第=page1616頁，共=sectionpages1616頁廣東省廣州市2025屆高三數學質檢試題(二)一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數z=i1+i，則z的虛部為(

)A.-i2 B.i2 C.-2.設集合A=x∣x2-3x+2≤0,B={x∣a<x<a+2}，則a>0是A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.在?ABC中，點D在邊AB上，BA=3DA.記CB=m，CD=nA.3m-2n B.-2m+3n4.PQ為經過拋物線y2=2px焦點的任一弦，拋物線的準線為l，PM垂直于l于M，QN垂直于l于N，PQ繞l一周所得旋轉面面積為S1，以MN為直徑的球面積為S2A.S1>S2 B.S1<5.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0，若點A.2 B.3 C.2 6.設a>1，且實數x,y,z滿足，a2x2=aA.x<y<z B.z<x<y C.y<z<x D.y<x<z7.已知ω>0，曲線y=cosωx與y=cos(ωx-πA.33π B.22π8.已知函數f(x)=x|x|-32x+1+52，若正數m，n滿足A.3 B.42 C.2+2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.賦分是根據考生原始分數在全體考生中的排名比例進行轉化的，在一次模擬考試中，某班5名同學的地理科目的原始分與賦分如下表：學號12345原始分93857852?賦分10096927082記這5名同學在這次模擬考試中的地理科目的原始分為數據甲，賦分為數據乙，則(

)A.甲的平均數小于乙的平均數 B.甲的中位數小于乙的中位數

C.甲的極差小于乙的極差 D.甲的方差小于乙的方差10.函數f(x)=xlnx、g(x)=f'(x)xA.不等式g(x)>0的解集為

B.函數f(x)在(0,e)上單調遞增，在上單調遞減

C.若函數F(x)=f(x)-ax2有兩個極值點，則

D.若x1>x2>011.如圖，半徑為1的動圓C沿著圓O:x2+y2=1外側無滑動地滾動一周，圓C上的點P(a,b)形成的外旋輪線Γ，因其形狀像心形又稱心臟線.已知運動開始時點P與點A(1,0)重合.A.曲線Γ上存在到原點的距離超過23的點

B.點(1,2)在曲線Γ上

C.曲線Γ與直線x+y-22三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知，則sinα=

．13.在學校三月文明禮儀月中，學生會4位干事各自匿名填寫一張《校園設施改進建議卡》，老師將建議卡打亂順序后，要求每人隨機抽取一張進行互評審核，則恰好有2位干事抽到自己所寫建議卡的概率為

．14.“中國天眼”是我國具有自主知識產權、世界最大單口徑、最靈敏的球面射電望遠鏡(如圖)，已知“天眼”的形狀為球冠(球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高)，設球冠底的直徑d=500m，球冠的高h=40m，則球的半徑R≈

m.(精確到整百)．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D是AC邊上的中點．(1)若acosC+c(ⅰ)求B;(ⅱ)若b=42，BD=3(2)若B=2θ，BD=m，b=2n，試探究△ABC存在時m，n，θ滿足的條件．16.(本小題15分)

如圖，在三棱臺ABC-A1B1C1中，CC1⊥(1)證明：平面A1BC⊥(2)若二面角A1-AB-C的正切值為2，求C17.(本小題15分)n(n∈N*,n≥3)個人相互傳球，傳球規則如下：若球由甲手中傳出，則甲傳給乙;否則，傳球者等可能地將球傳給另外的n-1個人中的任何一個.第一次傳球由甲手中傳出，第k(k∈N*(1)求A5(2)，B5(2)(2)求A(3)比較Bn(k+1)與n-218.(本小題17分)已知拋物線C:y2=2pxp>0.過拋物線焦點F作直線l1分別在第一、四象限交C于K、P兩點，過原點O作直線l2與拋物線的準線交于E點，設兩直線交點為S.(1)求拋物線的方程．(2)若EP平行于x軸，證明：S在拋物線C上.(3)在(2)的條件下，記?SEP的重心為R，延長ER交SP于Q，直線EQ交拋物線于N、T(T在右側)，設NT中點為G，求?PEG與?ESQ面積之比n的取值范圍．19.(本小題17分)小明同學在課外學習時發現以下定義：設函數y=f(x)是定義在區間I上的連續函數，若?x1，x2∈I，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，則稱y=f(x)為區間I上的下凸函數.例如，函數y=x3在[0,+∞)上為下凸函數.通過查閱資料，小明同學了解到了琴生(Jensn)(1)已知g(x)=x3在[0,+∞)上為下凸函數，若a3+(2)判斷函數f(x)=x2+bx+c在R上是否是下凸函數，若是，請證明(3)設x1，x2，x3，x4>0，且x答案和解析1.【答案】D

【解析】z=i1+i=i(1-i)(1+i)(1-i)=12+122.【答案】B

【解析】由集合x2又B={x|a<x<a+2}=(a,a+2),A?B，

所以1>a所以a>0是A?B的必要不充分條件．故選：B．3.【答案】C

【解析】如下圖所示：易知CA=1故選：C．4.【答案】C

【解析】設PQ與x軸夾角為θ，令|PF|=m，|QF|=n，則|PM|=m，|QN|=n，則S1=π(PM+QN)?PQ=π(m+n)2，S25.【答案】B

【解析】雙曲線的漸近線方程為y=±bax因為點0,2到E的漸近線距離為233，即2因此，該雙曲線的離心率為e=c故選：B．6.【答案】B

【解析】∵a2x2=1,∴a2x=2,∴2x=loga2,∴x=loga22，

同理可得y=loga33,z=loga55，

∵a>1，∴x，y7.【答案】A

【解析】由cosωx=cos(ωx-π3)得cosωx=12cosωx+32sinωx，

即cosωx=3sinωx，即tanωx=33，

8.【答案】D

【解析】f(x)=x|x|-32x+1+32+1，

令g(x)=x|x|-32x+1+32，其定義域為R，

則g(-x)+g(x)=(-x|x|+x|x|)-(3×2x2x+1+32x+1)+2×32=0，

∴g(x)為奇函數，且當x≥0時，g(x)為增函數，

∴g(x)在R上單調遞增，

∴f(x)=g(x)+1在R上單調遞增，

∵f(x)+f(-x)=29.【答案】AB

【解析】記學號為5的同學的原始分為a，

結合表格可知，52<a<78，

顯然，每個同學的原始分都小于賦分，則甲的平均數小于乙的平均數，故A正確；

可知甲的中位數為78，乙的中位數為92，故B正確；

甲的極差為93-52=41，乙的極差為100-70=30，故C錯誤；

顯然甲的數據波動較乙的大，故甲的方差大于乙的方差，故D錯誤．

故選：AB．10.【答案】AD

【解析】對A，因為f(x)=xlnx、g'(x)=-令g'(x)>0，得x∈(0,1)，故g(x)在該區間上單調遞增；令g'(x)<0，得x∈(1,+∞)，故g(x)在該區間上單調遞減．又當x>1時，g(x)>0，g(1e)=0故g(x)的圖象如下所示：數形結合可知，g(x)>0的解集為(1e,+∞)對B，f'(x)=1+lnx，當x>1e時，f'(x)>0，當0<x<1e時，f'(x)<0，

所以函數對C，若函數F(x)=f(x)-ax即F(x)=xlnx-ax要滿足題意，則需lnx-2ax+1=0在(0,+∞)也即2a=lnx+1x在(0,+∞)有兩不同的根，也即直線y=2a數形結合可知：0<2a<1，解得0<a<1故要滿足題意，則0<a<1對D，若x1>x即m2構造函數g(x)=m2x2-x故g(x)在(0,+∞)單調遞增，則g'(x)=mx-lnx-1≥0在(0,+∞)也即lnx+1x≤m在區間(0,+∞)故選：AD．11.【答案】BCD

【解析】首先建立動圓滾動過程中的參數方程，已知定圓O:x2+y2=1，半徑r=1，

設動圓滾動的圓心角為θ0?θ<2π(弧度制)，動圓的圓心為C，動圓半徑R=1，

因為|OC|=1+1=2，所以動圓的圓心C的坐標為(2cosθ,2sinθ)，

設點P(a,b)，根據圓的滾動性質，因為開始時P(1,0)，動圓滾動θ角度后，

P點相對動圓圓心的角度變化，點P相對于動圓圓心C的坐標為cos2θ-π,sin2θ-π，

根據三角函數誘導公式，則P點坐標滿足a=2cos?θ-cos2θb=2sin?θ-sin2θ,

分析選項A:計算點P(a,b)到原點O的距離d=a2+b2，將a=2cos?θ-cos2θb=2sin?θ-sin2θ代入可得：

a2+b2=(2cos?θ-cos2θ)2+(2sinθ-sin2θ)2=5-4cosθ，

所以d=a2+b2=5-4cosθ<3<23，A選項錯誤；

分析選項B:若點(1,2)在曲線Γ上，則1=2cos12.【答案】13【解析】因則，又，則，所以cos(α+β)=-則sin．故答案為：1313.【答案】14【解析】假設所有人拿到自己的卡，則恰好有2位干事抽到自己所寫建議卡，相當于從4人中選兩人交換自己的卡，有C42=6則相應概率為：C4故答案為：1414.【答案】800

【解析】如下圖所示：

球心到截面圓的距離為R-h，球冠底的半徑為r，

由勾股定理可得(R-h)2+r2=R2，化簡得r2+h2=2Rh，

解得R=r2+15.【解析】(1)(i)在△ABC中，因為acosC+ccosA=-2bcosB，

由正弦定理可得，

sinAcosC+sinCcosA=-2sinBcosB，

所以sin(A+C)=-2sinBcosB=sinB，

因為B∈(0,π)得sinB≠0，

所以cosB=-12，故B=2π3;

(ii)在△ABC中，由余弦定理得：

b2=a2+c2-2accos∠ABC，

即32=a2+c2+ac，?①

因為D是AC邊上的中點，

所以BD=12(BA+BC)，

故4BD2=(BA+BC)2，

12=c2+a2-ac，?②

?①-?②得ac=10，

所以△ABC的面積為S=12acsin∠ABC=532．

(2)如圖所示：

在△ABC中，由余弦定理得

b2=(2n)2=a2+c2-2accos2θ，

即a2+c2=4n2+2accos2θ?①;

因為BD是AC邊上的中線，

所以2BD=BA+BC，

兩邊平方有4m2=c2+a2+2accos2θ?②，

將?①式代入?②得accos2θ=m2-n2，cos2θ16.證明：(1)因為CC1⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以CC1⊥BC．

又因為AC⊥BC，AC，CC1?平面ACC1A1，AC∩CC1=C，

所以BC⊥平面ACC1A1.因為BC?平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ACC1A1．

(2)設A1C1=a，CC1=b，

以{CA,CB,CC1}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2,0,0)，B(0,23,0)，A1(a,0,b)，17.【解析】(1)

∴A5(2)=14，B5(2)=0，A5(3)=34×14=316，B5(3)=14+34×14=716．

(2)由題意知，若第k+1次球在甲手中，則第k次不在甲手中，

第k次球不在甲手中的概率是1-Ank，

此時傳球者傳給甲的概率是1n-1，

即An(k+1)=1n-1[1-An(k)]，An(1)=0，18【解析】(1)因為若當點P的縱坐標為-2時，OP=不妨設P(a,-2)(a>0)，則代入拋物線方程有4=2p?p=2，所以C:y(2)證明：由(1)知y2=4x,F1,0，C不妨設Px1,若EP平行于x軸，則E-1,所以l2:y=0-聯立l1,又P在拋物線C和直線l1上，即則有S1x1,-y則S在拋物線C上，證畢；(3)在(2)的條件下可知S、K兩點重合，由重心的性質不難知Q為線段SP的中點，同(2)，仍設Px1,則E-1,聯立x=my+1所以y1且y1則Q2可知lEQ:y=2m-設Nx與C聯立有x=所以yN+y由于Q為線段SP的中點，所以S、P到直線EQ的距離相等，則n=S設fm若m>0，則f(m)=2-11+1m若