吉林省長(zhǎng)春市部分校2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．對(duì)任意非零向量，是和它同向的一個(gè)單位向量 D．零向量沒有方向3．已知一組數(shù)，，，的平均數(shù)是，方差，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別是（

）A．3，4 B．3，8 C．2，4 D．2，84．已知向量在基底下的坐標(biāo)是，則在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E在邊CD上，且，則的值是（

）A． B． C． D．6．在母線長(zhǎng)為4的圓錐中，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．平行六面體中，底面ABCD為正方形，，，E為的中點(diǎn)，則異面直線BE和DC所成角的余弦值為（

）A．0 B． C． D．8．已知，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．袋中有紅球3個(gè)，白球2個(gè)，黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥的兩個(gè)事件是（

）A．至少有一個(gè)白球與都是白球B．恰有一個(gè)紅球與白、黑球各一個(gè)C．至少一個(gè)白球與至多有一個(gè)紅球D．至少有一個(gè)紅球與兩個(gè)白球10．如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．11．下列命題中，正確的是（

）A．在中，，則B．在銳角中，不等式恒成立C．在中，若acosA＝bcosB，則必是等腰直角三角形D．在中，若，，則必是等邊三角形三、填空題（本大題共3小題）12．樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是．13．在中，，則的形狀為三角形．14．已知是邊長(zhǎng)為的正三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，.(1)已知，求的值；(2)若，且∥，求的坐標(biāo).16．已知平行六面體，底面是正方形，，，設(shè)．(1)試用表示；(2)求的長(zhǎng)度．17．已知，向量，且滿足(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)在直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．(1)求第七組的頻率；(2)估計(jì)該校的800名男生的身高的平均數(shù)和中位數(shù)；(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求．19．如圖，在四棱柱中，側(cè)棱平面ABCD，，，，，E為棱的中點(diǎn)，M為棱CE的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求異面直線BM與AD所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．

參考答案1．【答案】D【分析】首先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的概念與幾何意義即可得結(jié)論.【詳解】由題意知，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選D.2．【答案】C【分析】結(jié)合共線向量、單位向量、零向量的定義逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，任意向量都與共線，則不一定共線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，向量不能比較大小，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，對(duì)任意非零向量，是和它同向的一個(gè)單位向量，C正確；對(duì)于D，零向量有方向，其方向是任意的，D錯(cuò)誤.故選C.3．【答案】B【分析】根據(jù)，，，的平均數(shù)是1，方差是2，可計(jì)算出、的值，代入另一組的平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可．【詳解】由題知，，，．另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，另一組數(shù)據(jù)的方差．故選B．4．【答案】A【分析】由題意可知，設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量基本定理列方程組即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，所以，所以，所以在基底下的坐標(biāo)為.故選A.5．【答案】D【分析】建立以為原點(diǎn)，所在直線為軸的平面直角坐標(biāo)系，分別寫出的坐標(biāo)，再通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出向量的數(shù)量積.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.∵，，∴，∵點(diǎn)在邊上，且，∴，∴，，∴.故選D.6．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐底面圓半徑，根據(jù)外接球的球心總在圓錐的高所在的直線上，借助勾股定理建立等量關(guān)系即可求出外接球的半徑.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為，依題意，，解得，圓錐的高，顯然圓錐的外接球的球心在線段上，設(shè)球的半徑為．連接，則由，得，解得，即，所以該圓錐的外接球的表面積．故選C.7．【答案】A【分析】由求解即可．【詳解】由題意，，，又，，所以，即有，故選A．8．【答案】A【分析】因?yàn)?，，共面，可設(shè)，由此可求的值.【詳解】因?yàn)?，，共面，可設(shè)，即，得：.故選A.9．【答案】BD【分析】根據(jù)互斥事件的定義和性質(zhì)判斷.【詳解】袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，在A中，至少有一個(gè)白球和都是白球兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤.在B中，恰有一個(gè)紅球和白、黑球各一個(gè)不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故B正確；在C中，至少一個(gè)白球與至多有一個(gè)紅球，能同時(shí)發(fā)生，故C錯(cuò)誤；在D中，至少有一個(gè)紅球與兩個(gè)白球兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故D正確；故選BD.【思路導(dǎo)引】本題考查互斥事件的判斷，根據(jù)兩個(gè)事件是否能同時(shí)發(fā)生即可判斷.10．【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運(yùn)算逐項(xiàng)計(jì)算判斷得解.【詳解】在四棱錐中，為的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，A正確，B錯(cuò)誤；，D正確，C錯(cuò)誤.故選AD.11．【答案】ABD【分析】A應(yīng)用正弦定理及三角形中大邊對(duì)大角即可判斷正誤；B由銳角三角形易得，根據(jù)銳角正弦函數(shù)的大小關(guān)系及誘導(dǎo)公式即可判斷正誤；C由正弦定理邊角關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)判斷內(nèi)角A、B的數(shù)量關(guān)系；D利用余弦定理，結(jié)合已知得，進(jìn)而判斷的形狀.【詳解】A：若，而，即，故，正確；B：由銳角知：，即，則，正確；C：由題設(shè)，可得，又，則或，故為等腰或直角三角形，錯(cuò)誤；D：由題設(shè)，，故，即，又，可知，故必是等邊三角形，正確.故選ABD.12．【答案】【分析】根據(jù)題意，由百分位數(shù)的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序可得，共8個(gè)樣本數(shù)據(jù)，則上四分位數(shù)即第百分位數(shù)為，即為.故答案為：.13．【答案】直角【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角的余弦公式、余弦定理化簡(jiǎn)作答.【詳解】在中，由，得，即，由余弦定理得，整理得，所以是直角三角形.故答案為：直角.14．【答案】【分析】取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算可表示出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到，利用二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，為等邊三角形，，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，，，，，則，，，，，則當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.【思路導(dǎo)引】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了二次函數(shù)最值的求法.15．【答案】(1)(2)或【分析】（1）問題轉(zhuǎn)化為，求.（2）根據(jù)向量的模的計(jì)算和向量共線，求的坐標(biāo).【詳解】（1）由題知，，所以，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椤?，，所以，，因?yàn)?，所以，解得，所以?16．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量線性運(yùn)算，結(jié)合幾何體特征確定與的線性關(guān)系；（2）由（1），結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知條件求的長(zhǎng)度.【詳解】（1）.（2），，所以.所以.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，由向量共線列方程組，解出即可；（2）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求出，再由坐標(biāo)計(jì)算結(jié)合二次函數(shù)求出最值即可；【詳解】（1）設(shè)，則，因?yàn)椋裕獾茫?（2）因?yàn)辄c(diǎn)在直線為坐標(biāo)原點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，所以．所以，．所以．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．.【思路導(dǎo)引】求數(shù)量積的最值，首先分析其中變化的量是什么，比如某個(gè)向量的模或者兩個(gè)向量的夾角，然后利用投影向量的幾何意義或者轉(zhuǎn)化為函數(shù)進(jìn)行最值求解．18．【答案】(1)；(2)平均數(shù)為，中位數(shù)為；(3)．【分析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)求第七組的頻率；(2)根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)；(3)確定樣本空間，利用古典概型概率公式求概率.【詳解】(1)第六組的頻率為，所以第七組的頻率為．(2)由直方圖得，身高在第一組的頻率為，身高在第二組的頻率為，身高在第三組的頻率為，身高在第四組的頻率為，由于，，設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則，由，得，所以這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5cm，平均數(shù)為．(3)第六組的人數(shù)為4，設(shè)為a，b，c，d，第八組的人數(shù)為，設(shè)為A，B，則從中隨機(jī)抽取兩名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15種情況，因事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．所以．19．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）求出異面直線與的方向向量，由向量的夾角公式即可得解.（3）求出平面的法向量，再利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即得.【詳解】（1）由底面，平面，得，而，即直線兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，顯然，即，所以.（2），，所以異面直線與所成角