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§2-8方形勢阱知識點教學目標勢阱一維無限深勢阱中粒子的能量本征值和本征函數一維方形勢阱中粒子的能量本征值能量本征值和概率分布的特征學會求解一維方勢阱能量本征值和本征函數的方法。對比一維勢阱中粒子能量取值和經典能量取值的差別。會通過能量本征函數計算粒子的位置概率分布。

本節內容1一維無限深勢阱2方形勢阱1一維無限深勢阱2方形勢阱一維無限深勢阱（對稱）能量本征方程1一維無限深勢阱2方形勢阱求解方程勢阱外：（剛性壁），勢阱內：方程的解：有三種寫法由于一維無限深勢阱屬于束縛定態情況，所以波函數通常不用復數形式，因此可以采用后面兩種的任意一種形式。例如采用第三種寫法1一維無限深勢阱2方形勢阱利用波函數的標準化條件定解：連續性：能量本征值能量本征函數1一維無限深勢阱2方形勢阱歸一化能量本征解1一維無限深勢阱2方形勢阱討論能量本征值能量與n有關，取值量子化。這是波函數滿足標準化條件的結果，與經典情況完全不同。存在最低能量這是微觀粒子具有波動性（滿足不確定關系）的結果相鄰能級間距的相對值量子力學→經典力學能級連續1一維無限深勢阱2方形勢阱能量本征函數波函數具有確定的宇稱，這是由勢阱具有對稱性引起的。n為偶數時n為奇數時奇宇稱偶宇稱1一維無限深勢阱2方形勢阱勢阱內粒子的概率分布與經典概率分布完全不同。當n很大時，概率分布快速振蕩，其平均值（測量值）變為定值，即粒子在阱內各處概率相等，這正是經典結果。1一維無限深勢阱2方形勢阱正交歸一性滿足正交歸一性是力學量本征函數的共同特征。1一維無限深勢阱2方形勢阱滿足駐波條件勢阱的寬度正好等于德布羅意波半波長的整數倍，這正是駐波的特征。實際上例如，當n為偶數時本征函數是兩列強度相同沿相反方向傳播的平面波疊加形成的駐波。1一維無限深勢阱2方形勢阱一維無限深勢阱（非對稱）勢場能量本征解概率分布1一維無限深勢阱2方形勢阱與自由粒子的比較無限深方勢阱：能量本征值取值斷續；當時，能量本征值取值逐漸連續，過渡到自由粒子。自由粒子：能量本征值取值連續。與箱中粒子的比較箱歸一化：假定波函數仍為平面波，在邊界上不連續，近似方法。兩種方法得到的能量本征解不同。無限深方勢阱：利用薛定諤方程求解，結果嚴格。AB提交7-1一維無限深勢阱中的粒子在不同位置出現的概率都相同。一般不同。單選題1分1一維無限深勢阱2方形勢阱有限深方勢阱能量本征方程1一維無限深勢阱2方形勢阱令，則利用標準化條件定解1一維無限深勢阱2方形勢阱有限性：連續性：在

、

處波函數及其一階導數都連續1一維無限深勢阱2方形勢阱注意：角度與分別處于第一、三象限和第二、四象限1一維無限深勢阱2方

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