高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省許昌市2024-2025學年高一上學期1月期末教學質量檢測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由可得，即，因，故.故選：B.2.已知a，b是實數，則“”成立的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于A，由，得，而不能推出，A是；對于BC，取，滿足，，而，BC不是；對于D，，D不是.故選：A.3.已知角滿足，則的值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】由，解得：.故選：C.4.設，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，而，，故.故選：C.5.角的終邊與單位圓交于點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】點的坐標為，根據三角函數定義可得，.化簡，把，代入，可得.故選：B.6.假設在不考慮空氣阻力的條件下，某型號火箭的最大速度v（單位：）和燃料的質量M（單位：）、火箭（除燃料外）的質量m（單位：）的函數關系是（k為大于0的常數）．已知當燃料質量是火箭質量的15倍時，火箭的最大速度，則當燃料質量是火箭質量的63倍時，火箭的最大速度（）A. B. C. D.【答案】D【解析】當燃料質量是火箭質量的15倍，火箭的最大速度時，則，得，則當燃料質量是火箭質量的63倍時，火箭的最大速度.故選：D.7.已知函數是定義在上的減函數，且對任意，恒成立，若，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，，令，可得，而，則由可得，因函數是定義在上的減函數，則有，解得.故選：A.8.若函數與有相同的對稱軸，則的所有可能取值的個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】函數的對稱軸為，函數的對稱軸為，因為函數與有相同的對稱軸，則，化為因為等式右邊是奇數，所以不可能為偶數，因為，所以的可能取值為，當時，；當時，；當時，；綜上，的所有可能取值的個數為3.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.命題“”的否定是“”B.與表示同一函數C.已知，則的最小值為5D.函數（，且）的圖象過定點【答案】AC【解析】對于A，因命題“”的否定是“，故A正確；對于B，因函數的定義域為，而函數的定義域為，故B錯誤；對于C，由可得，，當且僅當時等號成立，此時的最小值為5，故C正確；對于D，對于函數（，且），當時，，則，即函數的圖象經過定點，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數部分圖象如圖所示，則下列選項中正確的是（）A.的一個周期是B.函數的圖象關于點對稱C.函數的圖象關于直線對稱D.函數在區間上單調遞增【答案】ABC【解析】如圖可知，，且函數經過兩點，則得：，由①得：，因，則得，因為在增區間中，由②可得，即，因，則.故.對于A，因，故A正確；對于B，因，故函數的圖象關于點對稱，即B正確；對于C，因，故函數的圖象關于直線對稱，即C正確；對于D，當時，，因函數的圖象在上遞減，在遞增，故D錯誤.故選：ABC.11.設函數，則下列說法正確的是（）A.若函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍為B.若函數有3個不同零點，則實數a的取值范圍為C.若函數有3個零點名，則的取值范圍為D.對任意，函數在內無最小值【答案】ABD【解析】對于A中，由函數，要使得在上單調遞增，則，即，所以，所以A正確；對于B中，令，當時，可得，若函數有3個零點，則需有一個零點，則；當時，可得，若函數有3個零點，則需有兩個不等的小于1的實根，則滿足，解得，所以若函數有3個零點，則的取值范圍是，所以B正確.對于C中，設函數的3個零點分別是，則，可得，令，則在上單調遞減，所以，，即的取值范圍是，所以C錯誤；對于D中，當時，函數是開口向下的二次函數，對稱軸是，當時，函數在單調遞減，在沒有最小值，，當時，函數單調遞增，所以，因為，所以，所以在內無最小值；當時，函數在單調遞增，在單調遞減，在沒有最小值，，當時，函數單調遞增，所以，因為，所以，所以在內無最小值；當時，函數在單調遞增，在沒有最小值，，當時，函數單調遞增，所以，因為，所以，所以在內無最小值，所以D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個扇形的圓心角是，弧長是，則扇形的面積為___________．【答案】【解析】設扇形的半徑為，則由，可得，則扇形的面積為.13.若不等式對任意都成立，則實數m的取值范圍為___________．【答案】【解析】由不等式對任意都成立，可得不等式對任意都成立，因，，則得，故得，即實數m的取值范圍為.14.已知且滿足，則的最大值為___________．【答案】【解析】因為，則.所以.即.則.等式兩邊同時除以得.則，即.所以.設，因為，所以，則.因為，當且僅當，即時等號成立.所以.則的最大值.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.化簡求值．（1）；（2）已知，若，求的值．解：（1）.（2）由，得，即，則，因此.16.已知函數為冪函數，且在上單調遞增．（1）求的解析式；（2）若，求實數a的取值范圍．解：（1）因函數為冪函數，且在上單調遞增，則解得，故.（2）因為函數為奇函數且在R上單調遞增，所以不等式可化為，所以，即，解得或，故實數a的取值范圍為.17.將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再將所得函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象．（1）寫出函數的解析式并求出的單調遞增區間；（2）當時，求最大值以及取得最大值時x的值．解：（1）由圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，可得；再將其圖象向右平移個單位長度得到：.令，解得，函數的單調遞增區間為.（2）令，由，可得，由余弦函數的圖象性質可知時，即時，，此時相應的x的值為.18.已知函數．（1）若，求的值域；（2）若為偶函數，求實數t的值；（3）在（2）的條件下，若對使得恒成立，求實數m的取值范圍．解：（1）時，，因為，因此，，即的值域是．（2）因為為偶函數，且的定義域為，所以由得：，整理得，由可知，得．（3）由題意可知：只需，由（2）得：，，當且僅當時等號成立，因此，即，因此在恒成立，即在恒成立，令，則，因此在恒成立，即在恒成立，所以在恒成立，只需，顯然函數在內單調遞減，因此，，所以，即實數m的取值范圍是．19.若的最大值為1．（1）求常數a的值；（2）若，且，求角；（3）在（2）的條件下，若關于x的方程在區間上有且僅有兩個不同