PAGE1-第31課時二倍角的正弦、余弦、正切公式對應學生用書P89學問點一公式的正用1．設α是第四象限角，已知sinα＝－eq\f(3,5)，則sin2α，cos2α和tan2α的值分別為()A．－eq\f(24,25)，eq\f(7,25)，－eq\f(24,7)B．eq\f(24,25)，eq\f(7,25)，eq\f(24,7)C．－eq\f(24,25)，－eq\f(7,25)，eq\f(24,7)D．eq\f(24,25)，－eq\f(7,25)，－eq\f(24,7)答案A解析因為α是第四象限角，且sinα＝－eq\f(3,5)，所以cosα＝eq\f(4,5)，所以sin2α＝2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，cos2α＝2cos2α－1＝eq\f(7,25)，tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\f(24,7)．2．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)，cos2α＝eq\f(7,25)，則cosα＝()A．eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C．－eq\f(3,5)D．eq\f(3,5)答案A解析∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)，∴eq\f(\r(2),2)sinα＋eq\f(\r(2),2)cosα＝eq\f(7\r(2),10)，即sinα＋cosα＝eq\f(7,5)，∵cos2α＝eq\f(7,25)，∴cos2α－sin2α＝eq\f(7,25)，即(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝eq\f(7,25)，∴cosα－sinα＝eq\f(1,5)，可得cosα＝eq\f(4,5)，故選A．學問點二公式的逆用3．eq\f(1－tan215°,2tan15°)等于()A．eq\r(3)B．eq\f(\r(3),3)C．1D．－1答案A解析原式＝eq\f(1,\f(2tan15°,1－tan215°))＝eq\f(1,tan30°)＝eq\r(3)．4．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于()A．eq\f(\r(6),2)B．eq\f(3,2)C．eq\f(5,4)D．1＋eq\f(\r(3),4)答案C解析原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋eq\f(1,2)sin30°＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)．5．eq\f(sin65°cos25°＋cos65°sin25°－tan222.5°,2tan22.5°)等于()A．eq\f(1,2)B．1C．eq\r(3)D．2答案B解析原式＝eq\f(sin90°－tan222.5°,2tan22.5°)＝eq\f(1－tan222.5°,2tan22.5°)＝eq\f(1,tan45°)＝1．6．eq\f(3－sin70°,2－cos210°)的值是________．答案2解析eq\f(3－sin70°,2－cos210°)＝eq\f(3－sin70°,2－\f(1＋cos20°,2))＝eq\f(23－cos20°,3－cos20°)＝2．7．若cos(75°－α)＝eq\f(1,3)，則cos(30°＋2α)＝________．答案eq\f(7,9)解析由cos(75°－α)＝eq\f(1,3)，得cos(150°－2α)＝2cos2(75°－α)－1＝－eq\f(7,9)，則cos(30°＋2α)＝cos[180°－(150°－2α)]＝－cos(150°－2α)＝eq\f(7,9)．學問點三公式的簡潔應用8．若α∈eq\f(5π,2)，eq\f(7π,2)，則eq\r(1＋sinα)＋eq\r(1－sinα)的值為()A．2coseq\f(α,2)B．－2coseq\f(α,2)C．2sineq\f(α,2)D．－2sineq\f(α,2)答案D解析∵α∈eq\f(5π,2)，eq\f(7π,2)，∴eq\f(α,2)∈eq\f(5π,4)，eq\f(7π,4)，∴原式＝sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＋sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2)＝－sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2)－sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝－2sineq\f(α,2)．9．已知角α在第一象限且cosα＝eq\f(3,5)，則eq\f(1＋\r(2)cos2α－\f(π,4),sinα＋\f(π,2))等于()A．eq\f(2,5)B．eq\f(7,5)C．eq\f(14,5)D．－eq\f(2,5)答案C解析∵cosα＝eq\f(3,5)且α在第一象限，∴sinα＝eq\f(4,5)．∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－eq\f(7,25)，sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(24,25)，∴原式＝eq\f(1＋\r(2)cos2αcos\f(π,4)＋sin2αsin\f(π,4),cosα)＝eq\f(1＋cos2α＋sin2α,cosα)＝eq\f(14,5)．10．已知sineq\f(x,2)－2coseq\f(x,2)＝0．(1)求tanx的值；(2)求eq\f(cos2x,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)＋x))sinπ＋x)的值．解(1)由sineq\f(x,2)－2coseq\f(x,2)＝0，知coseq\f(x,2)≠0，∴taneq\f(x,2)＝2，∴tanx＝eq\f(2tan\f(x,2),1－tan2\f(x,2))＝eq\f(2×2,1－22)＝－eq\f(4,3)．(2)由(1)，知tanx＝－eq\f(4,3)，∴eq\f(cos2x,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)＋x))sinπ＋x)＝eq\f(cos2x,－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－sinx)＝eq\f(cos2x－sin2x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosx－\f(\r(2),2)sinx))sinx)＝eq\f(cosx－sinxcosx＋sinx,\f(\r(2),2)cosx－sinxsinx)＝eq\r(2)×eq\f(cosx＋sinx,sinx)＝eq\r(2)×eq\f(1＋tanx,tanx)＝eq\f(\r(2),4)．對應學生用書P90一、選擇題1．eq\f(1,2)－sin215°＝()A．eq\f(\r(6),4)B．eq\f(\r(6)－\r(2),4)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),4)答案D解析原式＝eq\f(1,2)－eq\f(1－cos2×15°,2)＝eq\f(cos30°,2)＝eq\f(\r(3),4)．2．函數f(x)＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))－1是()A．最小正周期為π的奇函數B．最小正周期為π的偶函數C．最小正周期為2π的奇函數D．最小正周期為2π的偶函數答案C解析∵f(x)＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))－1＝－cos2eq\f(x,2)＋eq\f(π,4)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝sinx，∴函數f(x)＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))－1是最小正周期為2π的奇函數．3．已知coseq\f(π,4)－x＝eq\f(3,5)，則sin2x的值為()A．eq\f(18,25)B．eq\f(7,25)C．－eq\f(7,25)D．－eq\f(16,25)答案C解析因為sin2x＝coseq\f(π,2)－2x＝cos2eq\f(π,4)－x＝2cos2eq\f(π,4)－x－1，所以sin2x＝2×eq\f(3,5)2－1＝eq\f(18,25)－1＝－eq\f(7,25)．4．已知cos2θ＝eq\f(\r(2),3)，則sin4θ＋cos4θ的值為()A．eq\f(13,18)B．eq\f(11,18)C．eq\f(7,9)D．－1答案B解析sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－eq\f(1,2)sin22θ＝1－eq\f(1,2)(1－cos22θ)＝eq\f(11,18)．5．若eq\f(cos2α,sinα－\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),2)，則cosα＋sinα的值為()A．－eq\f(\r(7),2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(7),2)答案C解析eq\f(cos2α,sinα－\f(π,4))＝eq\f(cos2α－sin2α,\f(\r(2),2)sinα－cosα)＝eq\f(cosα＋sinαcosα－sinα,\f(\r(2),2)sinα－cosα)＝－eq\r(2)(cosα＋sinα)＝－eq\f(\r(2),2)．∴sinα＋cosα＝eq\f(1,2)．二、填空題6．已知tanx＋eq\f(π,4)＝2，則eq\f(tanx,tan2x)的值為________．答案eq\f(4,9)解析∵tanx＋eq\f(π,4)＝2，∴eq\f(tanx＋1,1－tanx)＝2，∴tanx＝eq\f(1,3)．∴eq\f(tanx,tan2x)＝eq\f(tanx,\f(2tanx,1－tan2x))＝eq\f(1－tan2x,2)＝eq\f(1－\f(1,9),2)＝eq\f(4,9)．7．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈0，eq\f(π,2)，則α＝________．答案eq\f(π,6)解析∵sin22α＋sin2αcosα－(cos2α＋1)＝0．∴4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0．∵α∈0，eq\f(π,2)．∴2cos2α>0．∴2sin2α＋sinα－1＝0．∴sinα＝eq\f(1,2)(sinα＝－1舍)．∴α＝eq\f(π,6)．8．設a＝eq\f(1,2)cos7°－eq\f(\r(3),2)sin7°，b＝2cos12°·cos78°，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))，則a，b，c的大小關系是________．答案c>b>a解析a＝eq\f(1,2)cos7°－eq\f(\r(3),2)sin7°＝sin30°cos7°－cos30°sin7°＝sin(30°－7°)＝sin23°，b＝2cos12°cos78°＝2sin12°·cos12°＝sin24°，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))＝eq\r(\f(1－1－2sin225°,2))＝eq\r(sin225°)＝sin25°，所以c>b>a．三、解答題9．求下列各式的值：(1)sineq\f(π,8)sineq\f(3π,8)；(2)cos215°－cos275°；(3)2cos2eq\f(5π,12)－1；(4)eq\f(tan30°,1－tan230°)；(5)求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．解(1)∵sineq\f(3π,8)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,8)))＝coseq\f(π,8)，∴sineq\f(π,8)sineq\f(3π,8)＝sineq\f(π,8)coseq\f(π,8)＝eq\f(1,2)·2sineq\f(π,8)coseq\f(π,8)＝eq\f(1,2)sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),4)．(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)．(3)2cos2eq\f(5π,12)－1＝coseq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)．(4)eq\f(tan30°,1－tan230°)＝eq\f(\f(1,2)×2tan30°,1－tan230°)＝eq\f(1,2)tan60°＝eq\f(\r(3),2)．(5)解法一：∵sin10°sin50°sin70°＝eq\f(sin20°sin50°sin70°,2cos10°)＝eq\f(sin20°cos20°sin50°,2cos10°)＝eq\f(sin40°sin50°,4cos10°)＝eq\f(sin40°cos40°,4cos10°)＝eq\f(sin80°,8cos10°)＝eq\f(1,8)，∴sin10°sin30°sin50°sin70°＝eq\f