專題3.2圓與四邊形的綜合

典例精析

【典例1］定義：有且僅有一組對角相等的凸四邊形叫做“準(zhǔn)平行四邊形''.例如：凸四邊形4BCD中，若"=

ZC,乙B*乙D,則稱四邊形4BCD為準(zhǔn)平行四邊形.

(1)如(圖①)，4、B、C、。是。O上的四個點，^APC=ZCPB=60°,延長BP到Q,使力Q=4P.求

證：四邊形4QBC是準(zhǔn)平行四邊形；

(2)如(圖②)，準(zhǔn)平行四邊形4BCD內(nèi)接于＜30,ABAD,BC=DC,若0O的半徑為5,AB=6,求

"的長；

(3)如(圖③)，在RtAABC中，ZC=90°,乙4=30°,BC=2,若四邊形4BCD是準(zhǔn)平行四邊形，且NBCD豐

乙BAD,請直接寫出BD長的最大值.

【思路點撥】

(1)可證A4PQ是等邊三角形，可得NQ=60。=NQ4P,由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NQP4=N4C8=

60°=NQ,由四邊形內(nèi)角和定理可證NQ4C力NQ8C,可得結(jié)論；

(2)如圖②，連接BD,由準(zhǔn)平行四邊形定義可求ABAD=NBCD=90。，可得BD是直徑，由勾股定理可求

AD=8,將2MBe繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得至U4CD”，可得SB=D”=6,AC=CH,^ACH=90°,^ABC=

ACDH,由勾股定理可求AC的長；

(3)如圖③，作△ACD的外接圓。。，過點。作。E1AC于E,OF1BC于F,由準(zhǔn)平行四邊形定義可求N4BC=

^ADC=60°,可得NZOC=120°,由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，可求。E=1,C。=2OE=2,

由勾股定理可求。B,由當(dāng)點。在B。的延長線時，BD的長有最大值，即可求解.

【解題過程】

解：證明：（1）??24PC=4CP8=60。，

：.^APQ=60°,且AQ=AP,

???△APQ是等邊三角形，

:?（Q=60°=NQZP,

???四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，

：.^QPA=乙ACB=60°,

*；乙Q+Z.ACB+“AC+Z.QBC=360°,

???“AC+48C=240°,

且NQAC=LQAP+ABAC+乙PAB=120°+APAB>120°,

:?（QBC<120°,

：.^.QACW乙QBC,且NQP4=AACB=60°=4Q,

???四邊形AQBC是準(zhǔn)平行四邊形.

（圖②）

,：ABWAD,BC=DC,

Z.ABDW乙ADB,（CBD=乙CDB,

/./-ABCH/-ADC,

???四邊形ZBCD是準(zhǔn)平行四邊形，

：.^BAD=乙BCD,

???四邊形ZBCD是圓內(nèi)接四邊形，

???乙BAD+乙BCD=180°,AABC+^ADC=180°,

：./-BAD=乙BCD=90°,

是直徑,

：.BD=10,

：.AD=y/BD2-AB2=V100-36=8,

將小力BC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△CDH,

：.AB^DH=6,AC=CH,^ACH=90°,/.ABC=Z.CDH,

'：AABC+^ADC=180°,

：.^ADC+ACDH=180°,

...點a,點。，點H三點共線，

：.AH=AD+DH=14,

'：AC2+CH2=AH2,

：.2AC2=196,

：.AC=7V2.

(3)如圖③，作44C。的外接圓。0,過點。作OE14C于E,。尸13。于尸,

4ABe=60°,乙ABC=60°,AC=WBC=2V3

??,四邊形4BCD是準(zhǔn)平行四邊形，且N8CDKNB力。,

乙ABC=Z4DC=60°,

ZXOC=120°,且。E1AC,OA=OC,

：./.ACO=/.CAO=30°,CE^AE=V3,

OE=1,CO=2OE=2,

???OE1AC,OF1BC,/.ECF=90°,

???四邊形CFOE是矩形,

CE=OF=V3,OE=CF=1,

???BF=BC+CF=3,

BO=VBF2+OF2=V9T3=2V3,

?.?當(dāng)點。在B。的延長線時，BD的長有最大值,

長的最大值=BO+OD2V3+2.

學(xué)霸必刷

1.(2022秋?全國?九年級專題練習(xí))如圖，四邊形A8CD為菱形，以AO為直徑作。。交于點孔連接

DB交。O于點、H,過點。作。。的切線交BC于點E.

(1)求證：AF=CE；

(2)若2尸=2,DH=V5,求。。的半徑.

【思路點撥】

(1)連接。尸，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AO=C。，AD//BC,ZA=ZC.再由切線的性質(zhì)，可得

ZCED=ZADE=90°.可證得△D4/名△￡)(7￡即可求證；

(2)連接A”，DF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD=2DH=2萌.在Rd和配△8。尸中，根據(jù)勾股

定理，即可求解.

【解題過程】

(1)證明：如圖，連接。尸，

?..四邊形ABC。為菱形，

：.AD=CD,AD//BC,NA=NC.

「DE是。。的切線,

:.ZADE=90°.

'：AD//BC,

：.ZCED^ZADE=90°.

：A。是。。的直徑，

，ZDFA=90°.

：.NAFD=NCED=9Q。.

/.AFD=MED

在4DAF和4DCE中，?Z.A=ZC

.AD=CD

：./\DAF^/\DCE(AAS).

：.AF=CE.

(2)解：如圖，連接AHDF,

是。。的直徑，

，ZAHD^ZDFA=90°.

'：AD=AB,DH=V5,

：.BD=2DH=2V5.

在RtXADF和RtXBDF中,

由勾股定理，得。尸2=A3—A產(chǎn)，DF2=B》一BF2,

：.AD2~AF2=BD2-BF2.

.".AD2-(AD-BF)2=B?—BF2.

'.AD2-(AD-2)2=(2V5)2-22.

：.AD=5.

二。。的半徑為

2.（2022秋.湖北武漢.九年級校考階段練習(xí)）如圖，在矩形4BCD中，G為力。的中點，AGBC的外接圓。。

交C。于點F.

G

A

o

(1)求證：2。與O。相切；

(2)若DF=1,CF=3,求BC的長.

【思路點撥】

(1)連接G。并延長交于點E,連接。B,OC,可證得△力BG三AOCG,從而得到GB=GC,進而得到EG垂

直平分BC,從而得到GE14D,即可求證；

⑵過點。作0H1CD,垂足為H,連接。尸，F(xiàn)/7=|CF=|,先證明四邊形OGDH是矩形，可得OH=DG,

DH=0G=DF+FH=1+1=1，再根據(jù)勾股定理求出?！?，即可求解.

【解題過程】

(1)證明：證明：連接GO并延長交BC于點E,連接。B,OC,

二,四邊形ABCD是矩形,

：.AB=CD,AD\\BC,^A=ZD=90°.

；G為2D的中點，，

：.AG=DG.

??△ABG=△DCG.

；?GB=GC.

'COB=OC,

???EG垂直平分BC,即4CEG=900.

：.^DGE+2LGEC=180°,

:.(DGE=180°-乙GEC=180°-90°=90°,即GE1AD.

?.?點G在O。上，

...力D與。。相切；

(2)解：過點。作?！?CD,垂足為H,連接OF,FH="F=|,

：.Z.D=90°,AD=BC,

?.ZD與。。相切，

；.M）GD=90°.

■:乙OHD=90°,

四邊形OGDH是矩形.

35

：?OH=DG,DH=OG=DF+FH=1+-=-,

22

：.DH=OG=OH=-

29

：.OH=>JOF2-FH2=2,

：.DG=2,

是AD的中點，

：.BC=AD=2DG=4.

3.（2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形2BCD中，4c是對角線，^CAB=90°,以點4為圓心,

以A8的長為半徑作04交8c邊于點E,交2C于點尸，連接DE.

(1)求證：DE與相切；

(2)若乙4DE=30。，AB=6,求EF的長.

【思路點撥】

(1)連接AE,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到ND4E=N4EB,然后根據(jù)S4S證明△4ED三△B4C,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)即可證明；

(2)連接ER作EG_LAC,由(1)可知△4ED三△B4C的性質(zhì)得出N4DE=N4CB=30。后證明△4BE是

等邊三角形，接著求出NC4E=30。，利用直角三角形30。所對的直角邊等于斜邊的一半求出GE=3,AG=

3V3,最后利用勾股定理求出所的長.

【解題過程】

(1)解：連接AE,

?.?平行四邊形力BCD,

J.AD//BC,AD=BC,

C.Z.EAD=Z.AEB,

'：AE=AB,

：.^AEB="BE,

C.^EAD=/.ABE,

在△AED和△B4C中，

'AB=EA

△EAD=/.ABE

.BC=AD

：.△AED三ABAC(SAS),

J.Z.AED=/.BAC,

'：ACAB=90°,

：.AAED=ABAC=90°,

是04的半徑，

...DE與04相切；

(2)連接ER作EGL4C,

cB

D

由(1)可知△4EDmABAC,

/./.ADE=Z.ACB=30°,

'：Z.CAB=90°,AB=6,

J.^ABE=60°,

又=4B,

...△ABE是等邊三角形,

：.AC=6V3,BC=12,/.CAE=30°

：.BE=EC=6,

"：EG±AC,

J.Z.EGA=90°,

：.GE=3,AG=3A

GF=6-3V3,

在Rt△EFG中,

EF=>JGE2+GF2=32+(6-3V3)26X(3-V3)2=3V6-3V2.

4.(2023秋?江蘇泰州?九年級泰州市第二中學(xué)附屬初中校考期末)如圖1,回力BCD中，。為BC上一點，4。平

分乙BAD,以。為圓心，OC為半徑的圓，與4B相切于點E

ffll圖2

(1)求證：o。與2D相切

(2)如圖2,若。。與AD相切于點F,DF=7,BO=5,且ND>45。，求弧FC、線段DF和CD組成的圖形

面積.

【思路點撥】

(1)過點。作。F14D于點孔根據(jù)切線的性質(zhì)可得0E14B,再由角平分線的性質(zhì)可得。E=OF,即可;

(2)設(shè)O。的半徑為r,則。C=0E=OF=r,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得40=BC,ADWBC,乙B=3>

45°,再由4。平分/BAD,可得乙84。=乙40B,從而得到28=0B=5,根據(jù)DF=7,B0=5,可得4E=

r-2,再由切線長定理可得ZE=AF=r-2,從而得到BE=AB-AE=7-r,再由勾股定理求出r的長,

然后根據(jù)弧FC、線段DF和CD組成的圖形面積=5梯形CDFO-S扇形COF，即可求解.

【解題過程】

(1)證明：過點。作。4。于點R

；。。與28相切,

：.0E1AB,

?.,4。平分484￡),

：.0E=OF,

：0E為半徑，

.??O。與相切；

(2)解：設(shè)O。的半徑為r,則OC=0E=0F=r,

,/四邊形ZBCD是平行四邊形，

：.ADBC,ADWBC,NB=NO>45°,

J.A.FAO=^AOB,

：4。平分484。，

：.^BAO=AFAO,

Z.BAO=Z.AOB,

：.AB=。8=5,

9：DF=7,BO=5,

???4F+7=5+r,

：.AE=r-2,

???。。與40相切，。。與AB相切，

：.0ELAB.OF1AD,AE=AF=r-2,

：.Z-0EA=90°,BE=AB-AE=7-r,

：.BE2+0E2=OB2,

/.(7—r)2+r2=52,解得：丁=4或3,

當(dāng)丁=4時，BE=3,當(dāng)丁=3時，BE=4,

■:(B>45°,

:?乙B0E<45°=乙B,

：.0E>BE,

：.r=4,即0C=OE=OF=4,

9：0FLAD,ADWBC,

：.0FIBC.BPzCOF=90°,

???弧FC、線段。尸和CO組成的圖形面積

=S梯形CQF。-S扇形COF

1907TxOC2

=q(OC+DF)xOF-

~360

190"x42

=—(4+7)x4—

360

=22—47T.

5.（2022秋?江蘇鹽城?九年級景山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,以點A為

圓心，1為半徑作圓，點E是。A上的一動點，點E繞點D按逆時針方向轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)90°,得到點F,接AF.

(1)求B長;

(2)當(dāng)A、E、P三點共線時，求防長；

(3)A尸的最大值是.

【思路點撥】

(1)連接AE,根據(jù)同角的余角相等可得：NED4=乙FDC,利用全等三角形的判定定理可得:AEDA=AFDC,

再由其性質(zhì)即可得解；

(2)分兩種情況討論：①當(dāng)點E在正方形內(nèi)部時，點A、E、尸三點共線時，與圓C相切；②當(dāng)點E在

正方形外部時，點A、Ei、&三點共線時，力&與圓C相切；兩種情況分別利用勾股定理進行求解即可得；

(3)根據(jù)題意判斷出AP最大時，點C在上，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AC,從而得出A尸的最大值.

【解題過程】

解：(1)連接AE,如圖所示：

■:乙EDF=^ADC=90°,

即：乙EDA+^ADF=乙4DF+zFDC=90°,

：.AEDA=AFDC,

在4ED4與"DC中，

-ED=FD

/LEDA=乙FDC,

?AD=DC

J.AEDA=AFDC,

/.CF—AE=1；

(2)①如圖所示：當(dāng)點A、E、/三點共線時，AP與圓C相切,

貝!|乙4尸C=90°,

AC=y/AD2+CD2=742+42=

CF=1,

：.AF=V4C2+CF2=VH,

：.EF=AF-AE=^31-1；

②如圖所示：當(dāng)點A、瓦、&三點共線時，與圓c相切,

AC=4V2,

CF1=1,

2

:.AF1=JAC-CF^=V31,

：.EF=AF±+AE1=VH+1；

綜合可得：當(dāng)點A、E、尸三點共線時，所長為府-1或同+1；

(3)如圖所示，點C在線段上，取得最大值，

AF=AC+CF,

\'AC=促=4V2,

：.AF=4V2+1,

即：AB的最大值是4a+L

故答案為：4V2+1.

6.(2022秋?浙江衢州?九年級?？茧A段練習(xí))新定義：在一個四邊形中，若有一組對角都等于90。，則稱這

個四邊形為雙直角四邊形.如圖1,在四邊形A8CQ中，ZA=ZC=90°,那么四邊形ABC。就是雙直角四

邊形.

(1)若四邊形ABC。是雙直角四邊形，且42=3,BC=4,CD=2,求的長；

(2)已知，在圖2中，四邊形A8CZ)內(nèi)接與BC=C?且/BAC=45。；

①求證：四邊形ABC。是雙直角四邊形；

②若A8=AC,AD=1,求AB的長和四邊形ABC。的面積.

圖1圖2

【思路點撥】

(1)連接8。，運用勾股定理求出2。和AD即可；

(2)①連接。8,OC,OD,證明80是。。的直徑即可；②過點。作DE14C于點E,設(shè)圓的半徑為R,

由勾股定理求出AB,AD,BC,CD的長，再根據(jù)叢-口=SA4BD+SABCD運用三角形面積公式求解即可.

【解題過程】

解：（1）連接8。，如圖,

在RtABCC中，BC=4,CD=2,

■:BD2=BC2+CD2

：.BD=“6+4=2V5

在RtAABO中，AB=3,BD=2E,

\'BD2^BA2+AD2

：.AD=V20-9=VTl

(2)連接OB,OC,OD,如圖，

'J/.BAC=45°

:.乙BOC=90°

在ABOC和AOOC中

OB=OD

OC=OC

BC=CD

:.RBOC/XDOC

：.Z.DOC=Z.BOC=90°

是線段8。的中點,

.?.80為。。的直徑

，乙BCD=ABAD=90°

四邊形ABCD是雙直角四邊形;

(3)過點D作OE14C于點E,

VZBAC=45°,Z.BAD=90°

：.^EAD=45°

△力ED是等腰直角三角形

在RtAAEC中，AE=ED,AE2+ED2AD2

\'AD=1

：.AE=ED=—

2

設(shè)圓的半徑為R,

,/ABOC和ADOC均為等腰直角三角形，

：.BC=CD=V27?

在RtAADC中，EC='DC2-ED?=J2/?2-1=yV4/?2-1

在RtAABO中，AB=<BD2-AD2=V4/?2-1

"：AB=AC,AC^AE+EC

：.V4/?2-1=—V4/?2-1+—

22

解得，R2=1+與

?,SABCD=S〉A(chǔ)BD+SABCD

11

=-ABxAD+ycxCD

V2+11Lr~

---+-xV2RxV2R

V2+1_

~2-+R2

V2+1V2

+H

2------2

3廠

=-+V2

7.(2022春?江蘇?九年級期末)如圖1,已知矩形ABC。中4B=28，AD=3,點E為射線BC上一點，連

接。E,以DE為直徑作。。

(1)如圖2,當(dāng)BE=1時，求證：AB是。。的切線

(2)如圖3,當(dāng)點E為8C的中點時，連接AE交。。于點R連接CR求證：CF=CD

(3)當(dāng)點E在射線8C上運動時，整個運動過程中CF長度是否存在最小值？若存在請直接寫出C尸長度

的最小值；若不存在，請說明理由.

【思路點撥】

(1)過點O作。MJ_4B,且OM的反向延長線交CD于點N.根據(jù)題意結(jié)合圖形易證線段ON為△DEC中

位線，即可求出CE長，從而求出。N與?！遍L，最后在RtAOEC中利用勾股定理即可求出DE的長，即。O

的直徑，即可判斷OD=DE=OM,從而證明AB為。O的切線.

(2)設(shè)OO與AD交于點G,連接CG、EG、DF、FG,利用圓周角定理以及三角形中線的性質(zhì)易證小CFG=

△CDG(HL),即證明CF=CD.

⑶取AD中點H,連接CH、FH、FD.根據(jù)(2)中三角形中線的結(jié)論可知FH==|,再在Rt△CDH

中，利用勾股定理可求出C”=最后利用三角形三邊的關(guān)系即可求出CF的最小值.

【解題過程】

(1)如圖，過點。作。且OM的反向延長線交CD于點N.

由題意可知四邊形BCNM為矩形，

，MN=AD=3,

：O為圓心，即O為DE中點，

；.N為DC中點，即線段ON為ADEC中位線，

又■:CE=BC-BE=3-1=2,

1

：.ON=-CE=1,

2

AOM=MN-ON=3-1=2.

在RtADEC中，DE=7CD?+CE2=J(2A/3)2+22=4.

；.OD=DE=OM=2.

即AB為OO的切線.

(2)設(shè)。O與AD交于點G,連接CG、EG、DF、FG,

：DE為直徑，

；.乙EGD=乙EFD=90°.

：.AGEC=90°,

ACG為直徑.

:.乙CFG=乙CDG=90°,

：E為BC中點，

；.G為AD中點，

在RtAAFD中，F(xiàn)G為中線，

；.AG=DG=FG,

在RtACFG和RtACDG中，，

ICG=LG

A△CFGCDG(HL).

.\CF=CD.

(3)如圖，取AD中點H,連接CH、FH、FD.

由(2)可知F”=-AD

22

在RtACDH中，CH='CD?+HD2=J(2A/3)2+(|)2=

,/CF>CH-FH=---.

22

二當(dāng)F點在CH上時CF長有最小值，最小值為4-|.

8.(2022秋?江蘇?九年級期中)如圖1,已知4(一10,0),3(-6,0),點。在丫軸的正半軸上/以。=45°,CD//AB,

Z.CDA=90°.點P從點4出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位長度的速度向右運動，運動時間為t秒.

(1)BC=；

(2)當(dāng)乙BCP=15。時,求t的值；

(3)以線段PC為直徑的OQ隨點尸的運動而變化，當(dāng)OQ與四邊形4BCD的邊(或邊所在的直線)相切時，

求t的值.

【思路點撥】

(1)根據(jù)等腰三角形的判定和勾股定理即可得出答案；

(2)分①當(dāng)點P在點B右側(cè)時，②當(dāng)點P在點B左側(cè)時兩種情況進行求解即可；

(3)分①當(dāng)該圓與BC相切于點C,②當(dāng)該圓與CD相切于點C,③當(dāng)該圓與AD相切三種情況分別求出t

的值即可；

【解題過程】

解：⑴乙BOC=90°,Z.CBO=45°,

/.BCO=Z.CBO=45°,

B(-6,0),

OC=OB=6,

???C(0,6),

BC=近OB=6V2.

(2)如圖1中，

圖1

①當(dāng)點P在點B右側(cè)時，

NBOC=45°/BCP=15",

???乙POC=30°,

?-.OP=2A/3,

=10—2V3,

②當(dāng)點P在點B左側(cè)時，

乙BCO=45°,NBCP'=15°,

AP'CO=60°,

OP'=6V3,

t2=10—6A/3,

綜上所述：t的值為10-2百或10-6V3

(3)如圖2中，

圖2

由題意知，若該圓與四邊形ABCD的邊相切，有以下三種情況：

①當(dāng)該圓與BC相切于點C時，有

Z.BCP=90°,

則NOCP=45",0Pl=6,

???力Pi=OA+OP1=10+6=16,

t=16秒，

②當(dāng)該圓與CD相切于點C時，有P2c1即點P2與點O重合,

AP2-OA-10,

t=10秒，

③當(dāng)該圓與AD相切時，

設(shè)P3的坐標(biāo)為(-10+30),

??"(0,6),

；.M點的坐標(biāo)為(—5+[,3),

MC2=(5-1)2+32,

過M作MH_LAD于H,

1

???MH=-(福+CD)

1

=2（10+t）

t

=5+?

VMH2=MC2,

???（5+!y=（5-今2+32,

整理得10t=9,

解得”春

綜上所述，當(dāng)OQ與四邊形ABCD的邊或邊所在的直線相切時，t的值為16秒或10秒或V秒

9.（2022.全國.九年級專題練習(xí)）如圖，己知力B為半圓。的直徑，P為半圓上的一個動點（不含端點），

以。P、OB為一組鄰邊作回POBQ,連接OQ、AP,設(shè)。Q、4P的中點分別為“、N,連接PM、ON.

（1）試判斷四邊形。MPN的形狀，并說明理由.

（2）若點尸從點8出發(fā)，以每秒15。的速度，繞點。在半圓上逆時針方向運動，設(shè)運動時間為ts.

①是否存在這樣的心使得點。落在半圓。內(nèi)？若存在，請求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由.

②試求：當(dāng)f為何值時，四邊形。MPN的面積取得最大值？并判斷此時直線PQ與半圓。的位置關(guān)系（需說

明理由）.

【思路點撥】

（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得PQ=OB,可證四邊形尸為平行四邊形，可得出〃。。，PA

=。。.由中點的性質(zhì)可得OM=PM可證四邊形OMPN為平行四邊形，由等腰三角形的性質(zhì)可得/ONP

=90。，可得結(jié)論；

（2）①求出點。落在半圓O上時，f的值，點尸與點A重合時，/的取值，根據(jù)這兩個特殊位置，可求點

。落在半圓。內(nèi)時，t的取值范圍；

②由面積公式可得S題。“吶=2人。尸，由△A。尸的底A。為定值，則當(dāng)P旋轉(zhuǎn)運動90。（運動至最高點）

時，高取得最大值，此時AAOP的面積取得最大值，即可求，的值，由平行線的性質(zhì)可得NOPQ=90。，可

證尸。與半圓O相切.

【解題過程】

解：（1）四邊形OMPN為矩形，

理由如下：???四邊形PO8。為平行四邊形,

：.PQ//OB,PQ=OB,

又，：OB=OA,

J.PQ^AO,

5L-：PQ//0A,

，四邊形PQOA為平行四邊形，

J.PA//QO,PA=QO.

又N分別為。。、AP的中點，

：.OM=^OQ,PN=3P,

：.OM=PN,

，四邊形OMPN為平行四邊形，

VOP=OA,N是AP的中點，

AON±AP,即NONP=90°,

二四邊形OMPN為矩形；

（2）①如圖，當(dāng)點。落在半圓0上時，

四邊形POBQ是平行四邊形，

：.PQ=OB,PO=BQ,

又尸=0Q,

OP=OQ=PQ=BO=BQ,

...△尸00是等邊三角形，AB。。是等邊三角形,

ZPOQ=NBOQ=60°,

ZBOP^UO0,

...當(dāng)r=8s時，點。落在半圓。上，

?.?當(dāng)點P與點A重合時，/=喈=125,

.?.當(dāng)8<f<12時，點。落在半圓。內(nèi)；

②：四邊形0MPN為矩形，

S矩/0MPN=0N?NP='P?0N,

2

:.S矩彩0MPN=SAA0P,

AA0P的底AO為定值，

.?.當(dāng)P旋轉(zhuǎn)運動90。(運動至最高點)時，高取得最大值，此時△4。尸的面積取得最大值.

.?"=90+15=6秒.

.?.當(dāng)f=6s時，四邊形OMPN面積最大，

此時，尸。與半圓。相切.

理由如下：'：ZPOB=90°,PQ//OB,

NOP。=90°,

，尸。與半圓。相切.

10.(2022秋?江蘇揚州?九年級校聯(lián)考期中)如圖①，矩形力BCD與以EF為直徑的半圓。在直線/的上方，

線段4B與點E、尸都在直線/上，且力B=7,EF=10,BC>5.點B以1個單位/秒的速度從點E處出發(fā),

沿射線EF方向運動，矩形2BCD隨之運動，運動時間為t秒.

圖①圖②圖③

(1)如圖②，當(dāng)t=2.5時，求半圓。在矩形4BCD內(nèi)的弧的長度；

(2)在點8運動的過程中，當(dāng)AD、BC都與半圓。相交時，設(shè)這兩個交點為G、H.連接。G、0H,若乙GOH

為直角，求此時f的值.

(3)當(dāng)矩形ABCD為正方形時，連接AC,在點B運動的過程中，若直線AC與半圓只有一個交點，則，的取

值范圍是_.

【思路點撥】

(1)通過判定△MEO為等邊三角形，然后根據(jù)弧長公式求解；

(2)通過判定AGA。三△”B。，然后利用全等三角形的性質(zhì)分析求解；

(3)當(dāng)半圓。與直線4C相切時，可求得t=12—5混，此時半圓。與直線4c只有一個交點；當(dāng)點“與點

A重合時，可求得t=7,此時半圓O與直線AC有兩個交點；當(dāng)點尸與點A重合時，可求得t=17,此時半

圓。與直線力C只有一個交點，即可得到/的取值范圍.

【解題過程】

(1)設(shè)BC與0。交于點M

當(dāng)t=2.5時，BE=2.5

\'EF=10

：.OE=-EF=5

2

：.0B=2.5

：.EB=OB

在矩形/BCD中，Z.ABC=90°

：.ME=MO

又YM。=EO

：.ME=EO=MO

:?△MOE是等邊三角形

：.2LE0M=90°

,,607rx557r

ME1803

即半圓。在矩形ABCD內(nèi)的弧的長度為拳

(2)連接G。，HO

■:(GOH=90°

：.Z.AOG+^BOH=90°,

?.,44G。+N40G=90°

AZ-AGO=乙BOH,

在△ZG。和△OBH中，

/.AGO=乙BOH

/.GAO=Z-HBO

OG=OH

J.LAGO且BOH

：.OB=AG=t-5

\'AB=7

：.AE=t-7

AO=5—(t—7)—12—t

在RtUG。中，AG2+AO2=OG2

A(t-5)2+(12-t)2=52

解得：力i=8,12=9

即1的值為8或9.

(3)t=12-5/或7<tW17

理由：當(dāng)半圓。與直線4c相切時，過圓心。作。尸1ZC于點P

貝IJOP=5

???四邊形/BCD為正方形

：.Z.CAB=45°

又：。PJ.4C

...△aop為等腰直角三角形

則2。=企。P=5V2

：.BE=4B+0E-4。=7+5-5V2=12-5V2

則￡=12-5魚，此時半圓。與直線4C相切；

當(dāng)點E與點A重合時，t=7,此時半圓。與直線4C有兩個交點；

當(dāng)點尸與點A重合時，t=17,此時半圓O與直線4c只有一個交點，

則t的取值范圍為t=12-5或或7<tW17.

故答案為：t=12-5或或7<tW17.

11.(2023秋?浙江臺州?九年級統(tǒng)考期末)如圖1,。。的半徑為4cm,回4BCD的頂點力，B,C在。。上,

AC=BC.

(1)求證：DC是O。的切線；

(2)若4D也與。。相切，求證：四邊形力BCD是菱形；

(3)如圖2,4D與。。相交于點E,連接于CE,當(dāng)NB=75。時，求團4BCD的對角線4C的長及陰影部分圖

形的面積.

【思路點撥】

(1)連接。4OB,0C,延長C。交4B于尸，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出CO垂直平分4B,再根據(jù)平行四邊

形的性質(zhì)進行證明即可；

(2)根據(jù)切線長定理和四邊形2BCD是平行四邊形進行證明即可；

(3)連接。4,0E,過點E作EG交AC于G,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出NC4E=

30°,AACE=45°,再根據(jù)勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)和含30。角直角三角形的性質(zhì)得到力G和CG的長，最

后根據(jù)S陰影=弓形4E的面積+SMEC進行求解即可.

【解題過程】

(1)連接。4OB,OC,延長C。交2B于F,

"：AC=BC,

.?.點C在的垂直平分線上，

XVOA=OB,

...點。在AB的垂直平分線上，

；.C。垂直平分48,

J.^BFC=90°,

又?；四邊形48CD是平行四邊形，

：.AB||CD,

:.4BFC=乙DCF=90°,

：.OC1CD,

是O。的切線；

(2)是。。的切線，4。也是O。的切線，

：.DC=4。，

又：四邊形4BCD是平行四邊形，

四邊形4BCD是菱形；

(3)連接。4OE,過點E作EG_L4C交2C于G,

：.7.B=/.CAB=75°,

：.^ACB=30°,

又???四邊形4BCD是平行四邊形，

：.AD||BC,

：.Z.CAE=4ACB=30°,

：.Z.AEG=60°,

又???四邊形ZB"是圓內(nèi)接四邊形，

AZ-ABC+/-AEC=180°,

J.Z.AEC=105°,

:?乙CEG=45°,

???乙4CE=45°,

AZ.AOE=90°,

又?.?04=0E=4cm,

?e?弓形/E的面積=S扇形40E—=券7rR2—[x42=4兀一8(cm2),

\9AE=yJOA2+OE2=4岳m(xù),

/.EG=2V2cm,

.\AG=2V6cm,

/.CG=EG=2&cm,

.9.AC=2A/6+2V2(cm),

:.S^AEC=！x2V2(2V6+2V2)=4V3+4(cm2),

二?S陰影=弓形AE的面積+S-EC=4"-8+4\^3+4=47r+4A/3-4(cm2).

12.(2023?全國?九年級專題練習(xí))(1)【學(xué)習(xí)心得】于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾

何問題如果添加輔助圓，無:用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易.

BC

cB--------------------------C

圖1圖2圖3

例如：如圖1,在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是AABC外一點，且AD=AC,求/BDC的度

數(shù).若以點A為圓心，AB為半徑作輔助。A,則點C、D必在。A上，NBAC是。A的圓心角，而/BDC

是圓周角，從而可容易得到/BDC=°.

(2)【問題解決】如圖2,在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求NBAC的度數(shù).

(3)【問題拓展】如圖3,如圖，E,F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF.連接CF交

BD于點G,連接BE交AG于點H.若正方形的邊長為2,則線段DH長度的最小值是.

【思路點撥】

(1)利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解.

(2)由A、B、C、D共圓，得出NBDC=NBAC,

(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,ZADG=ZCDG,然后利用“邊角邊”證明△ABE

和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得Nl=/2,利用“SAS”證明△ADG和ACDG全等，根據(jù)全

等三角形對應(yīng)角相等可得/2=/3,從而得到/1=/3,然后求出/AHB=90。，取AB的中點O,連接OH、

0D,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OHWAB=1,利用勾股定理列式求出0D,然后根

據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點共線時，DH的長度最小.

【解題過程】

解：(1)如圖1,

VAB=AC,AD=AC,

以點A為圓心，點B、C、D必在。A上,

：NBAC是。A的圓心角，而NBDC是圓周角,

ZBDC=-ZBAC=45°,

故答案是：45；

(2)如圖2,取BD的中點O,連接AO、CO.

???點A、B、C、D共圓，

???NBDC=NBAC,

VZBDC=25°,

.\ZBAC=25O,

(3)如圖3,在正方形ABCD中，AB=AD=CD,NBAD=NCDA,NADG=NCDG,

在^ABE和^DCF中，

AB=CD

/.BAD=Z-CDA，

.AE=DF

：.AABE^ADCF(SAS),

AZ1=Z2,

在aADG和^CDG中，

AD=CD

Z-ADG=Z-CDG,

DG=DG

AAADG^ACDG(SAS),

???N2=N3,

AZ1=Z3,

ZBAH+N3=ZBAD=90°,

.".Zl+ZBAH=90°,

.,.ZAHB=180°-90°=90°,

取AB的中點O,連接OH、OD,

則OH=AO=^AB=1,

在RtAAOD中，OD=>M02+力￡)2=“2+22=遙，

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH>OD,

...當(dāng)0、D、H三點共線時，DH的長度最小，

最小值=OD-OH=V5-1.

故答案為：V5-1.

13.(2022.黑龍江哈爾濱.統(tǒng)考三模)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AC為直徑，AC和BD交于點E,

AB=BC.

(1)求NADB的度數(shù)；

(2)過B作AD的平行線，交AC于F,試判斷線段EA,CF,EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由；

(3)在(2)條件下過E,F分別作AB,BC的垂線，垂足分別為G,H,連接GH,交BO于M,若AG

【思路點撥】

(1)由直徑所對的圓周角為直角及等腰三角形的性質(zhì)和互余關(guān)系可得答案；

(2)線段EA,CF,EF之間滿足的等量關(guān)系為：EA2+CF2=EF2.如圖2,設(shè)NABE=a,ZCBF=p,先證明

a+p=45°,再過B作BN_LBE,使BN=BE,連接NC,判定△AEB^ACNB(SAS)、ABFE^ABFN(SAS),

然后在RtANFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2,將相關(guān)線段代入即可得出結(jié)論；

(3)如圖3,延長GE,HF交于K,由(2)知EA2+CF2=EF2,變形推得SAABC=S矩形BGKH,SABGM=S四邊形

COMH，SABMH=S四邊彩AGMO，結(jié)合已知條件S四邊形AGMO：SHS?CHMO=8：9,設(shè)BG=9k,BH=8k,貝UCH=3+k,

求得AE的長，用含k的式子表示出CF和EF,將它們代入EA2+CF2=EF2,解得k的值，則可求得答案.

【解題過程】

解：（1）如圖1,

VAC為直徑，

???NABC=90。，

.\ZACB+ZBAC=90o,

VAB=BC,

???NACB=NBAC=45。，

，NADB=NACB=45。；

(2)線段EA,CF,EF之間滿足的等量關(guān)系為：EA2+CF2=EF2.理由如下:

如圖2,設(shè)NABE=a,NCBF=(3,

VAD/7BF,

???NEBF=NADB=45。，

又NABC=90。，

a+|3=45°,

過B作BN_LBE,使BN=BE,連接NC,

,.?AB=CB,ZABE=ZCBN,BE=BN,

.'.△AEB^ACNB(SAS),

???AE=CN,NBCN=NBAE=45。，

???NFCN=90。.

?.?NFBN=a+p=NFBE,BE=BN,BF=BF,

.".△BFE^ABFN(SAS)，

.".EF=FN,

在RtANFC中，CF2+CN2=NF2,

.,.EA2+CF2=EF2；

(3)如圖3,延長GE,HF交于K,

圖3

由(2)知EA2+CF2=EF2,

.,.iEA2+k：F2=-EF2,

222

SAAGE+SACFH-SAEFK，

SAAGE+SACFH+S五邊形BGEFH=S^EFK+S五邊形BGEFH，

即SAABC=S矩形BGKH，

?**|SAABC|S矩形BGKH，

SAGBH=SAABO=SACBO，

*'?Sz\BGM=S四邊形COMH，SABMH=S四邊形AGMO，

?「S四邊形AGMO：S四邊形CHMO=8：9,

=

**?SABMH：SABGM8：9,

VBM平分NGBH,

ABG：BH=9：8,

設(shè)BG=9k,BH=8k,

ACH=3+k,

?「AG=3,

???AE=3VL

ACF=V2(k+3),EF=V2(8k-3),

VEA2+CF2=EF2,

A(3V2)2+[V2(fc+3)]2=[V2(8/c-3)]2,

整理得：7k2-6k-1=0,

解得：ki=-,（舍去），k2=l.

；.AB=12,

-,.AO=yAB=6V2,

/.?O的半徑為6V2.

14.（2022秋?江蘇連云港?九年級校考階段練習(xí)）在矩形4BCD中，AB=6cm,BC=8cm,點P從點A出

發(fā)沿4B邊以lcm/s的速度向點8移動，同時，點。從點B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點C移動，其中一點

到達(dá)終點時，另一點隨之停止運動.設(shè)運動時間為/秒：

（1）如圖1,幾秒后，的面積等于21cm2?

（2）在運動過程中，若以P為圓心的OP同時與直線AD、BD相切（如圖2）,求才值；

（3）若以。為圓心，PQ為半徑作OQ.

①在運動過程中，是否存在r值，使得點。落在OQ上？若存在，求出f值；若不存在，請說明理由；

②若OQ與四邊形CDPQ有三個公共點，則才的取值范圍為一.（直接寫出結(jié)果，不需說理）

【思路點撥】

（1）由題意可知P4=t,BQ=2t,從而得到PB=6-t,BQ=2t,QC=8-2t.再根據(jù)=21cm2=

S矩形4BCD-SA4DP-SAPQB-SACDQ，即可列出關(guān)于f的方程，解出,的值即可；

（2）連接PE,依據(jù)勾股定理可求得BD的長，然后依據(jù)切線長定理可知DE=4。=8,從而可求得BE的長,

由圓的半徑相等可知PE=AP=t,然后在RtAPEB中依據(jù)勾股定理列方程求解即可；

（3）①先用含/的式子表示出BP、BQ、CQ的長，然后依據(jù)。。2+。（22=282+（232列出關(guān)于/的方程，從

而可求得f的值；②當(dāng)t=0時，OQ與四邊形DPQC有兩個公共點，由①可知當(dāng)t=—10+2WT時，OQ與

四邊形DPQC有兩個公共點，從而可確定出f的取值范圍.

【解題過程】

（1）解：:當(dāng)運動時間為f秒時，PA-t,BQ=2t,

:,PB=6—tfBQ=23CQ=8—2t.

?S^DPQ=21cm2=S矩形.co—^LADP~^LPQB-S^CDQ，

***6x8——xSt——x(6———x6(8—2t)=21cm2,

整理，得：t2-4t+3=0,

解得：G=1,=3,

???當(dāng)f為1秒或3秒時，△OPQ的面積等于21cm2；

(2)解：連接PE,如圖，

DC

◎

???以尸為圓心的。尸同時與直線4)、8。相切,

：.PE1BD,AD=DE=8.

在RtUBO中，BD=y)AD2+AB2=10,

：.BE=BD-BE=10-8=2.

*：AP=PE,

/.PE=t,PB=6—t.

在RtZkPEB中，PB2=PE2+BE2,

A(6-t)2=t2+22,

解得：t=/

(3)解:①如圖，

\'PA=3BQ=2t,

:?PB=6—t,CQ=8-2t.

:點。落在OQ上，

：.QD=QP.

?.,在RtACDQ中，QD2=CD2+CQ2,

在RtzkPBQ中，PQ2=PB2+BQ2,

/.CD2+CQ2=PB2+BQ2,

6^+(8—2t)2=(6-t)2+2t2,

整理，得：t2+20t-64=0,

解得：tl=-10+2V41,t2=-10-2V41(舍)，

存在t值，使得點。落在G)Q上，此時r值為t=-10+2?；

②分類討論：當(dāng)t=0時，如圖，

OQ與四邊形DPQC有兩個公共點；

當(dāng)OQ經(jīng)過點。時，OQ與四邊形DPQC有兩個公共點，如圖,

由①可知此時t=-10+2V41,

當(dāng)0<t<—10+2AM時，O