§4-6線性諧振子與粒子數表象知識點教學目標線性諧振子的代數解法粒子數表象（數態表象）

記住產生算符和消滅算符的性質。會推導粒子數算符的性質。牢記產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用公式。把握線性諧振子的能量表象和粒子數表象之間的關系。初步了解量子力學的代數解法。本節內容1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示量綱分析線性諧振子的哈密頓算符為構造無量綱量所以產生算符和消滅算符（無量綱算符）消滅算符產生算符1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示產生算符和消滅算符的性質由于，故不是厄米算符。滿足對易關系可以推出1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示

、和的對易關系同理1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示定義：粒子數算符它是厄米算符滿足對易關系粒子數算符的性質1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示粒子數算符的本征值和本征態設

的本征方程為且因為所以且是的本征態，對應的本征值為n-1所以又因為是的本征態，對應的本征值為n-2采用類似辦法，可得結論：的本征值及本征態分別為1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示以此類推，得是的本征態，對應的本征值為n-k是的本征態，對應的本征值為n+k本征值：本征態：1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示又因此所以同理即、的作用使態分別變成了、態，所以、

分別稱為消滅算符（降算符）、產生算符（升算符）。1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示設的最小本征值為，相應的本征矢為，則把、、···逐次作用于

，得到的一系列本征解：即是的本征值為0的本征態，記為。本征值：本征態：1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示即也是的本征態，對應的本征值為能量本征值能量本征態1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示基態波函數歸一化1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示激發態波函數所以下面計算因此1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示說明：實際上將矩陣取共軛就可得矩陣。算符、的矩陣表示1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示算符、的矩陣表示說明：因為在自身表象下，所以均為對角矩陣。1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示算符、的矩陣表示1產生算符和消滅算符2粒子數算符3產生、消滅算符對粒子數算符本征態的作用4粒子數算符的本征解5能量本征值及本征態6粒子數表象中算符的矩陣表示例1如果的本征方程為，且，那么，波函數

和也都是的本征函數，對應的本征值分別為

和。因為所以同理ABCD提交21-1若，，且