高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省周口市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、選擇題1.已知全集，集合A滿(mǎn)足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，，可得或則，，，，故B項(xiàng)正確，A,C,D項(xiàng)均是錯(cuò)誤的.故選：B.2.數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為（）A.8.5 B.8.6 C.8.7 D.8.8【答案】D【解析】因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為從小到大排列的第、兩數(shù)的平均數(shù)，即為.故選：D3.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.18【答案】C【解析】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，則，則，則，則，故選：C.4.中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)，，（）為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱(chēng)和對(duì)模同余，記為.若，，則的值可以是（）A.2018 B.2020 C.2022 D.2024【答案】B【解析】因?yàn)椋裕裕幢怀玫挠鄶?shù)為，結(jié)合選項(xiàng)可知只有被除得的余數(shù)為.故選：B.5.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波,其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù),但我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱(chēng)為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的一個(gè)周期為 B.的最大值為C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)【答案】D【解析】對(duì)于A,因?yàn)榈闹芷跒椋闹芷跒椋缘闹芷跒椋蔄錯(cuò)誤；對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1,的最大值為，故兩個(gè)函數(shù)同時(shí)取最大值時(shí)，的最大值為，此時(shí)需滿(mǎn)足且，不能同時(shí)成立，故最大值不能同時(shí)取到，故的最大值不為，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,因?yàn)闀r(shí)，，又，所以或者；或者，此時(shí)，又，所以，綜上可知，在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確，故選：D.6.在某次測(cè)試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)的概率分別是0.5，0.6和0.7，且三人的測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立，測(cè)試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的條件下，乙達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分別記甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)為事件，記甲、乙、丙三人中恰有兩人沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)為事件，記乙達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)為事件.由題知，，所以，.所以.故選：C.7.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，，則，即，化為，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，又，所以三點(diǎn)共線(xiàn)，顯然當(dāng)直線(xiàn)與此圓相切時(shí)，的值最大.又,則,則.故選：C.8.已知雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線(xiàn)C的離心率為e，在第一象限存在雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)P，滿(mǎn)足，且，則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，而，所以，所以點(diǎn)到的距離為，又，所以，解得，即，從而，又因?yàn)椋裕谥校捎嘞叶ɡ碛校裕矗獾茫p曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為.故選：A.二、選擇題9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是1 D.【答案】AD【解析】因?yàn)椋裕裕珹正確；，B錯(cuò)誤；由上可得，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；，，D正確.故選：AD10.如圖，在矩形中，，點(diǎn)與點(diǎn)分別是線(xiàn)段與的四等分點(diǎn)．若把矩形卷成以為母線(xiàn)的圓柱的側(cè)面，使線(xiàn)段與重合，則以下說(shuō)法正確的是（）A.直線(xiàn)與異面 B.平面C.直線(xiàn)與平面垂直 D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)：由圖可知，平面，是平面內(nèi)不過(guò)D的直線(xiàn)，所以，直線(xiàn)與異面，A正確；B選項(xiàng)：由題知，是底面圓的直徑，且，所以四邊形為正方形，所以，又平面，平面，所以平面，B正確；C選項(xiàng)：由題知，劣弧的長(zhǎng)為1，，所以，所以長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)不垂直，所以直線(xiàn)與平面不垂直，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：同上可得為正方向，所以，由圓柱性質(zhì)可知，，又，平面，所以平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離，記圓的半徑為，則，得，所以，D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥瑸榕己瘮?shù)，則（）A. B.為偶函數(shù)C. D.【答案】ACD【解析】令，得，即，A正確；令，得，又，所以對(duì)任意恒成立，因?yàn)椋圆缓銥?，所以，即，B錯(cuò)誤；將的圖象向左平移1個(gè)單位后，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象，因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，又為奇函數(shù)，所以，所以，所以4為的周期.由可得，C正確；因?yàn)椋裕珼正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題12.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】依題可知，則，故答案為：.13.在中，的對(duì)邊分別為，已知，，，則邊______，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，則______．【答案】【解析】由余弦定理得：，即，，解得：（舍）或；在中，由余弦定理得：，，在中，由正弦定理得：.故答案為：；.14.已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】令，則，不等式可化為：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，，不合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，.因?qū)θ我獾膶?shí)數(shù)x恒成立，故恒成立，即，則.令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故，即,故的最大值為.故答案為：.四、解答題15.滎陽(yáng)境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤(pán)上“楚河漢界”的歷史原型，滎陽(yáng)因此被授予“中國(guó)象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽結(jié)束后，負(fù)的一方下場(chǎng).第1局由甲，乙對(duì)賽，接下來(lái)丙上場(chǎng)進(jìn)行第2局比賽，來(lái)替換負(fù)的那個(gè)人，每次比賽負(fù)的人排到等待上場(chǎng)的人之后參加比賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求前3局比賽甲都取勝的概率；（2）用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）因各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，前3局比賽甲都獲勝，則前3局甲都取勝的概率為.（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙輸，則；表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏，則；所以X的分布列為X0123P故X的數(shù)學(xué)期望為.16.已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋驗(yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得或，因?yàn)椋?此時(shí)，令得，令得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn).所以.（2）.因?yàn)椋裕畹茫涣畹茫弧嗨詴r(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為,時(shí)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.17.如圖，在多面體DABCE中，是等邊三角形，，.（1）求證：；（2）若二面角為30°，求直線(xiàn)DE與平面ACD所成角的正弦值.（1）證明：取BC中點(diǎn)O，連接AO，EO.∵是等邊三角形，O為BC中點(diǎn)，∴，又，∴，∵，平面,∴平面，又平面AEO，∴.（2）解：連接DO，則，由，得，，又，∴，∴，又，平面,∴平面.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，設(shè)平面ACD的法向量為，則即取，則.∵是二面角的平面角，∴，又，∴，，則，∴直線(xiàn)DE與平面ACD所成角正弦值為.18.已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且焦距為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.①證明：直線(xiàn)MN必過(guò)定點(diǎn)；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.（1）解：依題意有，，解得，所以橢圓的方程為.（2）①證明：設(shè)：，，，則：，聯(lián)立，故，，，故，由代替m，得，當(dāng)，即時(shí)，：，過(guò)點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，，：，令，，直線(xiàn)MN恒過(guò)點(diǎn).當(dāng)，經(jīng)驗(yàn)證直線(xiàn)MN過(guò)點(diǎn).綜上，直線(xiàn)MN恒過(guò)點(diǎn).②解：，令，，∵在上單調(diào)遞減，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).故面積的最大值為.19.已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿(mǎn)足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)數(shù)列為m的k增數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè).（1）寫(xiě)出所有4的1增數(shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；（3）若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值.解：（1）由題意得，且對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有1個(gè)，由于或，故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3.（2）當(dāng)時(shí)，存在m的6增數(shù)列，即，且對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有6個(gè)，所以數(shù)列的各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以且.若，滿(mǎn)足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，所以，不符合題意，所以.若，滿(mǎn)足要求的數(shù)列中有三項(xiàng)為1，兩項(xiàng)為2，此時(shí)數(shù)列為，滿(mǎn)足要求的正整數(shù)對(duì)分別為，符合m的6增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，m的最小值為7.（3）若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等，則，若，所以數(shù)列中存在大于1的項(xiàng)，若首項(xiàng)，將拆分成個(gè)1后k變大，所以此時(shí)k不最大值，所以.當(dāng)時(shí)，若，交換，的順序后k變?yōu)椋源藭r(shí)k不是最大值，