2024-2025學年湖南省懷化市溆浦縣八年級（下）期中數學試卷一、選擇題本題共10個小題，每小題3分，共30分。1．（3分）若正多邊形的一個內角是120°，則這個正多邊形的邊數為（）A．8 B．7 C．6 D．52．（3分）正六邊形的一個外角為（）A．360° B．36° C．60° D．720°3．（3分）四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O點，OA＝OC，OB＝OD．添加下列條件（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．∠ABD＝∠CBD D．AC＝BD4．（3分）順次連接梯形各邊中點所組成的圖形是（）A．平行四邊形 B．菱形 C．梯形 D．正方形5．（3分）下列交通標志中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．6．（3分）若長度為3、4、m的三條線段能組成一個鈍角三角形，則m的值可能為（）A．3 B．4 C．5 D．67．（3分）下列各組數中，以a，b，c為邊的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝7，b＝25，c＝24 B．a＝12，b＝13，c＝5 C．a＝11，b＝41，c＝40 D．a＝8，b＝17，c＝158．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，AE、BF交于點O．若BF＝13，AO＝5（）A．60 B．65 C．120 D．1309．（3分）如圖，港口A在觀測站O的正西方向，AO＝4nmile，沿北偏西30°方向航行一段距離后到達B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏西60°的方向（）A．4nmile B．2nmile C．nmile D．10．（3分）如圖，在正方形ABCD對角線BD上截取BE＝BC，連接CE并延長交AD于點F，過B作BG⊥AE于點G，交AD于點H（）A．AH＝DF B．S四邊形EFHG＝S△DEF+S△AGH C．∠AEF＝45° D．△ABH≌△DCF二、填空題：本題共8個小題，每小題3分，共24分。11．（3分）如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”步路（假設2步為1米），卻踩傷了花草．12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，BO是斜邊AC的中線，則AC的長為．13．（3分）如圖，若AB∥CD，AB⊥AF，AF＝14，BD＝50，則CF＝．14．（3分）如圖是一個五角星圖案，中間部分的五邊形ABCDE是一個正五邊形，則圖中∠ABC的度數是度．15．（3分）在四邊形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，BD相交于點O．若AC＝6，則AO的長等于．16．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線的長分別為2和5，P是對角線AC上任一點（點P不與點A、C重合），PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積是．17．（3分）如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，紅蓮被吹至一邊，花朵下部剛好齊及水面，則水深是cm．18．（3分）如圖，在?ABCD中，∠DBC＝45°，延長BF⊥CD于點F，DE，延長BF與AD的延長線交于點G，下面給出四個結論：①BD＝；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；⑤線段BG與CD互相平分．其中正確的結論有個．三、解答題：本題共8個小題，共66分。19．（6分）如圖，直線AE∥BC，BA⊥AC，求∠EAC的度數．20．（6分）已知：如圖，D、E、F分別是△ABC三邊中點，AH⊥BC于H21．（8分）如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，AE平分∠BAC，CE⊥AE，EF∥BC．求證：（1）四邊形BDEF是平行四邊形；（2）BF＝（AB﹣AC）．22．（8分）如圖，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，BC與EF交于點O．（1）求證：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度數．23．（8分）如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝CD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，將紙片沿EF折疊，使點G與點D重合．（1）求證：AE＝AF；（2）求GF的長．24．（8分）如圖，在△ABC中，CD⊥AB，BC＝，CD＝2．（1）求DB的長；（2）求證：AC⊥BC．25．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤10），連接DE，EF．（1）四邊形AEFD能構成菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能；（2）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．26．（12分）如圖，已知菱形ABCD，∠ABC＝60°，以AP為邊向右側作等邊△APE，連結PC．（1）求證：PC＝PE；（2）設∠CPE＝α，∠BCP＝β，求證：α＝2β；（3）設AB＝m，當CP⊥PE時，求AP的長（用含m的代數式表示）．

2024-2025學年湖南省懷化市溆浦縣八年級（下）期中數學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CCDADDCBAB一、選擇題本題共10個小題，每小題3分，共30分。1．（3分）若正多邊形的一個內角是120°，則這個正多邊形的邊數為（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】多邊形的內角和可以表示成（n﹣2）?180°，因為所給多邊形的每個內角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此題還可以由已知條件，求出這個多邊形的外角，再利用多邊形的外角和定理求解．【解答】解：設所求正n邊形邊數為n，則120°n＝（n﹣2）?180°，解得n＝6，故選：C．【點評】本題考查根據多邊形的內角和計算公式求多邊形的邊數，解答時要會根據公式進行正確運算是解答此題的關鍵．2．（3分）正六邊形的一個外角為（）A．360° B．36° C．60° D．720°【分析】根據任何多邊形的外角和是360°，得出正六邊形的一個外角為，即可選出正確答案．【解答】解：∵任意一個多邊形的外角和都是360°，∴正六邊形的外角和為360°，∴正六邊形的一個外角為，故選：C．【點評】本題考查了多邊形的內角與外角，熟練掌握多邊形的外角和360°是解題的關鍵．3．（3分）四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O點，OA＝OC，OB＝OD．添加下列條件（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．∠ABD＝∠CBD D．AC＝BD【分析】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再由矩形的判定、菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、∵OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選項A不符合題意；B、∵OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∴不能判定四邊形ABCD為矩形，故選項B不符合題意；C、∵OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選項C不符合題意；D、∵OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC＝BD，∴平行四邊形ABCD為矩形，故選項D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定以及等腰三角形的判定等知識，熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．4．（3分）順次連接梯形各邊中點所組成的圖形是（）A．平行四邊形 B．菱形 C．梯形 D．正方形【分析】連接AC、BD，根據三角形的中位線定理得到EH∥AC，EH＝AC，同理FG∥AC，FG＝AC，進一步推出EH＝FG，EH∥FG，即可得到答案．【解答】解：連接AC、BD，∵E是AD的中點，H是CD的中點，∴EH＝AC，同理FG＝AC，∴EH＝FG，同理EF＝HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，故選：A．【點評】本題主要考查了中點四邊形，平行四邊形的判定等知識點，解此題的關鍵是連接AC、BD，把它轉化成三角形的中位線來證明．題型較好，比較典型．5．（3分）下列交通標志中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據中心對稱圖形的定義逐個進行判斷即可．【解答】解：A、不是中心對稱圖形；B、不是中心對稱圖形；C、不是中心對稱圖形；D、是中心對稱圖形；故選：D．【點評】本題考查了中心對稱圖形的定義，能熟記中心對稱圖形的定義是解此題的關鍵．6．（3分）若長度為3、4、m的三條線段能組成一個鈍角三角形，則m的值可能為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據三角形的三邊關系：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊差小于第三邊，結合勾股定理即可求解．【解答】解：由題意可得，4﹣3＜m＜8+3，解得1＜m＜4，∵＝，＝5，∴1＜m＜，5＜m＜7，∴m的值可能為2．故選：D．【點評】本題考查了三角形的三邊關系：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊差小于第三邊；運用三角形的三邊關系定理是解答的關鍵．7．（3分）下列各組數中，以a，b，c為邊的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝7，b＝25，c＝24 B．a＝12，b＝13，c＝5 C．a＝11，b＝41，c＝40 D．a＝8，b＝17，c＝15【分析】欲判斷是否為直角三角形，需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【解答】解：A、72+246＝252，能構成直角三角形，不符合題意；B、58+122＝132，能構成直角三角形，不符合題意；C、117+402≠412，不能構成直角三角形，符合題意；D、52+152＝175，能構成直角三角形，不符合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．8．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，AE、BF交于點O．若BF＝13，AO＝5（）A．60 B．65 C．120 D．130【分析】先證明四邊形ABEF是平行四邊形，再證明鄰邊相等即可得出四邊形ABEF是菱形，然后利用菱形的面積公式計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分線交BC于點E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB＝AF．∴四邊形ABEF是菱形．∵BF＝13，AO＝5，∴四邊形ABEF＝2××13×5＝65，故選：B．【點評】本題考查平行四邊形的性質、菱形的判定和性質等知識，證得四邊形是菱形是解答本題的關鍵，難度不大．9．（3分）如圖，港口A在觀測站O的正西方向，AO＝4nmile，沿北偏西30°方向航行一段距離后到達B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏西60°的方向（）A．4nmile B．2nmile C．nmile D．【分析】易得∠B和∠AOB的度數相等，那么根據等角對等邊可得AB的長度和OA的長度相等．【解答】解：如圖：由題意得：AM∥ON，ON⊥OA，∠MAB＝30°，∴∠AMO＝∠NOB＝60°，∠AON＝90°，∴∠B＝60°﹣30°＝30°，∠AOB＝90°﹣60°＝30°，∴∠B＝∠AOB，∴AB＝OA＝4nmile，故選：A．【點評】本題考查方向角的相關知識．判斷出∠B和∠AOB的度數是解決本題的關鍵．10．（3分）如圖，在正方形ABCD對角線BD上截取BE＝BC，連接CE并延長交AD于點F，過B作BG⊥AE于點G，交AD于點H（）A．AH＝DF B．S四邊形EFHG＝S△DEF+S△AGH C．∠AEF＝45° D．△ABH≌△DCF【分析】先判斷出∠DAE＝∠ABH，再判斷△ADE≌△CDE得出∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∠ABH＝∠DCF，再判斷出Rt△ABH≌Rt△DCF從而得到A、D正確，根據三角形的外角求出∠AEF＝45°，得出C正確；連接HE，判斷出S△EFH≠S△EFD得出B錯誤．【解答】解：∵BD是正方形ABCD的對角線，∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，∵BE＝BC，∴AB＝BE，∵BG⊥AE，∴BH是線段AE的垂直平分線，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，∵∠AGH＝90°，∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，在△ADE和△CDE中，∴△ADE≌△CDE，∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∴∠ABH＝∠DCF，在Rt△ABH和Rt△DCF中，∴Rt△ABH≌Rt△DCF，∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，∴67.8°＝22.5°+∠AEF，∴∠AEF＝45°，故ACD正確；如圖，連接HE，∵BH是AE垂直平分線，∴AG＝EG，∴S△AGH＝S△HEG，∵AH＝HE，∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，∴∠DHE＝45°，∵∠ADE＝45°，∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，∴EH＝ED，∴△DEH是等腰直角三角形，∵EF不垂直DH，∴FH≠FD，∴S△EFH≠S△EFD，∴S四邊形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故B錯誤，故選：B．【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的內角和和三角形外角的性質，解本題的關鍵是判斷出△ADE≌△CDE，難點是作出輔助線．二、填空題：本題共8個小題，每小題3分，共24分。11．（3分）如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”8步路（假設2步為1米），卻踩傷了花草．【分析】直接利用勾股定理得出AB的長，再利用AC+BC﹣AB進而得出答案．【解答】解：由題意可得：AB＝＝10（m），則AC+BC﹣AB＝14﹣10＝6（m），故他們僅僅少走了：4×2＝3（步）．故答案為：8．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，正確應用勾股定理是解題關鍵．12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，BO是斜邊AC的中線，則AC的長為8cm．【分析】利用直角三角形斜邊上的中線性質，進行計算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，BO是斜邊AC的中線，∴AC＝2BO＝8（cm），故答案為：5cm．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質是解題的關鍵．13．（3分）如圖，若AB∥CD，AB⊥AF，AF＝14，BD＝50，則CF＝6．【分析】由“ASA”可證△AEB≌△FED，可得BE＝DE＝BD＝25，由勾股定理可求DF＝24，即可求解．【解答】解：∵E是AF的中點，∴AE＝EF＝AF＝7，∵AB∥CD，∴∠A＝∠DFE＝90°，在△ABE和△FDE中，，∴△AEB≌△FED（ASA），∴BE＝DE＝BD＝25，∴DF＝＝＝24，∴CF＝CD﹣DF＝6，故答案為：4．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理是本題的關鍵．14．（3分）如圖是一個五角星圖案，中間部分的五邊形ABCDE是一個正五邊形，則圖中∠ABC的度數是108度．【分析】根據五邊形的內角和是（5﹣2）×180°＝540°，再根據正五邊形的各個內角都相等求得∠ABC的度數．【解答】解：∵ABCDE是一個正五邊形，∴五邊形的內角和是（5﹣2）×180°＝540°，∴∠ABC＝540°÷3＝108°．【點評】掌握多邊形的內角和定理以及正多邊形的性質．15．（3分）在四邊形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，BD相交于點O．若AC＝6，則AO的長等于3．【分析】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再由平行四邊形對角線互相平分，即可得出答案．【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，∵AC＝6，∴AO＝AC＝3．故答案為：3．【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質，得出AO＝CO是解題的關鍵．16．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線的長分別為2和5，P是對角線AC上任一點（點P不與點A、C重合），PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積是2.5．【分析】根據題意可得陰影部分的面積等于△ABC的面積，因為△ABC的面積是菱形面積的一半，根據已知可求得菱形的面積則不難求得陰影部分的面積．【解答】解：設AP與EF相交于O點．∵四邊形ABCD為菱形，∴BC∥AD，AB∥CD．∵PE∥BC，PF∥CD，∴PE∥AF，PF∥AE．∴四邊形AEFP是平行四邊形．∴S△POF≌S△AOE．即陰影部分的面積等于△ABC的面積．∵△ABC的面積等于菱形ABCD的面積的一半，菱形ABCD的面積＝AC?BD＝2，∴圖中陰影部分的面積為5÷2＝8.5．故答案為：2.4．【點評】本題主要考查了菱形的面積的計算方法，根據菱形是中心對稱圖形，得到陰影部分的面積等于菱形面積的一半是解題的關鍵．17．（3分）如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅蓮，紅蓮被吹至一邊，花朵下部剛好齊及水面，則水深是45cm．【分析】在RT△ABC中，AB＝hcm，AC＝（h+30）cm，BC＝60cm，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2，即（h+30）2＝h2+602，解方程即可．【解答】解：設水深為hcm，由題意得：在Rt△ABC中，AB＝hcm，BC＝60cm，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，即（h+30）2＝h2+607，解得：h＝45．答：水深是45cm．故答案為：45．【點評】本題考查了勾股定理的應用，理解題意，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．18．（3分）如圖，在?ABCD中，∠DBC＝45°，延長BF⊥CD于點F，DE，延長BF與AD的延長線交于點G，下面給出四個結論：①BD＝；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；⑤線段BG與CD互相平分．其中正確的結論有3個．【分析】①由等腰直角三角形的性質可求BD＝BE；②由余角的性質和平行四邊形的性質可求∠A＝∠C＝∠BHE；③由“ASA”可證△BHE≌△DCE，可得BH＝CD；④在△BCF和△DCE中，只有三個角相等，沒有邊相等，則△BCF與△DCE不全等，設D是AG的中點，進而根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BD＝DG．而沒有這個條件，故⑤不正確．【解答】解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，∴∠DBE＝∠BDE＝45°，∴BE＝DE，∴BD＝＝BE；∵DE⊥BC，BF⊥CD，∴∠BEH＝∠DEC＝90°，∴∠BHE+∠HBE＝90°＝∠HBE+∠C，∴∠C＝∠BHE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C＝∠BHE，故②正確；∵∠C+∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠HBE，在△BHE和△DCE中，，∴△BHE≌△DCE（ASA），∴BH＝CD＝AB，故③正確，在△BCF和△DCE中，只有三個角相等，∴△BCF與△DCE不全等，故④錯誤．若D點是AG的中點，∵BG⊥CD，AB∥CD，∴AB⊥BG，則DB＝AG＝DG，∴BF＝FG，∵D點不一定是AG的中點，則BF＝FG不一定成立則線段BG與CD互相平分，不一定成立，故⑤錯誤，故答案為：4．【點評】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質等知識，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．三、解答題：本題共8個小題，共66分。19．（6分）如圖，直線AE∥BC，BA⊥AC，求∠EAC的度數．【分析】根據垂直的定義得到∠BAC＝90°，根據三角形的內角和定理得到∠C＝90°﹣54°＝36°，根據平行線的性質即可得到結論．【解答】解：∵BA⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠ABC＝54°，∴∠C＝90°﹣54°＝36°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝36°．【點評】本題考查了平行線的性質，垂線，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．20．（6分）已知：如圖，D、E、F分別是△ABC三邊中點，AH⊥BC于H【分析】根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DF＝AC，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EH＝AC，從而得證．【解答】證明：∵D、F分別是△ABC三邊中點，∴DF是△ABC的中位線，∴DF＝AC，∵AH⊥BC于H，E是AC的中點，∴EH＝AC，∴DF＝EH．【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，熟記定理和性質是解題的關鍵．21．（8分）如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，AE平分∠BAC，CE⊥AE，EF∥BC．求證：（1）四邊形BDEF是平行四邊形；（2）BF＝（AB﹣AC）．【分析】（1）先證△AGE≌△ACE，得到GE＝EC，再利用三角形的中位線定理得DE∥AB，然后由平行四邊形的判定可證出結論；（2）先證明BF＝DE＝BG，再證明AG＝AC，可得到BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．【解答】證明：（1）延長CE交AB于點G，如圖所示：∵AE⊥CE，∴∠AEG＝∠AEC＝90°，在△AEG和△AEC中，，∴△AGE≌△ACE（ASA），∴GE＝EC，∵D是邊BC的中點，∴DE為△CGB的中位線，∴DE∥AB．∵EF∥BC，∴四邊形BDEF是平行四邊形．（2）由（1）可知，四邊形BDEF是平行四邊形，∴BF＝DE．∵D、E分別是BC，∴BF＝DE＝BG．∵△AGE≌△ACE，∴AG＝AC，∴BF＝（AB﹣AG）＝．【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形中位線定理等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質和全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．22．（8分）如圖，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，BC與EF交于點O．（1）求證：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度數．【分析】（1）根據HL證明兩個三角形全等；（2）根據三角形全等的性質和三角形外角的性質可得結論．【解答】（1）證明：∵AE＝DB，∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，在Rt△ACB和Rt△DFE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC＝∠DEF．∴∠DEF＝39°，∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，尤其是掌握直角三角形特殊的全等判定：HL，在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．23．（8分）如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝CD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，將紙片沿EF折疊，使點G與點D重合．（1）求證：AE＝AF；（2）求GF的長．【分析】（1）根據翻折的性質可得∠AEF＝∠CEF，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AFE＝∠CEF，然后求出∠AEF＝∠AFE，根據等角對等邊可得AE＝AF；（2）根據勾股定理列方程可得答案．【解答】（1）證明：由翻折的性質得，∠AEF＝∠CEF，∵矩形ABCD的對邊AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF；（2）解：由翻折的性質得，AE＝CE，設AE＝CE＝x，則BE＝8﹣x，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，∴x2＝42+（8﹣x）8，解得：x＝5，∴AE＝5，又由（1）可知，AF＝8，∴FD＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，由翻折的性質得，GF＝FD＝3．【點評】本題考查了翻折變換的性質，矩形的判定與性質，勾股定理，熟記各性質并作利用勾股定理列方程求出AE的長度是解題的關鍵．24．（8分）如圖，在△ABC中，CD⊥AB，BC＝，CD＝2．（1）求DB的長；（2）求證：AC⊥BC．【分析】（1）根據垂直定義可得∠CDA＝∠CDB＝90°，然后在Rt△CDB中，利用勾股定理進行計算，即可解答；（2）利用（1）的結論可得AD＝4，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的長，從而利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，進而可得∠ACB＝90°，即可解答．【解答】（1）解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，在Rt△CDB中，BC＝，∴BD＝＝＝1，∴DB的長為8；（2）證明：∵AB＝5，BD＝1，∴AD＝AB﹣BD＝8﹣1＝4，在Rt△ACD中，AC＝＝，∴AC2+BC2＝（3）2+（）2＝25，AB2＝72＝25，∴AC2+BC7＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC．【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解題的關鍵．25．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤10），連接DE，EF．（1）四邊形AEFD能構成菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能；（2）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．【分析】（1）能，首先證明四邊形AEFD為平行四邊形．當AE＝AD時，四邊形AEFD為菱形，即40﹣4t＝2t，解方程即可解決問題．（2）分三種情形討論即可．【解答】（1）證明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝6t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四邊形AEFD為平行四邊形，當AE＝AD時，四邊形AEFD為菱形，即40