高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省新鄉市2025屆高三三模數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數，則z在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因為，故其對應的點為，該點在第三象限，故選：C2.已知向量，，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故，解得.故選：B3.若，是兩條不同的直線，是一個平面，，則“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為，是兩條不同的直線，是一個平面，，若，則或，故充分性不成立；若，則在平面存在直線，使得，又，，所以，所以，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.某校從2名女生和4名男生中選出3人去參加一項創新大賽，則選出的3人中至少有1名女生的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】任取選3人，共有種選法，任選3人，沒有女生的選法總數為，故選出的3人中至少有1名女生的概率為，故選：C.5.已知函數的極小值為6，則實數a的值為（）A8 B.6 C.4 D.2【答案】A【解析】，當或時，；當時，，故的極小值點為，故極小值為，結合題設可得即，故選：A.6.已知在中，，，則的值為（）A. B.－2 C.2 D.【答案】D【解析】因為為三角形內角且，故，故，故，故選：D.7.已知圓錐的頂點為V，母線，所成角的余弦值為，VA與圓錐底面所成的角為，若圓錐的側面積為，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設圓錐的底面半徑為，母線長為，因為VA與圓錐底面所成的角為，所以，即，又圓錐的側面積為，故，所以，即，解得，設母線，所成角的大小為，則，故，所以的面積為.故選：B8.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，上頂點為，離心率為.過點且垂直于的直線與交于，兩點，，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】如圖：因為橢圓的離心率為，所以，，所以橢圓方程可寫為：.因為，，所以.因為直線，所以.所以直線：，即，代入橢圓方程：，得，整理得：.設，，則，.由，且，所以.所以，所以.所以.因為為等邊三角形，所以直線為線段的中垂線，故，.所以.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.的值域是 B.C.在區間上單調遞增 D.是奇函數【答案】ABD【解析】選項A：對于正弦函數，其值域是.在函數中，，所以的值域是，該選項正確.選項B：將代入，可得.根據誘導公式，則，該選項正確.選項C：令,，解這個不等式求的單調遞增區間：,，即,.當時，單調遞增區間是，不是其單調遞增區間的子區間，所以在區間上不是單調遞增的，該選項錯誤.選項D：.根據誘導公式，則，為奇函數，該選項正確.故選：ABD.10.已知非空數集M具有如下性質：①若x，，則；②若x，，則.下列說法中正確的有（）A. B.C.若x，，則 D.若x，，則【答案】BC【解析】對于A，若，則當時，即，故即，則與的比無意義，故此時不符合性質①，故A錯誤；對于B，當時，即，故即，故，依次類推有，故B正確；對于C，由B的分析可得，由A的分析可得，故當時，，故當時，有，故C正確；對于D，若x，，有成立，則取，則有，由A的分析可得此時不符合性質①，故D錯誤；故選：BC.11.已知函數的定義域為R，和均為偶函數，且當時，.下列說法中正確的有（）A.以2為周期B.當時，C.設函數在區間上兩個零點為，，則D.函數在區間上的最大值為【答案】AC【解析】A選項，和均為偶函數，故，，中，將替換為，得，故，所以的一個周期為2，A正確；B選項，當時，，則，當時，，故，故當時，，B錯誤；C選項，當時，，則，不妨設，因為在上單調遞減，所以，由可得，即，所以，即，即，即，所以，即，C正確；D選項，由C可知，當時，，當時，，又的一個周期為2，故，，，令得或（舍去），令得，令得，故在上單調遞增，在上單調遞減，故區間上的最大值為，D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中，的系數是______.（用數字作答）【答案】8【解析】設第項含，則.由.所以.所以的系數是8.故答案為：813.已知雙曲線C：的焦點到其漸近線的距離為，則C的離心率為______.【答案】2【解析】雙曲線的漸近線方程為，由對稱性不妨取右焦點，則到漸近線的距離為，故離心率.故答案為：2.14.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則的值為______，的取值范圍為______.【答案】①.2②.【解析】，即，所以，，又，所以，由正弦定理得，，，當且僅當，即時，等號成立，又，所以，故.故答案為：2，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，已知直線l與拋物線交于A，B兩點，且，于點.（1）求直線l的方程；（2）求p.解：（1）依題意，，，又，，則直線的方程為，即，（2）設兩點的坐標分別為，聯立，消去x，得，，，，，.16.某工廠引進A，B兩條智能化生產線，從這兩條生產線生產的產品中各隨機抽取100件進行檢驗，得到的數據如下表：優質品合格品總計A生產線9010100B生產線8020100總計17030200（1）依據小概率值的獨立性檢驗，分析A，B兩條智能化生產線的優質品率是否存在差異；（2）用樣本的頻率估計概率，若B生產線的生產效率是A生產線的2倍，現從A，B兩條生產線同一時間段內生產的均勻混合放置的產品里任取一件產品，求其是優質品的概率；（3）用樣本的頻率估計概率，若從B生產線上隨機抽取3件產品，記X為這3件產品中優質品的件數，求X的分布列和數學期望.附：.00500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）零假設A，B兩條智能化生產線的優質品率沒有差異，，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，故A，B兩條智能化生產線的優質品率有差異，（2）A生產線的優質品率為，B生產線的優質品率為，B生產線的生產效率是A生產線的2倍，現從A，B兩條生產線同一時間段內生產的均勻混合放置的產品里任取一件產品，其是優質品的概率為；（3）由題意得，故，，，，X的分布列為0123數學期望為（或）.17.如圖，在四棱臺中，底面是正方形，底面，，點E在直線上，且.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：連接，設，則因為四棱臺中，，故且，所以四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面.（2）證明：由正方形可得，而底面，平面，故，而，平面，故平面，而平面，故，設，在直角梯形中，，，故，故，而，平面，故平面，而平面，故，而，平面，故平面.（3）解：由（2），仍設，因為底面，故平面的法向量為，由（2）中結果可得平面的法向量為，由棱臺的性質可得為對角面，，故，故，故，而，故，故平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知函數.（1）若，，求曲線在點處的切線方程；（2）若是的極大值點，求a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若對恒成立，求a的取值范圍.解：（1），時，，，，故，故在點處的切線方程為；（2）的定義域為，，是的極大值點，故，故，所以，令得或，若，則，故在上單調遞增，故不存在極大值點，舍去；若，令得或，令得，故是的極大值點，滿足要求；若，令得或，令得，故是的極小值點，不合要求；若，則恒成立，令得，令得，故是的極小值點，不合要求；綜上，a的取值范圍為；（3）由題意得，，且當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，故，要想對恒成立，只需，即，設，，則，令，，則恒成立，故在上單調遞減，又，所以恒成立，故在上單調遞減，又，故a的取值范圍為.19.若正項數列滿足對任意，都有成立，則稱數列為“倍增數列”.（1）試判斷數列1，2，5，13和數列1，3，8，21是否為“倍增數列”；（2）設數列為“倍增數列”，若為整數，，，，求正整數的最大值；（3）設數列滿足，，試判斷數列是否是“倍增數列”，并說明理由.解：（1）對于數列，因為，故該數列是“倍增數列”；對于數列，因為，故該數列不是“倍增數列”；（2）因為數列為“倍增數列”，故，而為整數，且為正項數列，故且為正整數，而，故當時，，故，因為，而，若有一個為的倍數，則只能為的倍數，否則或，若為前者，則累乘的數分別為；若為后者，則累乘的數分別為；當時，則累乘的數只可能為中的數，則無論取其中一個或兩個