高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市2023-2024學年高二下學期期末考前熱身聯考數學試題注意事項：1、答題前考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上并將考生的條形碼貼在答題卡指定位置上2、回答選擇題時選出每小題答案之后用鉛筆把答題卡對應題目的標號涂黑，如需改動用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3、考試結束之后，將本卷和答題卡一并收回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.為弘揚“五四”精神學校舉行了一次演講比賽，經過大數據分析，發現本次演講比賽的成績服從，據此估計比賽成績不小于86的學生所占的百分比為（）參考數據：,，A.0.135％ B.0.27％ C.2.275％ D.3.173％【答案】C【解析】依題意，而，所以測試成績不小于86的學生所占的百分比為：故選：C．2.若將大小形狀完全相同的三個紅球和三個白球（除顏色外不考慮球的其他區別）排成一排，則有且只有兩個白球相鄰的排法有（）A.6 B.12 C.18 D.36【答案】B【解析】除顏色外不考慮球的其他區別，將三個白球分成兩堆，只有一種分法，大小形狀完全相同的三個紅球排成一排也只有一種排法，三個紅球共有4個空，將白球插空有種可能.故選：B.3.已知變量關于的回歸方程為，其一組數據如下表所示.若，則預測的值為（）23456A. B. C. D.【答案】A【解析】由得：，令，即，因為，，將點代入直線方程中，即，可得，所以回歸方程為，若，則.故選：A．4.橢圓的兩焦點為，，以為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設橢圓與正三角形另兩條邊的交點分別是A，B，易得，，∴，∴，∴，故選：D.5.已知正三棱柱底面邊長為，側棱長為1，則該正三棱柱外接球體積為（）A.3π B. C. D.【答案】B【解析】因為正三棱柱的底面邊長為，所以底面所在平面截其外接球所成的圓的半徑滿足即，又由正三棱柱的高為1，則球心到圓的距離為，故外接球半徑，∴外接球的體積．故選：B．6.A、B是一個隨機試驗中兩個事件，且，則下列錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，又，，故C錯誤；，，，故A正確；，，故B正確；，故D正確.故選：C.7.在數列中，，，，則的前20項和（）A.621 B.622 C.1133 D.1134【答案】C【解析】設，，則，.由已知可得，，即，所以為以2為首項，2為公差的等差數列，.，即，所以為以1為首項，2為公比的等比數列，.所以，的前20項和.故選：C.8.設實數，若對恒成立，則的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】B【解析】由，則，，當時，，恒成立，即任意，對恒成立；當時，，即，其中，構造函數，則.，因為，所以，單調遞增；則有，則，構造函數，則，令，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，則，即當時，，故要使恒成立，則，即的取值范圍為.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若的展開式中的常數項為60，則D.若隨機變量的方差，則【答案】BC【解析】對于A，由二項式系數的性質可得，，且，故A錯誤；對于B，根據全稱量詞命題的否定要求推理即得，故B正確；對于C，因的展開式中的常數項為，解得，，故C正確；對于D，若隨機變量的方差，則,故D錯誤.故選：BC.10.已知分別為橢圓和雙曲線的公共左，右焦點,（在第一象限）為它們的一個交點，且，直線與雙曲線交于另一點，若，則下列說法正確的是（）A.的周長為 B.雙曲線的離心率為C.橢圓的離心率為 D.【答案】BCD【解析】設，則，，，中由余弦定理，得，化簡得，，D正確；又，所以，又，的周長為，A錯誤；中，，由余弦定理得，所以，因此雙曲線的離心率為，B正確；橢圓的離心率為，C正確，故選：BCD．11.對于三次函數，給出定義：是函數的導數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱為函數的“拐點”.某同學經探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數，則下列說法正確的是（）A.的極大值為B.有且僅有2個零點C.點是的對稱中心D.【答案】ACD【解析】由函數，可得，令，解得或；令，解得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在單調遞增，當時，取得極大值，極大值為，所以A正確；又由極小值，且當時，，當時，，所以函數有3個零點，所以B錯誤；由，可得，令，可得，又由，所以點是函數的對稱中心，所以C正確；因為是函數的對稱中心，所以，令，可得，所以，所以，即，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若雙曲線的漸近線與圓相切，則_____．【答案】【解析】雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．13.在的展開式中，項的系數為________.【答案】【解析】因為，其中展開式的通項為，，所以的展開式中含的項為，所以項的系數為.故答案為：14.已知函數，，若使不等式成立，的取值范圍是_________．【答案】．【解析】因為，使不等式成立，則，即，則問題轉化為．設，由，令，得．當在區間內變化時，，隨的變化情況如下表：＋0－單調遞增極大值單調遞減由上表可知，當時，函數有極大值，即最大值為，所以．故的取值范圍是．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數的圖象在點處的切線過點．（1）求實數的值；（2）求的單調區間和極值．解：（1）由已知得，則，又，所以的圖象在點處的切線方程為，將點2,1代入得，解得.（2）所以，定義域為，所以，令，則，易得上恒成立，所以在上單調遞增，又，所以當時，，即，在上單調遞減，當時，，即，在上單調遞增，所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為，極小值為，無極大值16.如圖所示，三棱柱中，分別為棱的中點，分別是棱上的點，.（1）求證：直線平面；（2）若三棱柱為正三棱柱，求平面和平面的夾角的大小.解：（1）取的中點，連接交于，連接，因為分別為棱的中點，所以∥∥，所以，所以，所以，因為，所以，所以，因為分別為棱的中點，所以，因為∥∥，所以，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以直線平面；（2）連接，因為三棱柱為正三棱柱，所以為等邊三角形，所以，所以以為原點，以所在的直線為軸，過與平行的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系，設，則，所以，設平面法向量為，則，令，則，設平面的法向量為，則，令，則，所以，設平面和平面的夾角為，則，因為，所以.17.為增加學生對于籃球運動的興趣，學校舉辦趣味投籃比賽，第一輪比賽的規則為：選手需要在距離罰球線1米，2米，3米的三個位置分別投籃一次．在三個位置均投進得10分；在處投進，且在兩處至少有一處未投進得7分；其余情況（包括三處均不投進）保底得4分．已知小王在三處的投籃命中率分別為，且在三處的投籃相互獨立．（1）設為小王同學在第一輪比賽的得分，求的分布列和期望；（2）若第二輪比賽中設置兩種參賽方法．方法1：按第一輪比賽規則進行比賽；方法2：選手可以選擇在處縮短投籃距離0.5米,但得分會減少分.選手可以任選一種規則參加比賽.若小王在處縮短投籃距離0.5米后,投籃命中率會增加．請你根據統計知識，幫助小王同學選擇采用哪種方法參加比賽更好．解：（1）的可能取值為4，7，10，，，所以分別列為：4710P所以；（2）如果選取方法2參加比賽，則小王同學得分的可能取值為，，，，所以，當時，即，即時，選擇方法1，當時，即，即時，選擇方法2，當時，即，即時，選擇兩種方法都一樣.18.已知橢圓經過點.（1）求的標準方程；（2）過點的直線交于兩點（點在點的上方），的上?下頂點分別為，直線與直線交于點，證明：點在定直線上.解：（1）因為過點，所以，整理得.因為，所以，所以的標準方程為；（2）設直線的方程為，.聯立，整理得，，所以直線的方程為①，直線的方程②，解法一：由①②得，所以.所以點在定直線上運動，故點在定直線上.解法二（和積轉化）：所以，由①②得，所以.所以點在直線上運動，故點在定直線上.解法三（點代平方差）：因為在上，所以，所以，即由①②得，所以.所以點在直線上運動，故點在定直線上.19.定義：在一個有窮數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數列，我們把這樣的操作稱為該數列的一次“和擴充”，例如：數列經過第一次“和擴充”后得到數列；第二次“和擴充”后得到數列．設數列經過次“和擴充”后得到的數列的項數為，所有項的和為．（1）若，求；（2）求不等式的解集；（3）是否存在數列，使得數列