高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省開封市五校2024-2025學年高一上學期期中聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為集合，所以.故選：A2.函數的定義域為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，解得或.故的定義域為，故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取，，可知A，B錯誤；因為，所以C正確；取，可知D錯誤；故選：C.4.函數的零點所在區間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為在上單調遞減，所以在上單調遞減，又，所以，根據函數零點存在定理可知，函數在區間上有零點.故選：C.5.已知是常數，冪函數的圖象經過原點，則（）A. B. C.3 D.9【答案】D【解析】因為是冪函數，則，解得，因為的圖象經過原點，則，得，則，所以.故選：D.6.經調查發現，一杯熱茶的熱量會隨時間的增大而減少，它們之間的關系為，其中且.若一杯熱茶經過時間，熱量由減少到，再經過時間，熱量由減少到，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】當時，，當時，，當時，，故；故，所以.故選：A.7.對于實數，規定表示不大于的最大整數，如，那么不等式成立的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，解得，因此，或，又因為表示不大于的最大整數，所以.只有選項B滿足要求.故選：B.8.已知函數定義域為，都有，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當時，，所以；令，得，所以；，，……，.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列四個命題中，其中為真命題的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，因為（當且僅當時等號成立），（當且僅當時等號成立），所以，故A正確；對于B，因為，所以當時，，故B錯誤；對于C，當時，，故C正確；對于D，不等式解集為，此區間內無自然數解，故D錯誤.故選:AC.10.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，因為，且，所以，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，由A知，所以，當且僅當時，等號成立，故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C錯誤；對于D，，當且僅當時，等號成立，故D正確.故選：ABD.11.定義域和值域均為的函數和的圖象如圖所示，其中，則（）A.方程有且僅有3個解 B.方程有且僅有3個解C.方程有且僅有5個解 D.方程有且僅有1個解【答案】ABD【解析】對于選項A：由數形結合可知：令,或或;令,,因為，所以，由數形結合可知：,都有一個根，故方程有且僅有3個解，故選項A正確;對于選項B：由數形結合可知：令,;令，因為，由數形結合可知：都有3個根，方程有且僅有3個解，故選項B正確;對于選項C:由數形結合可知：令,或或;令,,由題可知：，，由數形結合可知，,各有三解，故方程有且僅有9個解,故選項C錯誤；對于選項D：由數形結合可知：令,;令，因為，所以只有1解，故方程有且僅有1個解,故選項D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數的單調遞增區間為______.【答案】【解析】由，解得或，所以函數的定義域為，令，其在上單調遞減，在單調遞增，而函數函數是增函數，所以函數的單調遞增區間為.故答案為：.13.若函數且的圖象經過第一、二、三象限，則實數的取值范圍為______.【答案】【解析】根據指數函數的圖象可知，要使函數的圖象經過第一、二、三象限，則且，即且，解得，故實數的取值范圍為.故答案為：.14.歐拉函數的函數值等于所有不超過正整數，且與互質的正整數的個數，例如，則______.【答案】【解析】在中，2的倍數共有個，3的倍數共有個，6的倍數共有個，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）計算：；（2）已知，試用表示.解：（1）；（2），由，得，又，所以.16.設集合.（1）若，求實數的取值范圍；（2）設，若且，求實數的取值范圍.解：（1），且，所以.若，此時，解得；若，此時，且，解得，則實數的取值范圍是.（2）因為且，所以集合中至少存在一個整數.或，，要使中至少存在一個整數，則，解得，則實數的取值范圍是.17.如圖所示，為宣傳某運動會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙上設計大小相等的左右兩個矩形宣傳欄，宣傳欄的面積之和為，為了美觀，要求海報上四周空白的寬度均為，兩個宣傳欄之間的空隙的寬度為，設海報紙的長和寬分別為.（1）求關于的函數表達式；（2）為節約成本，應如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙是最少？解：（1）由題知，兩個矩形宣傳欄的長為，寬為，，整理得.（2）由（1）知，即，由基本不等式可得，令，則，解得（舍去）或.，當且僅當即時等號成立，海報長42，寬24時，用紙量最少，最少用紙量為.18.已知函數（，）的圖象經過點，.（1）求的解析式；（2）證明：曲線是中心對稱圖形；（3）求關于的不等式的解集.解：（1）由題意可知，，解得，或，，因為，，所以，，所以.（2）證明：因為，，所以曲線關于點對稱，故曲線是中心對稱圖形.（3）由（1）可知，，易知函數在上單調遞增，且，所以在上單調遞減.由（2）可知，，由，得，即，根據在上單調遞減，得，整理得，，即.當時，解得；當時，無解；當時，解得.綜上可知，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為.19.現定義了一種新運算“”：對于任意實數，，都有（且）.（1）當時，計算；（2）證明：，，，都有；（3）設，若在區間（）上的值域