高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省安陽市2025屆高三第一次模擬考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，所以.故選：C2.若復數滿足，則在復平面內，復數所對應的點組成的圖形的周長為（）A B. C. D.【答案】D【解析】設，由，則，則在復平面內，復數所對應的點組成的圖形為以為圓心，為半徑的圓，故復數所對應的點組成的圖形的周長為.故選：D.3.已知平行四邊形的對角線的交點為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，.故選：C4.甲、乙兩人玩迷宮游戲，已知迷宮的入口編號為1，出口編號分別為2，3，4，5，6，7，兩人從入口進入后，他們離開的出口編號之和為8的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】甲、乙兩人分別從6個出口中選擇1個出口有6種不同的選法，故共有種不同的基本事件，又他們離開的出口編號之和為8的包含的基本事件有共5個，所以他們離開的出口編號之和為8的概率為.故選：B.5.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與的右支交于，兩點，且，若的周長為20，則的實軸長為（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】設，因為，所以，.根據雙曲線的定義：平面內到兩個定點的距離之差的絕對值等于定值（）的點的軌跡為雙曲線.對于點在雙曲線右支上，有，即，可得①.對于點在雙曲線右支上，有，則.已知的周長為，的周長，而.所以，即②.將①代入②中，得到，即，解得.根據雙曲線的性質，雙曲線的實軸長為.把代入，可得實軸長為.故選：C6.如圖，在三棱錐中，，，兩兩垂直，，，，為線段上靠近的三等分點，點為的重心，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據題意，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，又點為的重心，所以，則，，則，則，所以點到直線的距離為.故選：B7.已知數列的前項和為，且，若，，則（）A.3 B.6 C.1015 D.2030【答案】A【解析】由，變形得到，即，故為等差數列，設公差為，則，故①，則②，式子②-①得，則，，所以為等差數列，則，，即，解得，所以，則，，又，故.故選：A8.已知函數在時滿足恒成立，且在區間內，僅存在三個數，，，使得，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】時，，令，則當時，，故要想在時滿足恒成立，需滿足，不妨取，，，畫出在上的圖象，如下：由圖象可知，，，則，故，兩式相加得，所以.故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.定義：已知函數在其定義域上的最大值為，最小值為，若，則稱是“間距函數”，則下列函數是“間距函數”的有（）A， B.，C.， D.，【答案】BCD【解析】對于選項A，易知的最大值為，最小值為，則，所以選項A錯誤，對于選項B，因為在區間上單調遞減，所以的最大值為，最小值為，則，所以選項B正確，對于選項C，，令，，當時，，又在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，又在區間上單調遞增，所以的最大值為，最小值為，則，所以選項C正確，對于選項D，令，因為，則，且，易知在區間上單調遞增，所以在區間的最大值為，最小值為，則，所以選項D正確，故選：BCD.10.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在上，圓，則下列說法正確的是（）A.若，則的面積為2B.若，則直線被圓截得的弦長為C.若為等腰三角形，則滿足條件的點有2個D.若為與軸正半軸的交點，為圓的直徑（在第一象限），的中點為，（表示斜率），則點的橫坐標為【答案】ABD【解析】對于A，，設點P,記則因為,所以解得,所以的面積為，故A正確；對于B，若，則，所以，所以直線為，所以，又因為，圓心到直線距離，所以直線被圓截得的弦長為，故B正確；對于C，由橢圓的性質可知，即.若是以為頂點的等腰三角形，點位于橢圓的上頂點或下頂點，滿足條件的點有2個；若是以為頂點的等腰三角形，則，則滿足條件的點有2個；同理，若是以為頂點的等腰三角形，滿足條件的點有2個；故使得為等腰三角形的點共6個，故C錯誤；對于D：設，，因為，所以，所以點的橫坐標為，D選項正確.故選：ABD.11.已知直三棱柱的底面為等腰直角三角形，，則下列說法正確的是（）A.三棱柱的體積為4B.以為球心，體積為的球面與側面的交線的長度為C.若，分別為，的中點，點在平面上，則的最小值為D.若空間中的一點滿足，則的最小值為【答案】AD【解析】對于A，由直三棱柱的底面為等腰直角三角形，，所以，所以，故A正確；對于B，設體積為的球的半徑為，所以，解得，取中點，由，所以，，由直三棱柱的性質可得平面，設為球面與側面的交線上的任一點，所以，所以，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又點在側面內，故體積為的球面與側面的交線的長度為，故B錯誤；對于C，取關于平面的對稱點，連接交于線段的中點，又點在平面上，故點為線段的中點時，的最小值為，此時的最小值為，所以的最小值為，故C錯誤；對于D，點滿足，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓繞長軸旋轉形成的橢球面，且，所以，又，所以在橢圓的短軸所在直線上，又，所以到橢圓的中心的距離為，所以的最小值為，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正項等比數列滿足，且，則公比為______________.【答案】【解析】設數列公比為q，因，則.又，則.故答案為：13.某學校統計了所有在職教師（只有一級教師和高級教師）的工資情況，其中一級教師80人，平均工資為4.5千元，方差為0.04，高級教師20人，平均工資為6.5千元，方差為0.44，則該校所有在職教師工資的方差為______________.【答案】0.76【解析】設一級教師的平均工資和方差為、，高級教師的平均工資和方差為、，因一級教師的占比，高級教師的占比，則全校教師的平均工資為(千元)，則教師工資的方差為.故答案為：0.7614.已知函數滿足，則實數____________，設為的導函數，則不等式的解集為____________.【答案】①.；②.【解析】由可得令，則，故，解得，由可得，故得，化簡可得，解得或，故答案為：，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知在中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，點到直線的距離為，求的周長.解：（1）在中，，，則，而，，解得，則，所以.（2）由正弦定理得，不妨設，則，由余弦定理得，解得，由，得，解得，所以，即的周長為14.16.如圖，已知正方體的棱長為2，是棱上靠近的四等分點.（1）求點到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）由正方體的性質可知平面，故是三棱錐的高，所以四面體的體積為，由題意知，，，所以，又，故點到平面的距離；（2）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，.設平面的法向量為，則，令，得，故，設平面的法向量為，則，令，得，故，設平面與平面的夾角為，則.17.隨著網絡App的普及與發展，刷“抖音”成為了人們日常生活的一部分.某地區隨機抽取了部分20～40歲的“抖音”用戶，調查他們日均刷“抖音”的時間情況，所得數據統計如下表：性別日均刷“抖音”時間超過2小時日均刷“抖音”時間不超過2小時男性4872女性2456（1）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為日均刷“抖音”時間的長短與性別有關？（2）現從被調查日均刷“抖音”時間超過2小時的用戶中，按照性別比例采用分層隨機抽樣的方法抽取3名用戶參加抖音知識問答，已知男性用戶、女性用戶順利完成知識問答的概率分別為，，每個人是否順利完成知識問答相互獨立，求在有且僅有2人順利完成知識問答的條件下，這2人性別不同的概率.參考公式：，其中.參考數據：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由題意，列聯表如下：性別日均刷“抖音”時間超過2小時日均刷“抖音”時間不超過2小時合計男性4872120女性245680合計72128200零假設為：日均刷“抖音”時間的長短與性別無關，則，故依據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷零假設成立，即日均刷“抖音”時間的長短與性別無關.（2）由分層隨機抽樣可知，抽取男性用戶2人，女性用戶1人.記“有且僅有2人順利完成知識問答”為事件，“2人性別不同”為事件，則，，故.18.已知函數.（1）求的極值；（2）若當時，，求實數的取值范圍；（3）設實數，滿足，證明：.解：（1）由題可知，令，得，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得極大值，沒有極小值.（2）設，根據題意，當時，恒成立.又，若，則，令，得，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，不符合題意，若，令，得或.若，則恒成立，所以在上單調遞增，又當時，，不符合題意，若，則，當時，，所以在上單調遞增，當時，，不符合題意，若，則，當時，，當時，，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，又因為，所以在上成立，要使在上也成立，只需，即，得，故的取值范圍是.（3）由（1）可知在上單調遞增，在上單調遞減，且當時，.又由（2）知當時，，故可作出，在上的大致圖象如下，除了點，的圖象都在的圖象的下方，當時，直線與曲線有兩個交點，橫坐標分別為，，直線與曲線有兩個交點，橫坐標分別為和，由圖可知19.設，是拋物線上除頂點以外的兩點，過點，分別作的切線，兩條切線相交于點.（1）若且，求直線的方程；（2）設，分別為直線，與軸的交點，證明：的外接圓過定點；（3）若的焦點為，點，在的準線上的射影分別為點，，證明：點是的外心.附：拋物線有如下光學性質：從焦點發出的光線，經拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.（1）解：根據對稱性可知在，兩點處的切線斜率為由得，從而，令，得，所以，所以直線的方程為.（2）證明：由題意可設直線，點，.因為，所以直線，即，令，得，所以.同理，直線，令，得，所以聯立直線與的方程，得，消去整理得，則，.由解得所以因為，，故