二維隨機變量試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)二維隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合分布函數(shù)為\(F(x,y)\)，則\(F(+\infty,+\infty)\)的值為（）A.0B.1C.0.5D.不確定2.二維離散型隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合分布律\(P(X=i,Y=j)=p_{ij}\)，則\(\sum_{i}\sum_{j}p_{ij}\)等于（）A.0B.0.5C.1D.不確定3.若二維隨機變量\((X,Y)\)服從二維正態(tài)分布\(N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\)，\(X\)與\(Y\)相互獨立的充要條件是（）A.\(\mu_1=\mu_2\)B.\(\sigma_1=\sigma_2\)C.\(\rho=0\)D.\(\mu_1=\mu_2\)且\(\sigma_1=\sigma_2\)4.設(shè)二維隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合概率密度為\(f(x,y)\)，則\(P(X\lta,Y\ltb)\)等于（）A.\(\int_{-\infty}^{a}f(x,y)dx\)B.\(\int_{-\infty}^{b}f(x,y)dy\)C.\(\int_{-\infty}^{a}\int_{-\infty}^{b}f(x,y)dxdy\)D.\(\int_{-\infty}^{b}\int_{-\infty}^{a}f(x,y)dxdy\)5.已知二維隨機變量\((X,Y)\)，\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，則\(E(X+Y)\)等于（）A.5B.6C.1D.不確定6.二維隨機變量\((X,Y)\)，\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，\(\rho_{XY}=0.5\)，則\(D(X+Y)\)等于（）A.13B.19C.16D.107.設(shè)二維隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合分布律為\(P(X=0,Y=0)=0.2\)，\(P(X=0,Y=1)=0.3\)，\(P(X=1,Y=0)=0.1\)，\(P(X=1,Y=1)=0.4\)，則\(P(X=0)\)等于（）A.0.2B.0.3C.0.5D.0.48.二維隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合概率密度\(f(x,y)=\begin{cases}2,&0\ltx\lt1,0\lty\ltx\\0,&其他\end{cases}\)，則\(P(Y\lt\frac{1}{2})\)等于（）A.\(\frac{1}{4}\)B.\(\frac{3}{4}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{8}\)9.設(shè)二維隨機變量\((X,Y)\)，\(X\)與\(Y\)相互獨立，\(X\)服從\(N(0,1)\)，\(Y\)服從\(N(1,1)\)，則\(X+Y\)服從（）A.\(N(0,2)\)B.\(N(1,2)\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(1,1)\)10.二維隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合分布函數(shù)\(F(x,y)\)對\(x\)，\(y\)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partial^2F(x,y)}{\partialx\partialy}\)等于（）A.聯(lián)合概率密度\(f(x,y)\)（在連續(xù)點處）B.0C.邊緣概率密度D.不確定二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于二維隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合分布函數(shù)\(F(x,y)\)性質(zhì)正確的有（）A.\(0\leqF(x,y)\leq1\)B.\(F(-\infty,y)=0\)，\(F(x,-\infty)=0\)C.\(F(+\infty,+\infty)=1\)D.對任意固定的\(x_1\ltx_2\)，\(y_1\lty_2\)，\(F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\geq0\)2.二維離散型隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合分布律\(P(X=i,Y=j)=p_{ij}\)，滿足（）A.\(p_{ij}\geq0\)B.\(\sum_{i}\sum_{j}p_{ij}=1\)C.\(P(X=i)=\sum_{j}p_{ij}\)D.\(P(Y=j)=\sum_{i}p_{ij}\)3.若二維隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合概率密度為\(f(x,y)\)，則（）A.\(f(x,y)\geq0\)B.\(\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1\)C.\(P((X,Y)\inG)=\int\int_{G}f(x,y)dxdy\)（\(G\)為平面區(qū)域）D.邊緣概率密度\(f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\)，\(f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx\)4.對于二維正態(tài)分布\(N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\)，以下說法正確的是（）A.\(\mu_1\)是\(X\)的均值B.\(\sigma_1^2\)是\(X\)的方差C.\(\rho\)是\(X\)與\(Y\)的相關(guān)系數(shù)D.\(X\)與\(Y\)相互獨立時\(\rho=0\)5.已知二維隨機變量\((X,Y)\)，則（）A.\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)B.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)\)C.\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)D.\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\)6.設(shè)二維隨機變量\((X,Y)\)，\(X\)與\(Y\)相互獨立，則（）A.\(F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\)B.\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)（連續(xù)型時）C.\(p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdotj}\)（離散型時）D.\(Cov(X,Y)=0\)7.二維隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合分布律如下表：|\(X\)\(Y\)|0|1||----|----|----||0|\(a\)|\(b\)||1|\(c\)|\(d\)|則（）A.\(a+b+c+d=1\)B.\(P(X=0)=a+b\)C.\(P(Y=1)=b+d\)D.\(P(X=1,Y=0)=c\)8.對于二維隨機變量\((X,Y)\)，以下哪些能反映\(X\)與\(Y\)的相關(guān)性（）A.協(xié)方差\(Cov(X,Y)\)B.相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}\)C.邊緣分布D.聯(lián)合分布9.二維隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合概率密度\(f(x,y)\)在區(qū)域\(D\)上非零，\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)圍成的三角形區(qū)域，則（）A.\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}f(x,y)dydx=1\)B.邊緣概率密度\(f_X(x)=\int_{0}^{1-x}f(x,y)dy\)（\(0\leqx\leq1\)）C.邊緣概率密度\(f_Y(y)=\int_{0}^{1-y}f(x,y)dx\)（\(0\leqy\leq1\)）D.\(P(X+Y\lt\frac{1}{2})=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{\frac{1}{2}-x}f(x,y)dydx\)10.已知二維隨機變量\((X,Y)\)，\(X\)服從均勻分布\(U(0,1)\)，\(Y\)服從均勻分布\(U(0,2)\)，且\(X\)與\(Y\)相互獨立，則（）A.聯(lián)合概率密度\(f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{2},&0\ltx\lt1,0\lty\lt2\\0,&其他\end{cases}\)B.\(E(X)=\frac{1}{2}\)C.\(E(Y)=1\)D.\(D(X)=\frac{1}{12}\)，\(D(Y)=\frac{1}{3}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.二維隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合分布函數(shù)\(F(x,y)\)是關(guān)于\(x\)和\(y\)的單調(diào)不減函數(shù)。（）2.二維離散型隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合分布律唯一確定其邊緣分布律。（）3.若二維隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合概率密度\(f(x,y)\)在某點\((x_0,y_0)\)不連續(xù)，則\(X\)與\(Y\)一定不相互獨立。（）4.二維正態(tài)分布\(N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\)中，\(\rho\)決定了\(X\)與\(Y\)的線性相關(guān)程度。（）5.已知二維隨機變量\((X,Y)\)，\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，則\(X\)與\(Y\)相互獨立。（）6.二維隨機變量\((X,Y)\)，\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)當(dāng)且僅當(dāng)\(X\)與\(Y\)相互獨立。（）7.若二維隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合分布律關(guān)于\(x\)軸和\(y\)軸對稱，則\(X\)與\(Y\)相互獨立。（）8.二維隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合概率密度\(f(x,y)\)滿足\(\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)dudv=F(x,y)\)。（）9.對于二維隨機變量\((X,Y)\)，\(Cov(X,Y)=0\)時，\(X\)與\(Y\)一定不相關(guān)。（）10.二維隨機變量\((X,Y)\)的邊緣分布都是正態(tài)分布，則\((X,Y)\)一定服從二維正態(tài)分布。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述二維隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)的關(guān)系。答案：設(shè)二維隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合分布函數(shù)為\(F(x,y)\)，邊緣分布函數(shù)\(F_X(x)=F(x,+\infty)\)，\(F_Y(y)=F(+\infty,y)\)，即通過聯(lián)合分布函數(shù)在某一變量趨于無窮時得到邊緣分布函數(shù)。2.二維隨機變量\((X,Y)\)相互獨立的定義是什么？答案：若二維離散型隨機變量\((X,Y)\)，對任意\(i,j\)有\(zhòng)(P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)\)；若為連續(xù)型，聯(lián)合概率密度\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)，則稱\(X\)與\(Y\)相互獨立。3.簡述協(xié)方差\(Cov(X,Y)\)的含義。答案：協(xié)方差\(Cov(X,Y)\)衡量二維隨機變量\(X\)與\(Y\)之間的相互關(guān)系。\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)，其值為正表示\(X\)與\(Y\)有同向變化趨勢，為負(fù)表示有反向變化趨勢，為\(0\)表示\(X\)與\(Y\)不相關(guān)。4.已知二維隨機變量\((X,Y)\)的聯(lián)合概率密度\(f(x,y)\)，如何求\(P((X,Y)\inG)\)（\(G\)為平面區(qū)域）？答案：\(P((X,Y)\inG)=\int\int_{G}f(x,y)dxdy\)，即對聯(lián)合概率密度\(f(x,y)\)在平面區(qū)域\(G\)上進(jìn)行二重積分。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論二維正態(tài)分布中相關(guān)系數(shù)\(\rho\)對\(X\)與\(Y\)關(guān)系的影響。答案：\(\rho\)衡量\(X\)與\(Y\)的線性相關(guān)程度。\(\vert\rho\vert=1\)時，\(X\)與\(Y\)存在完全線性關(guān)系；\(\rho=0\)時，\(X\)與\(Y\)不相關(guān)且相互獨立（二維正態(tài)情形）；\(0\lt\vert\rho\vert\lt1\)時，\(\vert\rho\vert\)越接近\(1\)，線性相關(guān)程度越強，越接近\(0\)，線性相關(guān)程度越弱。2.舉例說明實際生活中二維隨機變量的應(yīng)用場景。答案：比如在研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績\(X\)和物理成績\(Y\)，\((X,Y)\)構(gòu)成二維隨機變量。通過分析其聯(lián)合分布、相關(guān)性等，可了解兩科成績的關(guān)系，為教學(xué)改進(jìn)提供依據(jù)；又如研究某地區(qū)的氣溫\(X\)和濕度\(Y\)，幫助氣象分析和生活安排等。3.探討如何根據(jù)二維隨機變量的聯(lián)合分布判斷其獨立性，有哪些方法？答案：對于離散型，驗證對所有\(zhòng)(i,j\)，\(P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)\)是否成立；對于連續(xù)型，看聯(lián)合概率密度\(f(x,y)\)是否等于邊緣概率密度乘積\(f_X(x)f_Y(y)\)。也可通過計算協(xié)方差，若\(Cov(X,Y)=0\)（二維正態(tài)時等價于獨立）輔助判斷。4.討論二維隨機變量