高中難度高的試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.已知函數\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，\(f^\prime(1)=0\)，則\(2a+b\)的值為（）A.-3B.3C.-1D.12.若復數\(z=\frac{1+2i}{1-i}\)，則\(|z|\)等于（）A.\(\frac{\sqrt{10}}{2}\)B.\(\frac{5}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)D.\(\frac{5\sqrt{2}}{2}\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow{b}=(m,4)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，則\(m\)的值為（）A.-2B.2C.8D.-84.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{3}{5}x\)D.\(y=\pm\frac{5}{3}x\)5.函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)6.已知\(\cos\alpha=-\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\sin\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(-\frac{3}{5}\)7.設\(a=\log_32\)，\(b=\log_52\)，\(c=\log_23\)，則（）A.\(a>c>b\)B.\(b>c>a\)C.\(c>b>a\)D.\(c>a>b\)8.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則\(z=3x-y\)的最大值為（）A.7B.1C.-1D.-79.已知等差數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(a_3+a_5=10\)，則\(S_7\)的值為（）A.14B.28C.42D.5610.曲線\(y=x\lnx\)在點\((1,0)\)處的切線方程為（）A.\(y=x-1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=2x-2\)D.\(y=-2x+2\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln|x|\)D.\(y=e^x+e^{-x}\)2.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為實數，則下列命題正確的有（）A.若\(a>b\)，則\(ac^2>bc^2\)B.若\(a>b\)，\(c>d\)，則\(a-c>b-d\)C.若\(a>b>0\)，則\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)D.若\(a>b\)，\(c>0\)，則\(ac>bc\)3.一個正方體的棱長為\(2\)，則以下說法正確的是（）A.正方體的外接球直徑為\(2\sqrt{3}\)B.正方體的內切球表面積為\(4\pi\)C.正方體的棱切球（與各棱都相切）半徑為\(\sqrt{2}\)D.正方體的外接球體積為\(8\sqrt{3}\pi\)4.已知函數\(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A>0\)，\(\omega>0\)，\(|\varphi|<\frac{\pi}{2}\)）的部分圖象，則（）A.\(A=2\)B.\(\omega=2\)C.\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)D.\(f(x)\)的單調遞增區間是\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}]\)，\(k\inZ\)5.已知直線\(l\)過點\((1,0)\)且與圓\(x^2+y^2=4\)相交于\(A\)，\(B\)兩點，則（）A.當直線\(l\)的斜率不存在時，\(|AB|=2\sqrt{3}\)B.當直線\(l\)的斜率為\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)時，\(|AB|=\sqrt{13}\)C.\(|AB|\)的最大值為\(4\)D.\(|AB|\)的最小值為\(2\)6.設等比數列\(\{a_n\}\)的公比為\(q\)，其前\(n\)項和為\(S_n\)，前\(n\)項積為\(T_n\)，并且滿足條件\(a_1>1\)，\(a_{7}a_{8}>1\)，\(\frac{a_{7}-1}{a_{8}-1}<0\)，則下列結論正確的是（）A.\(0<q<1\)B.\(a_{7}a_{9}<1\)C.\(T_n\)的最大值為\(T_7\)D.\(S_n\)的最大值為\(S_7\)7.已知函數\(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,x\geq0\\-x^2-2x,x<0\end{cases}\)，則（）A.\(f(x)\)是奇函數B.\(f(x)\)在\((-\infty,-1]\)上單調遞增C.\(f(x)\)在\([1,+\infty)\)上單調遞增D.若\(f(a)+f(a-2)\leq0\)，則\(a\leq1\)8.已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，點\(P\)在橢圓上，\(\angleF_1PF_2=60^{\circ}\)，則（）A.當\(a=2b\)時，橢圓的離心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.若\(\triangleF_1PF_2\)的面積為\(\sqrt{3}b^2\)，則\(a=2b\)C.若\(\triangleF_1PF_2\)為直角三角形，則離心率\(e\)的取值范圍是\([\frac{\sqrt{2}}{2},1)\)D.若\(\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0\)，則\(\triangleF_1PF_2\)的面積為\(b^2\)9.已知函數\(f(x)=\lnx-ax\)有兩個零點\(x_1\)，\(x_2\)（\(x_1<x_2\)），則（）A.\(0<a<\frac{1}{e}\)B.\(x_1+x_2>\frac{2}{a}\)C.\(x_1x_2>e^2\)D.\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>\frac{2}{e}\)10.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為正實數，且\(a+b+c=1\)，則（）A.\(a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}\)B.\(ab+bc+ca\leq\frac{1}{3}\)C.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq\sqrt{3}\)D.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq9\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(a>b\)，則\(a^2>b^2\)。（）2.函數\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內是減函數。（）3.空間中垂直于同一條直線的兩條直線一定平行。（）4.若向量\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)。（）5.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標是\((1,0)\)。（）6.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta+2k\pi\)，\(k\inZ\)。（）7.已知\(a\)，\(b\)為實數，若\(a+b=0\)，則\(a\)，\(b\)互為相反數。（）8.函數\(y=\cosx\)的圖象關于點\((\frac{\pi}{2},0)\)對稱。（）9.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)內的無數條直線垂直，則\(l\perp\alpha\)。（）10.對于任意實數\(x\)，不等式\(x^2-2x+1\geq0\)恒成立。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數\(y=\frac{1}{2}\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)的單調遞增區間。-答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{3}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，解不等式得\(k\pi-\frac{\pi}{12}\leqx\leqk\pi+\frac{5\pi}{12}\)，\(k\inZ\)，所以單調遞增區間是\([k\pi-\frac{\pi}{12},k\pi+\frac{5\pi}{12}]\)，\(k\inZ\)。2.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求數列\(\{a_n\}\)的通項公式。-答案：設公差為\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，將\(a_1=1\)，\(a_3=5\)代入得\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)，則\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,3)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)以及\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert\)。-答案：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\times(-1)+1\times3=1\)；\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2-1,1+3)=(1,4)\)，則\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}\)。4.求曲線\(y=e^x\)在點\((0,1)\)處的切線方程。-答案：對\(y=e^x\)求導得\(y^\prime=e^x\)，在點\((0,1)\)處切線斜率\(k=e^0=1\)，由點斜式得切線方程為\(y-1=1\times(x-0)\)，即\(y=x+1\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數\(f(x)=x^3-3x\)的單調性與極值情況。-答案：對\(f(x)\)求導得\(f^\prime(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=\pm1\)。當\(x<-1\)或\(x>1\)時，\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增；當\(-1<x<1\)時，\(f^\prime(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減。所以\(x=-1\)取極大值\(f(-1)=