上海市嘉定區(qū)封浜高級(jí)中學(xué)2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共4小題）1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知，向量為單位向量，，則（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．4．下列關(guān)于基底的說(shuō)法正確的是（

）①平面內(nèi)不共線(xiàn)的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線(xiàn)性分解形式也是唯一確定的．A．① B．② C．①③ D．②③二、填空題（本大題共12小題）5．．6．已知，，則．7．已知復(fù)數(shù)，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限．8．已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)二次方程的一根為(其中是虛數(shù)單位)，則．9．正方體中，異面直線(xiàn)與所成角的大小為.10．已知，，則向量在向量方向上的投影向量為（用坐標(biāo)表示）．11．給出下列命題：①書(shū)桌面是平面；②平面與平面相交，它們只有有限個(gè)公共點(diǎn)；③如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線(xiàn)的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合.正確的是（填寫(xiě)序號(hào)）.12．已知兩條直線(xiàn)m，n，兩個(gè)平面，，給出下列四個(gè)說(shuō)法：①，，；②，，；③，；④，，，其中正確的序號(hào)是．13．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為．14．已知向量，若與的夾角為銳角，其中，則的取值范圍是．15．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)為奇函數(shù)，則.16．如圖，在四面體中，與所成的角為，分別為的中點(diǎn)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為.三、解答題（本大題共5小題）17．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，m為實(shí)數(shù)．(1)當(dāng)實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足什么條件時(shí)，為純虛數(shù)(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸負(fù)半軸，求復(fù)數(shù)18．如圖，底面ABCD為菱形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，且平面ABCD，E、F分別是為PD，PC的中點(diǎn)．(1)求證：平面PAB；(2)若，，，求直線(xiàn)BE與平面ABCD所成角的大小．19．已知向量，，.(1)若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值；(2)若向量，且與向量平行，求實(shí)數(shù)的值.20．如圖，在正方體中，(1)求證：平面；(2)求直線(xiàn)所成的角的大小；(3)求證：平面.21．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若．（i）求的值；（ii）求的面積．

參考答案1．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，再利用復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，即可得到選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋詮?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，該點(diǎn)在第一象限，故選A.2．【答案】B【分析】由向量坐標(biāo)求出模，將，運(yùn)用向量數(shù)量積運(yùn)算律展開(kāi)求得，最后利用向量夾角公式計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)椋桑瑒t，所以.故選B.3．【答案】A【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化成的形式，代入周期公式可得結(jié)論.【詳解】易知，其中，由周期公式可得其最小正周期為.故選A.4．【答案】C【分析】根據(jù)基底的定義和性質(zhì)分析判斷.【詳解】對(duì)于①，平面內(nèi)不共線(xiàn)的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底，所以①正確，對(duì)于②，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量共線(xiàn)，故零向量不能作為基底中的向量，所以②錯(cuò)誤，對(duì)于③，由平面向量基本定理可知，平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線(xiàn)性分解形式也是唯一確定的，所以③正確，故選C.5．【答案】【分析】根據(jù)向量的加法法則求解即可．【詳解】故答案為：．6．【答案】7【分析】利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即得.【詳解】由，，得.故答案為：7.7．【答案】二【分析】利用復(fù)數(shù)的減法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意，，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限．故答案為：二.8．【答案】0【分析】由韋達(dá)定理、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算即可直接運(yùn)算求解.【詳解】由二次方程求根公式可知虛根是成對(duì)出現(xiàn)的，故都是方程的解，所以.故答案為：0.9．【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，利用異面直線(xiàn)所成角的定義求解即得.【詳解】正方體中，，因此異面直線(xiàn)與所成的角或其補(bǔ)角，而，因此.所以異面直線(xiàn)與所成角的大小為.故答案為：/.10．【答案】【分析】利用向量的數(shù)量積定義,可得向量在向量方向上的投影向量為，代入坐標(biāo)計(jì)算即得.【詳解】因向量在向量方向上的投影向量為，由，可得，，故向量在向量方向上的投影向量為.故答案為：.11．【答案】③【分析】對(duì)于①：根據(jù)平面的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于②：根據(jù)公理2分析判斷；對(duì)于③：根據(jù)公理3分析判斷.【詳解】對(duì)于①：由平面性質(zhì)知，平面具有無(wú)限延展性，所以桌面只是平面一部分，不是平面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：根據(jù)公理2可知，若兩個(gè)平面有一個(gè)共點(diǎn)，則有過(guò)該點(diǎn)的唯一交線(xiàn)，可知有無(wú)限個(gè)公共點(diǎn)，且在一條直線(xiàn)上，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：根據(jù)公理3可知，不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，因此兩個(gè)平面有三個(gè)不共線(xiàn)的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合，③正確.故答案為：③.12．【答案】①④【分析】對(duì)于①：根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于②③：根據(jù)線(xiàn)面位置關(guān)系分析判斷；對(duì)于④：根據(jù)線(xiàn)面垂直分析判斷.【詳解】對(duì)①，∵，，∴，又，∴，∴①正確；對(duì)②，∵，，，∴或m與n異面，∴②錯(cuò)誤；對(duì)③，∵，，∴n與可以成任意角，∴③錯(cuò)誤；對(duì)④，∵，，則，又∵，∴，∴④正確．故答案為：①④．13．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，表示復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)間的距離為1，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，如圖，表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由圖可知，的最小值為.故答案為：.14．【答案】.【分析】由與的夾角為銳角，得到，求得，再由向量與共線(xiàn)時(shí)，求得，即可得到答案.【詳解】由向量，可得且，則，因?yàn)榕c的夾角為銳角，可得，即，解得當(dāng)與共線(xiàn)時(shí)，可得，所以，解得，所以且，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15．【答案】【分析】利用三角函數(shù)的圖象變化規(guī)律，結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式，求得的值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得的圖象，根據(jù)所得函數(shù)為奇函數(shù)，可得，即，因?yàn)椋睿傻茫蚀鸢笧椋?16．【答案】或【分析】取的中點(diǎn)，連接、，即可得到為異面直線(xiàn)與所成的角或其補(bǔ)角，即或，再利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、，、分別為、的中點(diǎn)，且，同理可得且，為異面直線(xiàn)與所成的角或其補(bǔ)角，則或.在中，，，若，由余弦定理可得；若，由余弦定理可得；綜上所述，或.故答案為：或.17．【答案】(1)-1(2)【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；（2）利用復(fù)數(shù)的幾何意義，根據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸負(fù)半軸進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義，，解得；（2）利用復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)坐標(biāo)為，根據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸負(fù)半軸，，解得，則.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)中位線(xiàn)得出，再利用線(xiàn)面平行的判定定理即可得證；（2）根據(jù)平面，得出就是直線(xiàn)與平面所成角，解三角形即可．【詳解】（1）因?yàn)镋、F分別是為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋裕驗(yàn)槠矫妫矫妫云矫妫唬?）連接，因?yàn)锳BCD為菱形，，，所以三角形為等邊三角形，故，又，所以，因?yàn)槠矫妫跃褪侵本€(xiàn)與平面所成角，在直角三角形中，，所以，即直線(xiàn)與平面所成角的大小為．19．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意解出的坐標(biāo)，進(jìn)而依據(jù)垂直條件解出的值即可；（2）由題意解出的坐標(biāo)，進(jìn)而依據(jù)平行條件解出的值即可.【詳解】（1），，，，又與垂直，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，若向量與垂直，則.（2）由題意知：，，，，又與向量平行，，即，解得，與向量平行，則.20．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理可證；（2）根據(jù)異面直線(xiàn)所成角定義求解；（3）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可證.【詳解】（1）因?yàn)樵谡襟w中，可知，而平面，平面，所以平面.（2）如圖，連接，，在正方體中，可知，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以（或其補(bǔ)角）是直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角，又，所以，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為.（3）因?yàn)樵谡襟w中，可知平面，且平面，所以，又因?yàn)椤⑹钦叫蔚膶?duì)