高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省駐馬店市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列圖象中，可以表示函數(shù)的為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)的定義可知定義域中任意一個自變量，都存在唯一確定的函數(shù)值與之對應(yīng)，選項A，C，D的函數(shù)圖象中存在，對應(yīng)多個不同的函數(shù)值，故不可以表示函數(shù)，選項B符合題意.故選：B.2.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意得，解得且，故函數(shù)的定義域為.故選：C.3.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】對于A，的定義域為，的定義域為，它們的定義域不同，不是同一函數(shù)，A不是；對于B，的定義域為，的定義域為，它們不是同一函數(shù)，B不是；對于C，兩個函數(shù)的定義域都是、且對應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)，C是；對于D，，，兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)，D不是.故選：C4.已知，，則（）A.27 B.9 C.3 D.【答案】A【解析】因為，故.故選：A.5.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.6.“，”的一個充分條件可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】若函數(shù)在上恒成立，則只需，解得，即的取值范圍是1,+∞，故“，”的一個充分條件可以是“”.故選：B7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因為是奇函數(shù)，所以，所以，又，所以.此時可知，滿足，所以奇函數(shù)，所以.故選：C.8.已知實數(shù)x，y滿足，則和的最大值分別為（）A.2， B.2，1 C.4， D.4，【答案】D【解析】因為，所以因為，所以，解得.又因為，所以，所以，即，即，解得，所以，所以，故的最大值為4，的最大值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知集合，，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】由題意可得，，故，則，，故A錯誤，B正確；，故，故C錯誤；，故，故D正確.故選：BD.10.已知正數(shù)x，y滿足，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A，因為正數(shù)x，y滿足，所以，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C錯誤；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)滿足對任意，都有，則（）A. B.可能為增函數(shù)C. D.為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】對于A：取，所以，所以，所以，故正確；對于B：令，則，令，則，所以，所以不可能為增函數(shù)，故錯誤；對于C：由B可知，成立，故正確；對于D：因為，故以代換可得，再以代換可得，即，所以，且定義域為關(guān)于原點對稱，所以為偶函數(shù)，故正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“任何正數(shù)的立方根都是正數(shù)”的否定為_____，否定后的命題是_____命題（填“真”或“假”）.【答案】①.存在正數(shù)的立方根不是正數(shù)②.假【解析】因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題的否定為“存在正數(shù)的立方根不是正數(shù)”，正數(shù)的立方根是正數(shù)所以是假命題.故答案為：存在正數(shù)的立方根不是正數(shù)；假.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】為保證分段函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)遞增，需同時滿足，解得，所以的取值范圍是.故答案為：14.已知函數(shù)，，且在定義域內(nèi)恒成立，則的取值范圍為______.【答案】【解析】且，，因為，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增,所以,,所以,由對恒成立,得,,故,故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知冪函數(shù)，.（1）求的解析式；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由冪函數(shù)的定義可得，解得，則，故.（2）易知在上單調(diào)遞增，又，所以，即，解得，故的取值范圍為.16.近年來，國家發(fā)展改革委、國務(wù)院、工信部、生態(tài)環(huán)境部等有關(guān)部門紛紛出臺污水處理領(lǐng)域指導(dǎo)、支持及規(guī)范類政策，該相關(guān)政策的落實不僅促進(jìn)了環(huán)境保護(hù)，同時也帶動了一批企業(yè)的發(fā)展.已知某企業(yè)每年生產(chǎn)某種智能污水處理設(shè)備的最大產(chǎn)能為100臺，其年度總利潤（單位：萬元）與產(chǎn)能（單位：臺）的函數(shù)關(guān)系為（1）當(dāng)產(chǎn)能不超過40臺時，求每年生產(chǎn)多少臺時，平均每臺設(shè)備的年利潤最大？（2）當(dāng)產(chǎn)能為多少臺時，該企業(yè)所獲年度總利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）因為當(dāng)時，.則平均每臺設(shè)備的年利潤為，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由于，，且，故當(dāng)生產(chǎn)14臺時，平均每臺設(shè)備的年利潤最大.（2）當(dāng)時，，對稱軸為，所以當(dāng)時，取最大值，（萬元）；當(dāng)時，（萬元），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.因為，故當(dāng)產(chǎn)能為35臺時，所獲年度總利潤最大，最大利潤為2050萬元17.按照要求解答下列問題.（1）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；（2）求函數(shù)，的最小值.解：（1）根據(jù)題意得到，解得，故的取值范圍是.（2）由題意可得，當(dāng)時，函數(shù)和單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故；當(dāng)時，，可知.綜上可知的最小值為3.18.已知函數(shù).（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性，并用定義法進(jìn)行證明；（3）證明：（1）解：（2）證明：在上單調(diào)遞減.取，，且，因為故，即，，則，即，故，即，所以在上單調(diào)遞減；（3）證明：由（2）可得，又因為，故，故.19.已知函數(shù)的定義域為，給定，設(shè)，，若存在使得，則稱為函數(shù)的一個“點”.（1）若為R上的單調(diào)函數(shù)，證明：不存在“點”；（2）若，討論的“點”個數(shù)，并在存在“點”的前提下，求出所有的“點”；（3）若，證明：“為函數(shù)的一個‘點’”的充要條件是“”.（1）證明：若在上單調(diào)遞增，則時，對，有，則，不存在“點”；若在上單調(diào)遞減，則時，對，有，則不存在“點”.綜上所述，不存在“點”.（2）解：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則不存在“點”；當(dāng)時，則使在時有解的的個數(shù)即為的“點”的個數(shù)，整理得，由得，故，即存在唯一“點”.綜上所述，當(dāng)時，不存在“點”；當(dāng)時，