.F為BC中點很UEF的長為

第61題圖第62題圖

第62題通過觀察圖形中的幾何結構實現問題解決的推理能力素養一平行四邊形的性質

如圖,在平行四邊形ABCD中，點E在BC上且EB=2EC,AE與BD交于點F.若BD=5,則BF的長為

變式37如圖，在平行四邊形ABCD中，以點B為圓心，適當長為半徑作弧，交AB,BC于點F,G,分別以

點F,G為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點H,連結BH并延長，與AD交于點E,若AB=10,DE=6,

CE=8,貝BE的長為.

第63題通過觀察發現圖中的幾何結構求得線段長度的推理能力素養-----直角三角形的性質

如圖，在RtAABC中,NC=9（T,BC<AC,點D,E分別在邊AB.BC上，連結BDE沿DE折疊，點B的對應

點為點/若點/剛好落在邊AC上，目=30。,CE=m,,則BC的長為.（用含m的代數式表示）

第64題通過觀察發現圖中的幾何結構求得角度之間的數量關系的推理能力素養一圓的基本性質如圖,△AB

C是圓O的內接三角形，延長BO交AC于點D,OE_LBC,垂足為點E,F是OB上一點,OE=OF,若/ABC=m/OEF,

NACB=n/OEF,貝m,n滿足的關系式是________________.

A

變式38如圖GO是小ABC的外接圓,/人=62。足是BC的中點，連結OE并延長交0O于點D,連結BD,則ND

的度數為.

r~~7c

第65題能夠通過操作發現物體的幾何結構與度量規律的推理能力素養一一矩形的性質與七巧板1小明用圖1

所示的一副七巧板在一個矩形中拼了一條龍的形狀（圖2）.若A,B,C三點共線且點D,A,E,F在矩形的邊上,

則矩形的長與寬之比為_____________.

第66題理解正方形的概念并利用其性質進行有邏輯的推理的推理能力素養-----正方形如圖，四盼企募的直

角三角形拼成“趙爽弦圖”，其中四邊形ABCD與四邊形EFGH都是正方形，連結EG并延長交AB于點M,交CD于

A__________D

點N,連結MF.當AM:MB=3:4時,tan/MFB=.R

變式39如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖"其中四邊形ABCD與四邊形EFGH都是正方形.連結

AD

DG并延長，交BC于點P,P為BC的中點.若EF=2則AE的長為（）\HXA

B.l+V2

C.l+V5

第67題理解歸納推理是從特殊到一般的思維方式的推理能力素養-圖形規律

【觀察思考】

用同樣大小的圓形棋子按下圖所示的規律擺放第1個圖形中有6個圓形棋子第2個圖形中有9個圓形棋子,

第3個圖形中有12個圓形棋子，第4個圖形中有15個圓形棋子，以此類推.

第1個圖形第2個圖形第3個圖形第4個圖形

【規律發現】

⑴第6個圖形中有個圓形棋子.

⑵第n個圖形中有個圓形棋子.（用含n的代數式表示）

【規律應用】

⑶將2024個圓形棋子按照題中的規律一次性擺放，且棋子全部用完.若能擺放，是第幾個圖形?若不能，請說

明理由.

第68題感悟推理是數學學習中的一種基本活動的推理能力素養-------等腰三角形的性質

學習了等腰三角形后，小穎進行了拓展性研究.她過等腰三角形底邊上的一點向兩腰作垂線段，她發現，這兩條

垂線段的和等于等腰三角形一腰上的高.她的解決思路是通過計算面積得出結論.請根據她的思路完成以下作圖與填

空：

用無刻度直尺和圓規，過點C作AB的垂線CD,垂足為點D,點P在BC邊上.（只保留作圖痕跡，不寫作法）

已知:如圖，在△ABC中，AB=AC,PEEL4B于點E,PFI2AC于點F.

求證:PE+PF=CD.

證明：如圖，連結AP.

PE±AB,PF±AC,CD±AB,

A4PB

S=\AB-PE,S4Ape=\AC-PF,ShABC=^AB-CD

SA4PB+S^APC=SAABC，

①2fB.CD,

即ABPE+ACPF=ABCD.

.,.AB(PE+PF)=ABCD,

再進一步研究發現，過等腰三角形底邊上所有點向兩腰作垂線段均具有此特征，請你依照題目中的相關表述完

成下面命題填空：

過等腰三角形底邊上一點向兩腰作垂線段，則④.

變式40學習了等腰三角形后，數學興趣小組的小聰和小明對它進行了拓展性研究.小聰發現：在一個銳角三角

形中，如果有兩條邊上的高相等，那么這個銳角三角形是等腰三角形.小聰的解決思路是通過證明兩條高所在的兩個

三角形全等，從而得出結論.請根據他的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規，過點B作AC的垂線交AC于點E,交AB邊上的高CD于點F.(只保留作圖痕跡)

已知：如圖，在銳角三角形ABC中，BE^iAC,CD回48,且BE=CD.求證：AB=AC.

證明:,?,BE_LAC,CD_LAB,入

■-■乙CDB=①1=90。.n/\

在RtABCD與RtACBE中，/....—

r②=

、CD=BE,'

???RtABCD=/?tACBE(HL),

'?③,

.\AB=AC,BPAABC是等腰三角形.

小明再進一步研究發現，任意三角形中均有此結論.請你依照題意完成下面命題：在一個三角形中，如果有兩條

邊上的高相等,那么④.

第69題能夠通過推理建立所學知識的邏輯聯系的推理能力素養一二次函數中的代數推理

在直角坐標系中，O為坐標原點，二次函數y=/+.+cb,c是常數)的圖象與x軸交于A,B兩點，與y軸

交于點C,已知B(l,0).

⑴若A(0,0),求該二次函數的最小值.

(2)求證：OA=OC.

(3)若點A位于點0,B之間,求證：一3<2b+c<-2.

變式41在平面直角坐標系xOy中，點(m,n)在拋物線y=ax2+6久(a)0)上,其中m0.

(1)當巾==0時，求拋物線的對稱軸.

(2)已知當0<m<4時，總有n<0.

①求證：4a+b<0.

②點P(k，尢),(2(30%)在該拋物線上，是否存在a,b，使得當1<k<2時，都有為<%?若存在，求出a

與b之間的數量關系；若不存在，說明理由.

第70題初步掌握證明的基本形式與規則的推理能力素養一幾何對象研究路徑

【綜合與實踐】

定義：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.如圖1所示的四邊形ABCD是垂美四邊形.

【概念理解】

(1)①正方形，②菱形，③矩形，三個圖形中一定是垂美四邊形的是________.(填序號)

【性質探究】

⑵小明說：在如圖1的垂美四邊形ABCD中，AD2+BC2=AB2+CD2,請你判斷他的說法是否正確，并說明

理由.

【問題解決】

(3)如圖2,分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結CE交

AB于點M,連結BG交CE于點N,連結GE.已知AC=4,AB=5,求GE的長.

變式42點M在四邊形ABCD內，點M和四邊形的一組對邊組成兩個三角形，如果這兩個三角形都是以對邊

為斜邊的等腰直角三角開?，那么定義該四邊形ABCD為蝴蝶四邊形.例如，如圖1,在四邊形ABCD中，乙4MB=

乙CMD=90°,MA=MB,MC=MD,,則四邊形ABCD為蝴蝶四邊形.

圖1圖2圖3

【概念理解】如圖2，在正方形ABCD中，對角線AC,BD相交于點M.判斷正方形ABCD是否為蝴蝶四邊形，

說明理由.

【性質探究】如圖3,在蝴蝶四邊形ABCD中，^AMB=AMD=90。.求證：AC=BD.

【拓展應用】在蝴蝶四邊形ABCD中，Z^AMB=LCMD=90°,MA=MB==MD=11,當AC=

4。時，求此時的值

專題六從推理能力的素養角度去思考命題

53.B54.C55.C56.B57.C變式3330°58.C

變式34A59.D變式35C60.C

變式36C61.562.2變式378有63.3m

64.m+n=2變式3859°

65必誓【解析】如圖，線段MN的長度即為矩形的長，DP的長度即為矩形的寬.

設AB=a，可得MN=（6+/）a,

???CH=CJ-H]=2a-V2a=（2-&）a,

DP=DB+BK+KP=a+（2-V2）a+2a=（5-V2）a

矩形的長與寬之比為器=浮簪=%詈&

DP（^5—y2）a23

66.蓑【解析】過點M作MPJ_BG于點P,MQ±AF于點Q如圖所示,

貝U/MPF=NMQF=/BFA=90。,

四邊形MPFQ為矩形，

.\MQ=PF,MP=FQ.

:四邊形EFGH為正方形，

ZFEG=45°,.\ZMEQ=ZFEG=45°,

???△MEQ為等腰直角三角形.

設MQ=EQ=x,：AM:MB=3:4,AM:AB=3:7.

ZMAQ=ZBAF,ZAQM=ZAFB=90°,

“Me4cLMQAMAQ3

???△AMQ△ABF,—=—=—=-

<BFABAF7

777

BF=-MQ=-x,??.AE=BF=-x,

333

477428

??.AQ=AE-EQ=-x.??AF=-AQ=-x-x=—x,

<<3f3339

28416

.?.MP=QF=AF-AQ=-x--x=—x.

<x939

16

MP~TX16

PF=MQ=x,.-.tanzMFB=—=.

<'PFx

變式39C

67.(1)21(2)(3n+3)

(3)不能，理由如下：

由題知,3n+3=2024,解得n=等,n不為整數.

???2024個圓形棋子不能按照題中的規律一次性擺放.

68.①|AB-PE+[ACPF；②AB=AC；③PE+PF=CD；

④這兩條垂線段長度的和等于一腰上的高.圖略

變式40①NBEC;②BC=CB;③/ABC=NACB;④這個三角形是等腰三角形.圖略

69.(1)函數的最小值為⑵證明略⑶證明略

變式41解：(1)由題意可知，點(m,n)在拋物線y=ax2bx(a>0)±,m=4,n=0,

???16a+4/7=0,?,?b=-4a,???x==2,

-2a-2a

拋物線的對稱軸為直線x=2.

(2)①證明:令y=0,則(ax2+bx-0(a)0),

解得x=0或x=

a

；?拋物線y=a/+bx(a)0)與x軸交于點((0,0),(-b,0),

Va>0，，拋物線開口向上，

()當卜0時,-->0,

a

???當0<x<一，時,y<0;當x<0或％〉時,y>0,

當0<m<4時，總有n<0,<,?—->slants,va>0,^4a+b<slantO;

a

()當60時,--<0,

a

???當一:<%<0時,y<0;當%<-《或x>0時,y>0,

當0<m<4時,n>0,不符合題意.綜上不+bWO.

②存在a,b,使得當l<k<2時都有力<y2，理由如下：

設拋物線的對稱軸為直線x=t=T

2a

由①知，—224,?22,即G2.

a>0,.\當x>t時,y隨x的增大而增大;當x<t時,y隨x的增大而減小.；l<k<2,/.3<3k<6,k<3k,

⑴當t=2時

設點P(k,yx)關于拋物線對稱軸直線x=t的對稱點為點P'(x0,yi),JU!J.x0>t,t-k=x0-^t,x0=2t-k.

*.*l<k<t,t=2,2t-k<3,t<x0<3.

3<3k<6,t<x0<3k,「.yi<y2，，當t=2時，符合題意.

止匕時---=2,**?4。+b=0.

2a

(ii)當2<t<3時，令fc=ft,

3fc=11,貝！］yi=y2，不符合題意，

(iii)當3<t<6時，令3k=t，則k<3k=t,

?'?yi>y2，不符合題意；

(iv)當侖6時,：k<3k<t,；.yi>y2，不符合題意.

綜上，存在a,b,使得當l<k<2時都有％<y2,a與b之間的數量關系為4a+b=0.

70.解：(1)：菱形、正方形的對角線互相垂直，，菱形、正方形都是垂美四邊形，故答案為①②.

⑵說法正確，理由如下：

如圖.設AC,BD交于點O,D

四邊形ABCD是垂美四邊形，