高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省鄭州市2025屆高三下學期第三次質量預測數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.已知集合，，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】，故，，故，故.故選：B2.若復數z滿足，則（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】因為，所以，所以，故選：C.3.記等差數列的前n項和為，若，，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】等差數列的前n項和為，因為，，所以，故選：A.4.在△ABC中，已知，，，則角C為（）A.45° B.105° C.45°或135° D.15°或105°【答案】D【解析】由正弦定理得，即，所以，故或，當時，，當時，.故選：D5.河南具有悠久的歷史和豐富的文化底蘊，其美食也獨具特色．現有一名游客計劃在三天內品嘗完以下六種河南特色美食：燴面、胡辣湯、灌湯包、道口燒雞、燜餅、黃河鯉魚．該游客每天從這六種美食中選擇1到3種進行品嘗（每天必須選擇且不能重復選擇已品嘗過的美食）．若三天后恰好品嘗完所有美食，則不同的選法種數為（）A.450 B.360 C.180 D.90【答案】A【解析】①計算按照分配的選法種數.根據分步乘法計數原理，按分配的選法種數為：種.②按照分配的選法種數為：種.最后將兩種選法種數相加得到總的選法種數為種.故選：A.6.4月23日是“世界讀書日”，全社會都參與到閱讀中來，形成愛讀書，讀好書，善讀書的濃厚氛圍．某中學共有3000名學生，為了了解學生書籍閱讀量情況，該校從全校學生中隨機抽取200名，統計他們2024年閱讀的書籍數量，由此來估計該校學生當年閱讀書籍數量的情況，下列估計中正確的是（）（注：同一組數據用該組區間的中點值作為代表）A.閱讀量的眾數估值為8 B.閱讀量的中位數估值為6.5C.閱讀量的平均數估值為6.76 D.閱讀量的第70百分位數估值為8.86【答案】D【解析】眾數估值為，A錯誤；中位數在內，所以，解得，B錯誤；平均數，C錯誤；第70百分位數在內，所以，解得，D正確故選：D.7.已知函數是定義在上的奇函數，函數的圖象關于對稱，若，則（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】因為，所以，因為是奇函數，，所以，因為函數圖象關于對稱，所以，即.故選：D.8.已知點坐標為，直線與圓交于兩點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，所以圓心，半徑由得，由得，所以直線過定點，即為圓心，所以是圓的直徑的兩端點，所以，且，，因為，所以，令，則，所以當時，取得最小值；當時，取得最大值，所以，故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.函數，則下列關于的說法中正確的是（）A.最小正周期是 B.最大值是2C.是區間上的增函數 D.圖象關于點中心對稱【答案】AC【解析】，所以的最小正周期，A正確；最大值是，B錯誤；當時，，是的單調遞增區間，C正確；因為，，，所以圖象不關于中心對稱，D錯誤.故選：AC.10.如圖，在棱長為6的正四面體中，點O是頂點P在底面ABC內的射影，N為PO的中點，則（）A.B.點C到平面的距離為C.如果在此正四面體中放入一個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為D.動點Q在平面ABC內，且滿足，則動點的軌跡表示圖形的面積為【答案】BD【解析】取的中點，連接，則且為靠近的一個三等分點，過點作交于點，則，又平面，如圖建立空間直角坐標系，因為，所以，則，，，，，所以，，所以，所以與不垂直，故A錯誤；因為，所以，又，所以，設點到平面的距離為，則，解得，即點C到平面的距離為，故B正確；對于C：因為，設正四面體的內切球的半徑為，則，即，解得，所以在此正四面體中放入一個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為，故C錯誤；對于D：連接，因為，平面，平面，所以，所以，所以，則點在平面所表示的圖形為以為圓心，為半徑的圓面，所以動點的軌跡表示圖形的面積為，故D正確.故選：BD11.群論，是代數學的分支學科，群的定義如下：設G是一個非空集合，“?”是G上的一個代數運算，如果該運算滿足以下條件：①對任意的，有；②對任意的，有；③存在，使得對任意的，有，稱為單位元；④對任意的，存在，使，稱a與b互為逆元．則稱G關于“?”新構成一個群．則下列說法正確的有（）A.（為虛數單位）關于數的乘法構成群B.有理數集關于數的加法構成群C.關于數的除法構成群D.正實數集關于數的乘法構成群【答案】ABD【解析】對于A選項：因為，可以計算里面任意兩個元素的乘積結果都屬于集合.因為數的乘法滿足結合律，對于復數也不例外.存在，對于，當時，.當時，;當時，.集合也滿足逆元，關于數的乘法能夠構成群，所以A選項正確.對于B選項：對于任意兩個有理數，它們的和仍為有理數；有理數的加法也滿足結合律.存在，對于，有.對于任意的，存在，使得.所以有理數集關于數的加法構成群，B選項正確.對于C選項：取，無意義，不滿足對任意的，有，所以不滿足封閉性，C選項錯誤.對于D選項：任意兩個正實數的乘積仍然是正實數；實數的乘法滿足結合律.對于任意的，存在使得.滿足.所以D選項正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分．12.若直線經過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的離心率為________．【答案】或【解析】直線與坐標軸的交點為和，若是橢圓的焦點，是橢圓的一個頂點，此時橢圓的焦點在軸且，所以，離心率，若是橢圓的焦點，是橢圓的一個頂點，此時橢圓的焦點在軸且，所以，離心率，所以橢圓的離心率為或，故答案為：或.13.已知，，則________．【答案】【解析】，，故，所以，解得，故，所以.故答案為：14.若直線為曲線的一條切線，則的最小值為________．【答案】【解析】，設直線與曲線相切于點，則且，解得，所以，從而得，所以，設，，令得，令得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某云計算平臺部署了多臺同型號服務器，運維系統會檢測服務器是否觸發“高溫異?！本瘓螅畾v史數據表明，警報與服務器狀態（正常/故障）高度相關．從觸發警報和未觸發警報的數據中各隨機抽取500條，統計如下：觸發警報時狀態分布未觸發警報時狀態分布正常25臺正常450臺故障475臺故障50臺運維單臺服務器時，可選操作及經濟損失（單位：千元）如下：狀態/操作保持運行快速診斷深度檢修正常013故障1046假設用頻率估計概率，各服務器狀態相互獨立．（1）若服務器觸發高溫警報，求其處于故障狀態的概率；（2）某次維護中，發現1臺觸發警報的服務器和1臺未觸發警報的服務器．現有三種操作方案：方案甲：觸發警報的服務器深度檢修，未觸發警報的保持運行；方案乙：觸發警報的服務器快速診斷，未觸發警報的保持運行；方案丙：觸發警報的服務器深度檢修，未觸發警報的快速診斷．從總經濟損失期望最小的角度，判斷哪種方案更優．解：（1）設服務器觸發警報時其處于故障狀態設為事件A，服務器未觸發報警記時其處于故障狀態記為B．由題意可知，；，由古典概型知識可知，.（2）∵，∴，又，∴．∴.方案甲：觸發警報的服務器深度檢修的經濟損失的數學期望為：（千元）．未觸發警報的服務器保持運行的經濟損失的數學期望為：（千元）．∴（千元）方案乙：觸發警報的服務器快速診斷的經濟損失的數學期望為：（千元）．所以，（千元）方案丙：未觸發警報的服務器快速診斷的經濟損失的數學期望為：（千元），所以（千元）∵，所以方案乙更優．16.已知函數．（1）若是函數的極值點，求a的值；（2）在（1）的條件下，若函數有兩個零點，求實數m的取值范圍．解：（1），因為是函數的極值點，所以，即，此時，由，得；由，，所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，是函數的極小值點，故.（2）由（1）可知有兩個零點，即方程有兩個解．當時，，當時，，即．設，函數零點個數為函數的圖象與直線的交點個數．，，令，得或；令，得且．所以函數在區間和上單調遞減，在區間和上單調遞增．當時，；當時，；如圖所示，，函數的圖象與直線有兩個交點，即或，即或時，函數有兩個零點.17.已知數列的首項，且滿足．（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）由題意可知，，可得，又，故數列是以-1為首項，以-1為公比的等比數列，所以.（2）由（1）可得，所以，，當n奇數時，①，②，由①-②得，所以，所以，，所以，，所以，當n為偶數時，，同理求和可得，，所以，，故，綜上，實數的取值范圍為.18.已知拋物線的焦點為F，點在E上，且．（1）求E的方程；（2）過F作互相垂直的兩條直線，，這兩條直線與拋物線C分別交于A，B和P，Q兩點，其中點A，P在第一象限．（?。┯洝鰽OB和△POQ的面積為，，求的最小值；（ⅱ）過F點作x軸的垂線，分別交AP，BQ于C，D兩點，請判斷是否存在以CD為直徑的圓與y軸相切，并說明理由．解：（1）依題意得，點M在拋物線上，且，所以，所以可得，所以E的方程為；（2）（?。佄锞€方程為，焦點坐標為，當的直線斜率為0時，與拋物線只有1個交點，不合要求，當的斜率不存在時，的斜率為0，此時與拋物線只有1個交點，不合要求，故設，，則，，，，，由，消去x得，，，，所以，同理，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為．（ⅱ）不妨設，由題意可知，又，，所以AP的直線方程可化為：，又，故可得，同理可得直線方程為，又，故，又，所以可得，可得，所以可得CD的中點恒為F，以CD為直徑的圓與y軸相切等價于，若，則，所以，又，所以，故，整理可得，即，因為，故，所以．又，故可得．代入方程可得，，，故不存在以CD為直徑的圓與y軸相切19.在空間直角坐標系O-xyz中，已知向量，經過點，且以為法向量的平面α的方程為．（1）求原點到平面的距離；（2）根據平面直角坐標系中點到直線的距離公式，類比出到平面的距離公式，并利用有關知識證明；（3）已知平行六面體，平面的方程為，平面經過點，平面的方程為，求平面與平面夾角的余弦值的最大值．（1）解：根據題意，平面的法向量，在平面上任取點，可得，設原