高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶撁恕?024-2025學年高二下學期期中聯考數學試卷注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4.保持卡面清潔，不要折疊?不要弄破?弄皺，不準使用涂改液?修正帶?刮紙刀.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設是可導函數，若，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】由可得：，因為，所以，故選：A．2.各項為正的等比數列的前項和為，若，則（）A.4 B.9 C.4或 D.2或【答案】A【解析】設等比數列的公比為，由，則，解得或（舍去），故.故選：A3.展開式中含的項是（）A.第8項 B.第9項 C.第10項 D.第11項【答案】B【解析】二項式展開式的通項公式為，令，解得，故含的項是第項.故選B.4.由組成沒有重復數字的5位數，其中大于21300的正整數個數為（）A.81 B.87 C.96 D.105【答案】C【解析】當首位是其中一個時，剩下位上的數任意排列，此時有種情況；當首位是時，第二位數是其中一個時，剩下位上的數任意排列，此時有種情況；當首位是時，第二位數是時，第三位數是其中一個時，剩下位上的數任意排列，此時有種情況；所以一共有種情況.故選：C5.如圖,在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且A1A=3，則A1C的長為()A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知可得點A1在底面的投影O在底面正方形對角線AC上，過A1作A1E⊥AB于E，在Rt△AEA1，AA1=3，∠A1AE=60°∴，連結OE，則OE⊥AB，∠EAO=45°，在Rt△AEO中，，在，∴，在故選A．6.設，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因，故，故，設，則，令得，故當時，，即函數在區間上單調遞減，因，故，得，即，故，故選：D7.已知點在拋物線上，過焦點且斜率為的直線與相交于，兩點，過，兩點作準線的垂線，垂足點分別為，兩點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將點坐標代入拋物線方程得，,故拋物線方程為，故焦點坐標為,準線方程為.過焦點且斜率為的直線方程為,代入拋物線方程并化簡得，解得或.故.故選：C.8.已知定義在上奇函數,其導函數為,當時，恒有.則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據題意可構造函數，則，由題可知，所以在區間上為增函數，又由于為奇函數，為奇函數，所以為偶函數，又，即，又為開口向上的偶函數，所以，解得或.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.由甲地到乙地有3條不同的道路，由乙地到丙地有2條不同的道路，則由甲地經乙地到丙地共有6種不同的道路選擇方式B.在3張獎券中僅有1張能中獎，3人依次抽取一張，則排在第2的人抽獎中獎概率為C.某地預測明天下雨的概率為，連續兩天下雨的概率為，則在明天下雨的條件下后天也下雨的概率為D.同時投擲質地均勻的2枚骰子，點數和有共11種可能，則擲出點數和為7的概率為【答案】AC【解析】對于A.由甲地到乙地有3條不同的道路，由乙地到丙地有2條不同的道路，則由甲地經乙地到丙地共分步有種不同的道路選擇方式，故A正確；對于B.在3張獎券中僅有1張能中獎，3人依次抽取一張，則排在第2的人抽獎中獎概率為，故B錯誤；對于C.某地預測明天下雨的概率為，連續兩天下雨的概率為，則在明天下雨的條件下后天也下雨的概率為，故C正確；對于D.同時投擲質地均勻的2枚骰子，點數和有共11種可能，這11種可能不是等可能事件，應該用每個骰子有6個點數，兩個骰子共有36個點數，所以擲出點數和為7的概率為，故D錯誤；故選：AC.10.歷史上，許多數學家研究過圓錐的截口曲線.如圖，在圓錐中，母線與旋轉軸夾角為，現有一截面與圓錐的一條母線垂直，與旋轉軸的交點距離圓錐頂點長度為1，則以下關于該截口曲線描述正確的命題有（）A.點與該曲線上的任意一點的距離中，最大值為B.點為該曲線的一個焦點C.該曲線上任意兩點之間的最大距離為D.該曲線的離心率為【答案】ACD【解析】根據圓錐曲線的概念可知截口曲線為橢圓，設與截面垂直的母線垂足點為.平面交橢圓曲線的另一交點為，由對稱性知為該橢圓的長軸端點.在直角三角形中，由，則有，，，，所以點到該曲線上的任意一點的距離最大值就是，故A正確；該曲線上任意兩點之間的最大距離是，故C正確；再過作平面垂直于旋轉軸，則可得該截面圓的半徑，在這個圓面內作垂直于平面，交橢圓于點，則，如圖2，在截面上取中點為坐標原點，方向為軸正向，建立平面直角坐標系，則，過作垂直于軸，交橢圓于點，則，設橢圓方程為，將代入得：，最后可得，由于，所以不是橢圓的焦點，故B錯誤；即橢圓離心率為，故D正確；故選：ACD.11.已知三次函數在區間上的值域也為，那么下列說法正確的是（）A.且B.當時，滿足要求的不存在C.當時，有D.當時，有【答案】ABD【解析】對于A，由已知，當時，，且，則在上為減函數，此時，矛盾，故且，故A正確；對于B，由知，的極值點分別為當時，則，如圖1，在上為減函數，則，矛盾，故B正確；對于C，當時，如圖2，由（僅時成立，時，應為），得，但，矛盾，故C錯誤；對于D，當時，如圖3，在上減，在上增，所以，有，解得，符合條件，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.向量，，則在方向上的投影向量為________．（坐標表示）【答案】【解析】在方向上的投影向量為，故答案為：13.已知反比例函數圖像是雙曲線，則這個雙曲線的焦距長為__________.【答案】4【解析】由反比例函數曲線是等軸雙曲線，可知其離心率為，再由函數與焦點所在的直線的交點坐標為，這兩點間的距離為實軸長，即，所以，再由，故雙曲線的焦距長為，故答案為：.14.已知遞增數列的各項均是正整數，且滿足，則__________，__________.【答案】2；37【解析】由已知，若，將有，矛盾；若，則，與單調性矛盾；故.由，有，所以；又，則，所以，故，則由，即，知，故.故答案為：；四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）求曲線的斜率等于的切線方程；（2）設曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，求的最小值.解：（1）因為，所以設切點坐標為，則，即，所以切點坐標為，可得切線方程為，即.（2）由，曲線在點處的切線方程為，令，得，令，得，所以，所以，由得，由得，所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，故最小值為.16.已知等差數列中，前10項和.（1）求數列的通項公式；（2）若從數列中依次取出第項，按原來的順序排列成一個新的數列，若，求數列的前項和.解：（1）由題意得，解得，所以.（2），則，設，則，又因為，所以，則，所以.17.如圖，四棱錐中，平面底面，且在底面正投影點在線段上，，.（1）證明：；（2）若，與所成角的余弦值為，求鈍二面角的余弦值．解：（1）如圖，連接交于點.因為,即為等腰三角形，又平分，所以,因為平面底面，平面底面，底面，所以平面,因為平面,所以.（2）作于點，則底面,,以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系.，而,得,又，故設，則由，得，而，因為與所成角的余弦值為，所以，得，則,所以，設平面的法向量為，平面的法向量為，由得可取，由得，可取，從而法向量夾角的余弦值為.由圖可知二面角是鈍角，故二面角的余弦值為.18.已知（1）（i）證明：當時，；（ii）當時，試確定的符號.（2）若，試說明在內有唯一零點.解：（1）（i）當時，等價于，設，即證明，記，則，所以在上單調遞減，其中，所以，不等式得證；（ii）時，，理由如下：要說明，即說明，，由（i）可知，當時，，所以，故只需說明，其等價于，時，上式只需，即，由知，該式顯然成立，從而對恒成立，（2）由已知，當時，易知單調遞減，，故存在唯一實數，使得；當時，，記，易知在為減函數，，故存在唯一實數，使得，即，則在為增函數，在為減函數，且，，則存在唯一實數，使得，則在為正，在為負，在上單調遞增，在上單調遞減，故，，故在上恒成立，綜上可知：在內有唯一零點.19.“相對運動的本質是觀察者所處的參考系不同，物體產生的運動軌跡不同”，在物理學中研究物體運動時有很好的運用.比如從正在飛行的飛機上掉落的物體，在地面視角來看，該物體的運動軌跡是拋物線；但是從飛機的視角來看，該物體是豎直降落的，故可以此為依據，計算物體的降落時間.其實，數學中研究動點運動軌跡的相關問題時也可以運用“相對運動”的觀點.（1）在平面直角坐標系中，圓上有動點，已知定點為.在研究“最大值”問題時，（i）如果借助兩直線的夾角公式（其中為已知兩直線的斜率，為兩直線的夾角，），試求出用點橫坐標表示的函數，并求出其最大值及取得最大值時點的坐標；（ii）如果運用“相對運動”的觀點，視點位置不變，點為動點，試分析何時取得最大值，并給出其最大值；（2）在平面直角坐標系中，有一動橢圓始終保持與軸正半軸、軸正半軸相切，已知橢圓的長軸長為4，短軸長為2，試求出該橢圓中心點的軌跡方程.解：（1）（i）如圖1，由可知，所以又且，則，設，則，故當且僅當即時，有最大值，此時點為；（ii）如圖2，視點固定，點為動點時，可等同于原坐標軸繞旋轉，故點在半徑為1的圓上運動，當所在直線與該圓相切時，最大，此時，即，與（i）中結果一致.（2）如圖3，用“相對運動”的思想，可以視是定點，且為新