云南省宣威市第十中學2025屆數學高二第二學期期末學業水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．由數字0，1，2，3組成的無重復數字且能被3整除的非一位數的個數為（）A．12 B．20 C．30 D．312．1-2x5展開式中的x3系數為（A．40 B．-40 C．80 D．-803．下列說法中：相關系數用來衡量兩個變量之間線性關系的強弱，越接近于1，相關性越弱；回歸直線過樣本點中心；相關指數用來刻畫回歸的效果，越小，說明模型的擬合效果越不好．兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好.正確的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．34．若函數為偶函數，則（）A．-1 B．1 C．-1或1 D．05．曲線與直線圍成的封閉圖形的面積為()A． B． C． D．6．定積分（）A．0 B． C． D．7．設，則隨機變量的分布列是：則當在內增大時（）A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大8．魏晉時期數學家劉徽在他的著作九章算術注中，稱一個正方體內兩個互相垂直的內切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，劉徽通過計算得知正方體的內切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應為：若正方體的棱長為2，則“牟合方蓋”的體積為A．16 B． C． D．9．已知函數的導函數為，且對任意的實數x都有（e是自然對數的底數），且，若關于x的不等式的解集中恰有兩個整數，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．10．設，則二項式展開式的所有項系數和為（）A．1 B．32 C．243 D．102411．已知復數滿足，則（）A． B． C． D．12．下列四個命題中，真命題的個數是（）①命題：“已知，“”是“”的充分不必要條件”；②命題：“p且q為真”是“p或q為真”的必要不充分條件；③命題：已知冪函數的圖象經過點（2，），則f（4）的值等于；④命題：若，則．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線，，若與平行，則實數的值為______．14．若函數是偶函數，則實數的值為______.15．若函數的導函數為，則_____________．16．橢圓，參數的范圍是）的兩個焦點為、，以為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，且，則等于．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2019年6月13日，三屆奧運亞軍，羽壇傳奇，馬來西亞名將李宗偉宣布退役，當天有大量網友關注此事件，某網上論壇從關注此事件跟帖中，隨機抽取了100名網友進行調查統計，先分別統計他們在跟帖中的留言條數，再把網友人數按留言條數分成6組；，得到如下圖所小的頻率分布直方圖；并將其中留言不低于40條的規定為“強烈關注”，否則為“一般關注”，對這100名網友進一步統計，得到部分數據如下的列聯表.（1）在答題卡上補全2×2列聯表中數據，并判斷能否有95%的把握認為網友對此事件是否為“強烈關注”與性別有關？（2）該論壇欲在上述“強烈關注”的網友中按性別進行分層抽樣，共抽取5人，并在此5人中隨機抽取兩名接受訪談，記女性訪談者的人數為，求的分布列與數學期望.0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式與數據：，其中.18．（12分）某企業有甲、乙兩套設備生產同一種產品，為了檢測兩套設備的生產質量情況，隨機從兩套設備生產的大量產品中各隨機抽取了100件產品作為樣本來檢測一項質量指標值，若產品的該項質量指標值落在內，則為合格品，否則為不合格品．表1是甲套設備的樣本的頻數分布表，圖是乙套設備的樣本的頻率分布直方圖．表甲套設備的樣本的頻數分布表質量指標值頻數2103638122（1）將頻率視為概率．若乙套設備生產了10000件產品，則其中的合格品約有多少件？（2）填寫下面的2×2列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為該企業生產的這種產品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關．甲套設備乙套設備合計合格品不合格品合計附表及公式：，其中；0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）設函數f（x）是增函數，對于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求f（0）；（2）證明f（x）是奇函數；（3）解不等式12f（x2）—f（x）＞120．（12分）某品牌新款夏裝即將上市,為了對新款夏裝進行合理定價,在該地區的三家連鎖店各進行了兩天試銷售,得到如下數據:連鎖店A店B店C店售價x（元）808682888490銷量y（元）887885758266(1)分別以三家連鎖店的平均售價與平均銷量為散點,如A店對應的散點為，求出售價與銷量的回歸直線方程;(2)在大量投入市場后,銷量與單價仍然服從(1)中的關系,且該夏裝成本價為40元/件,為使該新夏裝在銷售上獲得最大利潤,該款夏裝的單價應定為多少元?(保留整數)附:,.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，.（1）求三棱柱的體積；（2）若點M是棱AC的中點，求直線與平面ABC所成的角的大小.22．（10分）如圖，已知長方形中，，，M為DC的中點.將沿折起，使得平面⊥平面.（1）求證：；（2）若點是線段上的一動點，問點在何位置時，二面角的余弦值為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

分成兩位數、三位數、四位數三種情況，利用所有數字之和是的倍數，計算出每種情況下的方法數然后相加，求得所求的方法總數.【詳解】兩位數：含數字1，2的數有個，或含數字3，0的數有1個.三位數：含數字0，1，2的數有個，含數字1，2，3有個.四位數：有個.所以共有個.故選D.本小題主要考查分類加法計數原理，考查一個數能被整除的數字特征，考查簡單的排列組合計算，屬于基礎題.2、D【解析】

由二項式定理展開式的通項公式，賦值即可求出?！驹斀狻?-2x5展開式的通項公式是T令r=3，所以x3系數為C53本題主要考查如何求二項式定理的展開式中某一項的系數。3、D【解析】

根據線性回歸方程的性質，結合相關系數、相關指數及殘差的意義即可判斷選項.【詳解】對于，相關系數用來衡量兩個變量之間線性關系的強弱，越接近于1，相關性越強，所以錯誤；對于，根據線性回歸方程的性質，可知回歸直線過樣本點中心，所以正確；對于，相關指數用來刻畫回歸的效果，越小，說明模型的擬合效果越不好，所以正確；對于，根據殘差意義可知，兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，所以正確；綜上可知，正確的為，故選：D.本題考查了線性回歸方程的性質，相關系數與相關指數的性質，屬于基礎題.4、C【解析】

由f（x）為偶函數，得，化簡成xlg（x2+1﹣m2x2）＝0對恒成立，從而得到x2+1﹣m2x2＝1，求出m＝±1即可．【詳解】若函數f（x）為偶函數，∴f（﹣x）＝f（x），即；得對恒成立，∴x2+1﹣m2x2＝1，∴（1﹣m2）x2＝0，∴1﹣m2＝0，∴m＝±1．故選C．本題考查偶函數的定義，以及對數的運算性質，平方差公式，屬于基礎題．5、B【解析】由，直線，令,可得或，曲線與直線交于點或，因此圍成的封閉圖形的面積，故選B.6、C【解析】

利用微積分基本定理求出即可．【詳解】.選C.本題關鍵是求出被積函數的一個原函數．7、D【解析】

研究方差隨變化的增大或減小規律，常用方法就是將方差用參數表示，應用函數知識求解.本題根據方差與期望的關系，將方差表示為的二次函數，二次函數的圖象和性質解題.題目有一定綜合性，注重重要知識、基礎知識、運算求解能力的考查.【詳解】方法1：由分布列得，則，則當在內增大時，先減小后增大.方法2：則故選D.易出現的錯誤有，一是數學期望、方差以及二者之間的關系掌握不熟，無從著手；二是計算能力差，不能正確得到二次函數表達式.8、C【解析】

由已知求出正方體內切球的體積，再由已知體積比求得“牟合方蓋”的體積．【詳解】正方體的棱長為2，則其內切球的半徑，正方體的內切球的體積，又由已知，．故選C．本題考查球的體積的求法，理解題意是關鍵，是基礎題．9、B【解析】

先利用導數等式結合條件求出函數的解析式，由，得，轉化為函數在直線下方的圖象中只有兩個橫坐標為整數的點，然后利用導數分析函數的單調性與極值，作出該函數的圖象，利用數形結合思想求出實數的取值范圍.【詳解】由等式，可得，即，即（為常數），，則，，因此，，，令，得或，列表如下：極小值極大值函數的極小值為，極大值為，且，作出圖象如下圖所示，由圖象可知，當時，.另一方面，，則，由于函數在直線下方的圖象中只有兩個橫坐標為整數的點，由圖象可知，這兩個點的橫坐標分別為、，則有，解得，因此，實數的取值范圍是，故選B.本題考查函數的單調性、函數不等式的整數解問題，本題的難點在于利用導數方程求解函數解析式，另外在處理函數不等式的整數解的問題，應充分利用數形結合的思想，找到一些關鍵點來列不等式求解，屬于難題．10、C【解析】

根據定積分求得，得出二項式，再令，即可求得展開式的所有項的系數和，得到答案.【詳解】由題意，可得，所以二項式為，令，可得二項式展開式的所有項系數和為，故選C.本題主要考查了微積分基本定理的應用，以及二項展開式的系數問題，其中解答中熟記定積分的計算，以及二項式的系數的求解方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.11、C【解析】

，，故選C.12、C【解析】

命題①單位圓x2+y2＝1上或圓外任取一點P（a，b），滿足“a2+b2≥1”，根據三角形兩邊之和大于第三邊，一定有“|a|+|b|≥1”，在單位圓內任取一點M（a，b），滿足“|a|+|b|≥1”，但不滿足“a2+b2≥1”，從而判斷命題的真假性；命題②先由“p且q為真”推出p、q的真假，然后判斷“p或q”的真假，反之再加以判斷；命題③直接把點的坐標代入冪函數求出α，然后把x＝4代入求值即可；命題④構造函數f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，利用導數判斷函數的單調性，從而判斷命題的真假性；【詳解】命題①如圖在單位圓x2+y2＝1上或圓外任取一點P（a，b），滿足“a2+b2≥1”，根據三角形兩邊之和大于第三邊，一定有“|a|+|b|≥1”，在單位圓內任取一點M（a，b），滿足“|a|+|b|≥1”，但不滿足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要條件，故命題①正確；命題②“p且q為真”，則命題p、q均為真，所以“p或q為真”．反之“p或q為真”，則p、q都為真或p、q一真一假，所以不一定有“p且q為真”.所以命題“p且q為真”是“p或q為真”的充分不必要條件，故命題②不正確；命題③由冪函數f（x）＝xα的圖象經過點（2，），所以2α＝，所以α＝﹣，所以冪函數為f（x）＝，所以f（4）＝，所以命題③正確；命題④若x+lnx＞1，則x﹣1+lnx＞0，設f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，∴＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，且f（1）＝0，∴f（x）＞0時x＞1，即x+lnx＞1時x＞1，所以命題④正確.故選：C本題考查命題的真假判斷，充分不必要條件，冪函數，構造函數，利用導數判斷函數的單調性，考查學生的計算能力，知識綜合性強，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據兩直線平行，列出有關的等式和不等式，即可求出實數的值.【詳解】由于與平行，則，即，解得.故答案為：.本題考查利用兩直線平行求參數，解題時要熟悉兩直線平行的等價條件，并根據條件列式求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.14、【解析】

根據偶函數的定義，先得到，化簡整理，得到，即可求出結果.【詳解】因為函數是偶函數，所以，即，即，整理得，所以.故答案為：.本題主要考查由函數奇偶性求參數的問題，熟記偶函數的概念即可，屬于基礎題型.15、【解析】

先求導，再代值計算．【詳解】，，故答案為：．本題考查了導數的運算法則，屬于基礎題．16、【解析】試題分析：設P為橢圓平分正三角形的邊的一個點，則為一個銳角為直角三角形，因為斜邊長，所以另兩條直角邊長為由橢圓定義有考點：橢圓定義三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）列聯表見解析，沒有的把握認為網友對此事件是否為“強烈關注”與性別有關（2）分布列見解析，數學期望【解析】

1根據頻率分布直方圖中的頻率，計算強烈關注的頻率進而得到強烈關注的人數，結合表中的數據即可得到其余數據，補全列聯表，根據列聯表中的數據計算的值，結合臨界值表中的數據判斷即可；2的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列和數學期望．【詳解】1根據頻率分布直方圖得，網友強烈關注的頻率為，所以強烈關注的人數為，因為強烈關注的女行有10人，所以強烈關注的男性有15人，所以一般關注的男性有人，一般關注的女性有人，所以列聯表如下：一般關注強烈關注合計男301545女451055合計7525100由列聯表中數據可得：．所以沒有的把握認為網友對此事件是否為“強烈關注”與性別有關．2論壇欲在上述“強烈關注的網友中按性別進行分層抽樣，共抽取5人，則抽中女性網友：人，抽中男性網友：人，在此5人中隨機抽取兩名接受訪談，記女性訪談者的人數為，則的可能取值為0，1，2，，，，的分布列為：

0

12

P

數學期望．本題考查獨立性檢驗、根據頻率分布直方圖求估計數據的中位數、列聯表等知識、離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，考查運算求解能力，是中檔題．18、（1）8600件；（2）列聯表見解析，不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下可以認為該企業生產的這種產品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關．【解析】

（1）計算出不合格品率，和不合格品件數，由此求得合格品件數.（2）根據題目所給表格和圖像數據，填寫好聯表，計算出的值，由此判斷出“不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下可以認為該企業生產的這種產品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關．”【詳解】解：（1）由題圖1知，乙套設備生產的不合格品的概率約為，∴乙套設備生產的10000件產品中不合格品約為（件），故合格品的件數為（件）．（2）由題中的表1和圖1得到2×2列聯表如下：甲套設備乙套設備合計合格品9686182不合格品41418合計100100200將2×2列聯表中的數據代入公式計算得的觀測值，因為6.105<6.635，所以不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下可以認為該企業生產的這種產品的質量指標值與甲、乙兩套設備的選擇有關．本小題主要考查用頻率估計總體，考查聯表獨立性檢驗，考查運算求解能力，屬于中檔題.19、（1）0；（2）見解析；（3）{x|x<0或x>5}【解析】

試題分析：（1）利用已知條件通過x=y=0，直接求f（0）；（2）通過函數的奇偶性的定義，直接證明f（x）是奇函數；（3）利用已知條件轉化不等式．通過函數的單調性直接求解不等12試題解析：（1）令x=y=0，得f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0定義域關于原點對稱y=-x，得f(x)+f(-x)=f(0)=0，∴f(-x)=f(x)∴f(x)是奇函數12f(即f又由已知得：f(2x)=2f由函數f（x∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．考點：抽象函數及其應用；函數單調性的性質；函數奇偶性的判斷；其他不等式的解法．【方法點睛】解決抽象函數問題常用方法：1．換元法：換元法包括顯性換元法和隱性換元法，它是解答抽象函數問題的基本方法；2．方程組法：運用方程組通過消參、消元的途徑也可以解決有關抽象函數的問題；3．待定系數法：如果抽象函數的類型是確定的，則可用待定系數法來解答有關抽象函數的問題；4．賦值法：有些抽象函數的性質是用條件恒等式給出的，可通過賦特殊值法使問題得以解決；5．轉化法：通過變量代換等數學手段將抽象函數具有的性質與函數的單調性等定義式建立聯系，為問題的解決帶來極大的方便；6．遞推法：對于定義在正整數集N*上的抽象函數，用遞推法來探究，如果給出的關系式具有遞推性，也常用遞推法來求解；7．模型法：模型法是指通過對題目的特征進行觀察、分析、類比和聯想，尋找具體的函數模型，再由具體函數模型的圖象和性質來指導我們解決抽象函數問題的方法；應掌握下面常見的特殊模型：20、（1）（2）【解析】

（1）求出三家連鎖店的平均年售價和平均銷量，根據回歸系數公式計算回歸系數，得出回歸方程（2）設定價為，得出利潤關于的函數，利用二次函數的性質確定出的最值．【詳解】（1）三家連鎖店的平均售價和銷售量分別為，，．，．，．售價與銷量的回歸直線方程為．（2