課時規范練64二項式定理基礎鞏固練1.(2024·廣東深圳模擬)(2x2-1x)6的展開式中二項式系數最大的項為(A.第2項 B.第3項C.第4項 D.第5項2.(2024·河北張家口三模)(1-x2)(1+x)5的展開式中x4的系數為()A.-5 B.5 C.-10 D.103.(2024·遼寧沈陽三模)已知二項式(2x2-ax)7的展開式中x2的系數是280,則實數a的值等于(A.1 B.2 C.±1 D.±24.(2024·浙江金麗衢十二校模擬)(1+x-y)5展開式中含x2y項的系數為()A.30 B.-30 C.10 D.-105.(2024·貴州貴陽二模)已知x5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5,則a2=()A.15 B.10 C.-10 D.-156.(2024·湖南長沙二模)∑i=39(1+x)i的展開式中x3A.180 B.210 C.240 D.2507.(2024·浙江溫州三模)已知m∈N*,(1+x)2m和(1+x)2m+1的展開式中二項式系數的最大值分別為a和b,則()A.a<bB.a=bC.a>bD.a,b的大小關系與m有關8.(2024·安徽皖江名校二模)已知(x-2x)n的展開式中二項式系數和為256,則展開式中系數最大的項為(A.第5項 B.第6項 C.第7項 D.第8項9.(2024·浙江嘉興模擬)(x+ax)(2x-1x)5展開式中的常數項是120,則實數a=10.(2024·河南三模)若(3x+2x)n(n∈N*)的展開式中存在常數項,則n綜合提升練11.(2024·江西上饒模擬)《孫子算經》對同余除法有較深的研究.設a,b,m(m>0)為整數,若a和b同時除以m所得的余數相同,則稱a和b對模m同余,記為a≡b(modm).若a=C301+C302+…+C3030,A.2021 B.2022 C.2023 D.202412.(多選題)(2024·浙江如東模擬)若(x2+x-2)10=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a20x20,則()A.a0=1024B.a1=1C.a19=10D.a1+a3+a5+…+a19=-51213.(多選題)(2024·福建泉州一模)已知(x+12x)n(n∈N*)的展開式中共有8項,則該展開式結論正確的是(A.所有項的二項式系數和為128B.所有項的系數和為(32)C.系數最大項為第2項D.有理項共有4項14.(2025·上海同濟大學一附中高三檢測)已知(1+2024x)50+(2024-x)50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50,若ak<0,k∈{0,1,2,…,50},則實數k的最大值為.15.(2024·河北“五個一”名校聯盟模擬)已知(x3-x+1)n(x+創新應用練16.(2024·江西景德鎮三模)若關于x,y的多項式(1+xcos2θ+y17.(15分)(2025·上海五愛高級中學檢測)已知(14+x)6=∑i=06a(1)無窮等比數列{bn}的首項b1=a3,公比q=a4.求∑i=1+(2)無窮等差數列{cn}的首項c1=a5,公差d=a6.求{cn}的通項公式和∑i=1n答案：1.C解析由題意可知二項展開式共有7項,所以二項式系數最大的項為第4項.2.A解析(1+x)5的展開式通項為Tr+1=C5rx則(1-x2)(1+x)5的展開式中x4項為C54x4-x2·C52x2=(C54?C52)x4=-5x4,所以(1-x2)(13.C解析由二項式(2x2-ax)7展開式的通項為Tr+1=C7r(2x2)7-r(-ax)r=27-r·(-a)r·C7rx14-3r,令14-3r=2,解得r=4,4.B解析由題意得,(1+x-y)5展開式中含x2y的項為(C52·x2)·[C31·(-y)]·(C22×12)=-30x2y,所以(1+x-y)5.C解析因為x5=[-1+(x+1)]5,由二項展開式的通項公式,可得T3=C52(-1)3(x+1)2,所以a2=-6.B解析∑i=39(1+x)i=(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7+(1+x)8+(1+x)9,所以x3系數為C33+C43+C7.A解析根據二項式系數的性質,得a=C2mm,b=C2m+1m=C8.C解析由已知2n=256,故n=8,故展開式的通項公式為Tk+1=C8kx8-k(-2x)k=(-1)kC8k2kx8-2k(k=0,1,…,8),故奇數項的系數為正數,偶數項的系數為負數,C8020=1,C8222<C8424,C8626=4C8624,則C9.2解析∵(2x-1x)5展開式的通項公式為Tr+1=(-1)rC5r25-rx5-2r(r=0,1,2,…,5),令5-2r=-1,得r=3,即T4=-C5322令5-2r=1,得r=2,即T3=C5223x=80∴(x+ax)(2x-1x)5展開式中的常數項為x·T4+ax·T3=-40+80a,故-40+80a=120,10.5(答案不唯一,滿足n=5k,k∈N*即可)解析(3x+2x)n的展開式的通項公式為Tr+1=Cnr(3x)n-r(2x)r=2rCnrxn-r3x-12r=2rCnrxn3-5r6=2rCnrx16(211.C解析a=C301+C302+…+C3030=230-1=810-1=(10-2)10-1=C1001010+C101109×(-2)+C102108×(-2)2+…+C1010(-2)10-1=10[109+C101108×(-2)+…+C109(-2)9]+1024-1=10[109+C101108×(-2)+…+C1012.ACD解析令x=0,得a0=(-2)10=1024,故A正確;令x=1,得a0+a1+…+a20=0,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a18-a19+a20=1024,兩式相減得a1+a3+a5+…+a19=-512,故D正確;易知(x2+x-2)10=(x-1)10(x+2)10,而(x-1)10中的常數項為1,含x項為C109x×(-1)9=-10x,含x9項為C101x9×(-1)=-10x9,含x10項為x10,同理(x+2)10中的常數項為1024,含x項為C109x×29=5120x,含x9項為C101x9×2=20x9,含x10項為x10,所以a1=1×5120a19=-10×1+1×20=10,故C正確.故選ACD.13.AD解析因為(x+12x)n的展開式共有8項,所以n=7.故所有項的二項式系數和為27=128,故A正確;令x=1,可得所有項的系數和為(1+12)7≠(32)8,故B錯誤;因為展開式的通項公式為Tr+1=C7r·x7-r·(12x)r=(12)r·C7r·x7-3r2,r=0,1,2,…,7.設Tr+1項系數最大,由(12)

r·C7r≥(12)

r-1·C7r14.23解析因為(1+2024x)50展開式中xk的系數為C50k2024k,(2024-x)50展開式中xk的系數為C50k202450-k(-1)k,所以(1+2024x)50+(2024-x)50展開式中xk的系數為C50k2024k+C50k202450-k(-1)k=C50k2024k[1+202450-2k(-1)k],k=0,1,2,…,50.要使ak<0,則k為奇數,且202450-2k>1,所以50-215.-2解析令x=1,可得展開式中各項系數的和為(13-1+1)n(1+1)n+2=2n+2(x+1x)3的展開式的通項公式為Tr+1=C3r·x3-r·(1x)r=C3因為(x3-x+1)(x+1x)3=x3(x+1x)3-x·(x+1x)3+(x+1所以展開式中常數項為x3·x-3-x·C32x-1=1-316.6152解析(1+xcos2θ+ysin2θ)n的展開式中各項系數之和為64,則令x=y=1,得2n=64,解得n=6,所以(1+xcos2θ+ysin2θ當且僅當cos2θ=sin2θ=12時等號成立,即最大值為17.解(1)(14+x)6的展開式的通項公式為Tk+1=C6k因為(14+x)6=∑i=06aixi,所以a所以∑i=1n