課時規范練62分類加法計數原理與分步乘法計數原理基礎鞏固練1.(2024·江蘇徐州一模)中國燈籠又統稱為燈彩,主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類.現有4名學生,每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種,則不同的選購方式有()A.34種 B.43種C.3×2×1種 D.4×3×2種2.(2024·湖北十堰模擬)從數字0,1,2,3,4中選四個組成沒有重復數字且比2024大的四位數有()A.52個 B.64個 C.66個 D.70個3.(2024·吉林遼源模擬)用5種不同顏色的粉筆寫黑板報,板報設計如圖所示,要求相鄰區域不能用同一種顏色的粉筆,則該板報不同的書寫方案共有()A.240種 B.480種 C.120種 D.200種4.(2024·浙江杭州模擬)定義“各位數字之和為8的三位數叫幸運數”,比如116,431,則所有幸運數的個數為()A.18 B.21 C.35 D.365.如圖,一條電路從A處到B處接通時,可以有條不同的線路(每條線路僅含一條通路).

6.人們習慣把最后一位是6的多位數叫作“吉祥數”,則無重復數字的四位“吉祥數”共有個.

7.(2024·廣東湛江模擬)某美食套餐中,除必選菜品以外,另有四款涼菜及四款飲品可供選擇,其中涼菜可四選二,不可同款,飲品選擇兩杯,可以同款,則該套餐的供餐方案共有種.8.(2025·北京名校一輪復習)如圖所示,在排成4×4方陣的16個點中,中心位置4個點在某圓內,其余12個點在圓外.從16個點中任選3點,作為三角形的頂點,其中至少有一個頂點在圓內的三角形共有個.9.(2023·新高考Ⅰ,13)某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課,學生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有種(用數字作答).綜合提升練10.(2024·江蘇常州模擬)中國是世界上最早發明雨傘的國家,傘是中國勞動人民一個重要的創造.如圖所示的雨傘,其傘面被傘骨分成8個區域,每個區域分別印有數字1,2,3,…,8,現準備給該傘面的每個區域涂色,要求每個區域涂一種顏色,相鄰兩個區域所涂顏色不能相同,對稱的兩個區域(如區域1與區域5)所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇,則不同的涂色方案有()A.1050種 B.1260種C.1302種 D.1512種11.(2024·上海卷,10)設集合A中的元素均為無重復數字的三位正整數,且元素中任意兩者之積皆為偶數,則集合A中元素個數的最大值為.12.通常,我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成:第一部分為漢字表示的省、自治區、直轄市簡稱和用英文字母表示的發牌機關代號,第二部分為由阿拉伯數字和英文字母組成的序號,如圖所示.其中序號的編碼規則為:①由10個阿拉伯數字和除I,O之外的24個英文字母組成;②最多只能有2個英文字母.則采用5位序號編碼的魯V牌照最多能發放的汽車號牌數為萬張.(用數字作答)13.(2024·湖南長沙模擬)初等數論中的四平方和定理的內容是:任意正整數都可以表示為不超過四個自然數的平方和,例如正整數6=22+12+12+02.設25=a2+b2+c2+d2,其中a,b,c,d均為自然數,則滿足條件的有序數組(a,b,c,d)的個數是.(用數字作答)14.(13分)(2025·上海長寧檢測)關于正整數2160,求:(1)它有多少個不同的正因數?(2)它的所有正因數的和是多少?15.(2025·北京名校一輪復習)著名數學家歐幾里得著的《幾何原本》中記載:任何一個大于1的整數要么是一個素數,要么可以寫成一系列素數的積,例如42=2×3×7.對于1260=a1×a2×a3×…×an,其中a1,a2,a3,…,an均是素數,則從a1,a2,a3,…,an中任選3個數,可以組成不同三位數的個數為()A.18 B.32 C.36 D.42創新應用練16.(2024·安徽淮北二模)在3×3的方格中,每個方格被涂上紅、橙、黃、綠四種顏色之一,若每個2×2的方格中的四個小方格的顏色都不相同,則滿足要求的不同涂色方法的種數為.答案：1.A解析由題可知,每名同學都有3種選法,故不同的選購方式有34種.2.D解析根據題意,可分為三類:當首位大于2時有2A43=48(個);當首位為2,第二位非0時有3A32當首位為2,第二位為0時有2A21=4(個綜上,滿足題意的四位數總共有48+18+4=70(個).3.A解析因為A,B,C區域兩兩相鄰,所以有A53=5×4×3=60(種)書寫方案;而D只和A相鄰,只要和A區域的顏色不同即可,所以有4種方案.故總共有60×4=240(種)4.D解析當百位數是1,后兩位相加為7,有8種(07,70,16,61,25,52,34,43,以下類同);當百位數是2,后兩位相加為6,有7種;當百位數是3,后兩位相加為5,有6種;當百位數是4,后兩位相加為4,有5種;當百位數是5,后兩位相加為3,有4種;當百位數是6,后兩位相加為2,有3種;當百位數是7,后兩位相加為1,有2種;當百位數是8,后兩位相加為0,有1種.故幸運數總共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).5.9解析依題意按上、中、下三條線路可分為三類:上線路中有2種;中線路中有1種;下線路中有2×3=6(種).根據分類加法計數原理,共有2+1+6=9(條)不同的線路.6.448解析先排千位,有8種選擇,再排百位,有8種選擇,最后排十位,有7種選擇,故共有8×8×7=448(個).7.60解析由題意可知涼菜選擇方案共有C42=6(種),飲品選擇方案共有C42+C41=10(種),因此該套餐的供餐方案共有8.312解析根據題意,分3種情況討論:①取出的3個點都在圓內,有C43=4(種)②在圓內取2點,圓外12點中取1點,有C42C101=③在圓內取1點,圓外12點中取2點,有C41(C122-4)=248(種)取法,由分類加法計數原理,得至少有一個頂點在圓內的三角形有4+60+9.64解析方法一(直接法):若選2門課,只需體育類和藝術類各選1門,有C41×C41=16(種)不同的選課方案;若選3門課,分兩類.體育類選1門、藝術類選2門,體育類選2門、藝術類選1門,有C41×C42+C42×C方法二(間接法):由題意可知,從8門課中選擇2門或者3門共有C82+C83=84(種)不同的選課方案,只選擇體育類或藝術類的有2(C42+C43)=20(10.C解析由題意可得,只需確定區域1,2,3,4的顏色,即可確定整個傘面的涂色.先涂區域1,有7種選擇;再涂區域2,有6種選擇.當區域3與區域1涂的顏色不同時,區域3有5種選擇,剩下的區域4有5種選擇.當區域3與區域1涂的顏色相同時,剩下的區域4有6種選擇.故不同的涂色方案有7×6×(5×5+6)=1302(種).11.329解析由題意可知,集合A中每個元素都是互異的,且元素中最多有1個奇數,其他都是偶數.集合A中無重復數字的三位偶數:(1)若個位為0,這樣的偶數有A92=72((2)若個位不為0,這樣的偶數有C41·C81·C81=256(個),所以集合12.706解析當號牌中有兩個英文字母時,且兩個英文字母相同,則有C241×C52×103=24×104(張),兩個英文字母不相同,則有C242×A52×103=552×104(張);當號牌中有一個英文字母時,有C241×C51×104=120×104(張);當號牌中沒有英文字母時,有13.28解析顯然a,b,c,d均為不超過5的自然數,下面進行討論.當最大數為5時,25=52+02+02+02,此時共有A41=4(種)當最大數為4時,①25=42+32+02+02,此時共有A42=12(種)②25=42+22+22+12,此時共有A42=12(種)當最大數為3時,32+32+22+22>25>32+32+22+12,沒有滿足題意的情況.由分類加法計數原理,滿足條件的有序數組的個數是4+12+12=28.14.解(1)由題意,2160=24×5×33,則2160的正因數p=2r×5s×3t(r,s,t∈N),因為r可取0,1,2,3,4;s可取0,1;t可取0,1,2,3;由分步乘法計數原理,得2160有5×2×4=40(個)不同的正因數.(2)式子(20+21+22+23+24)×(30+31+32+33)×(50+51)的展開式就是40個正因數之和.由分步乘法計數原理,得正因數之和為31×40×6=7440.即2160所有正因數的和是7440.15.D解析因1260=2×2×3×3×5×7,依題,從2,2,3,3,5,7中任選3個數組成三位數,可以分成兩類情況:①三個數都不相同,共有三位數A43=24(②含有2個2或2個3,共有2×C31×C由分類加法計數原理,可以組成不同三位數的個數為24+18=42.16.72解析如圖,將3×3的方格中的每個小格標上字母.ABCDEFGHI易知其中的2×2方格共有4組,且E格為4組共用,B,D,F,H均由2組共用,涂完E,B,D,F,H后,A,C,G,I顏色將隨之