高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省開封市五校2024-2025學年高二下學期4月期中考試數學試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3．考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊第六章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在填寫高考志愿表時，一名高中畢業生了解到A，B兩所大學分別有7，8個自己感興趣的專業，若這名同學只能從這些專業中選擇1個，則他不同的選擇種數為（）A.56 B.15 C.28 D.30【答案】B【解析】不同的選擇種數為.故選：B.2.函數在處的導數等于（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】函數，求導得，所以.故選：A3.據報道，從2024年7月16日起，“高原版”復興號動車組將上線新成昆鐵路和達成鐵路，“高原版”復興號動車組涂裝用的是高耐性油漆，可適應高海拔低溫環境．“高原版”復興號動車組列車全長236.7米，由9輛編組構成，設有6個商務座、28個一等座、642個二等座，最高運行時速達160千米，全列定額載客676人．假設“高原版”復興號動車開出站一段時間內，速度與行駛時間的關系為，則當時，“高原版”復興號動車的加速度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，故當時，，即時，“高原版”復興號動車的加速度為，故選：B4.中國體育代表團在2024年巴黎奧運會獲得40金27銀24銅共91枚獎牌，金牌數與美國隊并列排名第一?創造了參加境外奧運會的最佳戰績.巴黎奧運會中國內地奧運健兒代表團于8月29日至9月2日訪問香港?澳門.訪問期間，甲?乙?丙3名代表團團員與4名青少年站成一排拍照留念，若甲?乙?丙互不相鄰，則不同的排法有（）A.2880種 B.1440種 C.720種 D.360種【答案】B【解析】第一步先排4名青少年共有種排法，第二步把甲?乙?丙插在4名青少年中間有種排法，所以根據分步乘法計數原理共有種排法，故選：B.5.函數的極小值點為（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】，由，得，由，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的極小值點為0．故選：C6.某5位同學排成一排準備照相時，又來了2位同學要加入，如果保持原來5位同學的相對順序不變，則不同的加入方法種數為（）A.21 B.30 C.42 D.60【答案】C【解析】7位同學排成一排準備照相時，共有種排法，如果保持原來5位同學的相對順序不變，則有種排法.故選：C7.已知函數存在單調遞增區間，則實數取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知的定義域為，又，由題意可知上有解，即在上有解，可得，所以．故選：C．8.將7名身高不同的學生從左往右排成一列，記第名學生的身高為，當時，由于學生的身高變化像字母，所以也叫“數列”，則滿足條件的“數列”共有（）A.61個 B.65個 C.68個 D.71個【答案】D【解析】記這7名學生的身高由低到高分別為數字1，2，3，4，5，6，7，因為都比大，所以只能為，或.當時，有種選法，剩余數字中的最大值作為，所以有種選法，剩下一個數作為，共有個“數列”；當時，有種選法，剩余數字中的最大值作為，剩余兩個數排，有種選法，共有個“數列”；當時，，從4，5，6，7中選2個數作為有種選法，剩余2個數為，共有6個“數列”.綜上所述，滿足條件的“數列”共有個.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則滿足不等式的的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】AB【解析】因為，所以，即，又，所以或4.故選：AB.10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A選項，令，得，故A正確；對于B選項，令，得，故B錯誤；對于C選項，令，得，故C錯誤；對于D選項，將，兩式相加，得，即，故D正確.故選：AD11.已知是函數的極值點，則（）A.有3個零點B.當時，C.曲線關于點對稱D.過點與曲線相切直線有2條【答案】CD【解析】，則，解得，則，當時，，當時，，所以在，上單調遞增，在上單調遞減，所以的極小值為，極大值為，所以有1個零點，A錯誤；由，得，所以，又在上單調遞增，所以，故B錯誤；因為，所以曲線關于點對稱，C正確；設過點的直線與曲線相切于點，所以切線方程，將點代入切線方程為，整理得，即，解得，或，過點的直線與曲線相切于點或，因此過點與曲線相切的直線有2條，D正確．故選：CD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________．【答案】【解析】由，得，所以，解得．故答案為：13.某班組織一次認識大自然的活動，有6名同學參加，其中有3名男生，3名女生，現要從這6名同學中隨機抽取3名同學去采集自然標本，則抽取的3名同學中既有男生又有女生的抽取方法共有______種．【答案】18【解析】抽取的3名同學中既有男生又有女生包含2種情況：1名男生，2名女生；2名男生，1名女生.所以滿足要求的抽取方法共有（種）.故答案為：1814.設為函數的導函數的圖象上一點，為函數的圖象上一點，當關于直線對稱時，稱是一組對稱點．若恰有3組對稱點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】，設，則，所以，，所以，因為與的圖象若恰有3組對稱點，所以有三組解，可得即有三個解，令，即函數與的圖象有3個不同的交點，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞減，所以，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數．（1）求曲線在點處切線的方程；（2）求函數的極值．解：（1）由，得，因為，所以，所以曲線在點處切線的方程為，即．（2）令，得或，當變化時，的變化情況如下表：300單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減又，所以函數的極小值為，極大值為13．16.在的二項展開式中，所有項的二項式系數之和為64.（1）求展開式中的常數項；（2）求展開式中二項式系數最大的項.解：（1）由題意可得，解得，所以該二項式，則通項公式為：．令，解得，所以該二項式的展開式中的常數項為．（2）因為，易知：展開式第四項二項式系數最大，即,所以展開式中二項式系數最大的項.17.已知等差數列滿足成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和．解：（1）因為數列為等差數列，則，即，又因為成等比數列，則，聯立方程，解得或，且，則，可知公差，所以數列的通項公式.（2）由（1）可得：，所以.18.已知橢圓的兩個焦點坐標分別為、，且橢圓經過點．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知圓，過圓上任意一點作圓的切線，若與橢圓交于、兩點，求的面積的最大值．解：（1）設橢圓的標準方程為，由題意可得，解得，因此，橢圓的標準方程為.（2）當切線的斜率不存在時，易知點的坐標為或，若點的坐標為時，則直線的方程為，聯立可得，不妨取點、，此時，；當切線的斜率存在時，設直線的方程為，設點、，易知圓的圓心為原點，半徑為，因為直線與圓相切，則，可得，聯立可得，，由韋達定理可得，，，當且僅當時，即當時，等號成立，此時，，且，因此，面積的最大值為.19.已知函數（為自然對數的底數，），函數的極值點為0．（1）求的值；（2）證明：對；（3）已知數列的前項和,證明:．解：（1）由，得，因為函數的極