第頁第二章函數(shù)2.1函數(shù)的概念及其表示課程標準有的放矢1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.3.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用.必備知識溫故知新【教材梳理】1.函數(shù)的概念（1）函數(shù)的概念：一般地，設A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y（2）函數(shù)的三要素：定義域，對應關(guān)系，值域.（3）兩個函數(shù)相等：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關(guān)系完全一致，則稱這兩個函數(shù)相等（或稱它們是同一個函數(shù)）.2.函數(shù)的表示法函數(shù)的常用表示方法：解析法、列表法和圖象法.3.分段函數(shù)如果一個函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對應關(guān)系，則稱其為分段函數(shù).常用結(jié)論教材中的幾個重要函數(shù)函數(shù)定義圖象絕對值函數(shù)y=∣“雙勾”函數(shù)y=最值函數(shù)M(x)=max{f(x),g(x)},m(以f(x)=取整函數(shù)y=[x],其中[符號函數(shù)y=sgn自主評價牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）若A=R，B={x|x>（2）若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)相等.（）（3）已知f(x)=（4）函數(shù)f(x)（5）分段函數(shù)是兩個或兩個以上函數(shù).（）【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√（5）×2．已知函數(shù)f(x+A.f(x)=2x+1,C.f(x)=2x?3,【答案】D【解】令x+1=t，則x=t?1.因為x>1，所以t>3．[2021年浙江卷]已知a∈R，函數(shù)f(x)=A.?3 B.0 C.1 【答案】D【解】f(f(6))=f(64．[2022年北京卷]函數(shù)f(x)=1x+1?x的定義域是____________【答案】(?∞,0【解】由題意，得1?x≥0,x≠故f(x)故填(?∞,0)∪(核心考點精準突破考點一函數(shù)的概念例1【多選題】設集合P={x|0≤x≤A. B.C. D.【解】對于A，定義域不為P，故A錯誤.對于C，直線x=2與圖象有兩個交點，不符合函數(shù)的定義，故C易知B，D正確.故選BD.【答案】BD【點撥】①根據(jù)函數(shù)的定義，直線x=a(變式1．下列函數(shù)為同一函數(shù)的是（）A.f(xB.f(xC.f(xD.f(x【答案】C【解】對于A，兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù).對于B，f(x)的定義域為[0,+∞),g(x對于C，兩個函數(shù)的定義域相同，對應關(guān)系也相同，是同一函數(shù).對于D，兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù).故選C.考點二函數(shù)的定義域命題角度1具體函數(shù)的定義域例2函數(shù)f(A.(0,2C.(?∞,0)∪(0【答案】A【解】由題意，得2?x≥0,x≠0,x>0,【點撥】函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實數(shù)x的集合，一般通過列不等式（組）求其解集.常見的限制條件有：分式的分母不等于0，對數(shù)的真數(shù)大于0，偶次根式下的被開方數(shù)大于或等于0等.變式2．（1）函數(shù)f(A.(0,1C.(0,1（2）已知函數(shù)f(x)=axA.(0,1] B.[0,【答案】（1）A（2）B【解析】（1）【解】由?x2+3x+4≥0,x>0,lnx≠0,解得（2）【解】由題意，知ax2+2ax+1≥0對任意的x∈R恒成立.當a=0時，1≥0恒成立，則a=0符合題意.當a≠命題角度2抽象函數(shù)的定義域例3已知函數(shù)y=f(x)的定義域為[?1,4]，則y=f(2x+1)x?1的定義域為_______【答案】(1,【解】由題意，得?1≤2x+1≤4,x?1【點撥】求抽象函數(shù)的定義域常用轉(zhuǎn)移法.若y=f(x)的定義域為(a,b)，則解不等式a<g(x變式3．已知函數(shù)y=f(2x?A.(?2,5] B.(?2,【答案】A【解】當?1≤x≤3,?3≤2x?1≤5，所以f(x考點三函數(shù)的解析式例4（1）已知f(x)是一次函數(shù),且3f(x+1)?2f(x?1)=2x+17，則f（2）已知f(x+1)=3x+x，則f(x)的解析式為_______________________（3）設函數(shù)f(x)=A.1 B.?1 C.10 D.【點撥】函數(shù)解析式的求法如下.①待定系數(shù)法.已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)等），可用待定系數(shù)法.②換元法.已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.③配湊法.由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)【答案】（1）2x（2）f(x（3）B【解析】（1）【解】因為f(x)是一次函數(shù)，所以可設f(x)=ax+b(a≠0).所以3[a(（2）【解】令x+1=t,t≥1，則x=(t?1)2.所以f(（3）【解】由已知，得f(1x)=2f(x)+1，聯(lián)立f(x)=2f1變式4．（1）已知一次函數(shù)f(x)滿足f(f(x))=4x?1，則f(x)=________________（2）已知f(x?1x)=x2+1x2，則f(x)=_（3）若函數(shù)f(x)滿足f(x?y)=f(x)+f(y)?2xy，則f(x)的解析式為___【答案】（1）2x?13（2）x（3）f【解析】（1）【解】設f(x)=kx+b(k≠0)，則f(f(x))=k2x+kb+b（2）【解】f(x?1x)=x2（3）【解】由題意，令x=y=0，得f(0)=0.令y=x，考點四分段函數(shù)例5（1）已知函數(shù)f(x)=A.?32 B.0 C.12（2）設函數(shù)f(x)=g(x),x<1,x13,x≥1,則當g(x)=ex?1時，使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是_____（3）已知函數(shù)f(x)=x2A.1 B.2 C.3 D.4【答案】（1）D（2）(?∞,8]（3）A【解析】（1）【解】f(?3)=?(?3)?1（2）【解】若g(x)=ex?1，則當x<1時，ex?1≤2，解得x≤1+ln2.所以x<1.當x≥1時，x13≤2，解得x≤8.所以1≤x≤8.綜上，x的取值范圍是(?∞,8].若g(x)=1,則x+1與2x不可能均小于1.當x+1≥1且2x≥1（3）【解】當x>0時，f(x)=x2?2x+2=(x?1)2+1，值域為[1,+∞).當x≤0時【點撥】①解決分段函數(shù)相關(guān)問題，關(guān)鍵是抓住“分段問題、分段解決”的核心思想，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及參數(shù)的特點分區(qū)間討論，最后將結(jié)果合并起來.②已知分段函數(shù)的值域或最值求參數(shù)范圍的問題，可先求函數(shù)在各區(qū)間的值域或最值，再結(jié)合已知條件建立不等式（組）求解.必要時，可先分析函數(shù)的性質(zhì)，再畫圖求解.③求分段函數(shù)的值域或最值，常分類討論，或者利用圖象求解.變式5．（1）已知函數(shù)f(x)=x2+2x,x≥0,?x2+2x,x<0.（2）已知f(x)=(1A.(?∞,?1] B.(?1，12) C.[?1，（3）函數(shù)y=|x+1|+|x?2|的值域為____【答案】（1）(?（2）C（3）[【解析】（1）【解】因為y=x2+2x在[0,+∞)上單調(diào)遞增，y=?x2+2x在(?∞,0)上單調(diào)遞增，且f(x)在x=0處連續(xù)，所以f(x)在R（2）【解】當x≥1時，lnx≥0.要使函數(shù)f(x)的值域為R，如圖所示，需使1?2a>故選C.（3）【解】由題意，得y=?2x+由圖象，知原函數(shù)的值域為[3,+∞).故填[課時作業(yè)知能提升【鞏固強化】1．下列圖形中可以表示以M={x|A. B.C. D.【答案】C【解】A中的值域不滿足題意，B中的定義域不滿足題意，D中不是函數(shù)的圖象，由函數(shù)的定義，可知C正確.故選C.2．函數(shù)f(A.(23,+∞) B.[C.(23,1)∪(1,+∞)【答案】C【解】3x?2>0,x?1≠0,3．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A.f(xB.f(xC.f(xD.f(x【答案】D【解】對于A，C,兩個函數(shù)的定義域不同,不是同一函數(shù)，故A,C錯誤.對于B，兩個函數(shù)的對應關(guān)系不同，不是同一函數(shù)，故B錯誤.對于D，f(x)與g(t)的定義域與對應關(guān)系都相同，是同一函數(shù)，故D4．【多選題】已知函數(shù)f(A.f(x)的定義域為R B.C.f(f(?1))=【答案】BD【解】對于A，易知f(x)的定義域為(?∞,?1]∪(?1對于B，當x≤?1時，x+2≤1；當?1<x<2時，0≤對于C，f(f(?1))=f對于D，當x≤?1時，由f(x)=3，得x+2=3，解得x=1（舍去）；當?1<x<2時，由f(x)=3，得x25．已知函數(shù)f(x)x1234567f(7458134A.1 B.3 C.4 D.7【答案】C【解】f(f(1))=6．【多選題】已知函數(shù)f(x)A.函數(shù)f(x?2)的定義域為[?C.函數(shù)f(x?2)的值域為[?【答案】ABC【解】對于函數(shù)f(x?2)，由?3≤x?2≤3，解得?對于函數(shù)f(3x)x?1，由?3≤3x≤3,x?1函數(shù)f(x?2)和f(2x)的值域都為[?3,3]，7．已知函數(shù)f(x)=2x+1?8,x≤1,4log1【答案】?7【解】當x≤1時，f(x所以f(m)=4log12所以f(故填?78．已知函數(shù)f(x)滿足f(cosx)=cos2x?1，則f(x)的解析式為___________________【答案】f(【解】f(cos所以f(故填f(x9．求函數(shù)f(（1）f(x)是二次函數(shù),且滿足f（2）f(x)【解】（1）設所求的二次函數(shù)為f(因為f(0)=又f(x+1)?f(x)=2x,所以a(（2）因為2f(所以2f(①×2?②，得故f(【綜合運用】10．如圖所示，AB是半圓O的直徑，點P從點O出發(fā)，沿OA→弧AB→BO的路徑勻速運動一周.設點P到點O的距離為s，運動時間為t，則下列圖象能大致刻畫sA. B.C. D.【答案】C【解】當點P在OA段運動時，s隨t的增大而勻速增大.當點P在弧AB上運動時，s=OP=12AB，為定值.當點P在BO上運動時，s隨t的增大而勻速減小11．若函數(shù)f(x)=12A.[14,+∞) B.[14,12] C.[1【答案】B【解】當x<1時，f(x)=(12)x∈(12,+∞).當x≥1時，f(x)=a+(112．【多選題】已知函數(shù)f(A.f(B.f(x)C.fD.?x∈(【答案】BCD【解】因為x+4x∈(?∞,?4]∪[4,+∞)，且f(x+4x)=(x+4x)2?8，所以因為f(?x)=x2?8=f(x)，ff(?3+log20.25?x∈(0,+∞)，6<0.5x+6<7.因為f(x)在[413．已知函數(shù)f(x)=2x,x≥0,x3+1,x<0,若f(【答案】(?3【解】由題意，知f(x)在R因為f(a)<f(6?a2)，14．已知函數(shù)f(x)=?x+（1）在同一直角坐標系中，分別畫出y=f(（2）對任意x∈R，用m(x)表示f(x)，【解】（1）y=f(x圖1（2）聯(lián)立y=?x+1,y=(x結(jié)合圖1，得當x<0時，m(當0≤x<1時，當x≥1時，m(所以m(函數(shù)y=m圖2【拓廣探索】15．【多選題】已知函數(shù)f(A.f(xB.fC.當x∈[4,D.f(x)【答案】AC【解】當1≤x≤2當2≤x≤4當4≤x≤8以此類推，可知f(x)的值域為[0,+∞)，f(24)=2f(12當x∈[4,8]時，f(x當x∈[10,16]時，x因為f(x)在[54,2]上不單調(diào)，所以f(x)在[10,16專題突破2函數(shù)的值域求函數(shù)值域的常用方法如下.1.直接法.對于簡單函數(shù)的值域問題，可通過基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)直接求解.2.分離常數(shù)法.該法主要針對形如y=3.配方法.該法主要針對形如y=ax4.基本不等式法.該法主要針對形如y=5.單調(diào)性法.確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域.6.換元法.該法主要針對形如y=ax+bcx+d或y=ax+b±cx+d(a,b,c,d7.數(shù)形結(jié)合法.將數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題，結(jié)合圖形的性質(zhì)求最值.8.判別式法.該法主要針對形如y=a29.導數(shù)法.此法在后面的章節(jié)學習.核心考點精準突破考點一求已知函數(shù)的值域例1求下列函數(shù)的值域：（1）y=（2）y=（3）y=（4）y=【解】（1）y=因為7x?2所以函數(shù)的值域為{y（2）令t=1?x(因為t≥0,所以所以函數(shù)的值域為（?∞，178（3）因為x2+x+由y=2x當y?2=0，即y=2當y?2≠0，即y≠2時，因為關(guān)于x的方程(y?所以函數(shù)的值域為[1（4）（方法一）由y=1?sinx2所以1+y2sin(x所以|1?2y所以函數(shù)的值域為[0,4（方法二）y=1?sinx2?cosx如圖，設過點M的直線方程為y?1=k(x?2)，即所以函數(shù)的值域為[0，4【點撥】求函數(shù)的值域常需觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，利用分離常數(shù)法、配方法、基本不等式法、單調(diào)性法、換元法等方法求解，有時也會根據(jù)幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合法求解.變式1．求下列函數(shù)的值域：（1）y=（2）y=（3）y=（4）y=【解】（1）設t=?x2?6x?5,則t≥0.解得?（2）設x=cost(0≤t≤π),則因為0≤t≤π所以sin(π+φ又sin(π+φ)=?sinφ=?2（3）y當x<?4時，y>10；當x當?4≤x≤故函數(shù)的值域為[5（4）y=x因為x>12故y=2x2?x+1考點二已知函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍例2已知函數(shù)f(x)=x+1,(?∞,0] B.[0,1]【答案】B【解】當x≤a時，當x>a時，若f(x)的值域為R，則a+1≥2a.函數(shù)y=x+1和g【點撥】已知分段函數(shù)的值域或最值，求參數(shù)的取值范圍，常通過分類討論，求函數(shù)在各區(qū)間上的取值范圍，再列不等式（組）求解.必要的時候，也可結(jié)合圖象分析.變式2．已知函數(shù)y=x2?2x+2,x≥0,x+ax+3a,x<0的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍為______【答案】(?∞,0【解】當x≥0時，當a=0且x<0因為(?∞,0)∪[1當a>0且x<0由“雙勾”函數(shù)的單調(diào)性，可知f(x)在(?∞,?a)上單調(diào)遞增，在(?a此時f(若要滿足f(x)的值域為R，則需3a?當a<0且x<0時，f(又當x→0時，f(x)→+∞，且當x→?∞時，f(x)→?∞，綜上，a的取值范圍是(?∞,0故填(?∞,0)∪[課時作業(yè)知能提升1．當x∈[0,A.(?∞,0) C.(?∞,0)∪[1【答案】C【解】令2?x=t，則f(t)=2t.因為x∈[0,2)∪(2,+∞)，所以t∈(?∞,0)∪(0,2].當t∈(?∞,02．min{a,b}表示a，b中的最小者，設f(x)=min{A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解】令x+3>9?x，解得x>3；令x+3≤9?x，解得x≤3.所以f(x)=x+3,x≤3,3．已知函數(shù)f(x)=A.0 B.2 C.22 【答案】C【解】由x?2>0,得x>2.f(x)=xx?2=(x?2)4．函數(shù)f(A.[0,2] B.[?2,【答案】D【解】由題意，知f(x)的定義域為[?2，2].設x=2sint,t∈[?5．若函數(shù)f(x)=x2A.(?∞,2] B.[0,1]【答案】A【解】f(①當a?1≤0，即a≤1時，f(x②當a>1時，f(x)=(x+1)+a?若a?1?1≤0,即1<a≤2,則f若a?1?1>0，即a>2,則f(x)在[0,綜上，a≤2.故選A6．【多選題】下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A.y=x?C.y=2x【答案】BD【解】對于A，當x=1時，y=0，所以2不是y=x?1x的最小值.或由y=x?1x對于B，函數(shù)的定義域為R.令x2+1=t(t≥1)，得x2=t2?1，所以y=t對于C，因為2x>0，所以2x+2>2.所以y對于D，y=(sinx?1)2+2,當sinx=1時，7．已知函數(shù)f(x)=x2?2x+2,x≥0,ax+3a,x<0的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍為______【答案】[13,【解】當x≥0時，f(x)=x2?2x+2=(x?1)2+1≥8．已知函數(shù)f(x)滿足f(1（1）求f(x)（2）求函數(shù)y=【解】（1）令1?x2=m，得x因為g(所以g(?由①②，解得g(（2）y=設t=1?所以y=?因為t≥0，所以故所求函數(shù)的值域為(?∞,322.2函數(shù)的基本性質(zhì)第1課時函數(shù)的單調(diào)性與最值課程標準有的放矢借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義.必備知識溫故知新【教材梳理】1.函數(shù)的單調(diào)性（1）增函數(shù)與減函數(shù).名稱增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I?當x1<x2時，都有f(x1)<f當x1<x2時，都有f(x1)>f圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的（2）函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=f2.函數(shù)的最大（?。┲得Q最大值最小值前提一般地，設函數(shù)y=f(x)條件①?x∈D，都有f(x①?x∈D，都有f(x結(jié)論稱M是函數(shù)y=f稱M是函數(shù)y=f幾何意義y=y=常用結(jié)論判斷函數(shù)單調(diào)性的主要方法（結(jié)論）（1）定義的等價形式.設x1,x2∈(a,b)，且x1≠x2，記Δx=x1（2）性質(zhì)法.①當常數(shù)c>0時，y=c?f(x)與y=f②若c為常數(shù)，則函數(shù)y=f(③當y=f(x)④若f(x)與g⑤若f(x)>0且g(x)>0，f(x)與g(x⑥奇（偶）函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同（相反）.（3）同增異減法.對于復合函數(shù)f(g(x))，如果y=f(u)和u=g(（4）導數(shù)法.（5）圖象法.自主評價牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）若定義在R上的函數(shù)f(x)，有f(?1（2）函數(shù)y=1x（3）所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.（）（4）若一個函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個子區(qū)間上都單調(diào)遞增，則這個函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.（）（5）閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間的端點處取得.（）【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×（5）√2．若函數(shù)y=f(x)在RA.(?∞,?1) B.(?1,+∞) C.【答案】C【解】因為f(x)在R上單調(diào)遞增，f(2m?3)>f(?m)，所以2m?33．函數(shù)f(A.[1,2] B.[?1,【答案】A【解】當x>2時，f當x≤2時，f(綜上，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[1,4．已知x∈[1,8]，則函數(shù)f(x)=x+9x的最大值與最小值的和為__【答案】16【解】由“雙勾”函數(shù)的性質(zhì)，知f(x)在[1,3]上單調(diào)遞減，在又f(1)=10，f(8)=8核心考點精準突破考點一確定函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間例1（1）已知函數(shù)f(x)=loga(?xA.(?∞,?1] B.[?1,+∞) C.（2）函數(shù)f(A.(?∞，14] B.(?∞,?1] C.[32，（3）求函數(shù)f(【點撥】①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應先求定義域.②函數(shù)單調(diào)性的判斷方法及相關(guān)結(jié)論見本節(jié)常用結(jié)論.【答案】（1）C（2）C【解析】（1）【解】令g(x)=?x2?2x+3.由題意，知g(x)>0，可得?3<x<1，故f(x)的定義域為{x|?3<x<1}.由f(0（2）【解】由題意，得2x2?x?3≥0，解得x≤?1或x≥32.由二次函數(shù)及復合函數(shù)的性質(zhì)（3）【解】先作出函數(shù)y=x2?4x+3由圖,知f(x)在(?∞,1]和[2,3故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[變式1．（1）[2023年北京卷]下列函數(shù)中，在區(qū)間(0A.f(x)=?lnC.f(x)=?（2）求函數(shù)f(【答案】（1）C【解析】（1）【解】在(0,+∞)上，顯然A，B單調(diào)遞減，C單調(diào)遞增.對于D，因為f(12)=3|12?1|=312=3，（2）【解】f(其圖象如圖所示.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?∞,?1]和[0例2設函數(shù)f(x)=x2【證明】設x1，x2∈[0,+∞)=x=(x因為0≤x1所以(x所以f(x1所以函數(shù)f(x)在區(qū)間【點撥】證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法.①定義法.基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷.函數(shù)單調(diào)性定義的等價形式見本節(jié)常用結(jié)論.②導數(shù)法.變式2．【多選題】下列函數(shù)中，滿足“?x1,x2∈(2A.f(x)=C.f(x)=【答案】AB【解】由題意，知f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞減.A,B顯然滿足，C在(?2,+∞)上單調(diào)遞增，不滿足，D在(1,+∞)考點二函數(shù)單調(diào)性的應用命題角度1比較函數(shù)值的大小例3已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，且對任意x1，x2∈(2A.a<c<b B.a<b【答案】B【解】由題意，知f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞減，又|?1?2|=3,|π?2|=π?2,|e?2|=e?2，且3【點撥】①比較函數(shù)值的大小，先將自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，通過比較自變量的大小來比較其函數(shù)值大小.單調(diào)函數(shù)自變量的大小關(guān)系和函數(shù)值的大小關(guān)系可正逆互推，即若f(x)是增（減）函數(shù)，則f變式3．（1）已知函數(shù)f(x)=3x?1A.f(a)>f(b) （2）設a∈R，已知函數(shù)y=f(x)A.[?4,1) B.(1,【答案】（1）A（2）C【解析】（1）【解】（方法一）f(x)=1?23x+1是增函數(shù)，則f(a)>f(b).（方法二）f(a)?f(b)=3a?（2）【解】因為函數(shù)y=f(x)是定義在[?4,4]上的減函數(shù)，且f(a命題角度2求參數(shù)的取值范圍例4（1）已知函數(shù)f(x)=ax+1x+1在(?1,+∞)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是___（2）[2024年新課標Ⅰ卷]已知函數(shù)f(x)=?xA.(?∞,0] B.[?1,0]【點撥】利用單調(diào)性求參數(shù)應注意的問題如下.①依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較.②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a【答案】（1）(?∞,（2）B【解析】（1）【解】f(x)=ax+1x+1=ax+a?a+1x（2）【解】因為f(x)在R上單調(diào)遞增，且當x≥0時，f(x)=ex+ln(x變式4．（1）（2023年新課標Ⅰ卷）設函數(shù)f(x)=2xA.(?∞,?2] B.[?2,0)（2）已知函數(shù)f(x)=x2A.1 B.2 C.3 D.4【答案】（1）D（2）C【解析】（1）【解】因為函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，f(x)=2x(x?a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，所以y=x(x?（2）【解】因為y=x+2在R上單調(diào)遞增，y=x2?2x+2在[1,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)考點三函數(shù)的最值例5函數(shù)f(x)=(13)x?log2(x【答案】3【解】因為y=(13)x和y=?log2(x+2)都在[?1,1]【點撥】利用單調(diào)性求最值，應先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)性質(zhì)求解.變式5．已知函數(shù)f(x)=log13x,x>1,?x2+2x,x≤1,則f(f【答案】?3【解】由于f(所以f(3)=log133=?1，則f(f(3))=f(?1)=?3.當x>1綜上，可知f(x)的最大值為1.課時作業(yè)知能提升【鞏固強化】1．下列函數(shù)在[1A.y=1x+2 B.y=【答案】A【解】對于A，y=1x+2在[1,4]上單調(diào)遞減對于B，y=3x?2在[1,4]上單調(diào)遞增，對于C，y=x2在[1,4]上單調(diào)遞增，所以對于D，y=3x在[1,4]上單調(diào)遞增，所以ymax=32．下列函數(shù)中，值域為R且在(0A.y=?x3 B.y=x(【答案】D【解】對于A，y=?x3在(0,+∞)上單調(diào)遞減，對于B，C，值域并不是R，故B,C錯誤.對于D，y=lg|x|在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且值域為R，故D正確3．已知函數(shù)f(x)=x2A.(?∞,?3] B.[?3,+∞) C.【答案】A【解】f(x)圖象的對稱軸為x=?2(a?1)2=1?a.因為f(4．已知函數(shù)f(x)=log2A.(?∞,2] B.[2,+∞) C.[2【答案】D【解】由題意，知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.若f(a+1)?f5．已知f(x)是定義在RA.f(3)<C.f(?2)<【答案】B【解】因為f(?2)=f(2)，f(x)在[6．【多選題】下列命題正確的是（）A.若?x1，x2∈R，xB.若?x1，x2∈R，xC.若?x∈R，fD.若?x∈R，f(x【答案】AB【解】對于A，由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+對于B，設x2>x1，由f(x1)?f(x2)x1?x2>?1,得f(x1)?f(對于C，令f(x)=[x]，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，滿足f(x+1對于D，令f(x)=g(x)=x，則f(x)，g(故選AB.7．函數(shù)f(x)=ln(x2?x?6)的單調(diào)遞增區(qū)間是____【答案】(3【解】由x2?x?6>0,解得x>3或x<?2，則f(x)的定義域為(?∞,?2)∪(3,+∞).令t=x2?8．若函數(shù)f(x)=?x+6,x≤2,3+logax,x>2(a>【答案】(1【解】當x≤2時，?x+6≥4.要使f(x)的值域為[4,+∞)，只需y=3+logax(x9．已知函數(shù)f(（1）求f(（2）探究f(【解】（1）f(（2）f(x)的定義域為R.任取x1，x2因為y=2x在R上單調(diào)遞增，所以0又2x1+1>0，2x2+1>【綜合運用】10．函數(shù)f(x)=2|A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.【答案】B【解】函數(shù)f(x)在(?∞,a)上單調(diào)遞減，在(a,+∞)上單調(diào)遞增.因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[11．設函數(shù)f(x)=ln(?x2A.(0,1) B.[0,【答案】D【解】由?x2+4x>0，得0<令g(x)=?x2+4x,x∈(0,4)，則又y=lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增12．已知函數(shù)f(x)是定義域為R的減函數(shù)，且fA.(?4,0C.(?5,1【答案】D【解】因為f(所以f(4?因為f(所以f(因為f(x)是定義域為R所以x2+3x>5?x另解：易知f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱.由幾何意義或直接構(gòu)造f13．已知函數(shù)f(x)=(1?3a)x+a+1,x<2,2ax,x≥2在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為____【答案】(13，【解】由題意，知1?3a<0,0<a<1,2(114．已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x（1）判斷并證明f(（2）求不等式f(【解】（1）證明：設x1,，且x1<x2，則由f(x+y)=又f(x1)>0，所以f(x（2）由f(2)=2，得所以f(1+4a由f(x)的單調(diào)性，得1所以不等式的解集為(?∞,54【拓廣探索】15．【多選題】如果偶函數(shù)f(x)滿足?x1,x2∈(0,+∞)，若xA.f(x)=C.f(x)=【答案】ACD【解】由題意，得x1[f(所以f(x)在(對于A，易知f(x)為偶函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞減，對于B，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，對于C，易知f(x)為偶函數(shù).當x>0時，f(x)=1?2x,所以f對于D,f(x)的定義域為R，且滿足f(?x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).當x>0時，f(x)=e?x?ex.因為第2課時函數(shù)的奇偶性與周期性課程標準有的放矢1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義.2.結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義.必備知識溫故知新【教材梳理】1.函數(shù)的奇偶性名稱偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果?且f(?x)=f且f(?x)=?f圖象特點關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點對稱2.函數(shù)的周期性一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x+T∈D，且3.函數(shù)奇偶性的重要性質(zhì)（1）具有奇偶性函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，即“定義域關(guān)于原點對稱”是“一個函數(shù)具有奇偶性”的必要不充分條件.（2）f(x)為（3）若奇函數(shù)f(x)在x=（4）若f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，則它的圖象一定在（5）若f(x)為奇函數(shù)，且在[a,b]上單調(diào)遞增（減），則f(x)在[?b,?a（6）奇、偶函數(shù)的“運算”（在共同定義域上）:奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.（7）常用的兩個等價關(guān)系.①f(x+a)為偶函數(shù)②f(x+a)為奇函數(shù)常用結(jié)論1.若T是f(x)的周期，則nT2.若函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期為T，則函數(shù)f3.以下等式中的任意一個，都可推得2a為f(x)的周期(a>0):①自主評價牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）若定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f（2）偶函數(shù)的圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點.（）（3）不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù).（）（4）若函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x（5）偶函數(shù)f(x)在(?∞,0)【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√（5）√2．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是（）A.f(x)=C.f(x)=【答案】D【解】易知A是奇函數(shù)，B是偶函數(shù)，C是奇函數(shù).對于D，f(1)=1+tan1,f(?1)=1?tan1.f(1)≠f3．已知對于任意實數(shù)x，函數(shù)f(x)滿足f(xA.?12 B.12 C.【答案】C【解】由題意,知4是f(x)的一個周期.所以f(20264．[2023年全國甲卷]若f(x)=(x?1)2+ax+sin(【答案】2【解】f(因為y=x2+1,y=cosx都是偶函數(shù)，所以核心考點精準突破考點一函數(shù)的奇偶性命題角度1函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(（2）f(（3）f（4）f(【解】（1）由1?x1f(x)所以f(x（2）由9?x2≥所以f(x)的定義域為{?又f(3)+所以f(所以f(x（3）（方法一）（定義法）當x>0時，f(x)=?當x<0時，f(x?x所以f(x（方法二）（圖象法）作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示.由圖象關(guān)于原點對稱的特征知函數(shù)（4）由1?x1+x>0，得?1<x<1，即f(x【點撥】判斷函數(shù)f(①定義法.②圖象法.③還可用本節(jié)【教材梳理】中的“運算”確定奇偶性（在共同定義域上）.④對于分段函數(shù)的奇偶性應分段驗證，但驗證過程往往比較繁瑣，且容易判斷錯誤，通常用圖象法來判斷.⑤對于含有x的對數(shù)式或指數(shù)式的函數(shù)f(x)變式1．（1）【多選題】下列命題正確的是（）A.奇函數(shù)的圖象一定過坐標原點B.函數(shù)f(C.函數(shù)f(D.函數(shù)f(（2）[2021年全國乙卷]設函數(shù)f(A.f(x?1)?1 B.f【答案】（1）BC（2）B【解析】（1）【解】對于A，只有當奇函數(shù)在x=0處有定義時，奇函數(shù)的圖象才過原點，故A錯誤.對于B，因為f(x)的定義域為R,且f(?x)=(?x)sin(?x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故B正確.對于C，因為f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且f(?x)=|?x+1|?|?x?1|=?(|x+1|?|x?1（2）【解】由題意，得f(x)=1?x1+x=?1+21+x.f(x?1命題角度2函數(shù)奇偶性的應用例2（1）[2023年全國乙卷]已知f(x)=A.?2 B.?1 C.1（2）已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且當x≥0時，f(x)=log2(x+3)+a，則f(?3)=______，當x<0時，f(x)=_【點撥】①利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值，關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)值.②已知奇偶性求參數(shù)的值，關(guān)鍵在于借助奇偶性得到關(guān)于自變量和參數(shù)的恒等式，利用自變量的任意性構(gòu)建方程，求參數(shù)的值．③利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題．【答案】（1）D（2）?1；【解析】（1）【解】因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)?f(?x)=xexeax?1?(?x)e?xe（2）【解】由題意，知f(0)=log23+a=0.解得a=?log23.所以f(x)=log2(x變式2．（1）已知函數(shù)f(x)=A.0 B.14 C.12（2）已知函數(shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=x2【答案】（1）C（2）?【解析】（1）【解】因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(?x)=f(x)，即?xln(1+1?x?b)=xln(1+1x?b)（2）【解】因為f(x)+g(x)=x2?x+1①，所以f(?x)+g(?x)=x2+x+命題角度3抽象函數(shù)的奇偶性例3已知定義域為R的函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x，y都有fA.f(x)是奇函數(shù) C.f(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) 【答案】B【解】由f(0)≠0，得令x=0，得再令y=0，得因為f(0)≠0，所以f(0)=1.所以f(y)+f(?y)=2f(y).化簡,得【點撥】求解抽象函數(shù)的奇偶性，一般需要對抽象函數(shù)作不同的特值代換，并進行邏輯推理.變式3．[2023年新課標Ⅰ卷節(jié)選]已知不恒為0的函數(shù)f(x)的定義域為RA.f(x)是奇函數(shù) C.f(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) 【答案】B【解】令x=y=1，得f令x=y=?1，得f令y=?1，得又f(x)的定義域為R，且不恒為0，所以f(x)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，故B考點二函數(shù)的周期性例4設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x（1）求證：f(（2）當x∈[2，4]（3）計算f(【解】（1）證明：因為f(x+2)=?f（2）當x∈[?2,0由已知得f(?又f(x)是奇函數(shù)，所以f又當x∈[2,4]又f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(x)=（3）f(0)=0,f(2)=0,f【點撥】①判斷函數(shù)f(x)的周期性，關(guān)鍵在于利用周期性的定義，證明存在等式f(x+T變式4．已知函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(xA.?12 B.12 C.【答案】C【解】因為f(x+2)=?1f(x)，所以f(x+4)=f(x+考點三函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應用例5（1）已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)為減函數(shù)，且fA.(?2,1C.(0,1（2）設函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)?11+x2,則使f(x)>f(2x?1)成立的x的取值范圍是______【答案】（1）A（2）(13,【解析】（1）【解】由題意，知f(1?a)<?f(1?a2)=f(a2?1)（2）【解】由題意，知f(x)是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增.所以f(x)>f(2x?1)等價于f(|x|)>f(|2x?1【點撥】單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)的兩條重要基本性質(zhì).單調(diào)性與奇偶性之間有著密切的聯(lián)系：①奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，且f(?x)=?變式5．（1）設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(1)=1A.{x|x<1C.{x|1（2）已知f(x)=a?A.(1,+∞) B.(?∞,1) C.【答案】（1）A（2）A【解析】（1）【解】當x≥0時，函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增，且函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù)，f(1)=1.由f(（2）【解】因為函數(shù)f(x)=a?23x+1為奇函數(shù)，所以f(0)=a?22=0.解得a課時作業(yè)知能提升【鞏固強化】1．若f(x)A.f(x)+C.f(x)【答案】D【解】由題意，得f(x)+f(?x)=0，f(0)=當x≠0時，f(x)f(?x)=?2．已知函數(shù)f(x)=axA.?13 B.13 C.?【答案】B【解】因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(?x)=f(x).所以b=0.又3．設a,b∈R，則“m=A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解】f(x)的定義域為R，所以f(x)是奇函數(shù)等價于f(x)+f(?x)=sin4．函數(shù)f(A. B.C. D.【答案】D【解】f(x)的定義域為{x|x≠±1}，且f(?x又f(2)=43?9=?5．【多選題】下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）A.f(x)=C.f(x)=【答案】ACD【解】對于A，定義域為R，f(?x)=xsinx對于B，定義域為(0,+∞)，f(x對于C，定義域為R，f(?x)=(?x)?e對于D，定義域為R，f(?x)=?xln(x2+1+6．【多選題】設函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為A.f(x)g(C.f(x)|g(【答案】ACD【解】易知A，B，C，D中的函數(shù)的定義域都為R.因為f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)對于A，因為f(?x)g(?x)=?f(x)對于B，因為|f(?x)|g(?x)=|?f(x對于C，因為f(?x)|g(?x)|=?f(x)|對于D，因為|f(?x)g(?x)|=|?f(x故選ACD.7．已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x+2)=13.若f(1【答案】132【解】由題意，知f(x)≠0用(x+2)代替x故f(x)若f(1)=2，則f(8．已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)單調(diào)遞減，若f(2a)>f(1?a)，則a的取值范圍是________【答案】(?1,1【解】結(jié)合題意,要滿足f(2a)>f(1?a),則|2a|<|1?9．設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，f(x（1）求證：f(（2）計算f(【解】（1）證明：因為f(x+所以f(x（2）由題意，知f(0)=0,f(又f(x所以f(【綜合運用】10．[2020年新課標Ⅰ卷Ⅱ卷]若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，且fA.[?1,1C.[?1,0【答案】D【解】因為定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，且f(?2)=0，f(x<0x>0,0解得?1≤x≤0或1≤x≤3.所以滿足xf(x11．已知函數(shù)f(x)=e?|A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解】因為f(?x)=e?|?x|?a[(?x)2+1]=e?|x|?a(x2+1)=f(x)，且f(x)的定義域為R，所以f(x12．[2023年四省聯(lián)考]【多選題】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且A.f(f(C.g(f(【答案】BD【解】由題意，知f(x)在(?∞,0]上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，g(x)在R上單調(diào)遞減.所以f(1)<f(2)，g若|f(1)|>|f(2)|，則f(f13．若函數(shù)f(x)=a?b2x?b(b>0)【答案】12【解】由2x?b≠故f(x)因為f(x)為奇函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點對稱.所以log2b=0，即b=1.所以f(?x)+f(x)=14．已知f(x)的定義域為R，f（1）證明：f(（2）求f(?【解】（1）證明：f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱.令x=1，y=0，得f令x=0，得f(0+y)+f（2）因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(?1)=f【拓廣探索】15．[2025年八省聯(lián)考改編]【多選題】已知函數(shù)f(x)=x3?2x,曲線C:y=f(x),兩條直線l1,l2均過坐標原點O,l1和A.f(x)有2個零點 C.f(x)是增函數(shù) D.【答案】ABD【解】令f(x)=0,得x=±42,所以f(x)有2易知f(x)為奇函數(shù),故B曲線C的圖象關(guān)于原點對稱,所以點M與N,P與Q分別關(guān)于原點對稱.不妨設M,N,P,Q的位置如圖所示.易知S△所以S△MNQ=22，故D正確專題突破3函數(shù)的對稱性及其應用1.一個函數(shù)的自對稱（1）軸對稱:函數(shù)f(x+a)是偶函數(shù)?f(a+x)=f(a?x)或f(x)=f（2）中心對稱:函數(shù)f(x+a)是奇函數(shù)?f(a+x)+f(a?x)=0或f(2.兩個函數(shù)的互對稱（1）函數(shù)y=f(x)（2）函數(shù)y=f(x)（3）函數(shù)y=f(3.雙重對稱（1）若函數(shù)f(x)的圖象在定義域內(nèi)有兩條對稱軸x=a,x（2）若函數(shù)f(x)的圖象在定義域內(nèi)有兩個對稱中心A(a,0（3）若函數(shù)f(x)的圖象在定義域內(nèi)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心B核心考點精準突破考點一軸對稱問題例1（1）【多選題】已知函數(shù)f(x)A.若f(2x+a)B.若f(x)的圖象關(guān)于直線C.若f(x)的圖象關(guān)于直線xD.若f(a+x)=（2）已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(4?x)，若y=|A.?4 B.0 C.8 【答案】（1）AB（2）D【解析】（1）【解】對于A，由y=f(2x+a)是偶函數(shù)，得f(?2x+a)=f(2x+a)，即f(?x+a)=f(x+a).所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，故A正確.對于B，由f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，得f(a+x)=f(a?x)，即f(a+x)?f(a?x)=（2）【解】因為f(x)=f(4?x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.又y=|x?2【點撥】函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱?f(x)=變式1．（1）設函數(shù)y=f(A.x=0 B.x=13 （2）已知定義域為R的函數(shù)f(x)在(?∞,2]上單調(diào)遞減，且f(x+2)為偶函數(shù)，則不等式f(x?1)>f(2x)的解集為___【答案】（1）B（2）(?【解析】（1）【解】由題意，得y=f(3x+1)的圖象關(guān)于y軸對稱.因為函數(shù)y=f(3x)的圖象可由y=f(3x（2）【解】因為f(x+2)為偶函數(shù)，所以f(?x+2)=f(x+2).所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.又f(x)的定義域為R，在(?∞,考點二中心對稱問題例2（1）【多選題】已知函數(shù)f(x)A.若f(2x+a)B.若f(x)的圖象關(guān)于點C.若f(x)的圖象關(guān)于點(D.若f(x+a)=?（2）已知函數(shù)f(x)=ax?A.?2 B.?1 C.1【答案】（1）AB（2）D【解析】（1）【解】對于A，由f(2x+a)是奇函數(shù)，得f(?2x+a)=?f(2x+a)，即f(?x+a)=?f(x+a).所以f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱，故A正確.對于B，由f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱，得f(a?x)?b=?f(a+x)+b，即f(a+x)+f（2）【解】由題意，知f(x)+f(2?x)=4.【點撥】函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱?f(a+變式2．（1）若函數(shù)f(x)A.f(x?1)?1 B.f（2）設函數(shù)f(x)=x3A.?1 B.2 C.?3（3）[2024年新課標Ⅰ卷節(jié)選]已知函數(shù)f(證明：曲線y=【答案】（1）D（2）C【解析】（1）【解】由題意，知f(x)的圖象關(guān)于點(1,?1)對稱.將f(x)的圖象向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到函數(shù)g(x)=f(x（2）【解】因為f(1+x)+f(1?x)=2，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱.因為函數(shù)y=x3,y=x為奇函數(shù)，即它們的圖象關(guān)于點(0,0（3）【證明】f(x)設P(m,n)為y=f(x)因為點P(m,n)在因為f(2?m)=ln2?由點P的任意性，可得曲線y=f(x考點三雙重對稱問題例3【多選題】已知定義在(?∞,+∞)上的奇函數(shù)f(x)，滿足fA.fB.4是f(C.fD.f(x)【答案】BCD【解】由f(x)=f(2?x)知，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(?x)=?f(x)=f(f(3)=ff(2026)+f(2027)+f【點撥】雙重對稱問題，隱含周期，注意借助對稱性與周期性的相關(guān)結(jié)論解題,輔以草圖則更為直觀.變式3．【多選題】已知定義域為R的函數(shù)f(x)在(?1,A.fB.f(x)C.2是f(D.f【答案】AB【解】由f(1+x)=f(1?x)，知直線x=1因為f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且f(x)在(?1,0]上單調(diào)遞增，所以f(x)在[2,3)上單調(diào)遞減.又f由f(1+x)=f(1?x)，知f(2+x)=f(?x).又f(x)的圖象關(guān)于點由B，得f(2)=0，且f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線x=1對稱，從而f由f(x)的最小正周期為4，得f(2025)=f(1)，f(2026)=f(2)=0，f(2027考點四兩個函數(shù)圖象的對稱問題例4已知函數(shù)y=f(x)與g(x)=ln(?x?2)?x?2的圖象關(guān)于點(?1,0)對稱，則f(x)=__【答案】?lnx【解】設(x,y)是y=f(x)的圖象上一點，其關(guān)于點(?1,0)的對稱點為(m,故填?lnx?【點撥】①函數(shù)y=f(a+x)與y=c?f(b變式4．下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=e2xA.y=e2x?2 B.y=【答案】B【解】設f(x)=e2x.若g(x)與f(x)的圖象關(guān)于直線課時作業(yè)知能提升1．若函數(shù)f(x+A.(?1,1) B.(1,【答案】B【解】因為函數(shù)f(x+1)是奇函數(shù)，所以f(將函數(shù)y=f(x+1)的圖象向右平移1個單位長度，得函數(shù)y=f(x所以函數(shù)y=f(x)+1的圖象關(guān)于點(12．若函數(shù)f(x)=36?xA.6 B.3 C.0 D.?【答案】B【解】由題意，知6?x+x=2a.解得3．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(1?xA.1 B.0 C.2 D.?【答案】B【解】因為f(x+4)=?f由f(1?x)=f(另解：不妨設f(x)=sinπ2x,則4．已知定義域為R的函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，且f(xA.[?12，12] B.[?1,1]【答案】B【解】因為函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)，所以函數(shù)f(又f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f(而對任意的x∈[?1,0]，f(3m+1)≥又f(?2)=f解得?1≤m≤15．已知函數(shù)f(x)=x+1x?1A.6 B.8 C.10 D.12【答案】C【解】直線y=k(x因為f(x)+f(2?x)=又f(x)的圖象與直線y=k(x?1)+4有兩個交點，所以6．【多選題】已知奇函數(shù)f(x)的定義域為RA.f(0)=0 B.C.f(x)=?f【答案】ACD【解】對于A，由題意，得f(0)=0，故對于B，由f(x)=f(2?x)，得f(x+1)=對于C，由f(x)=f(2?x),得f對于D，由C，得f(x+2)=?f(x+4)，即f(x)=f7．寫出一個值域為[?1,1]，且滿足f(π2?x)=f(x)=?f(?x)的周期函數(shù)f(x)=______________【答案】sin2x【解】因為f(x)=?f(?x又f(x)是值域為[?1,1因為f(π2?x)=f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=π4對稱.所以π故填sin2x8．已知函數(shù)f(（1）若f(1)=（2）證明：函數(shù)y=f(【解】（1）由f(1)=（2）證明：因為f(所以函數(shù)y=f(x)專題突破4抽象函數(shù)解決抽象函數(shù)問題的常用方法:一是通過賦值、代換等方法，推導出相關(guān)量或抽象函數(shù)的性質(zhì)；二是使抽象函數(shù)具體化.常見的抽象函數(shù)及其原型如下.抽象函數(shù)原型f(f(f(f(f(或ff(f(f(f(xf(xf(xyf(xf(xf(或f2f(f(f(f(核心考點精準突破考點一單變量例1【多選題】已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x?3A.3是f(B.f(x)C.f(D.f【答案】AC【解】對于A，因為f(x?32)=?f(x)，所以f(x?對于B，因為f(x+34)為奇函數(shù)，所以f(?x+34)=?f(x對于C，由B，得f(?x+32)=?f(x).又f(x?32)=?f對于D，由C，知f(x)是偶函數(shù)，所以f(1)=f(?1)=?1.又3是f(x)的一個周期，所以f(2另解：函數(shù)f(x)=2cos(2π3x)滿足題意,逐項判斷，【點撥】①常見的抽象函數(shù)問題有求值、判斷函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等.通常用特殊值代入求值,如令x=0,1,2,3,?,通過f(x1)?f(x變式1．定義域均為R的函數(shù)f(x)，g(xA.f(x)是奇函數(shù) C.g(x)是奇函數(shù) 【答案】D【解】因為f(x?1)=g(2?x)，所以f(?因為f(x)=g(x?1)，所以g(x)的圖象關(guān)于直線x考點二雙變量例2【多選題】[2024年九省聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且fA.f(?12C.f(x?12【答案】ABD【解】令x=12，y=0，得f(12)+f(12)×f(0)=f(12)[1+f(0)]=0.因為f(12)≠0令y=?12，得f(x?12)+f(x)f令x=1，得f(12)=?f(x+1?12)=?2(x+1)=?故選ABD.【點撥】雙變量抽象函數(shù)問題，常通過對兩個變量同時賦值，求得特殊值.再通過對一個變量賦值，推導函數(shù)的性質(zhì).使抽象函數(shù)具體化，是解決問題的重要思路.變式2．【多選題】已知定義域為R的函數(shù)f(x)A.f(0)=C.f(x+1)【答案】BCD【解】當x=0，y=1時，f(1)=f(0)f(1)+f(1)=f(1)[f(0)+1]，所以f(0當y=1時，f(x+1)=f(x)f(1)+f(1)+x=x.因為f(x課時作業(yè)知能提升1．已知定義域是R的函數(shù)y=f(A.0 B.3 C.?3 【答案】C【解】因為y=f(x+1)+1由f(1+1)+1=?[f(?1+2．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，?a，b∈R，A.0 B.?9 C.?12 【答案】D【解】令a=b=0，得f令a=1，b=?1，得f(0)=令a=b=1令a=1，b=2故選D.3．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(xA.f(?1)=C.f(4)=【答案】A【解】因為f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，所以因為f(3x+1)為奇函數(shù)，所以f(1?3x)=?f(3x+1)，即f(令F(x)=f(3x+1)，則F(x)為奇函數(shù).4．設函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x+1)為奇函數(shù)，f(A.5 B.4 C.52 【答案】A【解】因為f(x+1)為奇函數(shù)，所以因為f(x+2)為偶函數(shù)，所以f(x+2)=f(?x+2由f(x+1)=?f(?x+由f(x+2由f(0)+f因為當x∈[1,2]時，f(x)=ax2+b,所以?f(2)+f(1)=?(4a+b5．[2024年新課標Ⅰ卷]已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(xA.f(10)>C.f(10)<【答案】B【解】由題意，知f(1)=又f(x)>f(x?1)+f(x?2)，所以故選B.6．【多選題】已知函數(shù)f(x)的定義域為R，函數(shù)y=fA.fB.fC.f(x)D.f【答案】BCD【解】因為y=f(x?2)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(x?2)=f(?x?2)，即f(由C，知f(x)=?f(?x?2),所以ff(2027)=f(507f(?2)的值不確定，故A錯誤.故選7．函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=1?f(x)1+f【答案】?1【解】因為f(x+4)=1?f8．已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f′(x)的定義域均為R，且f(x+y)+f(①f(0)=0【答案】②③【解】令x=y=0，則2f(0)=2f2(當f(0)=0時，令y=0，則f(x)+f(x當f(0)=1時，令x=0，則f(y)+f(?y綜上，f′(x)為奇函數(shù)，故令y=x，則f(2x令t=2x,t∈R，則f(t)+f(階段集訓1范圍：2.1函數(shù)的概念及其表示～2.2一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．函數(shù)y=A.(1,+∞) C.[1,+∞) 【答案】A【解】由x>0,x因此，函數(shù)的定義域為(1,+∞).故選A2．下列函數(shù)中，與函數(shù)y=A.y=(x?C.y=x2【答案】D【解】函數(shù)y=x?1A,C的定義域不為R，排除.對于B，函數(shù)y=x2?1=∣x∣?對于D，函數(shù)y=3x3?1=x?1故選D.3．已知f(x)=x+A.1 B.1或32 C.32 【答案】C【解】當x0<1時，令x0+2=3當x0≥1時，令2x0=綜上,x0的值是32.故選C4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0A.y=lnx B.y=3?|x【答案】D【解】y=|x|+1是偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故D正確.5．已知函數(shù)f(A.f(x)=C.f(x)=【答案】A【解】設t=1?x(t≠1),則6．下列函數(shù)中，值域為[1A.y=x?C.y=2xx【答案】D【解】對于A，令x?1=t≥0,則x=1+t2.所以y=2t2+t對于B，當x=1時，y=0<1對于C，當x=2時，y=45<對于D，y=x+1,y=?1x均在[1,+∞)上單調(diào)遞增，所以y=7．設偶函數(shù)f(x)的定義域為R，當xA.f(?7)<C.f(π)<f(?【答案】A【解】因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(?7)=f(7)，f(?3)=f(3).因為當x∈[8．已知函數(shù)f(x)=(?a?5)xA.[?4,?1] B.[?4,?【答案】A【解】由題意，知f(x)4+解得?4≤a≤?1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知定義在[?5,5]上的偶函數(shù)A.f(x)僅有一個單調(diào)遞增區(qū)間 C.f(x)的最大值是5 D.【答案】BC【解】因為f(x)是定義在[?5,由圖，知f(x)在(?5,?3),(?x0,0),(x0,3)上單調(diào)遞增f(x)max=5由圖無法確定f(x)的最小值，故D故選BC.10．已知函數(shù)f(A.f(0)=C.f(f(log23))=【答案】ABD【解】對于A，f(0)=f(1對于B，f(1)=12，f(對于C，因為log23>1，所以f(log23對于D，當x≥1時，f(x)=(12)x∈(0,12];當0≤x<1時，1≤x+1<2，f(x)=f11．已知函數(shù)f(x)是定義域為RA.f(?2?C.f(x+【答案】ACD【解】對于A，函數(shù)f(1+x)為偶函數(shù)，則有f(1+x)=f(1?x)，對于B，因為f(1+x)與f(?x)不一定相等，所以f對于C，由f(2+x)=f(?x)=?f(x)，得f(x+對于D，由f(x)的一個周期為4，得f(2026)=f(?2+三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知函數(shù)f(x)=ax+bx?4，其中a,b為常數(shù)，若f(?2)=2，則f【答案】?10【解】由f(?2)=?a2?2b?4=213．已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)=x(x+2).若f(3+m)+f【答案】(1【解】當x≥0時，f(x)又f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以f(x)由f(3+m)+f(3m?7)>0，可得14．若函數(shù)f(x)=(x+a)2?log2(2x+1【答案】14【解】f(x)因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)=f(?x)，即(x2.3冪函數(shù)與指數(shù)冪、對數(shù)的運算課程標準有的放矢1.通過具體實例，結(jié)合y=x，y=1x，y2.通過對有理數(shù)指數(shù)冪amn(a>0，且a≠1；m,n為整數(shù)，且3.理解對數(shù)的概念和運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).必備知識溫故知新【教材梳理】1.冪函數(shù)（1）定義：一般地，函數(shù)y=xα

叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α（2）常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì).函數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域奇偶性單調(diào)性公共點y=RR奇在R上單調(diào)遞增(1y=R{y偶在(?∞,0]上單調(diào)遞減；在[y=RR奇在R上單調(diào)遞增y={x{y非奇非偶在[0,+∞)y={x{y奇在(?∞,0)和(2.n次方根與分數(shù)指數(shù)冪（1）n次方根：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根,其中n①當n是奇數(shù)時，a的n次方根用符號na②當n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，可以合并寫成±na③負數(shù)沒有偶次方根.④0的任何次方根都是0，記作n0（2）根式：式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)①當n為奇數(shù)時，nan②當n為偶數(shù)時，nan=（3）分數(shù)指數(shù)冪.①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是amn=②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a?mn=1am③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.3.指數(shù)冪的運算性質(zhì)（1）aras（2）(ar)（3）(ab)r4.對數(shù)（1）對數(shù)的概念：一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x（2）對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系:當a>0,a≠1時，a?x=N?x（3）對數(shù)的運算性質(zhì)：如果a>0，且a≠1，①loga(②logaM③logaMn根據(jù)性質(zhì)③又可得對數(shù)換底公式：logab=logcblogca(a常用結(jié)論1.冪函數(shù)相關(guān)的常用結(jié)論（1）一般地，在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越低；在區(qū)間（2）冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi).（3）形如y=xmn或y=x?mn（m,n為互質(zhì)的正整數(shù)）類型函數(shù)的奇偶性判斷：當m,n2.對數(shù)相關(guān)結(jié)論（1）對數(shù)恒等式：alog（2）換底公式的推論：loga自主評價牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.（1）若冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點.（）（2）當n<0時，冪函數(shù)（3）na（4）分數(shù)指數(shù)冪amn可以理解為mn（5）若MN>0，則【答案】（1）√（2）×（3）×（4）×（5）×2．[2022年上海卷]下列冪函數(shù)中，定義域為R的是（）A.y=x?1 B.y=x【答案】C【解】對于A，有x≠0.對于B，有x>0.對于C，定義域為R.對于D，有x≥3．【多選題】下列運算法則正確的是（）A.logB.(C.logab=lnD.a【答案】CD【解】對于A，若b<0，則logab無意義，故對于B，若a<0，m=12，則am=a對于C，由換底公式，得logab=lnblna(b>對于D，當a≠0，m，n∈N?時，am+n=a4．已知4a=2，lgx=a，則x=___【答案】10【解】由4a=2，得a=12，所以lgx核心考點精準突破考點一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1（1）若冪函數(shù)f(x)=(m2A.?3 B.?2 C.2（2）圖中C1，C2，C3為三個冪函數(shù)y=xαiA.12，3，?1 B.?1，3，12 C.12，?1，3（3）不等式(x?1)23>(3x+1)23的解集為__【點撥】①α的正負與冪函數(shù)圖象的關(guān)系：當α>0時，圖象過原點和點(1,【答案】（1）D（2）D（3）(?【解析】（1）【解】由冪函數(shù)的定義和單調(diào)性,知m2?m?5=1,（2）【解】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知α3>1>α2>0>α（3）【解】y=x23是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，故|x?1|>|3x變式1．（1）已知冪函數(shù)f(x)=x45.若A.f(x1C.f(x（2）已知冪函數(shù)f(x)=xm?3(m∈N?)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0,+∞)上單調(diào)遞減，則m=____;滿足(a+1)?m3<(3?2a)（3）[2021年新課標Ⅱ卷]寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)：___________①f(x1x2)=【答案】（1）A（2）1；(?∞,?1)∪(（3）f(x)=x4【解析】（1）【解】冪函數(shù)f(x)=x45在(0,+∞)上單調(diào)遞增，大致圖象如圖所示.設點A(x1,0)，C(x2,0)，其中0<x1<x2，則AC的中點E（2）【解】因為函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以m?3<0.解得m<3.又m∈N?，所以m=1，2.因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以m?3為偶數(shù)，故m=1.因為函數(shù)y=x?13在(?∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞減（3）【解】取f(x)=x4，則f(x1x2)=(x1x2)4=x14x24=f(x1)f(x2)，滿足①.f′(考點二指數(shù)冪的運算例2（1）計算：①3②[(0.064③(（2）【多選題】已知a+A.a2+aC.a12+【答案】（1）【解】①原式=(a②原式={[(=[(4=5③原式=a=a（2）ABD【解析】【解】對于A，a2+a?2=(a+a?1)2?2=9?2=7，故A正確.對于B，a3+a?3=(a+a?1)(a2?1+a?2)=3×(7?【點撥】指數(shù)冪運算的一般原則如下.①首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算.②先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).③底數(shù)是負數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)，先化成假分數(shù).④運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).變式2．（1）(14)?12?(4ab?1)3（2）若2x=3,(12)y=32,則（3）若x12+x?12=4，則【答案】（1）8（2）6（3）52【解析】解：原式=2×432(2)【解】22x+（3）解：由題意，知(x12+x?1考點三對數(shù)的運算例3（1）log535+2log122?log（2）eln4（3）設2a=5b=A.10 B.10 C.20 D.100【點撥】對數(shù)式的化簡、求值問題，要注意對數(shù)的運算性質(zhì)的逆向運用，但無論是正向還是逆向運用，都要注意對數(shù)的底數(shù)須相同.【答案】（1）2（2）10（3）A【解析】（1）【解】原式=log535+log5（2）【解】原式=4+（3）【解】因為2a=5b=m，所以log2m=a，log5m=b.所以變式3．（1）【多選題】下列結(jié)論正確的是（）A.logB.lne+lgC.logD.若log2[（2）[2022年浙江卷]已知2a=5,logA.25 B.5 C.259 D.（3）[2025年八省聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1【答案】（1）AB（2）C（3）e【解析】（1）【解】log2125×log38×log1527=lg125lg2×lg8lg3×lg27lg15=2lg15lg2×3lg2lg3×（2）【解】因為2a=5，b=log83=13log（3）【解】由aln2?aln4=8,得a考點四實際運用例4齊奧爾科夫斯基于1903年給出火箭在不考慮空氣動力和地球引力的理想情況下的最大速度計算公式v=ωlnm0mk.其中，ω是燃料相對于火箭的噴射速度，m0是火箭加燃料的質(zhì)量，mkA.e5倍 B.(e5?1)倍 C.【答案】B【解】由題意,知2lnm0m設燃料質(zhì)量為m1，則m0=mk+m1.故mk+m1m【點撥】實際應用問題，常利用指對互化，換底公式等求解，有時還涉及近似計算，側(cè)重對數(shù)學運算核心素養(yǎng)的考查.變式4．物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：設物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時間t（單位：min）后的溫度是T，則T?Ta=(T0?Ta)?(12)t?，其中Ta【答案】10【解】由已知Ta=24，T0=88，T=此杯咖啡從40℃降到32℃，可得32?24=(考教銜接·指數(shù)、對數(shù)、冪指比較大小【教材溯源】人教A版必修第一冊第141頁習題第13題.【總結(jié)延伸】比較大小常用的兩種方法：①作差或作商，結(jié)合不等式性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)性質(zhì)等求解；②利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)等工具，或者利用數(shù)形結(jié)合思想求解.例題已知4a=20,5A.a>b>c B.b>a【答案】A【解】由4a=20,5b=30,6c=因為log4>(lg所以log45>log56.所以a綜上，a>另解：構(gòu)造函數(shù)y=當x>1時，隨著x的增大，y所以lg5lg4>所以a>b>c.變式．設a=log23，A.a<b<c B.b<c【答案】B【解】因為2c=log325<3，2a=b=log6(6×53)=1+log6課時作業(yè)知能提升【鞏固強化】1．函數(shù)